多项式项结构模型

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英文标题：
《Polynomial Term Structure Models》
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作者：
Si Cheng and Michael R. Tehranchi
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This article discuss a class of tractable model in the form of polynomial type.
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中文摘要：
本文讨论了一类多项式型的可处理模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Polynomial_Term_Structure_Models.pdf (1.03 MB)

2022-5-6 03:58:01 上传

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关键词：结构模型 多项式 Quantitative Applications Differential

多项式项结构模型Si CHENG和MICHAEL R.Tehranchabstract。我们研究了一类可控利率模型，其性质是零息债券的价格可以表示为状态扩散过程的多项式。这些模型是无套利的，因为在风险中性度量下，所有到期日的零息票债券的价格同时是局部鞅。我们的主要结果是根据菲利波维奇指数多项式模型的最大度定理对此类模型进行分类。特别是对于标量因子模型，我们还描述了债券价格为真鞅的此类模型。由于债券价格是可控的，这些模型通常很容易校准。1.引言利率期限结构的因素模型是这样一种模型，其中时间t即期利率为形式RT=R（Zt），到期债券的时间t价格为形式PT（t）=H（t）-t、 Zt）R:Rd在哪里→ R和H:R+×Rd→ R是给定的函数，Z=（Zt）t≥0是一个d维向量过程。在这里，我们只考虑不支付息票、不承担违约风险且具有单位面值的债券。更重要的是，我们假设价格为1时，不存在贴现的债券-RtrsdsPt（T）是局部鞅。当然，这个假设对函数R和Z在Q下的动力学施加了约束。

实际上，在d=1的情况下，如果假设Z是随机微分方程（2）dZt=b（Zt）dt+σ（Zt）dWt的解，其中W是标量布朗运动，b和σ是给定的函数，那么它的公式给出了适当的一致性条件（3）xH=bzH+σzzH-x>0时的相对湿度，z∈ 我在这里 R是过程Z的状态空间。原则上，只要函数b、σ和稀有函数表现良好，上述带有边界条件（1）的偏微分方程（3）就可以用数值方法求解。然而，要真正实施这样一个模型，必须首先校准参数，不幸的是，在这一阶段诉诸数值方法可能会模糊因子过程的动态和由此产生的债券价格之间的关系。因此，人们对开发易于处理的模型产生了相当大的兴趣，其中函数H是合理的显式形式。也许最著名的两个可处理因子模型是Vasicek[12]和Cox，Ingersoll&Ross[2]的模型。在这些模型中，因子过程与即期利率一致，因此在上述公式中，R（z）=z，假设函数b和σ是确定的，而函数H是指数函数形式的H（x，z）=eh（x）+H（x）z。很容易看出，一致性方程（3）简化为一个耦合的Riccati序贯微分方程组，其边界条件为H（0）=H（0）=0。Duf fie&Kan[5]研究了因子过程为任意维d的指数函数模型≥ 1，导致许多研究人员对这些模型的特性进行了大量研究。Duf fie、Filipovic&Schachermayer[4]对这篇文献的一个显著贡献是对指数结构模型的一般描述。指数函数模型可视为指数二次模型族的特例。

Longstaff[10]提出了一个指数二次模型的早期示例，并由Jamshidian[8]、Leippold&Wu[9]和Chen、Filipovic&Poor[1]等人开发和推广。人们可能会想，是否存在任意次数的非平凡指数多项式模型。菲利波维奇的回答是否定的，他证明了指数多项式模型的最大次数必然是2。也就是说，指数二次模型确实是指数多项式模型中最普遍的一类。正式地说，我们可以使用泰勒展开式将指数多项式模型的函数H视为第二个参数zk的幂的有限级数。在本章中，我们通过考虑一类多项式模型来推广指数多项式模型，其中函数H（x，z）将是第二个参数z的幂的有限和。在因子过程为标量值的情况下，函数H的形式为（4）H（x，z）=n∑对于n+1可微函数gk:R，k=0gk（x）zk+→R.当假设因子过程满足方程（2）形式的SDE时，主要结果是对所有此类模型进行分类。结果表明，函数b、σ和R必然是低阶多项式，而函数gk则是耦合线性常微分方程的系统。根据菲利波维奇关于指数多项式模型的最大度定理，n次不受约束可能会令人惊讶；事实上，指数二次模型可以被视为n→ ∞ 在某种意义上，多项式模型的极限。这项工作的灵感来自西格尔[11]的利率模型。

他证明了对于所有整数D≥1存在显式函数b:Rd→Rd，σ：Rd→Rd×d，R:Rd→R和H:[0，∞)X路→R、 取决于d参数，如果Z是随机微分方程的解Dzt=b（Zt）dt+σ（Zt）dwt，其中W是d维布朗运动，则rt=R（Zt）和PT（T）=H（T-t、 Zt），则过程P（t）是每个t的鞅≥ 0，其中Pt（T）=e-RtrsdsPt（T）。此外，函数a:=σ>和b是二次函数，函数R和H（x，·）是所有x的函数≥ 0，H（0，z）=1表示所有z∈ 特别是，随机变量Pt（T）构成了一个无套利债券价格模型，其中RTI是相应的即期利率。Cuchiero、Keller Ressel和Teichmann[3]的一项相关工作是，他们描述了一类时间齐次马尔可夫过程Y，其性质是第n（混合）阶矩最多可以表示为初始点Yof阶的多项式。实际上，考虑d=1的情况，让Fn成为次数最多n的多项式族：（5）Fn=（f:f（z）=n∑k=0fkzk，fk∈ R） 。他们研究的过程Y的性质是≥ 对于任意次n和任意多项式g∈ Fn，存在一个多项式h∈ fn使得e[g（Yt）| Y=Y]=h（Y）。相比之下，在这项工作中，我们研究过程Z，因此对于所有的t≥ 存在一个多项式H=H（t，·）∈ fn如此-RtR（Zs）ds | Z=Z]=h（Z），其中函数R和阶数n是固定的。例如，库切罗[3]论文第721页上的例子（iii）。它们表明processdZt=(-bZt+Zt）dt+qZt（1）-Zt）dwt不是3-多项式。然而，当n=3时，Z可作为多项式模型中的因子过程。特别是，他们的结果并不意味着我们的结果，反之亦然。关于多项式保留过程在金融中的进一步应用，请参阅菲利波维奇和拉尔森最近的论文[7]。本文的剩余部分安排如下。

在第2节中，我们给出了主要结果，即利率模型的分类，其中债券价格可以表示为标量因子过程的多项式。在第3节中，我们考虑了这类模型的两个具体例子，并进一步分析了它们的性质。最后，在第4节中，我们简要讨论了两种扩展：允许系数随时间变化的HullWhite类型扩展，以及大于1.2的情况。主要结果为了更清楚地看到论点的结构，我们在本节只考虑d=1的情况。第4节考虑了多维情况。本节包含本文的主要结果，即多项式项结构模型的分类。我们获得了学位≥ 1和letH:R+×R→ R是第二个变量中的多项式，如等式（4）所示。为了匹配边界条件（1），我们假设（6）g（0）=1，对于所有1，gk（0）=0≤ K≤n、 假设2.1。我们将假设系数函数（gk）是可微且线性相关的。我们还假设标量因子过程Z是具有连续漂移和波动函数b，σ的de（2）的非爆炸解，其中状态空间IR是一个边界开放区间。为了便于记法，我们将定义（z）：=σ（z），并交替使用a（z）和σ（z）。备注2.2。上述假设在多项式模型中起着重要作用。我们将把这些假设的讨论推迟到本节末尾。定理2.3。

当且仅当下列条件成立时，函数H满足PDE（3）：情况n=1。（A） R（z）=R+Rz和b（z）=b+bz+bz，其中R=b.（b）（g，g）是线性常微分方程组的唯一解˙g=-Rg+bg˙g=-Rg+（b）-R） g服从边界条件（6）。案例n≥ 2.（A）R（z）=R+Rz+Rz，b（z）=b+bz+bz+bzσ（z）=A+az+az+az+az，其中系数为R=nb=-n（n）-1） a和R=nb+n（n-1） a.（B）（g，…，gn）是线性常微分方程组的唯一解˙gk=gk-2.（k）-2） b+（k-2） （k）-3） a-R+ gk-1.（k）-1） b+（k-1） （k）-2） a-R+ gkkb+k（k-1） a-R+ gk+1（k+1）b+k（k+1）a+ gk+2（k+2）（k+1）作为边界条件（6）的对象，我们在这里解释g-2=g-1=gn+1=gn+2=0。在进行证明之前，我们先停顿几句。备注2.4。定理2.3条件（B）中常微分方程组的解可以等价地描述如下。设S=（Si，j）ni，j=0为（n+1）×（n+1）矩阵，中心为j+k，j=jbk+1+j（j）-1） ak+2-当k<0时，Rk=bk=ak=0；当k>2时，Rk=bk+1=ak+2=0。例如，当n≥ 4.矩阵具有以下形式=-澳大利亚储备银行-Rb-R2b+a3a-Rb-R2b+a-R3b+3a6ab-R2b+a-R3b+3a-R4b+6a。。。2b+a-R3b+3a-R4b+6a-R.现在lettingG（x）=g（x）g（x）。。。gn（x）.ODE变为˙G=SG，特别是，解可以表示为G（x）=eSxG（0），其中边界条件由G（0）给出=....备注2.5。假设S有n+1个不同的实特征值λ，。。。，λn，我们从初等线性代数知道，我们可以表示G viaG（x）=n∑i=0pieλix表示n+1个向量（pi）iin Rn+1的集合。因此，债券定价函数的形式为h（x，z）=n∑i=0Pi（z）eλix其中函数pi（z）=n∑k=0pi，kzk是多项式，其系数由向量pi给出。

也就是说，债券价格可以被视为债券价格的线性组合，这些债券价格是由利率为常数r=-λi，其中组合系数取决于因子过程。还要注意的是，该模型中的长期利率一般由IMX给出→∞-xlogH（x，z）=-maxiλi.备注2.6。注意矩阵的特征值是n+1次特征多项式的零点。众所周知，法拉利在1540年发现了一个四次多项式零点的显式公式，因此当n≤ 3.尤其是在这种情况下，至少在原则上，可以根据模型参数编写函数。当n≥ 4.关于模型参数，函数GI的显式公式几乎没有希望。但是，请注意，矩阵是稀疏的，即每行最多有五个非零矩阵条目。特别是，可以有效地计算矩阵指数Esx和向量G（0）的乘积，因此缺乏明确的公式不一定是一个禁止的缺点。备注2.7。当n≥ 似乎有十个自由参数：n，R，b，。。。，b、 安达，。。。，a、 然而，因为我们真正感兴趣的是利率，而不是因子过程，而且因为函数R是二次函数，我们只需要考虑模型的两个子类。事实上，如果R=0，那么函数R是确定的，我们可以改变变量，使R（z）=z，因此因子z可以与短期利率R相一致。

还请注意，b=a=0，因此r的SDE属于七参数3/2型模型族（假设存在解决方案）drt=（b+brt+cnrt）dt+ra+art+art+2（1-c） n（n）-1） rtdWt。注意，通过设置a=a=0，我们可以看到，在某种意义上，当n较大时，该多项式项结构模型近似于指数af fi模型。否则，如果R6=0，我们可以对变量进行另一次更改，使R（z）=R±z。然后，因子过程根据以下七个参数SDE之一（假设存在解）dZt=（b+bZt±nZt（2Zt）演化-c） ）dt+qa+aZt+aZtn（n）-1） Zt（Zt-c） dWt。请注意，在这两种情况下，参数n必须是大于1的整数。尤其是，根据财务数据校准此类模型必须施加这种约束。还要注意的是，等式scn=band2（1-c） n（n）-1） =adoE不唯一标识该对（c，n）。例如，（c，n）=（，2）和（c，n）=（，6）对应于相同的即期汇率模型：drt=rt（rt）-2） dt+rtq（1-rt）dWtIn尤其是，由于函数g=g=g=g=0不是线性独立的，因此该模型是二阶而不是六阶的。备注2.8。在n=1的情况下，函数R是单调的，因此在R=0和R=1的情况下不存在广义损失。在这种情况下，rt=ZT，短期利率模型变成T=（b+2crt+rt）dt+σ（rt）dWt。在这种情况下，可以显式地计算函数和gc：g（x）=[cosh（qx）-cqsinh（qx）]ecxandg（x）=-qsinh（qx）ecxwhereq=pc-b、 债券定价函数为h（x，r）=[1+（c-q） r]（1+c/q）e（c）-q） x+[1+（c+q）r]（1）-c/q）e（c+q）x.如上所述，该计算独立于函数σ（只要SDE有非爆炸有界解）。也就是说，当前债券价格的集合不足以充分验证模型。原则上，可以根据历史数据估算参数σ。

或者，它可以从其他利率衍生品中进行校准。现在我们准备给出定理2.3的证明。证据LetAk（z）=kb（z）zk-1+k（k）-1） σ（z）zk-2.-R（z）zk。方程（3）成立的充要条件是方程（7）n∑k=0˙gk（x）zk=n∑k=0gk（x）Ak（z）保持不变。我们首先证明，如果方程（7）成立，那么函数Ak∈ Fn表示k，其中Fn是等式（5）中定义的至多n次多项式。要了解这一点，请使用假定的函数（gi）的线性依赖性来选取n+1点0≤ x<…<确保（n+1）×（n+1）矩阵（gi（xj））i，jis是可逆的。通过计算方程式（7）在点（xj）处的值，我们得到以下矩阵表示：g（x）·gn（x）。。。。。。。。。g（xn）·gn（xn）A（z）。。。安（z）=∑nk=0˙gk（x）zk。。。∑nk=0˙gk（xn）zk对Ai（z）进行求解，我们可以看到Ai（z）是阶数的单项式的线性组合。案例n=1。注意r（z）=-A（z）b（z）=A（z）+zR（z）。由于F中的a和Aare，即是af fine，那么R是af fine，b是二次型。让b（z）=b+bz+bzand R（z）=R+Rz上述系统方程意味着b=R。最后，它们的一致性（7）变为˙g+˙gz=g（R+Rz）+g（b+）-zR）z）。将z的系数等同起来，可以得出颂歌系统的必要性和充分性。案例n≥ 2.注意R（z）=-A（z）b（z）=A（z）+zR（z）σ（z）=A（z）-2zb（z）+zR（z）。因为函数是多项式，所以函数R、b和σ也是多项式。