关于具有退化极限系统的小噪声方程

让我们描述一下“IT（~n）”是什么时候是绝对连续的，并且它（~n）<∞ （定义见第（2.2）款）。设ψt=ψ1-γt.在{~n=0}上，一个也有ψ=0，而对于开放集{~n>0}中的点t，使得˙˙texists，一个有˙ψt=（1）- γ） 然后，注意到∞ 意味着˙~ntγtt>0在[0，t]上是可积的，ψ在[0，t]上也是绝对连续的（见[20，推论3.41]），导数˙ψt=（1）- γ） ˙~ntаγtа>0这就产生了аIT（а）=IT（ψ（а））=2σ（1- γ） ZT(1 - γ） ˙~nt˙γt- β(1 - γ)φ1-γt~nt6=0dt=IT（~n）<∞ (3.19). 如果我（~n）=∞, 在（3.17）中没有什么可以证明的，下面是索赔。3.3.1命题3.8的证明本节致力于证明（3.18）中过程Yε的大偏差弱下界。在附录A中列出一些最具技术性的元素时，我们将在这里使用以下符号：∈ H、 y∈ R、 我们将Sy（h）定义为ODE˙ψT=β（1）的[0，T]上的唯一解- γ） ψt+σ（1）- γ） ˙ht，ψ=y.（3.20）我们表示Wε，在Ohm 与Girsanov位移有关-εRT˙htdt，dWε，hdW（ω）=expεZT˙htdBt-2εZT˙htdt！。（3.21）Girsanov定理的应用表明：Xε，h∈ ·d=Wε，h（Xε）∈ ·), 其中Xε，hsolves:dXε，ht=bε（Xε，ht）dt+σ| Xε，ht |γ˙htdt+ε| Xε，ht |γdBt，Xε，h=ε1-γx.（3.22）我们还定义了过程Yε，h:=|xε，h |1-γ.备注3.9注意，对于（3.22）存在一个弱解，我们直接从（1.1）的解应用Girsanov定理构造该弱解。由于路径唯一性适用于偶（b，σ），同一定理的另一个应用表明，（1.1）的路径唯一性意味着（3.22）的路径唯一性。

因此，我们可以假设Xε，hsolves（3.22）和布朗运动B。在命题3.8的证明中，有两个主要成分：过程Yε，hto的定律收敛（在某些条件下onh）到测度W下的确定性极限S（h）（等价地：测度Wε，h（Yε）的弱收敛）∈ .) 以及概率W（Yε）的下界∈ B（ψ，R））直接依赖于两个测度Wε和W之间的相对熵。这是下面两个引理的内容。引理3.10（收敛于Yε定律，h·）设h∈ 使（i）S（H）t>0，T∈ （0，T]；（ii）˙ht>k在0附近，对于某些k>0。（3.23）然后，过程Yε，hc在W下的规律上收敛到S（h），如ε→ 引理3.11（相对熵界）Let(Ohm, F） 是一个概率空间，P，Q是两个概率测度(Ohm, F） 这样dQ=F dP。相对熵H（Q | P）定义为：H（Q | P）：=ZOhmF log（F）dPThen，A.∈ 我们有：日志P（A）Q（A）≥ -E-1+H（Q | P）Q（A）。（3.24）应用Jensen不等式的证明P（A）Q（A）≥ 日志扎夫-1dQQ（A）≥ -Q（A）ZAlog（F）dQ≥ -Q（A）ZA（log（F）F）+dP。利用infx≥0x日志（x）≥ -e:-Q（A）ZA（log（F）F）+dP≥ -E-1+H（Q | P）Q（A），这证明了（3.24）。相对熵H（Wε，H | W）很容易用Fε的鞅性质计算，ht=expεRt˙hsdBs-2εRt˙hsds等距：H（Wε，H | W）=EFε，hTεZT˙htdBt-2εZT˙htdt！！=EεZTFε，ht˙htdBt×εZT˙htdBt！-2εZT˙htdt=εZT˙htdt-2εZT˙htdt，因此Wε，h | W=2εZT˙htdt。（3.25）引理3.10的证明推迟到附录A；利用这个引理和引理3.11，我们可以得到命题3.8的证明，完成过程xε的大偏差弱下界的证明。命题3.8的证明，如果它（ψ）=∞, （3.18）是微不足道的事实。然后，考虑ψ∈ Ohm≥0使得它（ψ）<∞, 和定义h∈ H通过设置˙ht=˙ψt-β(1-γ） ψtσ（1）-γ） 所以S（h）=ψ。第一步。

假设h是（3.23）成立的。P=W，Q=Wε，hyieldsεlog（W（Yε）的相对熵界（3.24）的一个应用∈ B（ψ，R）））≥ -εE-1+H（Wε，H | W）Wε，h（Yε）∈ B（ψ，R））+εlog Wε，h（Yε∈ B（ψ，R））。用Wε，h（Yε）∈ B（ψ，R））=Wε（Yε，h∈ B（ψ，R））→ 对于命题3.10中的每R>0，以及（3.25）中的H（Wε，H | W）表达式，极限为ε→ 我们得到0（3.18）。第二步。现在假设ψ∈ C（[0,1]）。让h定义如上所述，并定义hn∈ H、 n∈ N、 根据˙hnt:=˙ht+1/N.（3.26）我们声称N∈ N、 高满意度（3.23）。让我们首先证明（3.23）中的条件（ii）成立。观察ψ≥ 0和ψ=0意味着˙ψ≥ 0，因此为˙hn≥ 1/n.通过˙hn的连续性，通过ψ∈ C（[0，T]），因此（3.23）中的条件（ii）成立，比如k=1/（2n）。为了证明条件（i），我们观察到ODE的比较原则意味着T∈ （0，T]，S（hn）T>S（h）T=ψT≥ 0;然后证明条件（i）。此外，通过关于控制参数h的（3.20）解的连续性，一个haskS（hn）- ψk∞→ 0作为n→ ∞. （3.27）由（3.27）可知，对于任何R>0W（Yε∈ B（ψ，R））≥ W（Yε）∈ B（S（hn，R/2））（3.28）如果n足够大。在证明的第一部分，我们证明了弱下界适用于w（Yε）∈ B（S（hn），R/2）；然后，将极限取为ε→ 0和R→ 0英寸（3.28英寸），一个haslim infR→0lim infε→0εlogw（Yε∈ B（ψ，R））≥ -它（S（hn））每n∈ N.因为它（S（hn））=RT（˙hn）dt→RT（˙h）dt=IT（ψ），界（3.18）如下。最后，C（[0，1]）中C（[0，1]）函数的标准密度参数允许将该主张扩展到任何ψ∈ Ohm≥0使其（ψ）<+∞.备注3.12在经典情况下，索赔将是过程Xε满足的下界（3.17），例如dXε=bε（Xε）+εσ（Xε）dB，Lipschitz系数σ和bε→ b、 Xε=Xε→ 十、

在这种情况下，选择一个控制h∈ H并通过移动布朗运动B（如（3.22）中所示）来定义Xε，H从Xε，直接（事实上：Gronwall引理的一个应用）表明Xε，H在定律上收敛于确定性极限方程d~n=B（）dt+σ（）dh，=X的唯一解。在当前（退化）情况下，过程Xε的确定性极限方程，h（在（3.22）中获得的设定值ε=0）与ODE（1.2）一致，ODE（1.2）允许有很多解。当通过转换过程Yε，h绕过这个问题时，我们实际上证明了Xε，hto定律的收敛性是一个特殊的解*恢复了极限方程的稳定性。事实上，假设如命题3.10中所述，h是这样的：对于每t>0，y=0的适定方程（3.20）的唯一解ψ为正，且yεh在定律上收敛于ψ。函数ψ易于计算，即ψt=σ（1- γ） eβ（1）-γ） tRte-β(1-γ） s˙hsds。根据定义，一个hasXε，h=Yε，h1.-γW-→ ψ1-γ=: φ*. 通过直接计算*是绝对连续的，并且*= 0和˙~n*= βφ*+ σ(φ*)γ˙h，因此*是（1.2）的解决方案；特别是*t:=eβtσ(1 - γ） 中兴通讯-β(1-γ） s˙hsds1.-γ. （3.29）因此，在小噪声限制下，随机动力学（3.22）在限制确定性系统（1.2）的解决方案中进行选择，选择严格正的解决方案*. 考虑到漂移参数αε和过程的初始条件xε虽然收敛到零，但仍然存在[8]，这看起来是合理的==0.25=0.20=0.15=0.10=0.05j*废弃退化常微分方程解图1：过程Xε，hin（3.22）收敛到特定解的图示*限制确定性系统。

对不同值的噪声参数ε和γ=1/2，α（x）的轨迹进行了模拟≡ 1，β=0，σ=2，˙h=1，x=0。对于所有ε>0的情况，严格为正。图1显示了过程Xε，hto~n的模拟轨迹的收敛性*in（3.29）为ε→ 0，对于给定的控制参数h选择。备注3.13（上界的下界）一般来说，利用大偏差上界可以显示受控过程Xε，hC的弱收敛性。这如下所示：在标记3.12的表示法中，假设Xε满足dXε=bε（Xε）+εσ（Xε）dB和Lipschitz系数，并定义Xε，hfromXε，如（3.22）所示。假设已经证明，对于过程Xε，h，有一个类似于（3.12）的大偏差上限，根据控制参数h，Ih（ψ）：=RT，有一个良好的速率函数Ih˙ψt-b（ψt）-σ（ψt）˙htσ（ψt）dt。显然，ih承认˙ψt=b（ψt）+σ（ψt）˙ht的解是唯一的零。利用ih水平集的紧性和大偏差上界，很容易得出limε→0WXε，h/∈ B（ν（h），R）= 0R>0，因此Xε，h→ 在法律上是（h）。这提供了一种方法，可以“自举”大偏差下界与上界（通过弱收敛，以及引理3.11中的相对熵界）。当极限常微分方程有几个解时，这种方法就不可能了：在目前的情况下，速率函数h（ψ）=RT˙ψt-βψt-ψγt˙htψγt{ψt>0}dt有不可数个零，对应于退化常微分方程（1.2）的可能解。而我们期望测度族的收敛子序列{W（Xε，h∈ ·)}ε收敛到一个由解集支持的概率分布，如何恢复Xε，h的唯一极限并不明显（这就是为什么我们要经过转换过程Yε，h）。

当给出极限方程的唯一性时，这种方法仍然有效，并适用于马尔可夫框架之外（有关延迟方程的处理，请参见[8]）。在[8]的设置中，确定性系统的解的唯一性至关重要，并通过其条件（H4）进入。3.4尾部估计的证明在本节中，我们证明了第2.1节所述的渐近估计，以及定理2.1所给出的渐近估计。命题2.5的证明设置ε：=R-(1-γ） 分为（2.1），一个haslim supR→+∞R-2(1-γ） 日志W（XT）≥ R） =lim supε→0εlogw（XεT≥ 1) ≤ -pB通过扰动初始条件和（1.2）中的漂移，可以恢复轨迹*in（3.29）作为ρ的极限→ 方程d~nt=ρ+βk tdt+σkγtdh，k=ρ的解的0，其存在性和唯一性成立。式中，p=inf{IT（φ）：φ=0，φ≥ 0，~nT≥ 1} =英菲≥1inf{IT（ν）：ν=0，ν≥ 0，~nT≥ y} =:infy≥1P（y）。修好≥ 1和P（y）的容许集合中的一个函数φ，使得它（φ）<∞. 设置ψt=ψ1-γt.在{~n=0}上，一个也有ψ=0，而对于开集{~n>0}中的点t，使得˙˙texists，一个有˙ψt=（1）-γ） 然后，注意到∞ 这意味着˙~ntγtt>0在[0，t]上是可积的，ψ在[0，t]上也是绝对连续的（见[20，推论3.41]）。此外，它（η）=2σRT˙~nt-βаtаγtνt>0dt=2σ（1-γ） RT（˙ψt）- β(1 - γ） ψt）ψt>0dt。注意到逆变换φ=ψ（1-γ） 还将AC正函数映射为AC正函数（如（1-γ） >1），一个搭扣（y）=2σ（1- γ） inf（ZT）˙ψt- β(1 - γ） ψtψt>0dt：ψ是abs。续，ψ=0，ψ≥ 0，ψT=y1-γ).当β=0时，该问题的极小值为ψ*t（y）=y1-γt/t。

当β6=0时，与拉格朗日（˙ψ）有关的欧拉-拉格朗日方程的解- β(1 - γ） ψ）和边界条件ψ=0，ψT=y1-γ产生极小值ψ*t（y）=y1-γeβ（1）-γ） T- E-β(1-γ） T（eβ（1-γ） t- E-β(1-γ） t）。在这两种情况下，ψ*t（y）>0表示所有t∈ （0，T），并且P（y）中的正性约束可以去掉。利用ψ的单调性*w、 r.t.y，这会产生infy≥1P（y）=P（1）=2σ（1）-γ） RT˙ψ*t（1）-β(1-γ)ψ*t（1）dt。大偏差下限（2.1）的应用给出了lim infR→+∞R-2(1-γ） 对数W（XT>R）=lim infε→0εlogw（XεT>1）=-infy>1P（y）=-P（1）。最后，给出了函数ψ上P（1）积分的显式求值*产生常数cTin（2.4）的表达式。让我们考虑一下正在运行的最大进程。ε=R的大偏差原理（2.1）的另一个应用-(1-γ） 给予→+∞R-2(1-γ） 日志W监督∈[0，T]Xt>R≥ -CTNF在哪里IT（~n）：~n=0，~n≥ 0，谢谢∈[0，T]~nT>1. 自从W监督∈[0，T]Xt>R≥ W（Xt>R）forevery t≤ T，一个有cT≤ 输入∈[0，T]ct=ct，其中CTI的最后一个恒等式是一个递减函数。另一方面，lim supR→+∞R-2(1-γ） 日志W监督∈[0，T]Xt≥ R≤ -cT:=-infIT（~n）：~n=0，~n≥0，谢谢∈[0，T]~nT≥ 1.. SincecT=infnIT（~n）：~n=0，~n≥ 0，谢谢∈[0，T]~nT=1，~nT≥ 0o≥ 输入∈[0，T]inf{It（φ）：φ是[0，T]上的绝对值，φ=0，φ≥ 0，φt=1}=inft∈[0，T]ct=cTone拥有ct=ct=ct，且该权利要求已被证明。如第2.1节所述，定理2.1也可用于获得过程时间平均分布的前导阶渐近性。这一结果可以用来推导亚式期权隐含波动率的前导阶行为TRTXtdt- K+对于大罢工K，定理1.2中的命题3.14估计（1.5）在νT>0时成立。

当γ=1/2时，常数为=2σTβ+4ωT如果Tβ/2<12σTβ-4ωT如果Tβ/2≥ 1（3.30）式中ω=ω∈ （0，π）使得ωcosω=Tβ/2 sin（ω）如果Tβ/2<10如果Tβ/2=1ω∈ (0, ∞) ωcosh（ω）=Tβ/2 sinh（ω）如果Tβ（1- γ) ≥ 1.（3.31）备注3.15根据命题3.14的证明，我们可以证明广义时间平均泛函lRtxtu（dt）的类似渐近关系，其中u是[0，T]上的有界符号测度。OnegetsWZTXtu（dt）≥ R！=E-R2（1）-γ） （VT+ψ（R））作为R→ ∞,式中，VT的特征为变分公式VT:=infnIT（~n）：RT~ntu（dt）≥ 1，~nt≥ 0, T∈ [0，T]o.命题3.14的证明ε=R的大偏差原理（2.1）的应用-(1-γ） yieldslim supR→+∞R-2(1-γ） 日志WTRTXtdt≥ R= lim supε→0εlog WTRTXεtdt≥ 1.≤ -νT，其中νT=inf{IT（ν）：ν=0，ν≥ 0，TRT~ntdt≥ 1}. 按照命题2.5的证明进行，特别是对AC（[0，T]，R+）的自同态进行证明→ ψ = φ1-γ加上链式规则˙ψ=˙ν/˙γν>0，则一个有νT=infIT（~n）：~n=0，~n≥ 0，TZT~ntdt≥ 1.=T2σ（1）- γ） infZ˙ψT- β(1 - γ） ψTdt：ψ=0，ψ≥ 0，Zψ1/（1）-γ） T-tdt≥ 1.=2Tσ（1）- γ） infZ滴滴涕（ψT）- Tβ（1）- γ） ψTdt：ψ=0，ψ≥ 0，Zψ1/（1）-γ） T-tdt≥ 1.= infη≥12Tσ（1）- γ） infZ˙φt- Tβ（1）- γ） φtdt：φ=0，φ≥ 0，Zφ1/（1）-γ） tdt=ηo=：infη≥1J（η）。当γ=1/2时，后一个变分问题在[12，练习2.1.13]中进行了研究。j的显式解给出了常数νT=infη的表达式≥1J（η）=J（1）在（3.30）中给出。大偏差下界会产生lim infR→+∞R-2(1-γ） 日志WTRTXtdt>R= lim-infε→0εlogwTRTXεtdt>1≥ -J（1）=ηT，证明了该权利要求。用积分CIR过程的显式公式进行一致性检查。让我们考虑γ=1/2的情况，并将命题3.14与积分CIR过程的矩爆炸进行比较，对应于α（x）≡ α ≥ 0处于条件（H2）。

我们关注均值回复漂移的（常见）情况，即β<0；β>0的计算结果类似。估计值（1.5）确定TRTXTDT的指数矩为整数级：更准确地说，u*:= sup{u>0:EhexpuTZTXtdt我∞} = sup{ν>0:PTZTXtdt>x= O（e）-νx）as x→ ∞} = νT（3.32）（关于中心标识，参见示例[15，第4节]；换句话说，ν是RTXTDT的正临界指数。综合CIR的关键指数已通过[14,2,18]评估，基本上依赖于过程的有效结构。典型的情况是获得*通过反转显式爆炸时间：在[2，推论3.3]之后，如果u≤ Tβ/（2σ），如果u>Tβ/（2σ），则T<T的期望值是有限的*（u） 最后，T>T*（u） ，T在哪里*雷德斯特*（u） =2π+arctanγ（u）βγ（u），其中γ（u）=p2σuT- β. 固定T并利用T的单调性*, 这意味着u>u的期望值变得有限*和你*π+arctan的解γ（u）β=Tγ（u）（3.33）作为γ中的一个方程，很容易看出（3.33）有一个唯一的根γ*关于R+这样的tγ*∈ (π, π). 从γ的定义开始，u*=2σ（Tβ+T（γ*)) =2σTβ+TTγ*=2σTβ+T（ω）*)设置ω*=Tγ*. 从（3.33），ω*是ω=π+arctan的唯一解2ωTβ, 这相当于n（ω）=2ωTβ和ω∈ （π，π）：我们可以看到，这个定义与（3.31）中ω的定义一致（注意，当β<0时，我们处于第一种情况）。附录我们在这里完成命题（3.2）的证明。命题3.2的证明让我们定义一个辅助过程X bydXt=|α|∞dt+σexp(-(1 - γ） |β| t）XγtdBt，X=X；简单应用乘积规则后，我们发现过程Zt:=exp（|β| t）XT是一个解决方案=|α|∞exp（|β| t）+β| Ztdt+σZγtdBt，Z=x.自|α|∞exp（|β| t）≥ |α|∞, SDE[17，命题5.2.18]yieldsZt比较原理的应用≥~Xt，尽管如此≥ 0

因此，如果X2（1-γ） 允许（一些）指数矩，Z2（1）也允许-γ） 与之相比X2（1-γ） t.从这个意义上讲，[9]中的命题3.3并未涵盖过程X，因为后者涉及不依赖于时间的扩散系数的情况（见[9，等式（3.1）]；尽管如此，[9，Prop 3.3]所依赖的基本条件是存在非严格正斜率系数，比如漂移项a+bX中的b（参见[9，等式（3.3）]）。由于processX（具有零斜率系数b）的情况是这样的，因此很容易将证明扩展到当前设置：特别是，在Lamperti的变量变元变化的精神中，我们仍然定义了函数φ（x）=Rxσxγ=σ（1）-γ） x1-γ和研究了过程~n（Xt），其中函数是在零附近相同为零的的修正。它的公式表明（Xt）是一个具有有界二次变化和有界漂移项的It^o过程；因此，二次指数矩的存在是Dubins–Schwarz时变论和Fernique定理的结果。因此，存在c，c>0，因此≤TE[exp（cX2（1-γ） t）]≤ C下面是supt≤TE[exp（c）~X2（1-γ） t）]≤ 监督≤TE[exp（cZ2（1-γ） t）]≤ C与C:=cexp(-2|β|(1 -γ） （T），而诉讼证明了这一点。我们报告了[26，第2章，Thm 2.13]中给出的声明。引理A.1（Garsia Rodemich-Rumsey引理）设p和ψ是连续的，在[0+∞) 使得p（0）=ψ（0）=0和limt→+∞ψ（t）=+∞. 如果ω∈ Ohm 是这样的：ztψ|ωt- ωs | p（| t- s |）dsdt≤ K、 （A.1）然后|ωt- ωs|≤ 8Z | t-s |ψ-1.4Kudp（u）。（A.2）引理A.1允许我们证明命题3.3：命题3.3的证明假设（3.3）成立，左手边替换为K>0。