控制点改变的脉冲

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英文标题：
《Impulse Control of a Diffusion with a Change Point》
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作者：
Lokman A. Abbas-Turki, Ioannis Karatzas and Qinghua Li
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper solves a Bayes sequential impulse control problem for a diffusion, whose drift has an unobservable parameter with a change point. The partially-observed problem is reformulated into one with full observations, via a change of probability measure which removes the drift. The optimal impulse controls can be expressed in terms of the solutions and the current values of a Markov process adapted to the observation filtration. We shall illustrate the application of our results using the Longstaff-Schwartz algorithm for multiple optimal stopping times in a geometric Brownian motion stock price model with drift uncertainty.
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中文摘要：
本文解决了一个扩散问题的Bayes序贯脉冲控制问题，该扩散的漂移具有一个不可观测的参数和一个变化点。通过改变消除漂移的概率测度，将部分观测问题转化为完全观测问题。最优脉冲控制可以用适应观测滤波的马尔可夫过程的解和当前值来表示。我们将用Longstaff-Schwartz算法说明我们的结果在具有漂移不确定性的几何布朗运动股票价格模型中的应用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
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2022-5-6 02:57:54 上传

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关键词：控制点 Optimization Quantitative Unobservable observations

用改变点控制分歧的冲动洛克曼·a·阿巴斯·图尔基*, Ioannis Karatzas+和李清华*TU Berlin，Sto chastik and Finanzmathematik，MA大楼，街17号。Juni 136，10623 Berlin，Germany+美国纽约州纽约市哥伦比亚大学数学系，纽约州纽约市纽约市10027号哥伦比亚大学统计系，阿姆斯特丹大道1255号，纽约州纽约市10027号，美国2018年8月20日摘要本文解决了一个偏差的Bayes序列脉冲控制问题，其漂移具有不可观测的参数和一个变化点。通过改变概率测度，消除漂移，将部分观测问题转化为完全观测问题。最佳脉冲控制可以用阿马尔科夫过程的解和当前值来表示，该过程适用于观察过滤。我们将用Longstaff-Schwartz算法来说明我们的结果在具有漂移不确定性的几何布朗运动股票价格模型中的应用。贝叶斯序列优化；脉冲控制；变化点；措施变更；朗斯塔夫-施瓦茨算法1简介假设股票的价格演化遵循几何布朗运动，其裂痕将在未知的未来时间变化到未知的水平。投资者在初始时间购买一定数量的股票，只能观察价格的变化。

基于这些观察到的价格和对漂移变化的一些合理的先验知识，为了最大限度地提高投资者的预期收益，出售股票的最佳时机是什么？在同样的情况下，如果股票数量较多，那么最优的离散平衡买卖策略又如何呢？在更抽象的层面上，这是一个关于扩散的最佳停止和脉冲控制的问题，其漂移项有一个不可观测的参数和一个变化点。解决此类问题有三种常见方法。保守的方法是mini-max哲学，它优化了最坏的情况，由[20]Karatzasand Zam Firescu（2008）描述为一个控制者和一个阻止者之间的零和博弈。许多从业者采用的方法是将模型校准和决策分为两个单独的步骤。另一种方法是通过用参数的后验概率分布扩充状态过程，将具有部分观测值的决策问题转化为具有完全观测值的决策问题。这一方法的一个例子是作品[10]戴、张和朱（2010）。

在一个具有漂移不确定性的几何布朗运动价格模型中，作者假设交易活动不受影响，并分别找到两个最优的下单时间序列，即买卖订单。前一段提到的主题都是非常成熟的研究领域，拥有过去几十年的大量文献：其中[32]Shiryaev（1969）和[17]Karatzas（2003）用于顺序检测；[33]Shiryaev（1978）或[19]Karatzas和Shreve（1998）中的附录D，用于最优停止问题；[3] [4]、[5]和[6]作者Bensoussan和L ions，以及[28]Oksendal和Sulem（2007）的脉冲控制；以及s[26]Liptser和Shiryaev（2001）和[7]Bensoussan（1992）使用过滤技术解决部分观测到的控制问题。本文试图在不跟踪后验概率过程的情况下，在贝叶斯序贯框架下一步求解脉冲控制问题。概率测度的变化有助于从部分观测到完整观测的转换，这隐藏了差异的漂移部分。测量变更方法最初是为了解决变更点检测问题而开发的。对于我们的问题，在参考概率测度下，通过似然比增强的状态过程是马尔可夫的，可以推导出由值函数满足的动态规划原理。强化状态过程的当前值提供了决策所需的所有信息。至少有三种广泛使用的方法来描述随机控制问题的值函数——PDE、动态规划和反向SDE。它们是“随机最大原理”概念的不同表述（c.f.[23]Kushner（1972）和[11]Davis（1973））。

这三种方法的共同机制是，价值函数和累积报酬之和，当沿着与任何允许的控制策略对应的状态过程进行评估时，会产生一个超鞅——当且仅当控制策略为最优时，它才会成为一个最优鞅。在简化到马尔可夫情形之后，我们通过动态规划原理来表示最优脉冲控制。与Bensoussan和Lions的开创性论文[3]、[4]、[5]、[6]和[7]不同的是，与价值函数相关的变分不等式将不在本文中介绍，因为它们在数值上不足以实现，因为它们是一个ugmentedstate过程的维数。从数值的角度来看，我们采用Longstaff-Schwartz算法来获得多个最佳停车时间。该方法基于停车时间的动态规划原理，虽然使用蒙特卡罗模拟，但计算效率很高。对于一个涉及几何布朗运动和两个最优停止时间的简单问题，我们也证明了所得结果的良好精度。通过测量值的变化将其简化为完全观测，以及所提出的涉及蒙特卡罗的算法非常适合高维状态过程。它们对解决部分观测控制问题的方法学做出了贡献。在第2节中，我们指定了要优化的模型和数量。第3节讨论了与在不同概率测度下编写和解决脉冲控制问题有关的主要理论结果。第4节举例说明了如何通过实施Longstaff-Schwartz算法来使用理论结果，以获得多个最佳停车时间。

最后，我们在第5节中表明，与通常涉及后验概率的方法相比，本文提出的方法为多维问题提供了一个更好的框架。2问题公式本节建立了扩散模型，其漂移与第2节有一个变化点。1并在第2.2.2.1节中阐述了扩散的脉冲控制问题。我们考虑的是一个概率空间(Ohm, F、 P），它支持两个独立的、可测量的随机变量ρ和U，以及关于自然过滤FW的一维标准布朗运动W（·）。随机变量向量（ρ，U）与布朗运动W（·）无关。LetG={G（t）}0≤T≤T=σρ、 U，W（s）；0≤ s≤ T0≤T≤T（2.1）表示由ρ、U和W（·）产生的过滤。不可观测过程θ：[0，T]×Ohm → Θ，（t，ω）7→ θ（t，ω）=：θ（t）（2.2）取值于参数空间Θ={u，u，···，um} R.过程θ（·）从初始值θ（0）=u开始，并保持该值直到状态变化的不可观测时间ρ。在时间ρ时，参数θ（·）变为一个新的水平U，一个随机变量，取值于集合{u，···，um}，并保持在该水平，直到固定的终端时间T∈ (0, ∞). 如果在timeT之前没有发生制度变化，那么θ（·）在整个区间[0，T]中取值u，即θ（T）=（u，0）≤ t<ρ∧ TU、 ρ∧ T≤ T≤ T（2.3）变化点ρ和水平U具有先验分布sp（ρ>t）=e-λt，t≥ 0，（2.4）和p（U=uj）=pj，j=1,2，·m。

（2.5）对于任何可能的值u∈ Θ，给定的可测函数b（·，·；u）：[0，T]×R→R和σ（·，·）：[0，T]×R→ R满足以下Lipschitz和Boundedness条件。假设2.1存在一个常数C>0，这样（i）对于所有（t，x），（t，x）∈ [0，T]×R，对于所有的u∈ Θ，我们有| b（t，x；u）- b（t，x；u）|+|σ（t，x）- σ（t，x）|+b（t，x；u）σ（t，x）-b（t，x；u）σ（t，x）≤ C | x- x |；（2.6）鉴于（ii）对于所有（t，x）∈ [0，T]×R和所有u∈ Θ，我们有σ（t，x）>0和b（t，x；u）σ（t，x）≤ C（2.7）假设2.1（i）意味着函数b（t，·u）和σ（t，·）的线性增长条件：存在另一个常数C′>0，使得| b（t，x；u）|+σ（t，x）|≤ C′| 1+x |（2.8）适用于所有美国∈ Θ和所有（t，x）∈ [0，T]×R.设N为正整数，0=τ<τ<τ<·τ<·N≤ 与过滤FW有关的停止时间，ζibe为R值FW（τi-) - i=1,2，··，N的可测随机变量。N元组（τ，ζ）={（τi，ζi）}Ni=1称为脉冲控制。容许控制集，表示为I，是所有此类脉冲控制（τ，ζ）的集合。跳跃大小γ：R×R→ R是一个给定的有界可测函数。给定任意脉冲控制（τ，ζ）∈ 一、 受控态过程X（·）是方程X（t）=X+Ztσ（s，X（s））dW（s）+XτI的唯一强解≤tγ（X（τi-), ζi），0≤ T≤ T

（2.9）根据假设2.1（ii）和方程（2.9），布朗过滤fw与F={F（t）}0一致≤T≤T、 表示流程X（·）产生的过滤。[0，T]中的所有F-停止时间的集合表示为S，而[T，T]中的所有F-停止时间的集合表示为St.o以定义空间上的另一个概率度量POhm 在西格玛代数G（T）上，我们将对其建立脉冲控制问题，我们引入了G-适应过程Z（T）=expZtb（s，X（s）；θ（s））σ（s，X（s））dW（s）-Ztb（s，X（s）；θ（s））σ（s，X（s））ds, 0≤ T≤ T，（2.10），它将扮演新测度P相对于“参考概率测度”P的Radon-Nikodym导数的角色，而对于每个数字u∈ Θ，F适应似然比过程定义为asL（t；u）=expZtb（s，X（s）；u） σ（s，X（s））dW（s）-Ztb（s，X（s）；u） σ（s，X（s））ds, 0≤ T≤ T（2.11）从θ（·）的表达式（2.3）中，根据似然比过程L（·；u）和随机向量（ρ，u），可以写出Radon-Nikodym导数Z（·），asZ（t）=L（ρ；u）mXj=1{u=uj}L（t；uj）L（ρ；uj）！{ρ<t}+L（t；u）1{ρ≥t} ，0≤ T≤ T.（2.12）（2.10）中的Radon-Nikodym过程Z（·）是一个（P，G）-马氏体，因为假设2.1（ii）关于比率b（·，·；u）/σ（·，·）和Novikov条件的有界性；对于（2.11）中的似然比过程L（·；u），对于anyu也是如此∈ Θ. 然后存在一个概率测度P，相当于P，满足dpdpG（t）=Z（t），0≤ T≤ T.（2.13）在这个新的概率测度P下，随机变量ρa和U仍然是独立的，并且保留了（2.4）和（2.5）的先验分布。

在[36]Van Schuppen and Wong（1974）中，通过将Girsanov定理推广到局部马氏体，过程Ztσ（s，X（s））dW（s）-Ztb（s，X（s）；θ（s））ds0≤T≤T（2.14）是局部（P，G）-鞅，具有瞬时二次变化σ（·，X（·））；过程W（·）定义为asW（t）：=W（t）-Ztσ-1（s，X（s））b（s，X（s）；θ（s））ds，0≤ T≤ T（2.15）是标准的P-布朗运动。由（2.9）定义的过程X（·）也是方程X（t）=X+Ztb（s，X（s）的唯一强解；θ（s））ds+Ztσ（s，X（s））dW（s）+Xτi≤tγ（X（τi-), ζi），0≤ T≤ T.（2.16）2.2微分脉冲控制本文研究的脉冲控制问题包括选择最佳脉冲控制（τ*, ζ*) = {(τ*i、 ζ*i） }Ni=1达到最大预期回报v:=sup（τ，ζ）∈IE“ZTh（X（t））dt+ξ（X（t））+NXi=1c（X（τi-), ζi）#，（2.17）在所有容许的脉冲控制（τ，ζ）={（τi，ζi）}Ni=1in i.逆函数ξ和h:r→ R是可测量的，并满足以下假设2.2中的条件（i）和（ii）。此外，我们还对确定性可测函数γ和c:R×R施加了增长条件→ 状态变量中的R，如下所示。假设2.2（i）函数ξ（·）是两次连续可微分的，一阶和二阶导数表示为ξ′（·）和ξ′（·）。（ii）函数h（·）、ξ（·）、ξ′（·）和ξ′（·）是局部Lipschitz函数，具有多项式增长。（iii）函数γ（x，z）对所有x都有界∈ R和z∈ R、 函数c（x，z）在x上有多项式增长率∈ R对所有z都是一致的∈ R

对于任意固定的z，函数γ（x，z）和c（x，z）在x中都是连续的∈ R.3解决脉冲控制问题本节提供了脉冲控制问题的理论解决方案（2.17）：第3.1节通过改变参考概率度量，将部分可观测问题简化为完全可观测问题，在该概率度量下，状态过程为鞅，并用似然比及其积分扩充状态过程。第3.2节通过用值函数和增广状态过程表示最优控制，解决了参考概率测度下的完全可观测脉冲控制问题。3.1测量改变方法“测量改变方法”是指在参考概率测量下考虑脉冲控制问题（2.17），该方法消除了状态过程X（·）的不可观测漂移。利用贝叶斯规则和条件期望的性质，可以将（2.17）中的最大期望报酬V写成V=sup（τ，ζ）∈IE“Z（T）ZTh（X（T））dt+ξ（X（T））+NXi=1c（X（τi-), ζi）！#=sup（τ，ζ）∈E[Z（T）|F（T）]ZTh（X（T））dt+ξ（X（T））+NXi=1c（X（τi-), ζi）！#。（3.1）从Bayes的观点来看，（3.1）中的量E[Z（t）| F（t）]是参考概率测量P下氡-尼科德姆导数Z（·）的后验投影，考虑到迄今为止对X（·）的观测。由于P下的（ρ，U）和X（·）与之前的P分布（2.4）和（2.5）以及（2.12）之间的独立性，这个后验期望的形式为[Z（t）| F（t）]=mXj=1pjL（t；uj）ZtL（s；u）L（s；uj）λe-λsds+ E-λtL（t；u），0≤ T≤ T.（3.2）对于每一个u∈ Θ，在（2.11）中定义的似然过程L（·；u）是满足随机积分方程L（t；u）=ZtL（s；u）b（s，X（s）的（P，F）鞅；u） σ（s，X（s））dW（s），0≤ T≤ T、 （3.3）关于标准（P，F）-布朗运动W（·）。