来自过去的微笑：一个具有多重特征的通用期权定价框架

此外，如果满足以下条件，则DF（2.9）符合无套利限制：A（1- ν, -ν、 0）=r+A(-ν, -ν、 0）Bi（1）- ν, -ν、 0）=Bi(-ν, -ν、 0）对于i=1，pCj（1）- ν, -ν、 0）=Cj(-ν, -ν、 0）对于j=1，q、 （2.10）证明：见附录A和B.3 LHARG-RV3。1 Corsi（2009）将mo delHAR RV流程引入财务文献，其特点是过去的已实现差异每天、每周和每月汇总对今天的已实现差异产生不同的影响。滞后项收集在三个不同的非重叠因子中：RVt（短期波动因子）、RV（w）t（中期波动因子）和RV（m）t（长期波动因子）。Corsi等人（2012年）介绍了HAR-RV模型在期权定价中的应用，讨论了HAR-RV的扩展，其中包括每日二元杠杆组件（HARGL）。然而，在Corsi和Ren`o（2012）中，作者强调了异质结构对杠杆的重要性。因此，我们开发了一个具有非均匀抛物线杠杆的自回归伽马模型，并将其命名为LHARG-RV模型。拉格-RV属于（2.1）-（2.4）设定k=1和ft=RVt所述的模型系列。因此，对数回报率根据方程YT+1=r+λRVt+1+pRVt+1变化t+1，（3.1），而t+1时的已实现方差取决于第t天的信息，从非集中伽马分布rvt+1 | Ft中取样~ γ（δ，Θ（RVt，Lt），θ）（3.2）与Θ（RVt，Lt）=d+βdRV（d）t+βwRV（w）t+βmRV（m）t+αd`（d）t+αw`（w）t+αm`（m）t。

（3.3）在前面的方程式d中∈ R是一个常数，数量rv（d）t=RVt，`（d）t=T- γ√RVt,RV（w）t=Pi=1RVt-i、 `（w）t=Pi=1T-我- γ√RVt-我,RV（m）t=Pi=5RVt-i、 `（m）t=Pi=5T-我- γ√RVt-我,分别对应于左栏和右栏中与短期（每日）、中期（每周）和长期（每月）波动率和杠杆因素相关的异质成分。杠杆的结构与Heston和Nandi（2000）中的结构类似，它基于冲击的不对称影响：大的正特质成分对RVt+1的影响比大的负面影响小t、 因此，对数回归和方差过程是负相关的：Covt-1（yt，RVt+1）=-2θαdγE[RVt | Ft-1]= -2θαdγ（δ+Θ（RVt-1，Lt-1)) .（3.4）为了将等式（3.3）调整到我们的框架中，我们重写了Θ（RVt，Lt）asd+Xi=1βiRVt+1-i+Xj=1αjt+1-J- γpRVt+1-J, （3.5）含βi=βd对于i=1βw/4对于2≤ 我≤ 5βm/17为6≤ 我≤ 22αj=αd对于j=1αw/4对于2≤ J≤ 5αm/17为6≤ J≤ 22.（3.6）我们在附录B中展示了拉格模型满足假设1，并且我们明确推导了A、Bi和CJ函数。然后，第2.2节和第3条给出了一般结果。在P下，拉格模型的MGF具有以下形式：φP（t，t，z）=EP[ezyt，t | Ft]=exp在+pXi=1bt时，iRVt+1-i+qXj=1ct，j`t+1-J（3.7）鉴于=as+1+zr-ln（1）- 2cs+1,1）- δW（xs+1，θ）+dV（xs+1，θ）bs，i=bs+1，i+1+V（xs+1，θ）βifor 1≤ 我≤ P- 1V（xs+1，θ）βi=pcs，j=cs+1，j+1+V（xs+1，θ）αj1≤ J≤ Q- 1V（xs+1，θ）αjj=q（3.8），其中xs+1=zλ+bs+1,1+z+γcs+1,1- 2cs+1,1γz1- 2cs+1,1。函数V，W定义如下V（x，θ）=θx1- θx和W（x，θ）=ln（1）- xθ），（3.9）和终端条件读数为aT=bT，i=cT，j=0表示i=1，p和j=1。

，q.证明：见附录C。前一命题的证明为我们提供了拉格模型一般类的函数A、Bi和CJ的显式形式。按照Gourieroux and Jasiak（2006）附录F中的推理，可以推导出RVT过程的平稳性条件：θβd+βw+βm+γ（αd+αw+αm）< 1.（3.10）采用（2.9）中建议的SDF，对于LHARG，采用s+1=e的形式-νRVs+1-νys+1EP[e-νRVs+1-νys+1 |Fs]，（3.11）并在等式（B.2）中插入V和W函数，我们很容易得到风险中性MGF。推论4。在风险中性度量Q下，LHARG的MGF的形式为：νQν（t，t，z）=expA.*t+pXi=1b*t、 iRVt+1-i+qXj=1c*t、 j`t+1-J,在哪里*s=a*s+1+zr-ln（1）- 2c*s+1,1）- δW（x）*s+1，θ）+δW（y）*s+1，θ）+dV（x*s+1，θ）- dV（y）*s+1，θ）b*s、 我=B*s+1，i+1+V（x）*s+1，θ）- V（y）*s+1，θ）β干扰素1≤ 我≤ P- 1.V（x）*s+1，θ）- V（y）*s+1，θ）βifor i=pc*s、 我=C*s+1，i+1+V（x）*s+1，θ）- V（y）*s+1，θ）α-干扰素1≤ 我≤ Q- 1.V（x）*s+1，θ）- V（y）*s+1，θ）αifor i=q，（3.12）带x*s+1=（z）- ν） λ+b*s+1,1- ν+（z）- ν） +γc*s+1,1- 2c*s+1,1γ（z）- ν)1 - 2c*s+1,1，y*s+1=-νλ - 和终端条件a*T=b*T、 i=c*T、 j=0表示i=1，p和j=1，q、 证明：见附录C。拉格无套利条件的推导很容易遵循命题2。推论5。等式s（3.1）和（3.3）定义的LHARG模型，以及（3.11）中规定的SDF，满足无套利条件，当且仅当ν=λ+。（3.13）证据：参见附录C。例如，为了推导普通期权的价格，有必要了解推论4中给出的风险中性测度Q下的MGF。然而，对于奇异仪器而言，了解Q下的对数回归动力学至关重要。物理和风险中性MGF的比较为我们提供了参数之间的一对一映射，这些参数将Q下的动力学转化为P.命题6下的动力学。

在风险中性度量Q下，已实现方差仍然遵循参数为β的LHARG过程*d=1-θy*βd，β*w=1-θy*βw，β*m=1-θy*βm，α*d=1-θy*αd，α*w=1-θy*αw，α*m=1-θy*αm，θ*=1.-θy*θ , δ*= δ , γ*= γ+λ+，d*=1.-θy*d，（3.14）其中y*= -λ/2 - ν+.证据：见附录D。根据之前的结果，我们可以编写简化的风险中性MGF，它允许我们在计算反向复发时减少计算负担。推论7。在Q下，LHARG模型的MGF与（3.7）-（3.8）中的形式相同，且权益风险溢价λ*= -0.5和d*, δ*, θ*, γ*, α*l、 β*l=d，w，m，如（3.14）所示。3.2特殊情况我们现在讨论上一节中提出的模型的两种特殊情况。第一个例子是抛物线杠杆的收费模型（P-lArg），我们在（3.3）中获得了设置d=0，而第二个模型是零平均杠杆的lArg（ZM-lArg）。后者中杠杆的形状受到Christo Offersen等人（2008）模型的启发，但在目前的情况下，它因异质结构而丰富‘（d）t=T- 1.- 2.tγpRVt，\'`（w）t=Xi=1T-我- 1.- 2.T-我是pRVt-我,“`（m）t=Xi=5T-我- 1.- 2.T-我是pRVt-我.本例中的线性Θ（RVt，Lt）读数为βdRV（d）t+βwRV（w）t+βmRV（m）t+αd\'\'（d）t+αw\'\'（w）t+αm\'\'（m）t，（3.15），可简化为形式（3.3）设置d=-（αd+αw+αm），βl=βl- αlγ表示l=d，w，m。正如在下一节中更清楚的那样，较少约束杠杆的引入允许该过程解释实际数据中观察到的更大比例的偏度和峰度。然而，与第2节中关于Christo Offersen等人的讨论类似。

（2008），伽马分布的非中心性参数不能保证为正定义。尽管如此，在下一节中，我们将提供数值证据，证明我们的分析结果在描述该模型的正则化版本时的有效性。3.3估计和统计特性通过使用已实现的波动性，可以大大简化对表征LHRG-RV系列的参数的估计，从而避免任何与潜在波动性过程相关的过滤程序。我们根据1990年1月1日至2007年12月31日标准普尔500指数期货的逐点数据计算RV。正如Corsi等人（2012）所指出的，选择适当的RV估计器是协调LHARG-RV模型的特性与已实现的波动率动力学的必要条件。虽然我们承认对数收益率和已实现波动率中跳跃贡献的重要性，但这些成分不包括在本文考虑的模型类别中。为了排除跳跃对原木收益率和波动过程的影响，在实证分析中，我们采用了Corsi et al.（2012）采用的相同方法：i）我们使用Zhang et al.（2005）提出的双尺度估计器估计原木价格的总变化；ii）通过Corsi等人（2010年）介绍的阈值双功率变化法，从价格中的跳跃成分中纯化；iii）去除波动性序列中最极端的观察值（跳跃）。最后，为了克服由于隔夜效应而忽略对波动性的贡献的问题，我们重新调整RV估值器的比例，以匹配平方接近接近收盘日回报的无条件平均值。Corsi等人（2012年）提供了有关RV测量装置构造的更多详细信息。例如，见安徒生等人（2007年），科尔西等人。

（2010年）、巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2006年）对不可观测波动率使用RV代理，使我们可以简单地对历史数据使用最大似然估计（MLE）。正如Gourieroux和Jasiak（2006）所说，LHARG-RV族的条件跃迁密度是封闭的，因此对数似然读数（δ、θ、d、βd、βw、βm、αd、αw、αm、γ）=-TXt=1RVtθ+Θ（RVt-1，Lt-1)+TXt=1log∞Xk=1RVδ+k-1tθδ+kΓ（δ+k）Θ（RVt）-1，Lt-1） kk！！Θ（RVt）在哪里-1，Lt-1） 式（3.3）中给出了该公式。为了实现最大似然估计，我们将右侧的有限和截断为第90阶，正如Corsi等人（2012）所做的那样。最后，对数回报公式（3.2）中风险λ的市场价格的估计是通过回归已实现波动率的中心化和标准化对数回报来进行的，类似于Corsi等人（2012）中的公式（18）。作为无风险利率r的代表，我们采用了联邦基金利率。在表1中，我们报告了通过最大似然法估计的四种不同模型的参数值，即HARG、HARGL、P-LHARG和ZM-LHARG。我们还显示了参数标准差（inparenthesis）和对数似然值。除P-LHRG的月度杠杆部分外，所有参数均具有统计学意义。正如Corsi（2009）和Corsi et al.（2012）所述，RV系数表明过去的滞后对RV现值的影响正在减小。就杠杆构成而言，没有证据表明不同杠杆之间存在明确的关系。最后，值得注意的是，包含异质结构的杠杆提高了竞争对手哈格尔和哈格尔模型的可能性。虽然我们可以确保P-LHARG模型满足条件（2.5），但对于ZM-LHARG模型，不能阻止相关性（3.15）获得负值。

由于ZM-LHRG值得考虑，我们提供了一些数值证据，支持分析MGF作为模拟计算MGF的可靠近似值。我们将ZM-LHARG动力学的广泛蒙特卡罗（MC）模拟与根据命题3计算的分析MGF进行了比较，其中非中心性参数从下方（零）有界。正如获得aIn Corsi et al.（2012）的概率一样，对数回报率是以日和百分比为基础表示的，而实际波动率是以年和百分比为基础的。在这里，日志回报率和波动率都是以每日和十进制为基础的。模型参数HARG HARGL P-LHARG ZM-LHARGλ2.005（1.489）θ1.149e-005 1.116e-005 1.068e-005 1.117e-005（1.036e-007）（9.864e-008）（9.466e-008）（9.484e-008）δ1.3581.3951.243 1.78（0.04566）（0.04646）（0.0482）（0.04319）βd3。959e+004 2.993e+004 2.429e+004 3.382e+004（619.9）（1037）（439.4）（180.1）βw2。451e+004 2.796e+004 2.317e+004 2.542e+004（1770）（1247）（1199）（225）βm1。（1897）（1690）（142.7）αd-1.7）αd-1.7（4.7）α-d-1.389（E+0.389）E+0.389 9 9 10 10 0 0 0 0 0.3976 0 0.3991（1235）（0.2376 0.2376 0 0.399 9 9 9 9 9.399 9 9 9 9（1235）（0.0176）（0.00113）（0.3976）（0.3976）0.399）0.3991（1235（1235（1235）（0.395）（0.395）（0.395）（0.395）（0.00113）（0.915）（0.00113）（0.00113）（0.00113）（0.13）（0.00113）（0.00113）（0.00113）（0.00113）（0.00113）（0.0113）（0.0013）（0.0.007164）（0.0113）（0.0071最大似然估计，稳健的标准误差和模型的性能。HARG、HARGL、P-LHARG和ZM-LHARG模型的历史数据由dailyRV测度给出，dailyRV测度是根据标普500指数期货的逐点数据计算得出的（见第3.3节）。对于所有三种模型，估计期均为1990-2005年。

每个模型的参数ν已在期权价格上确定。伽马分布的非中心性负值很小（鉴于表1中的参数值），我们可以评估分析MGF是规则ZM-LHARG未知MGF的良好近似值。我们将MC的数量乘以0.5×10，并考虑六个相关到期日，一天（T=1）、一周（T=5）、一个月（T=22）、一个季度（T=63）、六个月（T=126）和一年（T=256）。在图1从上到下的左栏中，我们分别绘制了物理度量下的MGF、特征函数的实部和虚部，而在右栏中，我们显示了风险中性度量下的相同数量。这些线是对应的-5.0 5123EP[ezyT]蒙特卡洛特=1T=5T=22T=63T=126T=252-50.40.60.81EP[cos（zyT）]-50 5z-0.4-0.200.2EP[sin（zyT）]-5.052.55EQ[ezyT]-50.250.50.751EQ[cos（zyT）]-50 5z-0.4-0.200.2EQ[sin（zyT）]图1：左栏，自上而下：MGF，物理度量P下ZM-LHARG过程特征函数的实部和虚部。右栏，自上而下：MGF，风险中性度量Q下ZM-LHARG过程特征函数的实部和虚部。这些线对应于不同的成熟度T=1,5,22,63,126,252，同时指向蒙特卡罗期望值；蒙特卡罗误差条小于点的大小。100200T00。51KurtosisHARGHARGLP-LHARGZM-LHARG0 100 200-0.5-0.250倾斜度0 100 200T00。510 100 200-0.5-0.250图2：左栏，从上到下：物理测量P下的HARG、HARGL、P-LHARG和ZM-LHARG过程的偏度和过度峰度。右栏：与左栏相同，但在风险中性测量下。对于分析MGF，MC期望值由大于相关误差条的点表示。

协议的质量非常高。此外，与事件Θ（RVt）相关的概率的MC估计-1，Lt-1） <0是2×10-P下5，3×10-6在Q下，再次确认近似值的可靠性。重现隐含波动率表面形状的关键因素是给定期权定价模型产生的陡度和峰度的期限结构。因此，在图2中，我们比较了与四个模型HARG、HARGL、P-LHARG和ZM-LHARG相关的偏度和多余峰度。我们没有显示P下电荷情况的偏度，因为这个模型不是用来解释负偏度的。当移到Q时，校准ν的真正效果是产生一个小的负偏斜度。值得注意的是，对于LHARG-RV模型，添加非均匀成分不仅改善了哈格尔模型的偏度，还显著增加了过剩峰度。就Q测度而言，哈格尔过程在偏度和峰度方面都赶上了P-LHARG模型，而theZM-LHARG模型总是优于所有竞争模型。4.评估业绩4。1期权定价方法根据（3.11）中描述的测量值变化和（3.7）-（3.8）中给出的MGF公式，我们对两个LHARG模型采用相同的期权定价程序。为了推导风险中性动力学，我们需要确定SDF、ν和ν的参数。虽然后者由无套利条件（命题5）决定，但前者必须根据期权价格进行校准。按照与Corsiet al.（2012）相同的推理，我们对ν进行了无条件校准，以便生成的模型与货币期权一年到期的平均市场IV一致。我们采用的期权定价数值方法称为COS，由Fang和Oosterlee（2008）提出，并已被证明是有效的。

该方法基于傅里叶余弦展开，只要已知日志返回的特征函数，就可用。数值算法利用了特征函数与密度函数傅里叶余弦展开级数系数之间的密切关系。总之，我们按照以下四个步骤进行定价：（i）物理测量下的估计，（ii）无条件校准参数ν（iii）将P下估计的模型参数映射到Q下的参数，以及（iv）使用（3.7）-（3.8）中的MGF公式，通过COSmethod对期权价格进行近似，并在测量Q.4.2结果下使用参数。在本节中，我们给出了使用LHARG模型的期权定价的经验结果。为了完整起见，我们还将拉格模型与无杠杆的哈格模型以及Corsi等人（2012）提出的哈格模型进行了比较。由于后一种模型杠杆的功能形式与当前的一般框架不一致，因此无法获得MGF和期权定价的封闭式公式。因此，我们求助于数值方法，如广泛的蒙特卡罗生成。我们对标普500指数上的欧洲期权进行分析。期权价格的时间序列从1996年1月1日到2004年12月31日不等，数据可从OptionMetrics下载。按照文献惯例（见Barone Adesi et al.（2008）），我们筛选出到期时间小于10天或大于365天、隐含波动率大于70%、价格小于5美分的期权。继Corsi等人（2012年）之后，我们只考虑每周三的现金外期权（OTM）和看涨期权。此外，我们放弃了现金期权（对于看涨期权，现金大于1.2，对于看跌期权，现金小于0.8）。