关于具有退化极限系统的小噪声方程

我们要感谢一位匿名推荐人仔细阅读了这篇论文，并提出了一些有助于改进演讲的宝贵意见。我们感谢彼得·弗里兹（Peter Friz）的激励性讨论，以及安托万·贾奎尔（Antoine Jacquier）对综合CIR流程的有益参考。SDM（在这项工作开始时与TUBerlin合作）感谢Matheon的部分财务支持。GC感谢柏林数学学校的财政支持。SDM和GC感谢Risque基金会研究项目“Risque Chaire Financiars”对差旅费的财务支持。2主要理论估计Ohm := C（[0，T]，R），Ohm≥0:=C（[0，T]，R+）表示[0，T]上连续（或连续非负）函数的空间。(Ohm, Ft，F）表示正则维纳空间，W表示其上的维纳测度(Ohm, F），以及W下的预期。我们表示H={H∈ AC（[0，T]，R）：˙h∈ 五十} [0，T]上具有平方可积导数的绝对连续路径空间（通常称为Cameron-Martin空间）。对于满足条件（H1）-（H2）的一组系数α（·）、β、γ、σ，我们表示X几乎肯定是（0.1）的唯一强解。我们定义了重定标过程Xε：=ε1-γX；很明显，Xε解方程（1.1），其系数由αε（X）=ε1/（1）确定-γ） α（x）和xε=ε1/（1）-γ） x.表示bε（x）：=αε（x）+x。以下定理给出了导言中定理1.1中宣布的精确LDP。我们记得，表达式yγy6=0对于任何y都是定义良好的∈ R+，当y=0时等于零。定理2.1设Xε为（1.1）的唯一强解。

那么，lim supε→0εlogw（Xε∈ F）≤ -infit（~n）lim infε→0εlogw（Xε∈ G）≥ -对于每一个闭合集F，infGIT（~n）（2.1） Ohm≥0和每个开集G Ohm≥0，其中速率函数IT（~n）由它（~n）定义：=2σZT˙~nt- βаtаγt{~nt6=0}dt，（2.2）和它（ν）=+∞ 无论何时，当魟（0）6=0或魟不是绝对连续的。备注2.2我们可以在上面陈述定理2.1的大偏差原理Ohm = C（[0，T]，R），将其（）设置为速率函数+∞ 无论何时/∈ Ohm≥0.由于已知过程Xε为正W-a.s.对于每一ε>0，对于速率函数的这种定义，LDP（2.1）适用于每一闭子集F和每一开子集TGOhm.备注2.3如引言中所指出的，满足dXε=b（Xε）dt+εσ（Xε）dBt，Xε=X的{Xε}ε族的速率函数可以写成it（~n）=infn |˙h | L:h∈ H、 ˙（H）=˙o（2.3），其中˙（H）是由H控制的极限ODE的解，˙˙=b（˙）+σ（˙）˙H和˙=x，前提是该解是唯一的。在我们的环境中，考虑∈ S（u），其中S（u）表示退化常微分方程（1.2）的正解集，控制参数h=u∈ H：在集合{~n>0}上，u由˙via˙ut=˙˙int唯一确定-βаtаγt；在集合{~n=0}上，可以看到函数满足任何控制参数h的方程（1.2）。这意味着h的集合∈ S（h）包含由˙ht=˙~nt给出的许多元素- βаtаγt{аt>0}+dаhtdt{аt=0}，~h∈ H.通过设置H获得达到最小范数的控制≡ 0.这给出了|˙h | L=inf|˙h | L:h∈H、 ~n∈ S（h）= 对于（2.2）中定义的速率函数，它（ν）。备注2.4假设b:[0，∞) → R是一个局部Lipschitz函数，具有次线性增长且b（0）>0，且Xε满足dXεt=b（Xεt）dt+εσXεtγdBtand Xε=X>0。

然后从[4，Thm 2.1]或[8，Thm 4.2]可知，Xε满足速率函数jt（ν）：=2σZT的LDP˙~nt- b（k t）аγtdt和JT（ψ）=∞ 如果ψ不是绝对连续的，则人们通常认为1/ν等于+∞ 如果φt=0。我们强调，后一种速率函数与（2.2）中定义的速率函数截然不同：只要在某个非平凡区间K上φ=0 [0,1]，然后JT（~n）=∞, 而在这种情况下，（2.2）中的被积函数对ITon K的贡献为零。换句话说，虽然具有零组正测度的轨迹要求在小噪声限制下的过程Xε遵循细能量，但它们受到过程Xε的速率函数的支持。2.1尾部渐近空间标度Xε=ε1/（1）-γ） X与大偏差原理（2.1）一起，可以计算出过程X的泛函的渐近性。下面的命题提供了导言中定理1.2中出现的精确常数。命题2.5定理1.2中的渐近公式（1.3）和（1.4）适用于Ct给出的常数Ct=βe-2β(1-γ） Tσ（1）-γ)(1-E-2β(1-γ） T）如果β6=02σ（1-γ） Tifβ=0。（2.4）可以看出，Ct不依赖于X漂移中的函数α（·），也不依赖于初始条件X。备注2.6一些注释是有序的。（i） 与CEV过程的显式公式进行比较。渐近行为（1.3）可以与CEV过程密度的显式公式相比较。当α≡ 0 in（0.1），X可作为平方贝塞尔过程幂的确定性时间变化获得（见[16，第6.4.3节]）。

因此，对于每T>0，已知随机变量Xt在正实线上允许一个关于勒贝格测度的密度，由fxt（y）=（1）给出- γ） d（T）eβ(-2(1-γ） +1/2）Texp-2d（T）x2（1）-γ） +y2（1）-γ） e-2β(1-γ） T×x1/2y-2γ+1/2I1/2（1-γ)d（T）x1-γy1-γe-β(1-γ） T, y>0，（2.5），其中Iν是第一类指数ν>0的修正贝塞尔函数，d（T）=（1-γ)σ2β(1-E-2β(1-γ） （顺便注意，对于β符号的每一个选择，d（T）>0）。公式（2.5）也适用于β=0，即用β代替所有与β相关的常数→ 0，比如d（T）|β=0=（1- γ） σT。使用修改后的贝塞尔函数Iν（z）的渐近行为（见[1，第9.7.1节]）~简单√2πzas z→ ∞ 对于固定的ν>0，一个立即获得的slog fXT（y）=:g（y）~ -E-2β(1-γ） T2d（T）y2（1）-γ)= -cTy2（1）-γ） ，x→ ∞,使用（2.4）中定义的常数。使用一些规则变化的标准工具[6]，可以很容易地证明logw（XT>y）=logR∞yeg（z）dz~ g（y）~ -cTy2（1）-γ） 就像我一样→ ∞, 因此，表明估算值（1.3）在对数刻度上是准确的。（ii）fXT（y）的渐近估计≤ 吃了-aTy2（1）-γ） ，y>1，对于在（H1）-（H2）条件下（即在[9]中，系数β和γ也允许平滑地依赖于X）的含有（0.1）的一类SDE的解，在[9]中证明了Xt的密度，依赖于Malliavin演算和一维SDE的变换技术。假设存在的常数不是最优的。

虽然[9]中的估计对于更一般的方程仍然有效，但定理2.1中的大偏差原理允许在对数尺度上获得精确的估计。W的渐近性态TRTXtdt= 经验-R2（1）-γ） （νT+o（1））对于过程的时间平均值，也可以使用定理2.1证明：见第3.4节中的命题3.14，其中在γ=1/2的情况下提供了常数的表达式。当γ∈ [1/2,1]，XT定律还包含一个原子在0处，P（XT=0）=mT>0，并且有一个明确的质量mT公式可用（再次参见[16，第6章]）。从我们的观点来看，这只意味着密度fxtodes不会积分到1（0，∞), 不影响我们在∞.3主要估计的证明我们首先证明了{Xε}ε族的指数紧性，证明了定理2.1中的大偏差原理，即每m<0存在一个紧集Km C（[0，T]），使得lim supε→0εlogw（Xε∈（Kcm）≤ m、 然后我们证明了弱上界supR→0lim supε→0εlogw（Xε∈ B（ν，R））≤ -IT（）φ ∈ Ohm≥0和弱下界inf→0lim infε→0εlogw（Xε∈ B（ν，R））≥ -IT（）φ ∈ Ohm≥式中，B（ν，R）表示半径为R，B（ν，R）的C（[0，T]）中的闭球：={107;- φ|∞≤ R} 。通常情况下，指数紧致性与弱上界相结合会产生（2.1）中的大偏差上界，用于覆盖参数后的任何闭集（见[12，第1章和第2章]）。另一方面，弱下界在（2.1）中提供了完整的下界，观察到开集是它们的点的邻域。考虑指数紧度，我们证明≤T、 s6=T |ωT-ωs | | t-s |η与初始条件ω上的自然界。更准确地说，我们定义为：={kωkη≤ R}∩ {ω∈ （0，x]}。

（3.1）这些集合在C（[0，T]）中是紧致的，这是经典的。命题3.1测度族W（Xε）∈ ·) 在标度ε上是指数紧的，即limR→+∞lim supε→0εlogw（Xε∈ 九广铁路=-∞每0<η<。我们在命题3.1的证明中遵循[13]。首先，让我们观察ε的情况≤ 1，W（Xε）∈ （0，x]）=1，所以我们只需要估计xε的H"older范数。为此，我们使用了Garsia-Rodemich-Rumsey’sLemma的一个版本，以及从上方包围Xε的过程的指数矩的存在性。引理3.2考虑（~Xt，t≥ 0）强解todXt=（|α）|∞+ |β|Xt）dt+σ（~Xt）γdBt，~X=X和定义~Xε：=ε1/（1）-γ） 那么，存在正常数c和c，这样：经验cε-2（Xεt）2（1-γ)≤ CT∈ [0，T]，ε > 0. （3.2）证明根据Xε的定义，一个人有ε-2（Xεt）2（1-γ） =X2（1）-γ） t，所以（3.2）当且仅当ifEhexp成立c~X2（1-γ） t我≤ C代表所有t∈ [0，T]。当γ=1/2时，（3.2）遵循大参数CIR过程密度的渐近行为（参见[16，第6.3.2节p.358]）；对于一般γ和β=0，根据经典CEV过程密度的渐近行为，如[16，引理6.4.3.1p.368]所述。对于一般的γ和β，我们依赖于[9，Prop 3.3]证明的一个轻微推广；我们把细节留给附录A。下一个命题是Garsia Rodemich-Rumsey引理的直接结果；关于这个引理的陈述和命题3.3的证明，见附录A。命题3.3设ω∈ Ohm. 固定ε，R>0，η∈ (0,). 假设：ztexp |ωt- ωs |εp | t- s |！dsdt≤ Kε，η（R）（3.3）与Kε，η（R）：=expTη-1/2R8ε- 4T1/2-η- Kη-Tand Kη：=supu∈[0，T]2u1/2-ηlog（u）-1) < ∞.那么，kωkη≤ R

（3.4）在命题3.1的证明中，我们利用了一个局部化过程：对于任何ε>0和n∈ N、 将过程Xε定义为具有截断系数的SDE的强解：dXε，nt=bε（Xε，nt∧ n） dt+σε（Xε，nt）∧ n） γdBt，Xε，n=Xε。（3.5）Xε，nca的路径可以分解为它们的鞅部分和局部有界变分部分dxε，nt=dAε，nt+dMε，nt与dMε，nt=εσ（Xε，nt∧ n） γdBtand dAε，nt=bε（Xε，nt∧ n） dt。我们还将为每个n，ε定义停止时间Tε，n:=inf{T≥ 0:Xεt≥ n} 。通过方程（0.1）（等价地，（3.5））的路径唯一性，我们得到了直到时间Tε，nN过程（XεT）T∈[0，T]和（Xε，nt）T∈[0，T]几乎肯定是一致的。更准确地说，N∈ Nandε>0W（Xεt∧Tε，n=Xε，nt∧Tε，n，T∈ [0，T]）=1。（3.6）命题3.1的证明∈ (0,). 由（3.6），W（kXεkη）≥ R）≤ W（kXε，nkη）≥ R、 Tε，n≥ T）+W（Tε，n）≤ （T）≤ W（kXε，nkη）≥ R） +W（Tε，n）≤ T）。（3.7）让我们估算（3.7）中的第一项。利用命题3.3和马尔可夫不等式，我们得到了每个ε，n:W（kMε，nkη≥ R）≤ wztexpε-2 | Mε，nt- Mε，ns | p | t- s |！dsdt≥ Kε，η（R）！≤Kε，η（R）zteexpε-2 | Mε，nt- Mε，ns | p | t- s |！！dsdt。应用指数鞅不等式E（exp（λMt））≤pE（exp（2λhMit））[22，第四章]带λ=ε√|T-s |，对于t>s一相经验|Mε，nt- Mε，ns |ε√T- s≤ 2sE经验2σε（t）- s） Zts（Xε，nr）∧ n） 2γ-dr≤ 2经验σε-2n2γ.因此，使用命题3.3lim supε中常数Kεη（R）的定义→0εlogw（kMε，nkη）≥ R）≤ -Tη-1/2R+σn2γ。（3.8）对于有界变化部分Aε，n，我们观察到w（kAε，nkη≥ R）≤ WT1-ηsupt∈[0，T]bε（Xε，nt∧ n）≥ R在假设（H）下，bε（x）≤ |α|∞+ βx表示每x。因此，对于每ε，nW（kAε，nkη≥ R）≤ WT1-η(|α|∞+ βn）≥ R= 0，（3.9），当R>T1时，最后一个身份保持不变-η(|α|∞+ βn）。我们现在讨论（3.7）中的第二项。

根据一维SDE的比较定理[17，命题5.2.18]，Xεt≤~Xεt，t≤ 几乎可以肯定的是，在引理3.2中定义了Xε。对于每个固定的γ和a>0，这是一个简单的练习，表明函数y 7→ exp（aε）-2（1+y）2（1）-γ） ，y>0，如果ε足够小，则y增大且凸。对于这样的ε值，由于Xε是次鞅，因此exp也是次鞅aε-2（1+Xεt）2（1-γ).然后，我们可以应用马尔可夫不等式和杜布的L-不等式，得到：W（Tn，ε）≤ T）=Wsupt∈[0，T]XεT≥ N≤ Wsupt∈[0，T]expaε-2.1+/Xεt2(1-γ)≥ 经验aε-2（1+n）2（1）-γ)!≤ 经验-aε-2（1+n）2（1）-γ)×4 E经验aε-2（1+XεT）2（1-γ). （3.10）使用初等不等式exp（a（1+y）2（1-γ)) ≤ exp（a22（1-γ） ）+exp（a（2y）2（1）-γ） ），并选择a×22（1-γ） =c，其中c是引理3.2中的常数，由引理得出，并估计（3.10）W（Tn，ε≤ （T）≤ 经验-aε-2n2（1）-γ)× 4exp（cε）-2） +C, （3.11）其中C是引理3.2中的第二个常数。现在选择n:=b√Rc，当R足够大时，满足（3.9）Holdstree的条件。通过极限ε→ 0 in（3.7）并使用（3.8），（3.9）和（3.11），得到→0εlog（W（kXεkη）≥ R） )≤ 最大值-R+σRγ，-aR（1-γ） +c.让R→ ∞, 结论如下。3.2弱上界本节致力于证明以下命题。提议3.4φ ∈ Ohm≥0∩ H:lim supR→0lim supε→0εlogw（Xε∈ B（ν，R））≤ -它（~n）。（3.12）每小时∈ H、 ε>0和φ∈ Ohm≥0，定义ε（φ，h）：=hTφT- hφ- hTZTbε（φs）ds-ZTφs-Zsbε（φr）dr˙hsds-σZThsφ2γsds。（3.13）通过在（3.13）中设置ε=0，我们可以定义函数F（φ，h）。

注意Fε（·，h）是连续的H∈ 在整个空间上Ohm≥0关于超范数拓扑，一致收敛于Ohm≥0asε→ 0.备注3.5将分部积分公式应用于产品htXεt，其中εσZTht（Xεt）γdBt=htXεt- hxε-ZT[˙htXεt+htbε（Xεt）]dt=htXεt- hxε- hTZTbε（Xεt）dt-ZT˙htXεt-Ztbε（Xεs）dsdt，henceFε（Xε·，h）=εσZThs（Xεs）γdBs-σZThs（Xεs）2γds。二阶导数为eaε-2（1+y）2（1）-γ） ×2aε-2(1 - γ） （1+y）-2γ× [1 - 2γ+2aε（1- γ） （1+y）2（1）-γ)].根据备注3.5，随机变量ε，hT（ω）：=expεFε（Xε（ω），h）（3.14）是与σεR.hs（Xεs）γdBs相关的局部指数鞅在时间T的值。这应该是有压力的∈ H和ε>0时，函数Fε（φ，H）和Mε，hT（φ）对每个φ都有很好的定义∈ Ohm≥0，而且几乎可以肯定。命题3.4的证明由于任何正局部鞅都是上鞅，我们有Mε，hT≤ 1.（3.15）现在修复一条轨迹∈ Ohm≥0、使用上述备注：W（Xε∈ B（ν，R））=Ehe-εFε（Xε，h）Mε，hT{Xε∈B（ν，R）}i≤ supφ∈B（~n，R）exp-εFε（φ，h）EMε，hT≤ supφ∈B（~n，R）exp-εFε（φ，h）.自supφ∈B（φ，R）|Fε（φ，h）- F（φ，h）|→ 0，我们有这个lim supε→0εlogw（Xε∈ B（ν，R））≤ supφ∈B（ν，R）(-F（φ，h））。因此，通过φ7的连续性→ F（φ，h），lim supR→0lim supε→0εlog（W（Xε∈ B（ν，R）≤ -F（ψ，h），H∈ 在下一个命题中，我们证明：suph∈HF（ν，h）=得出（3.12）的证明的IT（k）。提案3.6 φ ∈ Ohm≥我们有：嘘∈HF（~n，h）=IT（~n）（3.16）假设∈ Ohm≥0∩H是这样的，即∞. 然后，函数u定义为u=0，˙us=˙s-通过定义H的一个元素，b~nsσγss6=0，并且通过构造控制u的ODE（1.2）来满足。重复注释3.5中的计算，可以看到f（，H）=σZThsγs˙usds-σZThs~n2γsds。注意，F（φ，h）在h中是凹的，因此如果它有一个临界点，这必须是一个最大值。

h处的Féchetdi微分DhF（ψ，h）适用于一般元素k∈ H、 readsDhF（ψ，H）[k]=σZTks美国- σhs~n2γsds。因此，DhF（ψ，h）|h=h*= 任何时候都是0*以至于*s=˙usσkγson{s:k s6=0}（而h*扫描获取{s:~ns=0}上的任意值。对于这样的人*, 一个hasF（φ，h）*) =ZT（˙us）˙s6=0ds-ZT（˙us）˙s6=0ds=ZT（˙us）˙s6=0ds=IT（˙）。另一方面，如果φ是绝对连续的，并且它（φ）=+∞, 可以近似计算函数˙˙s-带序列hn的β洎s洎2γ开关∈ H使得F（η，hn）→ +∞. 3.3弱下界本节致力于证明第3.7条中关于所有φ的建议∈ Ohm≥0，我们有很多信息→0lim infε→0εlogw（Xε∈ B（ν，R））≥ -它（~n）。（3.17）本着Lamperti变换的精神，我们引入了过程Yε：=（Xε）1-γ. Yε满足我们能够控制的恒定扩散系数和漂移系数的SDE。我们将证明Yε的一个大偏差弱下界，然后利用收缩原理将其转化为Xε。命题3.8定义（ψ）：=2σ（1）- γ） ZT˙ψt- β(1 - γ） ψtψ的dt∈ Ohm≥0，其中（ψ）=+∞ 如果ψ（0）6=0或ψ不是绝对连续的。那么，对于所有ψ，它（ψ）<+∞, 哈斯林一号→0lim infε→0εlogw（Yε∈ B（ψ，R））≥ -它（ψ）。（3.18）换句话说，族Yε满足C（[0，T]，R+）上的一个大偏差弱下界，速率函数it（ψ）。一旦我们得到命题3.8，就可以直接证明Xε的弱下界。命题3.7的证明考虑ψ∈ Ohm≥绝对连续。通过[20]中的引理3.45，{ψ=0}上的˙ψ=0 a.s。因此，命题3.8中定义的它可以重写为它（ψ）=2σ（1）-γ） RT˙ψt- β(1 -γ） ψtψt6=0dt。使用Yε和（3.18）的定义，因为映射ψ7→ φ = ψ1-γ是连续的Ohm≥0，我们可以应用收缩原理，得到W（Xε∈ .) 用速率函数“IT”满足大偏差弱下界。