关于具有退化极限系统的小噪声方程

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英文标题：
《On small-noise equations with degenerate limiting system arising from
  volatility models》
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作者：
Giovanni Conforti, Stefano De Marco, Jean-Dominique Deuschel
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The one-dimensional SDE with non Lipschitz diffusion coefficient $dX_{t} = b(X_{t})dt + \\sigma X_{t}^{\\gamma} dB_{t}, \\ X_{0}=x, \\ \\gamma<1$ is widely studied in mathematical finance. Several works have proposed asymptotic analysis of densities and implied volatilities in models involving instances of this equation, based on a careful implementation of saddle-point methods and (essentially) the explicit knowledge of Fourier transforms. Recent research on tail asymptotics for heat kernels [J-D. Deuschel, P.~Friz, A.~Jacquier, and S.~Violante. Marginal density expansions for diffusions and stochastic volatility, part II: Applications. 2013, arxiv:1305.6765] suggests to work with the rescaled variable $X^{\\varepsilon}:=\\varepsilon^{1/(1-\\gamma)} X$: while allowing to turn a space asymptotic problem into a small-$\\varepsilon$ problem with fixed terminal point, the process $X^{\\varepsilon}$ satisfies a SDE in Wentzell--Freidlin form (i.e. with driving noise $\\varepsilon dB$). We prove a pathwise large deviation principle for the process $X^{\\varepsilon}$ as $\\varepsilon \\to 0$. As it will become clear, the limiting ODE governing the large deviations admits infinitely many solutions, a non-standard situation in the Wentzell--Freidlin theory. As for applications, the $\\varepsilon$-scaling allows to derive exact log-asymptotics for path functionals of the process: while on the one hand the resulting formulae are confirmed by the CIR-CEV benchmarks, on the other hand the large deviation approach (i) applies to equations with a more general drift term and (ii) potentially opens the way to heat kernel analysis for higher-dimensional diffusions involving such an SDE as a component.
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中文摘要：
非Lipschitz扩散系数为$dX_{t}=b（X_{t}）dt+\\sigma X_{t}^{\\gamma}dB_{t}、\\X_{0}=X、\\\\gamma<1$的一维SDE在数学金融学中被广泛研究。在仔细实施鞍点方法和（本质上）傅立叶变换的明确知识的基础上，有几项工作提出了对涉及该方程实例的模型中的密度和隐含波动率的渐近分析。关于热核尾部渐近性的最新研究[J-D.Deuschel，P.~Friz，A.~Jacquier和S.~Violante.扩散和随机波动的边际密度展开，第二部分：应用。2013年，arxiv:1305.6765]建议使用重新标度的变量$X^{\\varepsilon:=\\varepsilon^{1/（1-\\gamma）}X$：同时允许将空间渐近问题转化为一个小的$\\varepsilon由于固定终点的问题，进程$X^{\\varepsilon}$满足Wentzell--Freidlin形式的SDE（即驱动噪声$\\varepsilon dB$）。我们证明了进程$X^{\\varepsilon}$as$\\varepsilon\\到0$的路径大偏差原理。很明显，控制大偏差的极限常微分方程允许无穷多个解，这是温策尔-弗赖德林理论中的一种非标准情况。对于应用程序，$\\varepsilon$-缩放允许导出过程路径泛函的精确对数渐近性：一方面，所得公式得到CIR-CEV基准的确认，另一方面，大偏差方法（i）适用于具有更一般漂移项的方程，以及（ii）潜在地为以SDE为成分的高维扩散的热核分析开辟了道路。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> On_small-noise_equations_with_degenerate_limiting_system_arising_from_volatility.pdf (1.09 MB)

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关键词：coefficient Dimensional Volatility Degenerate dimension

关于由波动率模型产生的具有退化极限系统的小噪声方程。Conforti，S.De Marco，J–D.DeuschelUniversit"at Potsdam，理工学院，TU Berlinsepter 2018年12月18日摘要非利普希茨扩散系数Xt=b（Xt）dt+σXγtdBt，X=X，γ<1（0.1）的一维SDE在数学金融中得到广泛研究。有几项工作提出了在涉及（0.1）实例的模型中，基于鞍点方法和（本质上）傅立叶变换的显式知识的密度和隐含波动率的渐近分析。最近关于热核尾渐近性的研究[11]建议使用重定标变量Xε：=ε1/（1）-γ） X：虽然允许将空间渐近问题转化为具有固定终点的小-ε问题，但过程Xε满足SDEin Wentzell–Freidlin形式（即驱动噪声εdB）。我们证明了过程Xε为ε的路径大偏差原理→ 0.很明显，控制大偏差的极限ODE包含许多解决方案，这是温策尔-弗赖德林理论中的非标准情况。

对于应用，ε-标度允许推导过程路径泛函的前导阶渐近性：一方面，所得公式由CIR-CEV基准验证，另一方面，大偏差方法（i）适用于具有更一般漂移项amd（ii）的方程，这可能为将（0.1）作为一个分量的高维差分进行热核分析开辟了道路。1简介Wentzell–Freidlin大偏差理论研究方程dXεt=b（Xε）dt+εσ（Xεt）dBt，Xε=X asε解在路径空间上分布的渐近行为→ 0，其中B是布朗运动。当系数b和σ是（比如）Lipschitz函数时，很容易看出（应用Gronwall\'sLemma），Xε的轨迹在法律上收敛于普通微分方程dаt=b（аt）dt的确定性解，ν=x。大偏差理论解释了这种收敛的速度：表示（h）ODE d的唯一解t=b（t）dt+σ（t）dht，由具有平方可积导数˙h的绝对连续路径h控制的=x，然后是大偏差原理（LDP）W（xε∈ Γ) ≈ E-εinfφ∈ΓI（φ）适用于C（[0，T]）的子集Γ，其中W代表维纳测度。速率函数I由I（φ）=|˙h | L给出，其中h是沿着给定路径φ控制确定性系统轨迹的控制器，即φ（h）=φ。当扩散系数σ可逆时，控制h由˙ht=σ（˙t）确定-1（˙~nt）-b（˙t）），得到了速率函数i（φ）=ZT（˙φt）的典型形式- b（φt））σ（φt）dt。日期：2018年9月18日。

通讯作者：giovanniconfort@gmail.com, demarco@cmap.polytechnique.frKey单词和短语：路径大偏差，平方根偏差，尾部渐近。这里的确切说法是- infφ∈oΓI（φ）≤ lim-infε→0εlogw（Xε∈ Γ) ≤ lim supε→0εlogw（Xε∈ Γ) ≤ - infφ∈ΓI（φ）。这样一个结果背后的直觉是，我们可以写出Xε（ω）=X（εω），其中X是dX=b（X）dt+σ（X）dB，X=X的“路径”解。如果我们接受这样一个映射X存在且足够规则，那么结合Schilder定理的大偏差布朗路径[12，第1章]为Xε提供了LDP和速率函数。进行此类程序的标准假设是全局Lipschitz连续性和系数椭圆度的条件，见[10,12]。有几项工作旨在削弱这些假设，并扩展LDP适用的方程类。可以引入漂移和起点对ε的依赖，全局Lipschitz连续性可以用（本质上）局部Lipschitz连续性和解的非爆炸性条件来代替（基于Azencott[3]的思想，利用It^omap的准连续性，这只依赖于方程系数的局部性质）。我们参考[4]了解Wentzell–Freidlin估计所适用的条件集的最新摘要。最近关于热核渐近性的研究[11]主要关注相关随机挥发模型的尾部行为。

利用对数价格过程的空间标度特性，在一些参数模型中（即：存在θ>0，使得重标度变量Yεt:=εθY与具有驱动噪声εdBt的随机波动率模型中的对数价格具有相同的规律），文[11]的方法是将尾分布的渐近问题W（Yt>R）转化为R→ ∞, 对于小噪声概率问题，W（Yεt>1）为ε→ 0.然后，重定标过程的大偏差原理可作为研究相应热核渐近行为的基础（使用Malliavin计算工具和路径空间上的拉普拉斯方法，见[7,5]）。对于Stein–Stein[25]（在相关案例中也称为Sch"obel–Zhu[24]）的随机波动模型，这种方法可以完全合理，并且可以进行显式计算，其中随机波动遵循具有恒定扩散系数的Ornstein–Uhlenbeck过程，这是[11]的主要案例研究。正如[11，第5.3节]所指出的，在波动率具有平方根效率（主要示例：Heston）的模型框架内，或者更一般地说，具有xγ、γ<1形式的扩散系数（如[2]和[21]），这种空间缩放方法会导致一种情况，即同一种方法不再适用（而由此产生的扩展的正式应用甚至会导致错误的结论）。从[11，第5.3节]开始，“奇怪的是，即使是上文给出的（重新调整的波动过程）的大偏差原则也缺乏公正性”。更具体地说，考虑方程dXt=（α+βXt）dt+σXγtdbt，正初始条件X=X>0。

寻找一个θ的值，使得εθX满足一个具有小噪声ε的方程，从而确定缩放过程Xε：=ε1/（1）-γ） X，它确实满足方程dxεt=（αε+βXεt）dt+εσ（Xεt）γdBt，Xε=Xε（1.1），其中αε：=ε1/（1）-γ） αxε：=ε1/（1）-γ） x.当然，变量的这种变化允许使用ε=R写W（Xt>R）=W（xεt>1）-1/(1-γ). 如上所述，问题是大偏差原理是否适用于W（Xεt）∈ ·) asε→ 0.注意，漂移系数中的初始条件xε和常数项αε都趋向于零，即ε→ 0.一方面，不难看出Xε→ 关于C（[0，T]）上的一致拓扑的定律为0。另一方面，正式地写下控制大偏差的极限ODE，得到˙~nt=β~nt+σ| |t |γ˙ht，˙=0。（1.2）已知等式（1.2）包含很多解。什么时候≥ 0时，该解集包含一个参数族φ（θ）t=eβtσ(1 - γ） Rtθe-β(1-γ） s˙hsds1/(1-γ） {t≥θ} ，带θ≥ 0.然后，地图的定义为H7→ ν（h）再也不可能将控制与ODE的相应解决方案相关联。我们偶尔会把这种情况称为“堕落”。让我们直接注意到，当β=0、γ=1/2和˙h时，Baldi和Caramellino[4]Donati Martin中研究了非Lipschitz系数差异的大偏差≡ 1，我们检索唯一性失败的ODE教科书示例，˙|t=σp | ||t |，其中从|=0得到的解由一个参数族˙（θ）t=σ（t）给出- θ） {t≥θ}.等人[13]、克莱班纳和利普斯特[19]以及罗伯逊[23]。

在[4，定理1.2]中，对于方程组dXεt=b（Xεt）dt+εσ（Xεt）dBt，Xε=X>0（注意严格正初始条件），推导了一个大偏差原理，其中函数σ（·）的行为大致类似于σXγ（精确条件见[4，假设（A1.1）]，b:[0，∞) 7.→ R是一个局部线性增长的Lipschitz函数，b（0）>0。在我们考虑的情况下，漂移项b和独立于ε的初始基准的条件，例如b（0）>0和x>0，都被违反。在[13]中，允许b（0）=0和x=0，但分析仅限于平方根情况γ=1/2，且b和x与ε无关。在这方面请注意，设置b（0）=x=0意味着xε≡ 对于所有ε，在这种情况下，LDP通常保持，速率函数I（0）=0，I（φ）=∞ φ6≡ 0（如[13，Thm 1.3]所述）；与（1.1）相反，其中bε（0）=αε和xε都趋向于零→ 0，但来自严格的正值，因此对于ε的每个值，SDE的解都是非平凡的。在这两部著作中，极限常微分方程的唯一性是一个关键点（并作为[4，假设（A2.3）]的一部分出现，并在[13，第5节]中进行了阐述）。为了研究破产概率W（τ）的渐近性态≤ T）以τ=inf{T:Xt=0}作为初始条件x趋于一致，Klebaner和Lipster[19]通过使用“规范化”过程Xxt=Xt/x利用了类似的空间尺度，并表明LDP适用于过程Xxasx→ ∞. 与我们的设置主要不同的是[19]中的初始条件Xx=1是固定的，而不是（1.1）中的xε，这是我们分析中的难点之一。

Robertson[23]推导了一类随机波动模型的LDP，包括具有平方根波动过程的Heston模型。其中一个假设是，波动过程的小噪声问题与Donati Martin等人[13]中的形式相同，参见[23，假设2.1]，所做的工作是将LDP转移到过程的第二个组成部分（原木价格）。因此，[23]的工作不包括（1.1）形式的小噪音问题。我们为方程（1.1）的广义版本建立了LDP，允许α是过程的函数。也就是说，我们从方程（0.1）开始，假设：（H1）γ∈ [1/2,1），σ>0，x>0。（H2）b（y）=α（y）+βy，其中α是Lipschitz连续且有界的函数，α（y）≥ 在0的邻域中0。在（H1）-（H2）下，已知（0.1）允许正解，根据山田和渡边的唯一性定理，正解是路径唯一的。定理1.1假设条件（H1）-（H2），并设（Xt）t≥0是（0.1）的唯一强大解决方案。集合Xε：=ε1/（1）-γ） X；然后Xε满足（1.1），常数α替换为函数α（·）。然后，族{Xε}ε满足路径空间C（[0，T]，R+）上的大偏差原理，速度ε和速率函数it（φ）=2σZT˙~nt- βаtаγt{~nt6=0}dt，并且它（~n）=+∞ 无论何时，当魟（0）6=0或魟不是绝对连续的。让我们注意到，在上面的定义中，对于任何一种类型，都可以很好地定义表达式аtγаt6=0∈ R+，当φt=0时等于零。很容易看出，唯一的零≡ 与XεW的事实一致→ 0为ε→ 0

粗略地说，定理1.1允许写W（Xε）∈Γ）=exp-εinfφ∈ΓIT（φ）+ψ（ε）对于C（0，T）的子集Γ，使得infφ∈ΓIT（φ）=infφ∈oΓIT（φ），其中函数ψ（ε）作为ε消失→ 0; 关于精确的陈述，我们参考第2节中的定理2.1。根据我们对Xε的定义，一个人有W（Xεt）≥ 0, T≥ 0, ε>0）=W（Xt≥ 0, T≥ 0) = 1. 根据Feller的爆炸试验，也可以对Xε的轨迹进行严格正性检验（见[9，Prop 3.1]：当γ>1/2时，a（0）>0意味着W（Xεt>0，t≥ 0）=1，而对于γ=1/2，相同的结论由2α（y）/σ保证≥ 对于y，在零的右邻域中为1——产生熟悉的条件2α/σ≥ 1（当α为常数时）。注意，定理1.1并没有假设这些条件中的任何一个不可达到零；特别是对于循环微分，我们不假设系数α和σ的Feller条件。从定理1.1中，可以导出过程X的一些泛函的尾部渐近性（这正是引入ε-标度导致Xε的原因！）。路径LDP允许考虑进程的路径函数，例如运行上确界或时间平均值。定理1.2 Let（Xt）t≥0是（H1）-（H2）条件下（0.1）的唯一强解，且T>0。然后，作为R→ ∞W（XT）≥ R） =e-R2（1）-γ） （cT+o（1））（1.3）和W监督∈[0，T]Xt≥ R= E-R2（1）-γ） （cT+o（1））（1.4）和WTZTxtDT≥ R！=E-R2（1）-γ） （νT+o（1））。（1.5）恒定cT，分别为。就模型参数而言，νtar是明确已知的，分别在下文第2.5号建议中提供。对于γ=1/2的情况，命题3.14。定理1.2中的估计可以与CIR和CEV模型中累积分布和临界指数的显式公式进行比较：这些一致性检查在第2.1节和第3.4节中进行，表明定理1.2中的估计在对数尺度上是正确的。

虽然在一维设置中，定理1.1产生的大偏差方法适用于漂移项比函数更一般的方程，但它也为将（0.1）作为一个组件的高维微分的热核分析开辟了道路，这正是[11]中未讨论的情况。最后，让我们注意到，由于极限系统解的非唯一性，我们在这里考虑的问题似乎与常微分方程噪声的正则化问题有关。让我们把进一步的讨论留给未来的工作，让我们在这里指出与该设置的一个结构差异：在这种情况下，一个考虑形式为dXεt=b（Xεt）dt+εdBt的SDE，单位色散系数，被视为具有非利普希兹漂移b（例如b（X）=符号（X）|X |γ的确定性系统˙xt=b（xt）的扰动。在确定性系统的可能解中，一种是（少数）支持Xε极限定律的解，得到了方程的所谓零噪声极限；参见[27]及其参考文献。在我们的框架中，Xε的方程已经具有Lipschitz连续漂移b（X）=αε+βX。相应地，极限系统˙xt=βX，X=0，已经有一个唯一的解（此处：零路径X=0），然后给出了Xε的唯一弱极限（与[27，推论1.2]相反，其中极限是支持两条轨迹的概率分布）。正如我们所指出的，我们的设置中的困难来自非利普希茨效率，并通过控制系统（1.2）出现在速率函数的定义层面。在本文件的其余部分，第2节致力于定理1.1的证明，而在第3.4节中，我们将证明定理1.2的不同陈述。我们在附录A中收集了一些更具技术性的材料的证据。致谢。