多项式项结构模型

粗略地说，当RTI非常小时，该模型中的利率动态类似于Cox–Ingersoll–Ross过程。参数β直观上起着长期平均水平的作用，而α则控制着均值回归的速度。然而，在这个模型中，利率保持在有界区间I=（0，k）内。事实上，定理2.16表明p（0<rt<k）对于所有t≥ 0）=1等于（0，k）和d（0）中的初始条件ris≥ 0≥ D（k），其中D（r）=2α（β-r）-（（k）-z） （l）-z）-z（l）-z）-z（k）-z） ）即αβkl≥和α（k-β）k（`-（k）≥请注意，这是一个二次n=2模型。该族对应的矩阵S采用以下形式：=0 αβ 0-1.-α2αβ+k`0-1.-2α -K-`通过求解G（0）=（1,0,0）>下的ODE˙G=SG，可以计算出函数G=（G，G，G）>。注意，这个过程在定价测度Q中是遍历的，其不变密度由相应的福克-普朗克偏微分方程的唯一平稳解给出：f（r）=Cσ（r）eRrr2b（ρ）σ（ρ）dρ∝ r2ζ-1（k）-r） 2η-1(` -r）-2θ-式中ζ=αβk`，η=α（k-β）k（`-k） ，θ=α（`-β )`(` -k） 其中C>0表示RKF（r）dr=1。矩阵S的特征多项式由以下公式给出：χ（λ）=λ+（3α+k+l）λ+（α（2α+k+l）+3αβ+kl）λ+αβ（2α+k+l）。注意χ（0）=αβ（2α+k+l）>0χ(-β）=β（k）-β )(β -l） <0χ(-（α+k））=（α+k）（αk）-3αβ）+αβ（2α+k+l）≥ （α+k）（αk）-3αβ）+2αβ（α+k）=α（α+k）（k）-β ) > 0χ(-（2α+k+l））=-2αβ -kl<0因此方程χ（λ）=0有三个不同的负根。

因此矩阵S总是有三个负特征值λ，λ，λ，这样：-（2α+k+l）<λ<-（α+k）<λ<-β<λ<0且注释2.5得出的债券价格可能始终被解释为模型中债券价格的线性组合，该模型具有恒定的正利率r=-λi.另一方面，给定初始即期利率r，时间0债券价格和收益率随到期时间x可以表示为：P（x，r）=g（x）+g（x）r+g（x）ry（x，r）=-logP（x，r）xHence在这个模型中，一旦我们知道当前即期汇率r，我们就可以计算整个收益率曲线。为了使用表1中的数据校准参数α、β、k、l，我们可以使用一个月的现场作为即期汇率的近似值，并尝试使用最小二乘原理拟合其余数据。通过在区域α上执行2000次随机搜索∈ (0, 1), β ∈ （0,0.1），k∈ （0,0.2）andl∈（0,0.3），参数β=0.03，α=0.5，k=0.1，l=0.2，这一点相当好。相应的误差为E=0.3246。由于E的表达式中有4300个术语，我们可以说平均差是平均差%=p0。3246/4300×100%=0.87%注意，此参数选择满足定理2.16的条件，因此相应的即期汇率过程不会到达边界。相应的矩阵由s给出=0 0.015 0-1.-0.5 0.050 -1.-1.3.利用上述参数值，我们可以模拟即期汇率过程r。初始即期汇率非常低的典型样本路径r=10-4根据当前市场情况，如图1所示。由公式（T）计算的初始收益率曲线-TlogH（T，r）如图2所示，通过改变初始即期汇率r，我们也可以得到不同形状的收益率曲线，如图3所示。图1。即期汇率过程r的典型样本路径，其中drt=α（β-rt）dt+prt（k）-rt）（`-模型参数α=0.5，β=0.03，k=0.1，l=0.2。

初始即期汇率设定为r=0.01%。图2。模型参数α=0.5，β=0.03，k=0.1，l=0.2，初始即期汇率r=0.01%的收益率曲线。图3。模型参数α=0.5，β=0.03，k=0.1，l=0.2，初始即期汇率r=8%的收益率曲线。函数Gian和Pifunction的图表如图4和图5所示，其中h（x，r）=∑k=0gk（x）rk=∑i=0Pi（r）eλix其中λi∈ {-0.0294,-0.5377, -1.2329}是S的特征值。（A）g（x）的图（B）g（x）的图（C）g（x）的图（图4）。模型参数α=0.5，β=0.03，k=0.1，l=0.2的系数函数gi（x）图。回想一下，到期时间为t的债券价格由g（t）给出-t） +g（t）-t） rt+g（t-t） rt.下一个例子是一个平方根即期汇率模型，其中因子的解释是即期汇率的平方根。选择动力学的方式是，可以明确计算Smatrix的特征值，从而以闭合形式计算债券价格。示例3.2（双参数族）。因子过程Z满足以下SDE，而现货率过程r通过函数r（Z）=Z.dZt=（Zt）与Z相连-k） （Zt+2k+α）（Zt-2k-α） dt+qZt（2k-Zt）dWtrt=Zt，参数α，k>0。（A） 图5。模型参数α=0.5，β=0.03，k=0.1，l=0.2的系数函数gi（x）图。这些图是用域r绘制的∈ （0,0.1）根据即期汇率r的状态空间选择。回想一下，到期日为T的时间债券价格由P（rt）e给出-0.0294（T-t） +P（rt）e-0.5377（T-t） +P（rt）e-1.2329（T）-t） 。定理2.16表示，因子过程zt将保持在开放区间（0,2k），只要：α（4k+α）8k≥该族的矩阵S采用以下形式：S=0K（2k+α）0-（2k+α）2k（2k+α）-1.-K-2（2k+α）为了便于记法，我们可以设置β=（2k+α），D=pβ-2kβ。

然后S的特征多项式由：det（λI）给出-S） =（λ+β）（λ+2βλ+2kβ）因此S的特征值为-β,-β -D-β+D和相应的特征向量-K,-kβD+β-D2kβ,kβD-βD2kβ因此，S可以分解为S=PMP-1.Where=-K-kβD+βkβD-β1 1 10 -D2kβD2kβM=-β 0 00 -β -D 00 0-β+DP-1=D-1（2k）-β)-1.DkβD2kDk-D2kβ-D2βkDD-β-D2kβ-D2β-kDD+β回想一下，系数函数（gi（x））将矩阵ODE˙G（x）=SG（x）化。解决此问题将提供：g（x）g（x）g（x）= eSx系数函数（gi（x））的形式如下：g（x）g（x）g（x）=k2k-β2ke-βx-kβD+βe(-β-D） x+kβD-βe(-β+D）x-2e-βx+e(-β-D） x+e(-β+D）x-D2kβe(-β-D） x+D2kβe(-β+D）x特别是，给定初始即期利率r，时间0债券价格和收益率随到期时间x可以表示为：P（x，r）=g（x）+g（x）√r+g（x）ry（x，r）=-logP（x，r）x对于校准，我们再次将一个月收益率作为初始即期汇率的近似值，并计算该模型的完整理论收益率曲线。然后，我们调整两个参数α、k的值，并尝试拟合剩余的4300个观测值。通过在α范围内执行2000次随机搜索∈ （0,1）和k∈ （0,1），我们得到的最佳结果是α=0.172，k=0.206，R=0.0902。因此，平均差异为平均差异%=p0。0902/4300×100%=0.46%图6。即期汇率过程r的典型样本路径，其中rt=√Zt和DZT=（Zt-k） （Zt+2k+α）（Zt-2k-α） dt+pZt（2k-Zt）dWtwith模型参数α=0.172，k=0.206。根据当前情况，初始即期汇率设定为r=0.01%。注意，参数的选择满足定理2.16中的条件。

矩阵S是givenby:S=0 0.0703 00 -0.3411 0.1405-1.-0.2060-0.6821利用上述参数值，用r模拟即期汇率过程RTA和收益率曲线=-4如图6和图7所示：通过改变初始即期汇率r，我们还可以得到不同形状的收益率曲线，如图8所示：相应的特征值为（数值）：-0.0455,-0.6366,-0.3411 gi、Pi函数图如图9和图10所示：图7。从当前日期到30年的收益率曲线由模型参数α=0.172，k=0.206生成。初始即期汇率设定为r=0.01%。图8。从当前日期到30年的收益率曲线由模型参数α=0.172，k=0.206生成。初始即期汇率设定为r=8%。备注3.1。请注意，S矩阵的所有特征值在这两个例子中都是实的和负的，因此债券价格可以被视为债券价格与r=-λi.（A）g（x）（B）g（x）（C）g（x）图图9。模型参数α=0.172，k=0.206时，系数函数g（x），g（x），g（x）在相同时间范围[0,30]尺度上的图。在这个模型中，债券在时间t到期的时间t由g（t）给出-t） +g（t）-（t）√rt+g（T-t） 最后，在本节中，我们使用著名的CIR[2]模型对表1中的数据进行了拟合。首先回顾一下CIR模型是一个三参数即期汇率模型，其中即期汇率r满足：drt=a（b-rt）dt+σ√债券价格可以显式地解为asPt（T）=exp（A（T-t） +B（t）-t） 图10。模型参数α=0.172，k=0.206的函数P（z），P（z），P（z）的图。由于因子过程Z的状态空间为（0,2k），我们选择以与Z相同的比例绘制图形∈(0,0.412).

在该模型中，在时间t到期的债券的时间t价格由P（Zt）e给出-0.0455（T-t） +P（Zt）e-0.6366（T-t） +P（Zt）e-0.3411（T-t） 即期汇率由rt=Zt表示。式中b（x）=2（1）-（x）eha+2h-1） A（x）=2abσlog2he（A+h）x2h+（A+h）（ehx）-1)!!通过在区域a上执行5000次随机搜索，h=pa+2σ∈ （0,3），b∈(0,0.2),σ∈ （0,1），最佳结果为a=0.6443，b=0.0254，σ=0.0251，误差E=0.4957。因此，平均差异储蓄率差异%=p0。4957/4300×100%=1.07%让我们在下表中总结三个可控利率模型的参数族：模型类型参数总次数平方和平均误差%Ex1多项式2 0.3246 0.87Ex2多项式2 0.0902 0.46CIR Exp多项式N/A 3 0.4957 1.07表2。本节讨论的两个二次模型与CIR模型的比较。所有三个模型都进行了校准，以匹配2006年2月10日至2014年5月9日每周采样的美国国债收益率，共有430×11个数据。EX1优于CIR并不奇怪，因为前者比后者多了一个参数，因此可能更好地拟合数据。有趣的是，在这种情况下，EX2在只有两个参数的情况下也优于CIR。实际上，在这种情况下，EX2的性能最好，参数最少。4.扩展在本节中，我们将以两种不同的方式扩展定理2.3：即允许时间依赖性和允许多维因子过程。4.1. 船体白色延伸。和往常一样，通过加入时间相关参数，我们可以有一个更好的模型校准。我们在非因子过程（Zt）的动力学中引入了时间依赖性≥0和系数函数gk。

正如人们所料，我们将在这种情况下建立类似的充分必要条件。为了明确起见，我们现在考虑一个因子过程（Zt）t≥0是以下时间不均匀SDEdZt=b（t，Zt）dt+σ（t，Zt）dwt的非爆炸性解决方案即期利率RTI建模为rt=R（t，Zt），债券价格和贴现债券价格由pt（t）=n定义∑k=0gk（t，t）ZktPt（t）=e-RtR（s，Zs）dsPt（T），其中gk： → R是满足边界条件的光滑确定性函数：对于所有1，g（T，T）=1gk（T，T）=0≤ K≤在哪里 = {（t，t）：0≤T≤ T}。通过添加t分量，一致的PDE（3）变为：（16）n∑k=0 gkt（t，t）zk=n∑k=0gk（t，t）Ak（t，z）（t，t，z），其中Ak（t，z）定义为：Ak（t，z）：=R（t，z）zk-kb（t，z）zk-1.-k（k）-1） a（t，z）zk-2a（t，z）：=σ（t，z）定理4.1。假设n≥ 2和函数gk（t，·）对于所有t是线性无关的≥ 那么我们必须有R（t，z）=∑i=0Ri（t）zi，b（t，z）=∑i=0bi（t）zi，a（t，z）=∑i=0ai（t）Zi，其中系数满足-1） a（t）+nb（t）-R（t）=0（n-1） （n）-2） a（t）+（n）-1） b（t）-R（t）=0n（n）-1） a（t）+nb（t）-R（t）=0，系数函数gk由ODE的唯一解决定tG（t，t）=S（t）G（t，t）G（t）=（1,0，…，0）>并且（n+1）×（n+1）矩阵S（t）由j+k，j（t）=Rk（t）定义- jbk+1（t）-j（j）-1） ak+2（t）证明。修正任何t，选择t<t（t）<…<Tn（t），这样我们可以重写一致性条件（16），如下所示：g（t，t（t））·gn（t，t（t））。。。。。。。。。g（t，Tn（t））·gn（t，Tn（t））A（t，z）。。。安（t，z）=∑ni=0 git（t，t（t））子。。。∑ni=0 git（t，t（t））子它的形式是M（t）x（t，z）=c（t，z），因为函数gi（t，·）是线性独立的，我们可以选择Ti（t），使得矩阵M（t）是可逆的。因此，解由x（t，z）=M给出-1（t）c（t，z）但对于固定t，c（t，z）由z，。。。，我们推断x（t，z）必须是z，…，的线性组合，。。。，锌。

因此，每个Ai（t，z）必须是∑ni=0Di（t）zi。i、 e.只有齐达内对t有充分的了解。其余的证据与独立于时间的案件完全相同。4.2. 多维因素过程。在本小节中，我们将通过允许双因素过程（Zt）t来扩展多项式模型框架≥0和背景布朗运动（Wt）t≥0是多维度的。更具体地说，让（Wt）t≥0可以是D维布朗运动。Let（Zt）t≥0是在I中获取值的因素过程 Rd，假设是某些连续确定性函数b:Rd的SDE:dZt=b（Zt）dt+σ（Zt）dwt的（非爆炸性）解→ Rd和σ：Rd→ Rd×D。我们定义了扩散函数a=σ∑>，并注意到参数D的唯一作用是作为矩阵a（z）秩的上界。对于k=（k，…，kd）∈ Zd+和z=（z，…，Zd）∈ 我们将单项式定义为：zk:=zk··zkd我们将k的总度数定义为| k |=k+…+kd，并设置Kn={k∈ Zd+：|k|≤ n} 。根据上述定义，我们将债券价格设为：Pt（T）=∑K∈Kngk（T）-t） zkt如果函数gk满足边界条件gk（0）=1，如果| k |=0gk（0）=0，则即期汇率的建模与某些确定性函数R:Rd的rt=R（Zt）类似→ R.无套利条件（3）原来是条件：（17）∑K∈Kn˙gk（x）zk=∑K∈Kngk（x）Ak（z）适用于任何x≥ 0和z∈一、 其中函数定义为asAk（z）=d∑i=1bi（z） （zk） zi+d∑i、 j=1ai j（z）（zk） 子 zj-R（z）zk最后，我们定义符号fn=（f（z）：∑K∈Knfkzk，fk∈ R） 是d变量中总次数小于或等于n的多项式族。定理4.2。假设n≥ 函数（gk）是线性无关的。那我们一定要有∈ F、 毕∈ 一层楼≤ 我≤ d和ai j∈ 一层楼≤ i、 j≤ d、 此外，系数受到限制，Ak∈ fn为了所有的k | k |∈ {n-1，n}。证据

首先，我们展示函数Ak∈ Fn是所有k的多项式∈ 千牛。设N=|Kn |为集合Kn的基数。由于函数（gk）是线性独立的，我们可以找到点x，。。。，xn依赖于z，使得第i列的矩阵由向量（gk（xi），k）构成∈ Kn）不是单数。现在乘以任意z，我们可以将无套利条件（17）改写为一组N个未知量为Ak（z）的联立线性方程组。因此，解存在且唯一，可以写成单项式zk的线性组合，因此所有Ak（z）都是d变量中总次数小于或等于n的多项式。为了便于记法，我们引入以下定义：（a）i:=（0，…，0，a，0，…，0），其中a是第i分量。（a，b）i，j:=（0，…，a，…，b，…，0），其中a是第i分量，b是第j分量。因为我们必须有Ak（z）∈ FNK∈Kn，我们可以得出任何1的结论≤ i、 j≤ dA（z）=-R（z）∈ FnA（1）i（z）=bi（z）-齐尔（z）∈ FnA（1,1）i，j（z）=bi（z）zj+bj（z）zi+ai j（z）-zizjR（z）∈ 因此，我们可以立即得出结论，函数R，bi，ai-jare多项式。另一方面，a（n）i（z）=nzn-1Bi（z）+n（n）-1） 锌-2AIII（z）-zniR（z）∈ fn通过取消zn-2.因子，我们可以推断：（18）nzibi（z）+n（n）-1） 所有（z）-齐尔（z）∈ F通过考虑A（n-1） i，A（n）-2） i，A（n）-1,1）i，j，我们得到（19）（n）-1） 子笔（z）+（n）-2） （n）-1） 所有（z）-齐尔（z）∈ F（20）（n）-2） 子笔（z）+（n）-2） （n）-3） 所有（z）-齐尔（z）∈ F（21）（n）-1） zizjbi（z）+zibj（z）+（n-2） （n）-1） zjaii（z）+（n）-1） 齐艾j（z）-zizjR（z）∈ f从（19）中提取（18）并从（20）中减去（19）给定的sibi（z）+（n-1） 所有（z）∈ Fzibi（z）+（n）-2） 所有（z）∈ 在我们得到函数R，b，a所需的度约束之后，对于这个定理的剩余部分，我们观察到，给定度约束，函数将自动∈Fnas longas | k |≤ N-2.备注4.3。

我们注意到，Siegel的论文基本上涵盖了n=1的情况。[11]5. 感谢作者感谢曼恩集团学生奖学金和剑桥基金会对金融研究的财政支持。参考文献[1]L.Chen、D.Filipovic和H.V.Poor。无风险和可违约利率的二次期限结构模型。数学金融14（4）：515-536（2004）[2]J.C.考克斯、J.E.英格索尔和S.A.罗斯。利率期限结构理论。《计量经济学》53:385-407（1985）[3]Ch.Cuchiero、M.Keller Ressel和J.Teichman。多项式过程及其在数学金融中的应用。金融与随机16:711-740（2012）[4]D.Duf fie、D.Filipovic和W.Schachermayer。财务中的精细流程和应用。应用可能性年鉴13（3）：984-1053（2003）[5]D.Duf fie和R.Kan。期限结构的多因素模型。在金融数学模型中。查普曼与霍尔（1995）[6]D.菲利波维奇。可分项结构与最大度问题。数学金融12（4）：341-349（2002）[7]D.菲利波维奇和M.拉尔森。保多项式扩散及其在金融中的应用。印前（2014）[8]F.贾姆希德。二次利率模型中的债券、期货和期权评估。《应用数学金融》3:93-115（1996）[9]M.Leippold and L.Wu。二次类下的资产定价。金融与定量分析杂志37（2）：271-295（2002）[10]F.A.朗斯塔夫。利率期限结构的非线性一般均衡模型。金融经济学杂志23:195-224（1989）[11]A.F.西格尔。利率期限结构的无套利线性价格函数模型的价格容许条件。数学金融（2014）[12]O.Vasicek。期限结构的平衡特征。金融经济学杂志5（2）：177-188。(1977)