杠杆{ETF}隐含{ETF}动态波动

注意，（4.3）在ε中是一致的（即，估算中的常数与ε无关）。基于这一事实，估计值（4.2）与ε的cindependent相关联，然后是Parameterx方法。引理4.7。让假设4.2保持不变。表示（4.1）中的基本解，对应于(t+eAε（t））。用ε表示εε的n阶近似，使用（\'x（·），\'y（·））=（x，y）构造。然后我们有了ε（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）-εN（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）≤ c（T）- t） N+1Γ（M，ε）热（t，x，y，v；t，x′，y′，v′，（4.4）对于任何x，y，v，x′，y′，v′∈ R、 0≤ t<t和ε∈ （0，1），其中cis是一个正常数，依赖于m，N，T，但与ε无关。证明。使用ε估计中的一致性（4.2）和ε（T）的椭圆度，我们可以一步一步地重复proo fof（Lorig et al.，2015a，定理3.10）。修改后的pro中的关键成分是验证t，因为cin（4.2）不依赖于ε，也不依赖于c。我们现在可以陈述我们的主要误差估计。对于任何ε≥ 0，设euε为柯西问题的经典有界解t+eAε（t）euε（t，x，y，z）=0，（t，x，y，z）∈ [0，T）×R，euε（T，x，y，z）=埃克- 简单+, （x，y，z）∈ R.对于ε=0，我们通常会省略上标，只写eu而不是eu。定理4.8。假设4.1、4.2和4.3成立。设uεN，ε≥ 0，表示euε的N阶近似值，其构造如（3.11）中所述，用（`x（·），`y（·））=（x，y）和A（t）替换为eaε（t）。设“uN:=”uεN |ε=0。注意，当（x，y，z）时，与u的N阶近似无关∈ （Dδr（x，y）×r）∩D.那么对于任何δ∈ （0，1）我们有| u（t，x，y，z）- \'uN（t，x，y，z）|≤ c（T）- t） N+2,0≤ t<t，（x，y，z）∈ （Dδr（x，y）×r）∩ D.常数CDE仅在δ、k、M、N和T上结束。证据

首先，我们明确指出如果（x，y）∈ Dr（x，y）那么，对于任何ε≥ 0，\'uεn包含uε的次近似值，因为A（t）≡[0，t]×Dr（x，y）×R中的eA（t）。然后，将估计（4.4）与支付函数积分，我们得到| euε（t，x，y，z）- \'uεN（t，x，y，z）|≤ c（T）- t） N+1,0≤ t<t，（x，y，z）∈ R.（4.5）通过利用Lipschitz正则性和看跌期权的有界性，我们对指数（T）中的幂n+2置换n+1进行了更精确的估计-t） 在（4.5）中。由于算符Aε（t）、ε>0和支付函数φ满足Pagliarani和Pascucci（2014）中定理3.1的假设，我们可以从euε的全局误差估计传递到uε| uε（t，x，y，z）的局部估计- \'uεN（t，x，y，z）|≤ c（T）- t） N+2,0≤ t<t，（x，y，z）∈ （Dδr（x，y）×r）∩ D.通过引理4.6，上述估计在ε中是一致的，这足以得出证明。5隐含波动性在本节中，我们将c all期权的价格扩展转化为支付函数φ（z）=（ez- 这将导致隐含波动率的扩大。为了简化符号，我们将抑制对（t，t，x，y，z，k）的大部分依赖。然而，任何人都应该记住，价格和隐含波动率确实取决于这些数量，即使没有明确说明。我们首先回顾Black-Scholes看涨期权价格和隐含波动率的定义。定义5.1。布莱克-斯科尔斯通话价格瑞银：R+→ R+由UBS（σ）给出：=ezN（d+（σ））- ekN（d）-（σ） ），d±（σ）：=σ√τZ- k±∑τ, τ：=T- t、 （5.1）其中N是标准正态随机变量的CDF。定义5.2。对于固定（t，t，z，k），与买入价格u相关的隐含波动率∈ （（ez）-ek）+，ez）定义为方程UBS（σ）=u（5.2）的唯一严格正实解σ，其中UBS由（5.1）给出。定理5.3。

对于支付函数为φ（z）=（ez）的欧式看涨期权- ek）+we haveu=uBS（σ），σ=2βT- tZTtds a0,0（s）。（5.3）证据。该证明直接从m（3.16）开始，并加上φ（z）=（ez- ek）+。从定理5.3中，我们注意到价格扩张（3.11）的形式为u=uBS（σ）+∞Xn=1un。（5.4）如Lorig et al.（2015 b）和Jacquier and L orig（2013）所示，特殊形式（5.4）有助于扩展σ=σ+η，η=∞Xn=隐含波动率的1σn。为了看到这一点，有人把瑞银（σ）称为泰勒公司（Taylor ser ie s ab），指出了σ这一点。对于η足够小（即，在关于点σ的瑞银泰勒级数展开的收敛半径内），我们有瑞银（σ）=瑞银（σ+η）=瑞银（σ）+η）σuBS（σ）+2！ησuBS（σ）+3！ησuBS（σ）+。（5.5）将e展开式（5.4）和（5.5）插入方程（5.2），可以迭代求解序列（σn）n中的每一项≥1.我们将隐含波动率的n阶近似值定义为“σn=nXk=0σn”。总和中的前四项足以提供隐含波动率的精确近似值，为σ，由（5.3）给出，σ=uσuBS（σ），σ=u-σσuBS（σ）σuBS（σ），σ=u-σσσ+3!σσ瑞银（σ）σuBS（σ）。（5.6）N阶项的一般表达式可在Lorig等人（20 15b）中找到；Jacquier和Lorig（2013）。如前所述，（5.6）中的表达式并不是特别有用。实际上，uBS（σ）和unare Gaussianintegrals，它们的计算不需要大量的数值计算，但并没有给出多少关于隐含波动率依赖于（t，t，x，y，z，k，β）的明确信息。然而，使用（5.1）直接计算显示σuBS（σ）σuBS（σ）=（k- z） τσ-τσ,σuBS（σ）σuBS（σ）=（k- z） τσ-τσ-2σ（k）- z） +τσ-τ. （5.7）一般而言，表格中的每个术语nσuBS（σ）/σuBS（σ）可以显式计算。此外，联合国的条款/σuBS（σ）也可以显式计算。

为了说明这一点，我们从定理3.4和5.3中注意到，un=Ln（t，t）u=eLn（t，t）uBS（σ），其中eLn（t，t）=nXk=1zttdtdtzttdt··ZTtk-1dtkXi∈In，kGi（t，t）·Gik-1（t，tk-1） eGik（t，tk），eGn（t，ti）：=nXk=0（Mx（t，ti）- \'x（ti））n-k（My（t，ti）- “y（ti））kan-k、 k（ti）β(Z- z） 瑞银（σ）。因此，unis是formun=XmXn，m的有限和mz(Z- z） uBS（σ），（5.8），其中系数（Xn，m）是（t，t，x，y）相关常数，可根据定理3.4计算。现在，使用（5.1），直接计算显示mz(Z- z） 瑞银（σ）σuBS（σ）=-1p2στ！mHn（w）τσ，w:=z- K-στσp2στ，（5.9），其中Hn（z）：=(-1） 内兹nze-Zi是第n个Hermite多项式。把（5.8）和（5.9）结合起来σuBS（σ）=XmXn，m-1p2στ！mHn（w）τσ。（5.10）最后，从（5.7）和（5.10）中，我们可以看到隐含波动率扩展（5.6）中的所有项都是对数货币性λ=（k）中的多项式- z） 。（σn）n的显式表达式≤3在不同的模型下，将给出第6节。（σn）n的一般表达式≤2在时间上，均匀LSV设置如下所示。我们用λ=k表示- z、 τ=T- t、 （Xt，Yt）=（x，y），我们选择泰勒级数近似的展开点为（\'x（·），\'y（·））=（x，y）。

我们有σ=|β| p2a0,0，σ=σ1,0+σ0,1，σ=σ2,0+σ1,1+σ0,2，其中σ1,0=τ（（β- 1） σa1,0）+2σ（βa1,0）λ，σ0,1=τ4σβa0,1（2c0,0+βf0,0）+2σβa0,1f0,0λ,σ2,0=τ24σ2σa2,0- 3βa1,0+τ96ββ(2β(2β - 5） +5）σa1,0+4（β）- 1） σa2,0+τ24βσ-(β - 1)βa1,0- 4σa2,0λ +12σ2σa2,0- 3βa1,0λ,σ1,1=τ12σβa0,1βa1,0f0,0- 2σf1,0+ σa1,1f0,0+τ48σa0,1βa1,0（2）（β- 1） c0,0- βf0,0）+2（β- 1） σ（2c1,0+βf1,0）+ 2(β - 1） σa1,1（2c0,0+βf0,0）+τ24σβa0,15βa1,0（（1- 2β）f0,0- 2c0,0）+2σ（2c1,0+（2β- 1） f1,0）+ 2σa1,1（2c0,0+（2β- 1） f0,0）λ+6σβa0,1σf1,0- 5βa1,0f0,0+ σa1,1f0,0λ,σ0,2=τ24σ12βσa0,2b0,0- 4βσ2a0,1b0,0+a0,1f0,0f0,1+a0,2f0,0+ 9βa0,1f0,0+τ24σβσ-2βa0,1b0,0+a0,1（2c0,0+βf0,0）（2c0,1+βf0,1）+a0,2（2c0,0+βf0,0）- 3βa0,1c0,0（c0,0+βf0,0）+τ24σβ-9βa0,1f0,0（2c0,0+βf0,0）+4σa0,2f0,0（2c0,0+βf0,0）+4σa0,1（f0,1（c0,0+βf0,0）+c0,1f0,0）λ+12σβ2σ2a0,1b0,0+a0,1f0,0f0,1+a0,2f0,0- 9βa0,1f0,0λ、 5.1与前面提到的其他隐含波动率扩展相比，当β=1时，写在对数ETF Z上的期权等同于写在对数ETF X上的期权。在这种特殊情况下，本手册中讨论的隐含波动率扩展减少到Lorig et al.（2015b）中开发的隐含波动率扩展。如果另外选择（\'x，\'y）=（x，y），则Lorig等人（2015b）给出的隐含波动率近似值相当于Bompis和Gob等人（2013）给出的隐含波动率扩展。然而，本文和inLorig等人（2015b）提出的扩展是使用偏微分方程方法推导的，而Bompis和Gobet（2013）提出的扩展是使用Malliavin ca lc ulus的工具开发的。

截至目前，OMPIS和Gobet（2013）的隐含波动率近似值尚未扩展到LETF的期权。我们注意到，对于ETF X上的期权，Lorig等人（2015b）对其他隐含波动率扩展进行了广泛比较。特别是，对于赫斯顿模型，此处给出的近似方法与Forde et al.（2012）中的近似方法进行了比较，对于CEV，它与Hagan和Woodward（1999）的近似方法进行了比较，对于SABR，它与Haga n et al.（2002）的近似方法进行了比较。然而，Forde e t al.（2012）、Hag-an和Woodward（19 99）以及Hagan et al.（2002）都没有像我们在这里所做的那样，对LETF Z上的隐含波动率进行近似。人们可能会使用另外两种方法来计算LETF上的近似期权价格和隐含波动率，即热核法和大偏差法，例如Inramstrong等人（2014年）讨论了这两种方法；亨利·劳德埃（1909）；Ga theral等人（2012年）。通常来说，这些方法都依赖于计算黎曼流形上的测地距离，黎曼流形的度量是基础微分的子午线矩阵的逆。目前尚不清楚如何计算与过程（X，Y，Z）相关的度量的大偏差估计和测地距离，因为差异矩阵是单数的（见备注3.1）。5.2隐含波动率和对数货币比例让我们继续在时间均匀的环境下工作。设σZ（τ，λ）为到期时间为τ且对数货币性为λ=（k）的LETF Z上的赎回的隐含波动率-z） 设σX（τ，λ）为ETF上的看涨期权的隐含有效性X到期时间τ和对数货币sλ=（k）-x） 。

上述表达式提供了一般时间齐次LSV设置中σZ（τ，λ）和σX（τ，λ）的显式近似值（对于σX（τ，λ），只需设置β=1）。这些表达式显示了隐含效用对杠杆率β的高度非平凡依赖性，并对校准目的有用。隐含波动率面（τ，λ）7→ σZ（τ，λ）和（τ，λ）7→ σX（τ，λ）可能表现出非常不同的行为。然而，对于杠杆比率之间的价格比较，将它们联系起来是可行的，尽管是试探性的或近似的。为此，我们现在介绍一些直观的缩放。检查最低阶项σ和σweobserveLETF:σZ≈ |β| p2a0,0+|β| a1,0p2a0,0+a0,1f0,02（2a0,0）3/2！λβ+O（τ），（5.11）ETF:σX≈p2a0,0+a1,0p2a0,0+a0,1f0,02（2a0,0）3/2！λ+O（τ）。（5.12）比较σz和σX，我们发现杠杆率β有两个影响。首先，σZis的垂直轴按|β|的因子缩放。其次，水平轴的比例为1/β。特别是，这意味着如果β<0，σx和σz的斜率将有相反的符号。对于SMALLτ，O（τ）项在表达式中的贡献很小。根据上述观察结果，自然引入σ（β）X和σ（1/β）Z，即标度隐含波动率，我们将其定义为σ（β）X（τ，λ）：=|β|σX（τ，λ/β），σ（1/β）Z（τ，λ）：=|β|σZ（τ，βλ）。（5.13）这些定义通过两种方式将隐含波动率表面σX和σZ联系起来。从一种方式来看，ETF隐含波动率σX（τ，λ）应大致与LETF隐含波动率|β|σZ（τ，βλ）一致。相反，LETF隐含波动率σZ（τ，λ）应接近ETF隐含波动率|β|σX（τ，λ/β）。换句话说，从（5.11）、（5.12）和（5.13）中，我们可以看到对于小的τσZ（τ，λ）≈ σ（β）X（τ，λ），σX（τ，λ）≈ σ（1/β）Z（τ，λ）。

（5.14）在图1中，使用来自标准普尔500指数ETF和LETF的经验期权数据，我们分别绘制了σZand和σ（1/β）Z，即未标度和标度隐含波动率。该图显示了缩放参数的显著影响。在标度（左面板）之前，LETF、SSO（β=+2）和SDS（β=-2） ，其值远高于无杠杆ETF SPY（β=+1）。此外，DSS隐含波动率在对数货币中增加。根据（5.13）（右图）调整了LETF隐含波动率后，它们与ETF隐含波动率非常接近，现在都在下降。在第6节中，我们将为三个著名模型：CEV、Heston和SABR计算σX（τ，λ）和σ（1/β）Z（τ，λ）的显式近似。正如我们将看到的，尽管这三个模型产生了不同的隐含波动率面，但对于小τ，β在关联σXtoσz中的作用将由（5.14）捕捉。然而，我们要强调的是，单凭s c标记不足以证明波动率表面的复杂性。事实上，随着τ的增加，我们预计σ（1/β）Zto偏离σX。这种离散性是由于综合方差对Z终值的贡献，如（2.3）所示。因此，对于较长的成熟度，LETF隐含波动率曲面的精确近似值必须包含较高的τ。从一般的隐含波动率表达式中，我们可以看到β在O（τ）项中的作用很复杂，不适合于简单的标度论证。因此，完整的隐含波动率扩展——而不仅仅是缩放参数——非常重要。备注5.4。Leung和Sircar（2015）最近的一篇论文提出了一种基于随机参数的替代隐含波动率标定方法。

给定终端ETF值Xτ=k，他们计算出预期的未来收益率Zτ- zEx，y，z[ZT- z | XT=k]=β（k- 十）-β(β - 1） ZτEx，y，Z[σ（s，Xs，Ys）| Xτ=k]ds，（5.15），其中Ex，y，Z[·]=E[·| X=X，y=y，Z=Z]。他们还注意到，从ETF和LETF SDE中，Z的波动率是X的波动率的|β|倍。作者建议以上述为启发，进行规模化-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.40.10.150.20.250.30.350.40.450.5间谍软件-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05 0.05 0.1 0.150.10.120.140.160.180.20.220.240.260.28 SPYSSOSDSFigure 1：左图：SPY（红色钻石，β=+1）、SSO（紫色圆圈，β=+2）和S DS（蓝色十字，β=-2） 2013年8月15日，τ=155天。请注意，在LETF对数货币中，SDS的隐含波动率正在增加。右图：使用samedata，标度的LETF隐含波动率σ（1/β）Z（τ，λ）几乎一致。隐含波动率如下σZ（τ，λ）=|β|σX（τ，βλ）-β(β - 1） I（τ）），I（τ）=ZτEx，y，Z[σ（s，Xs，Ys）|Xτ=k]ds。在Leung and Sircar（2015）中，I（τ）的值是使用观察到的隐含波动率的平均值估计的。相比之下，（5.13）中提出的比例并没有试图解释（5.15）中的积分。然而，综合方差的影响由一般隐含波动率扩展中的O（τ）项捕捉。6例在本节中，我们提供了三种不同模型动力学下隐含波动率的显式表达式：CEV、Heston和SABR。将特别关注β的作用，即杠杆率。

在下面的例子中，我们计算了时间t=0和时间t=τ的隐含波动率。我们注意到，尽管定理4.8确定了定价近似的精度顺序为τ→ 0，我们的数值测试表明，隐含波动率扩展给出了多年到期的σ（1/β）ZF的精确近似值。尽管如此，LETF的期权目前只交易期限小于1.25年的期权。Leung和Sircar（2015）绘制了四种基于S&P500的LETF期权（β=±2，±3）的经验隐含波动率，所有这些期权的到期日都不到一年。因此，在数字样本中，我们关注这些到期日。所有交易性质的ETF和LETF期权的延迟报价可在CBOE和雅虎财经网站上获得。6.1 CEVIn在Cox（1975）的恒定方差弹性（CEV）局部波动模型中，基础S的动力学由DST=δSγ给出- 1tStdWxt，S>0，其中，为了保持过程S的鞅性质（参见Heston等人（2007）），假设参数γ小于或等于1。（X，Z）=（logs，logl）的动力学为-δe2（γ）- 1） Xtdt+δe（γ-1） XtdWxt，X=X:=log S.dZt=-βδe2（γ- 1） Xtdt+βδe（γ-1） XtdWxt，Z=Z:=logl。由a=δe2（γ）给出（X，Z）的生成元- 1） x(十、- x） +β(Z- z） +2β十、Z.因此，从（3.3）中，我们确定a（x，y）=δe2（γ- 1） x，b（x，y）=0，c（x，y）=0，f（x，y）=0。