来自过去的微笑：一个具有多重特征的通用期权定价框架

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英文标题：
《Smile from the Past: A general option pricing framework with multiple
  volatility and leverage components》
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作者：
Adam Aleksander Majewski, Giacomo Bormetti, Fulvio Corsi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In the current literature, the analytical tractability of discrete time option pricing models is guaranteed only for rather specific types of models and pricing kernels. We propose a very general and fully analytical option pricing framework, encompassing a wide class of discrete time models featuring multiple-component structure in both volatility and leverage, and a flexible pricing kernel with multiple risk premia. Although the proposed framework is general enough to include either GARCH-type volatility, Realized Volatility or a combination of the two, in this paper we focus on realized volatility option pricing models by extending the Heterogeneous Autoregressive Gamma (HARG) model of Corsi, Fusari, La Vecchia (2012) to incorporate heterogeneous leverage structures with multiple components, while preserving closed-form solutions for option prices. Applying our analytically tractable asymmetric HARG model to a large sample of S&P 500 index options, we demonstrate its superior ability to price out-of-the-money options compared to existing benchmarks.
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中文摘要：
在目前的文献中，离散时间期权定价模型的分析可处理性仅限于相当特定类型的模型和定价核。我们提出了一个非常通用且全面分析的期权定价框架，包括一系列离散时间模型，这些模型在波动率和杠杆率方面都具有多成分结构，以及具有多风险溢价的灵活定价核心。虽然提议的框架足够笼统，可以包括GARCH型波动率、已实现波动率或两者的组合，但在本文中，我们通过扩展Corsi、Fusari、La Vecchia（2012）的异质自回归伽马（HARG）模型，将具有多个组成部分的异质杠杆结构结合起来，重点讨论已实现波动率期权定价模型，同时保留期权价格的闭式解。将我们的分析易操作的非对称价格模型应用于标准普尔500指数期权的大样本，我们证明了与现有基准相比，该模型具有更高的定价能力。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

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PDF下载：
--> Smile_from_the_Past:_A_general_option_pricing_framework_with_multiple_volatility.pdf (750.42 KB)

2022-5-6 03:20:33 上传

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关键词：期权定价 Quantitative large sample combination QUANTITATIV

《过去的微笑：具有多重波动性和杠杆成分的一般期权定价框架》萨达姆·A·马耶夫斯基，*, Giacomo Bormettia，b和Fulvio Corsic，dApril 2014aScuola Normale Superiore，Pisa卡瓦列里广场7号，56126，Italybguantlab，via Pietrasantina 123，Pisa，56122，Italyca’Foscari威尼斯大学，Fondamenta San Giobbe 873，Venezia，30121，ItalydCity大学伦敦，北安普敦广场，伦敦EC1V 0HB，联合王国在当前文献中，离散时间期权定价模型的分析可处理性仅适用于相当特定类型的模型和定价内核。我们提出了一个非常通用且全面分析的期权定价框架，包括一类广泛的离散时间模型，在波动性和杠杆率方面具有多成分结构，以及一个具有多风险溢价的灵活定价核心。虽然提议的框架足够笼统，可以包括两种类型的波动率、已实现波动率或两者的组合，但在本文中，我们通过扩展Corsi et al.（2012）的异质自回归伽马（HARG）模型，将异质杠杆结构与多个组成部分结合起来，重点讨论已实现波动率期权定价模型，同时保留期权价格的闭式解。将我们的可分析的可收缩不对称定价模型应用于标普500指数期权的大样本，我们证明了与现有基准相比，该模型具有更好的定价能力。*通讯作者。

电话：+39 05050 9094，电子邮件地址：亚当。majewski@sns.itwww.quantlab.it1导言主要由于数学上的可处理性和纳入各种类型风险溢价的灵活性，期权定价的文献传统上以连续时间过程为主。另一方面，物理度量P下的资产动态模型主要是在离散时间内开发的。ARCH-GARCH家族的时变波动率模型（Engle，1982；Bollerslev，1996；Glosten等人，1993；Nelson，1991）在估计和预测波动率动力学方面处于领先地位。最近，由于日内数据的可用性，所谓的RealizedVolatility（RV）方法也成为衡量和预测波动性的重要方法。RV的关键优势在于，它提供了每日波动率的精确非参数度量（即，使其可观察），从而简化了模型估计，提高了预测性能。离散时间模型具有易于过滤和估计的重要优势，即使在存在长记忆、多成分和不对称效应等复杂动态特征的情况下也是如此，这对于改善波动率预测和期权定价性能至关重要。越来越多的文献支持在物理测量（Muller等人，1997年；Engle和Lee，1999年；Bollerslev和Wright，2001年；Barndorff-Nielsen和Shephard，2001年；Calvet和Fisher，2004年）和风险中性结构（Bates，20002012年；Li和Zhang，2010年；Christo Off ersen等人，2008年；Adrian和Rosenberg，2007年）下存在多因素波动结构。

在离散时间期权定价文献中，GARCH类型（Christo Offersen等人，2008年）和实际波动率模型（Corsi等人，2012年）都包含了多个成分，这两种方法都表明，短期和长期成分对于捕捉隐含波动率面的期限结构是必要的。在所谓的杠杆效应（过去正回报和负回报对未来波动性的不对称影响）的建模中，最近的论文主张在波动性预测中需要多分量杠杆结构（Scharth和Medeiros，2009年；CorsiHeston（1993年）、Duan（1995年）、Heston和Nandi（2000年）、Merton（1976年）、Bates（1996年）、Bates（2000年）、Pan（2002年）、Huang（2004年），Bates（2006）、Eraker（2004）、Eraker et al.（2003）和Broadie et al.（2007）这一想法可以追溯到Merton（1980），最近在一系列将二次变分理论应用于Lsemi鞅类的论文中得到了形式化和推广；例如，见孔德和雷诺（1998年）、安德森等人（2001年）、安德森等人（2003年）、巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2001年）、巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2002a）、巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2002b）、巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2005年）。和Ren\'o，2012）。最后，Christo Off ersenet al.（2011）充分证明，除了普通股风险溢价外，还需要一个灵活的定价核心，包括方差相关的风险溢价。

然而，在目前的文献中，离散时间期权定价模型的分析可处理性仅限于相当特定类型的模型和定价核心。本文的目的是提出一个非常通用的框架，包括一大类离散时间多因素非对称波动率模型，我们展示了如何在一个非常通用且灵活的状态相关定价核下推导（使用条件矩母函数）封闭形式的期权估值公式。这个通用框架允许广泛的有趣应用。例如，它可以直接推广Christo Offersen等人（2008年）的多成分GARCH型模型，以及Corsi等人（2012年）的已实现波动率的异质自回归伽马（HARG）模型。在本文中，我们将重点关注一般框架在已实现波动率类模型中的应用，而其在GARCH类模型中的应用将在另一篇配套论文中讨论。更详细地说，本文为实现波动率模型的一般框架和具体应用提供了一些理论结果，可总结如下。

对于一般框架，我们展示了：（i）P下解析矩母函数（MGF）的递推公式，（ii）解析无套利条件的一般特征，（iii）使用一般且灵活的指数有效随机贴现因子（SDF）获得的测度的形式变化，其特点是股权风险溢价和多因素方差风险溢价，（iv）Q下分析MGF的递推公式。此外，通过将通用框架应用于特定类别的模型，该类模型以实现波动性的哈格类型动力学为特征，我们能够：（i）通过保持模型的完整分析可跟踪性，引入各种灵活类型的杠杆，其异构结构类似于哈格波动性模型所规定的结构，（ii）在P和Q条件下具有灵活的偏度和峰度项结构，（iii）在P和Q条件下的波动性动力学参数之间具有明确的一对一映射，（iv）对于具有异质实现的波动性和杠杆动力学的模型，具有闭式期权价格。最后，通过在标普500指数期权的大样本上应用我们的具有异质杠杆作用的完全可分析可控价格模型，我们展示了与现有基准相比，该模型在货币外（OTM）期权定价方面的优越能力。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提出了多因素波动率模型期权定价的一般框架。第3节定义了一系列杠杆实现波动率的收费模型（LHRG），介绍了属于该系列的两个特定模型，描述了模型的估计，并分析了它们的统计特性。第4节报告了LHARG模型的期权定价性能，并将其与基准模型进行了比较。

最后，在第5节中，我们总结了结果。2多因素波动模型2。1一般框架在波动率建模中引入多因素结构的主要目的是考虑不同时间尺度下波动率之间的相关性。目前，文献中有两种替代方法。第一种方法是将每日波动率分解为几个因素，并对每个因素的动态进行独立建模，就像Christo Offersen等人（2008年）或Fouque和Lorig（2011年）在短期和长期波动率成分方面所做的那样。另一种方法是将因子定义为不同时间范围内过去波动的平均值，例如Corsi（2009）中的每日、每周和每月成分。在本节中，我们提出了一个包括这两种方法的总体框架。我们考虑一种风险资产，其价格为Yt+1=logSt+1.为了对对数收益的动态进行建模，我们定义了因子ft。，FKT，简称ft。t日的波动率定义为因子L:Rk的线性函数→ Rand t t+1天的每日日志收益率由方程yt+1=r+λL（ft+1）+pL（ft+1）建模t+1，（2.1），其中r是无风险利率，λ是风险的市场价格，以及皮重i.i.d.N（0,1）。我们的模型是ft+1asft+1 | ft，Lt~ D（Θ，Θ（Ft，Lt）），（2.2），其中D表示取决于参数Θ向量的一般分布，参数Θ是矩阵Ft=（Ft，…，Ft）的k维函数-（p+1）∈ Rk×pand Lt=（\'t，\'t，\'-q+1）∈ Rk×Qf分别为p>0和q>0。我们考虑Θ对F和LΘ（Ft，Lt）=d+pXi=1Mift+1的线性依赖的情况-i+qXj=1Nj`t+1-j、 （2.3）新泽西州密苏里州∈ Rk×kfor i=1，p和j=1，q、 d∈ Rk和t-形式为\'t+1\'的jare-j=t+1-J- γpL（ft+1-j）...t+1-J- γkpL（ft+1-j）.

（2.4）向量Θ收集分布D的所有参数，这些参数不依赖于因子和杠杆的过去历史。对于本文考虑的分布D（狄拉克三角分布和非中心伽马分布），过程非负性的充分条件为：D≥ 0英里≥ 就我所知，0∈ {1，…，p}Nj≥ 0代表所有j∈ {1，…，q}，（2.5）其中≥ 必须意味着组成部分的不平等。本文给出的结果是在一般假设1下导出的。以下关系式适用于真实的Ehezys+1+b·fs+1+c·`s+1 | Fsi=eA（z，b，c）+Ppi=1Bi（z，b，c）·fs+1-i+Pqj=1Cj（z，b，c）·s+1-j（2.6）对于某些函数A:R×Rk×Rk→ R、 Bi:R×Rk×Rk→ Rk和Cj:R×Rk×Rk→ Rk，其中B，c∈ Rkand·代表Rk中的标量积。我们的框架适用于包括类GARCH模型和已实现波动率模型。就前一类而言，我们包含了一系列具有抛物线杠杆的多分量GARCH模型，该模型在Heston和Nandi（2000）中首创，后来由Christo Offersen等人（2008）扩展到了双分量GARCH（CGARCH）。例如，后一个模型对应于以下动力学YT+1=r+λht+1+pht+1t+1，ht+1=qt+1+β（ht- qt）+αT- 1.- 2γtpht,qt+1=ω+βqt+αT- 1.- 2γtpht.（2.7）设置k=2，我们定义ft+1=ht+1- qt+1和ft+1=qt+1并将模型重写为英尺+1英尺+1英尺=-αω - α+β- αγ-αγ-αγβ- αγftft+α0 αT- γpL（ft）T- γpL（ft）, （2.8）式中，L（ft）=ft+ft=ht。如果我们现在在公式（2.2）中指定了狄拉克三角分布的形式，则定义D=(-α, ω - α） t，并从公式（2.8）的右项侧以自然方式识别矩阵，Christo Offersen等人的模型符合一般公式（2.2）。

值得一提的是，对于CGARCH模型，不可能确保所有t的HTT和QT的非负特性（条件（2.5）不满足）。尽管如此，对于参数的实际值而言，获得负波动系数的概率极低，这一缺陷在很大程度上被模型捕捉实时序列经验特征的有效性所弥补。我们将在第3.3节中更详细地讨论积极性问题。我们讨论的第二个例子是Gourieroux和Jasiak（2006）提出的一类已实现波动率模型，称为自回归伽马过程（ARG），Corsi等人（2012）提出的异质自回归伽马（HARG）模型属于这类模型。过程RVtisan ARG（p）当且仅当其条件分布给定（RVt-1.RVt-p） 是一个非中心γ分布（δ，Ppi=1βiRVt-i、 θ），其中δ是形状，Ppi=1βiRVt-这是非中心性，θ是标度。然后，如果我们fix k=1，ft=RVt，D=’γ（Θ，Θ（ft），则等式s（2.2）-（2.3）描述的模型降低为ARG（p）-1） 用Θ=（δ，θ）t和Θ（Ft-1） =pXi=1βift-i、 2.2物理和风险中性世界等式s（2.1）-（2.4）定义的总体框架与假设（2.6）相结合，使我们能够完整地描述物理测量下对数收益的MGF。如果满足关系式（2.6），则ln（ST/ST）的矩母函数通过函数A、Bi、Cj的递归关系给出：我们在附录B中给出了公式。通过指定指数函数族中的随机贴现因子（SDF），我们能够计算Q下的类似递归。在SDF中需要依赖方差的风险溢价，除了普通股风险溢价，Christo Offersen等人（2011年）、Gagliardini等人（2011年）和Corsi等人也证明了这一点。

（2012）对于协调股票回报的时间序列属性与期权价格的横截面至关重要。我们的框架允许采用非常通用且灵活的定价核心，除了普通股风险溢价外，还包括多因素相关风险溢价。在我们的框架中，我们可能会考虑的最通用的SDF对应于以下M，s+1=e-ν·fs+1-νys+1EP[e-ν·fs+1-νys+1 | Fs]，（2.9）带ν∈ Rk。总体框架允许我们引入k+1风险溢价。在本文中，我们考虑FTI是一维的，并且对应于实际方差的连续分量的模型。因此，我们将风险溢价限制在两个方面，一个是ν，另一个是ν，这为未来的研究提供了可能，因为跳跃和隔夜收益会导致与其他波动性成分相关的进一步风险溢价。风险中性测度下的矩母函数，对于对数收益率和波动率的联合动态与指数SDF相结合的模型，可以半封闭形式导出，如Gourieroux和Monfort（2007）所示。在附录B中，我们证明了风险中性测度Q下的MGF ofln（ST/ST）是通过函数A、Bi、Cj的递归关系给出的。由此产生的风险中性动态分别取决于权益和方差风险溢价、ν和ν的值，它们必须满足无套利约束。对于一般框架内的所有模型，无套利条件可以用建议2中给出的函数A、Bi、cj来表示，该建议总结了本节的所有结果。提议2。如果满足假设1，则根据函数A、Bi、Cj，通过递归关系给出了测量值P和Q下ln（ST/ST）的矩母函数。