有向随机市场：均衡分布

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英文标题：
《Directed Random Market: the equilibrium distribution》
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作者：
Guy Katriel
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We find the explicit expression for the equilibrium wealth distribution of the Directed Random Market process, recently introduced by Mart\\\'inez-Mart\\\'inez and L\\\'opez-Ruiz, which turns out to be a Gamma distribution with shape parameter $\\frac{1}{2}$. We also prove the convergence of the discrete-time process describing the evolution of the distribution of wealth to the equilibrium distribution.
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中文摘要：
我们找到了有向随机市场过程均衡财富分布的显式表达式，最近由Mart\'inez-Mart\'inez和L\'opez-Ruiz提出，它是一个形状参数为$\\frac{1}{2}的伽马分布。我们还证明了描述财富分布向均衡分布演化的离散时间过程的收敛性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Adaptation and Self-Organizing Systems        自适应和自组织系统
分类描述：Adaptation, self-organizing systems, statistical physics, fluctuating systems, stochastic processes, interacting particle systems, machine learning
自适应，自组织系统，统计物理，波动系统，随机过程，相互作用粒子系统，机器学习
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PDF下载：
--> Directed_Random_Market:_the_equilibrium_distribution.pdf (119.77 KB)

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关键词：distribution Quantitative Applications equilibrium QUANTITATIV

有向随机市场：以色列卡米尔奥特·布劳德学院数学系均衡分布研究我们找到了有向随机市场过程均衡财富分布的显式表达式，最近由MartinezMartinez和Liopez Ruiz[9]提出，这是一个带形状参数的伽马分布。我们还证明了描述财富分配向均衡分布演化的离散时间过程的收敛性。1简介近年来，在新兴的经济物理学学科中，研究了各种动力学交换模型（见综述[5,12]）。这些模型涉及一群代理人，每个人都拥有一定数量的财富，根据特定的预定规则进行随机成对的财富交换。一个人主要关注财富分配在这个过程中的演变，尤其是它收敛到极限分布，以及这种均衡分布的特征。在这项工作中，我们研究了最近由Martinez Martinez和Liopez Ruiz引入的定向随机市场过程[9]。在这个模型中，当两个代理相互作用时，其中一个被随机选择，并将其财富的一部分转移给另一个代理，其中∈ [0，1]是一个均匀分布的随机数。因此，如果代理人i，j与财富mi，mj相互作用，并且如果j是“赢家”，那么代理人在相互作用后的财富由m′i=（1）给出- ）mi，m′j=mj+mi。（1） 这一过程应与著名的Dragulescu-Yakovenko过程[3]进行对比，在该过程中，两个代理人的财富被汇集，然后随机分配，因此m′i=（mi+mj），m′j=（1）- （mi+mj）。因此，在有向随机市场中，交易所总是单向的，而不是像Dragulescu-Yakovenko模型中的双向。

正如我们将在下文中看到的，这导致了宏观层面上财富最终分配的显著差异。应该注意的是，J.Angle[1,2]的开创性工作中已经出现了具有单向交换的动力学交换模型，但在Angle的不等式过程中，分数对于所有试剂都是固定的，或者是与每个试剂相关的固定数，而不是在每个交换中独立绘制的随机数，在有向随机市场中。Martinez Martinez和Liopez Ruiz[9]推导了描述财富分布pt（x）的概率密度的离散时间演化的函数迭代，在有限多个代理的限制下，因此pt（x）dx是在t=0，1，2，….时财富在区间[x，x+dx]内的人口的细分。。。。假设在每个时间步中，所有代理都随机配对，并根据（1）进行交互。函数迭代由pt+1（x）=T[pt]（x），（2）给出，其中T[p]（x）=Zxpt（x），与[9]中使用的函数迭代不同-u） Z∞uvpt（v）dvdu+Z∞徐普渡。（3） 基于对这些迭代的数值评估，Martinez Martinez和Liope z Ruiz[9]指出，财富分布在财富价值较低时“堆积”。在这里，我们将找到平衡分布的显式表达式，即p的解*固定点问题的w（x）[p*w] =p*w、 通过平均财富w参数化d，这是利润的守恒量（2）。定理1有向随机市场过程的均衡分布由概率密度（w>0）p给出*w（x）=√2wπxe-x2w。（4） 注：密度（4）对应于形状参数和平均值为w的伽马分布。这可以与Dragulescu-Yakovenko过程的平衡分布进行比较，这是一个指数（Boltzmann-Gibbs）分布：p**w（x）=我们-xw。

（5） 与（5）相比，平衡密度（4）随着x趋于零而趋于一致，这解释了[9]中所述的低财富价值下的“堆积”（两种密度的曲线图见图1）。我们还注意到，（5）的变异系数（标准偏差除以平均值）为CV=1，而（4）的变异系数为CV=√2，这表明定向随机市场导致了更大程度的不平等。图1：定向随机市场和Dragulescu-Yakovenko过程的e平衡分布密度（虚线）。在这两种情况下，平均财富为w=1。在第三节中，我们证明了财富分布收敛于均衡分布，也就是说，以平均财富W=Z的任意分布p（x）为起点∞xp（x）dx，（6）密度为（2）的分布收敛为t→ ∞, 对于密度为p的分布*2有向随机市场的均衡分布有向随机市场的均衡分布是由（3）给出的算子T的固定点，即函数方程p（x）=Zxp（x）的解- u） Z∞uvp（v）dvdu+Z∞徐都。（7） 为了解（7），我们将使用拉普拉斯变换^p（s）=L[p]（s）=Z∞E-sxp（x）dx。利用拉普拉斯变换的标准性质，我们得到了lhxp（x）i（s）=Zs^p（s′）ds′=> LhZ∞xvp（v）dvi（s）=sZs^p（s′）ds′=> LhZxp（x- u） Z∞uvp（v）dvdui（s）=^p（s）·sZs^p（s′）ds′，LhZ∞xup（u）dui（s）=sZs^p（s′）ds′，henceL[T[p]]（s）=2s·[p（s）+1]·Zs^p（s′）ds′，（8），因此（7）的拉普拉斯变换版本是^p（s）=2s·[p（s）+1]·Zs^p（s′）ds′。（9） 这个方程现在可以很容易地解出来。

通过分离积分和两边的微分，我们得到了s^p（s）p（s）+1i′=p（s），即p′=2s[（p（s））- 1] ^p（s），一个解出的可分离微分方程：^p（s）=√1+Cs，拉普拉斯逆变换得到：p（x）=√Cπxe-xC，并通过conditor确定C∞p（x）dx=w我们得到C=2w，根据定理1.3收敛到平衡分布的结果，在这一节中，我们证明了（2）给出的函数迭代，从一般财富分布p开始，确实收敛到平衡分布p*w由orem 1决定，其中w是（6）给出的初始平均财富。该证明使用了我们在[6]中使用的框架和思想，遵循了欧佩兹、欧佩兹·鲁伊斯和卡尔贝特[7,8]的早期工作，其中对Dragulescu-Yakovenko过程中产生的迭代证明了类似的结果。该方法采用了一些关键思想，用于研究描述交换过程的相关连续时间Boltzmann型方程，参见D¨uring、Matthes和Toscani的著作[4,10]。我们通过P定义[0]上的所有概率密度集，∞), 这是一组。e、 非负函数∈ L[0，∞), kpkL=1。对于任何真正的α≥ 0 p的α矩定义为asMα（p）=Z∞xαp（x）dx。特别是M（p）是与α的密度p相对应的平均财富≥ 1，w>0我们定义了α，w={p∈ P|Mα（P）<∞, M（p）=w}。收敛到平衡密度p*W将被证明适用于初始分配P∈ Pα，wf对于某些α>1，尽管我们推测结果对于P也是正确的∈ P1，w。对于每个概率密度，我们将其累积概率函数ft（x）=Zxpt（u）du关联起来。

（10） 我们还定义了与平衡密度p相关的累积概率函数*女：女*w（x）=Zxp*w（u）du=√2wπZxue-u2wdu=Φrx2w,式中Φ（x）=√πRxe-zdz是误差函数。我们的收敛结果是假设α>1，让p∈ Pα，wbe是任意的初始财富分布，并让序列Pt由（2）定义。然后（10）确定的序列满足要求→∞Ft（x）=F*w（x），十、≥ 我们通过证明类Pα在T的作用下是不变的来求取。引理1如果α≥ 1和p∈ Pα，当T[P]∈ 证明：我们首先需要证明mα（T[P]）=Z的完整性∞xαT[p]（x）dx（11）=Z∞xαZxp（x- u） Z∞uvp（v）dvdudx+Z∞xαZ∞xup（u）dudx。通过改变积分顺序，利用不等式（x+u）α≤ 2α-1（xα+uα）（对于α≥ 1）我们得到了∞xαZxp（x- u） Z∞uvp（v）dvdudx=Z∞Z∞uxαp（x）- u） dxZ∞uvp（v）dvdu=Z∞Z∞（x+u）αp（x）dxZ∞uvp（v）dvdu≤ 2α-1Z∞Z∞xαp（x）dxZ∞uvp（v）dvdu+Z∞uαZ∞p（x）dxZ∞uvp（v）dvdu=2α-1Mα（p）Z∞Z∞uvp（v）dvdu+Z∞uαZ∞uvp（v）dvdu=2α-1Mα（p）Z∞vp（v）Zvdudv+Z∞vp（v）Zvuαdudv=2α-1Mα（p）Z∞p（v）dv+α+1Z∞vαp（v）dv=2α-1·α+2α+1·Mα（p）。（12） 我们也有∞xαZ∞xup（u）dudx=Z∞up（u）Zuxαdxdu=α+1Z∞uαp（u）du=α+1Mα（p）。

（13） 结合（11）、（12）和（13）我们得出结论：mα（T[p]）≤2(α + 1)·α-1· (α + 2) + 1· Mα（p），（14），特别是我们有Mα（T[p]）∞.取α=1，（12）中的不等式，以及（14）中的不等式，实际上是无质量的，因此我们得到M（T[p]）=M（p）=w，我们已经证明了T[p]∈ Pα，w。■我们现在在集合Pα，w，w he We now ass umeα上定义以下度量∈ (1, 2).p、 q∈ Pα，w=> dα（p，q）=sups>0 | L[p]（s）- L[q]（s）|sα。dα，wis的唯一性由以下引理保证（我们参考[6]，引理2.3进行证明）：引理2，如果1<a<2，w>0，p，q∈ Pα，w，然后dα（P，q）<∞.现在我们证明了映射T:Pα，w→ Pα，wis收缩。引理3如果1<α<2，w>0，p，q∈ Pα，w，thendα（T[P]，T[q]）≤+α + 1dα（p，q）。证明：我们设置^p（s）=L[p]（s），^q（s）=L[q]（s）。在（8）中的积分中改变变量′=sξ，我们有[T[p]]（s）=[^p（s）+1]Z^p（sξ）dξ。因此[T[p]]（s）-L[T[q]]（s）=[p（s）-^q（s）]Z^p（sξ）dξ+[^q（s）+1]Z[^p（sξ）-^q（sξ）]dξ，并且使用以下事实，因为kpkL=kqkL=1，我们有| p（s）|≤ 1 |^q（s）|≤ 1，我们可以估计| L[T[p]]（s）- L[T[q]]（s）|sα≤|^p（s）- ^q（s）|sαZ^p（sξ）dξ+[^q（s）+1]Zξα|^p（sξ）- ^q（sξ）|（sξ）αdξ≤dα（p，q）+dα（p，q）Zξαdξ=+α + 1dα（p，q），取s>0的上确界，得到结果。■因此我们有引理4，如果1<α<2，w>0，p∈ Pα，w和序列{pt}∞t=0由（2）定义，然后限制→∞dα（pt，p*w） =0。（15） 证明：我们证明了dα（pt，p*w）≤ dα（p，p*w）+α + 1t、 （16）这意味着结果sinc eα>1意味着+α+1<1。对于t=0，（16）是平凡的。我们使用引理3和p*T:dα（pt+1，p*w） =dα（T[pt]，T[p]*w] )≤+α + 1dα（pt，p*w）≤ dα（p，p*w）+α + 1t+1。■度量dα的收敛性意味着L aplace变换limt的逐点收敛性→∞L[pt]（s）=L[p*w] （s），s>0。

（17） 我们注意到，假设α<2与（17），sincePα，w的有效性无关 Pβ，wwhenα>β，所以当P∈ Pα，wf对于某些α>1。Mukherjea等人[11]认为，对于某个区间内的所有s，概率密度p的拉普拉斯变换序列^pt（s）到概率密度p的拉普拉斯变换^p（s）的点态收敛意味着相应累积概率函数的点态收敛。因此，^ptto^p的逐点收敛*w、 我们已经建立了，这意味着定理2。参考文献[1]J.Angle，《社会分层的剩余理论和个人财富的规模分配》，社会力量65（1986），293-326。[2] J.Angle，《作为财富最大化过程的不平等过程》，Physica A367（2006），388-414。[3] A.A.agulescu博士和V.M Yakovenko，货币统计力学，欧元。菲斯。J.B 17（2000），723-7 29。[4] B.D–uring，D.Matthes和G.Tosca ni，《模拟财富再分配的动力学方程：方法比较》，Phys。牧师。E 78（2008），056103。[5] A.Ghosh，A.S.Chakrabarti，A.K.Chandra，A.Chakraborti，《动力学交换模型的主题和应用：Redux》，载于F.Abergel等人（编辑），《基于主体模型的经济物理学》，斯普林格，2014年。[6] G.Katriel，《在随机市场模型中趋同到一个开放的财富分布》，应用分析93（2014），1256-1263。[7] J.L.L\'opez，R.L\'opez Ruiz和X.Calbet，《随机市场中的指数财富分布：一个严格的解释》，J.Math。肛门。阿普尔。386 (2012),195-204.[8] R.L\'opez Ruiz和X.Calbet，《指数财富分布：函数迭代理论的新方法》，ESAIM：会议记录，ECIT-2010年会议（2010年9月）。[9] I.Martinez Martinez，R.Liopez Ruiz，《有向随机市场：连通性决定金钱》，国际J.Mod。菲斯。C.24（2013），1250088。[10] D.床垫和G。

托斯卡尼，关于保守经济动力学模型的稳定分布，J.Stat.Phys。130 (2008), 1087-1117.[11] A.Mukherjea，M.Rao和S.Suen，关于矩母函数的说明，统计学家。Probab。莱特。76 (2006), 1185-1189.[12] V.M.雅科文科和J.B.罗瑟，学术讨论会：金钱、财富和收入的统计机制，修订版。摩登派青年菲斯。81 (2009), 1703-1725.