杠杆{ETF}隐含{ETF}动态波动

正如我们将看到的，这种假设对于u的四阶近似是不必要的，我们将在定义3.3中给出。然而，做出这个假设将简化接下来的推导。设（\'x（·），\'y（·））：[0，T]→ Rbe是一个分段连续映射。对于任何（t，x，y），我们有：χ（t，x，y）=∞Xn=0nXk=0χn-k、 k（t）（x）- \'x（t））n-k（y）- y（t））k，χn-k、 k（t）=N-kxkyχ（t，\'x（t），\'y（t））（n- k） !！Kχ ∈ {a，b，c，f}。形式上，操作符A（t）现在可以写成asA（t）=A（t）+B（t），B（t）=∞Xn=1An（t），An（t）=nXk=0（x- \'x（t））n-k（y）- \"y(t))kAn-k、 k（t），（3.6）在哪里-k、 k（t）=an-k、 k（t）十、- 十、+ βZ- Z+ 2β 十、Z+ bn-k、 k（t）y+cn-k、 k（t）y+fn-k、 k（t）(十、y+βYz） ，将A（t）的展开式（3.6）插入柯西问题（3.2），我们发现(t+A（t））u（t）=-B（t）u（t），u（t）=~n。通过构造，算子A（t）是一个微分的发生器，其系数仅决定时间的微函数。根据杜哈默尔的原理，我们有u（t）=P（t，t）~n+zttdttp（t，t）B（t）u（t），（3.7），其中P（t，t）=expRTtds A（s），是由A（t）生成的算子的半群；我们将在第3.2节中为P（t，t）提供一个明确的表格。将u的表达式（3.7）插回（3.7）的右侧，然后迭代得到u（t）=P（t，t）~n+∞Xk=1ZTtdtZTtdt··ZTtk-1dtkP（t，t）B（t）P（t，t）B（t）·P（tk）-1，tk）B（tk）P（tk，T）~n（3.8）=P（T，T）~n+∞Xn=1nXk=1ZTTDTTZTTDT··ZTtk-1dtkXi∈In，kP（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tk）-1，tk）Aik（tk）P（tk，T）~n，（3.9）In，k={i=（i，i，·ik）∈ Nk:i+i+···+ik=n}。（3.10）注意，倒数第二个等式（3.8）是u的经典Dyson级数展开，对应于零阶g生成器A（t）和扰动B（t）。为了从（3.8）中获得（3.9），我们使用了这样一个事实，即在（3.6）中，运算器B（t）是一个有限和。

此时不打算对交换有限和和和积分进行严格的调整，这需要额外的假设。在定义3.3中可以清楚地看到，u的N阶近似值只包含有限和。表达（3.9）激发了以下定义：定义3.3。让u由（3.1）给出。假设每个t∈ [0，T]算子a（T）的系数（a，b，c，f）在空间变量（x，y）中是N倍可微的。对于固定分段连续映射（\'x（·），\'y（·））：[0，T]→ R、 u的n阶近似值表示为“uN”，定义为“uN=NXn=0un，其中u（t）：=P（t，t）~n，（3.11）和uN（t）：=nXk=1zttdtdtzttdt··ZTtk-1dtkXi∈In，kP（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tk）-1，tk）Aik（tk）P（tk，T）~n。（3.12）这里，Ai（t）和In，kare分别如（3.6）和（3.10）所示，P（t，t）是由A（t）生成的半群。3.2表示A（t）生成的半群P（t，t）在作用于函数θ：R时的作用→ R isP（t，t）θ（x，y，z）=ZRdξdηdζδ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）θ（ξ，η，ζ），（3.13），其中δ′zi是以‘z=z+β（ξ）为中心的狄拉克质量- 十）- β(β - 1） Zta0,0（s）ds，（3.14）和Γ（t，x，y；t，ξ，η）=2πp | C | exp-mTC-1米, （3.15）协方差矩阵C和向量m由以下公式给出：C=RTta0,0（s）dsRTtf0,0（s）dsRTtf0,0（s）ds 2RTB0,0（s）ds！，m=ξ- x+RTta0,0（s）dsη- Y-RTtc0,0（s）ds！。利用（3.11），我们得到了u（t）=P（t，t）~n。因此，从（3.13）中，直接t计算得出第零次或反近似u（t，z）=ZRdζp2πs（t，t）exp-(ζ - m（t，t））2s（t，t）η（ζ），（3.16），其中平均值m（t，t）和方差s（t，t）由m（t，t）=z给出- βZTtdta0,0（t），s（t，t）=2βZTtdta0,0（t）。3.3以下定理的表达式和随后的证明表明，un（t）可以写成作用于u（t）的微分算子。这个定理是专门为看跌期权而写的，看跌期权在衍生品市场中扮演着重要角色。

所有价格在衍生品市场中也很重要，可以通过看跌期权平价从看跌期权价格中获得。定理3.4。假设每个t∈ [0，T]算子a（T）的系数（a，b，c，f）在空间变量（x，y）中是n次可微的。还假设φ是Z上看跌期权的支付。也就是说，φ（Z）=埃克- 简单+. 然后，对于固定的分段连续MAP（\'x（·），\'y（·））：[0，T]→ R、 （3.12）中定义的函数由un（t）=Ln（t，t）u（t），（3.17）明确给出，其中ui由（3.16）和Ln（t，t）=nXk=1ZTtdtZTtdt··ZTtk给出-1dtkXi∈In，kGi（t，t）Gi（t，t）·Gik（t，tk），（3.18）与In，kas定义在（3.10）和gn（t，ti）：=nXk=0（Mx（t，ti）- \'x（ti））n-k（My（t，ti）- “y（ti））kAn-k、 k（ti）（3.19）Mx（t，ti）：=x+Ztitdsa0,0（s）（2）x+2βZ- 1） +f0,0（s）Y,My（t，ti）：=y+zitdsf0,0（s）(x+βz） +2b0,0（s）y+c0,0（s）.证据证明包括证明（3.19）中的算子Gi（t，tk）满足（t，tk）Ai（tk）=Gi（t，tk）P（t，tk）。（3.20）假设（3.20）成立，我们可以使用P（t，t）满足半群性质yp（t，t）=P（t，t）P（t，t）·P（tk）的事实-1，tk）P（tk，T），（3.21），我们可以重写（3.12）asun（T）=nXk=1zttdtdtzttdt··ZTtk-1dtkXi∈In，kGi（t，t）Gi（t，t）··Gik（t，tk）P（t，t）~n。（3.22）注意，在推导（3.22）时，我们反复使用d（3.20）来移动（3.12）中的半群算子P（ti，ti+1）经过Ai（ti+1）算子。然后，我们使用d（3.21）。最后，使用P（t，t）~n=u（t），等式（3.17）-（3.18）直接从（3.22）推导而来，因此，我们只需要证明Gi（t，tk）满足（3.20）。为了说明这一点（3.20），我们注意到mx（t，t）δ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）= ξδ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）, （3.23）我的（t，t）δ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）= ηδ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）, （3.24）其中“z”在（3.14）中定义，“Γ”在（3.15）中定义。这是一个直接计算，可以手动检查。

根据（3.23）和（3.24）的重复应用，如果p:R→ R是一个多项式函数，我们有p（Mx（t，t），My（t，t））δ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）= p（ξ，η）δ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）. （3.25）在下面我们写出一个ξ，η，ζn-k、 k（s）和Ax，y，zn-k、 k（s），以明确指示这些运算符作用于哪些变量。我们也用（Aξ，η，ζn）表示-k、 k（s））*Aξ，η，ζn的形式伴随-k、 k（s）。假设θ：R→ R是c（R），最多呈指数增长。然后我们有p（t，s）Ai（s）θ（x，y，z）=ZRdξdηdζδ′z（ζ）Γ（t，x，y；s，ξ，η）nXk=0（ξ- \'x（s））n-k（η）- y（s）kAξ，η，ζn-k、 k（s）θ（ξ，η，ζ）=nXk=0（Mx（t，s）- \'x（s））n-k（我的t，s）- y（s））kZRdξdηdζδz（ζ）Γ（t，x，y；s，ξ，η）Aξ，η，ζn-k、 k（s）θ（ξ，η，ζ）=nXk=0（Mx（t，s）- \'x（s））n-k（我的t，s）- y（s））kZRdξdηdζδz（ζ）θ（ξ，η，ζ）Aξ，η，ζn-k、 k(s)*Γ（t，x，y；s，ξ，η）=nXk=0（Mx（t，s）- \'x（s））n-k（我的t，s）- y（s）kAx，y，zn-k、 k（s）ZRdξdηdζδ′z（ζ）θ（ξ，η，ζ）Γ（t，x，y；s，ξ，η）=Gi（t，s）P（t，s）θ（x，y，z）。第一个等式源自P（t，s）和Ai（s）的定义。在第二个等式中，我们使用（3.25）并将运算器MX和Myout从积分中拉出，因为它们作用于后向变量（x，y，z）。在第三个等式中，我们通过部分进行积分。在第四个等式中，我们使用了核δ′z（z）Γ（t，x，y；s，ξ，η）的对称性来替换Aξ，η，ζn-k、 k(s)*用斧头，y，zn-k、 k（s）。然后我们拔出斧头，y，zn-k、 k（s）超出积分，因为它作用于后向变量（x，y，z）。最后一个等式来自Gi（t，s）和P（t，s）的定义。因此，我们建立了P（t，s）Ai（s）=Gi（t，s）P（t，s），当作用于至多呈指数增长的函数θ即C（R）时。为了完成证明，我们必须证明形式P（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tk）的项-1，tk）Aik（tk）P（tk，T）~n，（3.26）至少为C（R），且最多呈指数增长。

事实上，我们将证明这些术语是C∞e（R），其中C∞e（R）表示函数的空间∞（R） 所有阶数的导数都呈指数增长。为了说明这一点，我们注意到P（tk，T）~n=瑞银（tk），其中瑞银是看跌期权的布莱克-斯科尔斯价格。因为Black-Scholes的导数，关于z的价格是C∞e（R）紧随其后的是P（tk，T）~n∈ C∞e（R）。现在，不要再提C了∞e（R）在微分、非多项式乘法和半群算子P（t，s）变换下是不变的。因此，任何形式（3.26）的术语都是C的成员∞e（R）。备注3.5。事实上，定理3.4也直接适用于看涨期权，因为BlackScholes的所有价格相对于z的导数都是C∞e（R）。在下面的建议中，我们提供了近似序列（un）的另一种特征，作为PDE嵌套序列的解。使用Lorig等人（2015a）中的替代方法得出的这种替代表征，将在第4节中用于分析近似的精度。提议3.6。设φ为看跌期权的收益：φ（z）=（ek）- ez）+。（3.17）中的函数序列（un）解决了以下柯西问题的嵌套序列(t+A（t））u=0，u（t）=~n，（3.27）(t+A（t））un=-nXk=1Ak（t）un-k、 un（T）=0，n≥ 1.（3.28）证据。证据是归纳法。根据杜哈默尔原理，（3.27）的解和（3.28）的解n=1 areu（t）=P（t，t）Д，u（t）=ZTtdtP（t，t）A（t）P（t，t）Д，与（3.11）和（3.12）一致。我们现在假设表达式（3.12）适用于第一个（n-1） 并表明它适用于第n个术语。

再次，根据Duhamel的原理，（3.28）的解是un（t）=nXk=1zttdttp（t，t）Ak（t）un-k（t）=zttdttp（t，t）和（t）P（t，t）~n+n-1Xk=1ZTtdtP（t，t）Ak（t）n-kXm=1ZTtdtZTtdt··ZTtm-1dtmXi∈在里面-k、 mP（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tm）-1，tm）Aim（tm）P（tm，T）~n=zttdttp（T，T）An（T）P（T，T）~n+n-1Xk=1ZTTDTZTTT··ZTtm-1dtmn-kXm=1Xi∈在里面-k、 mP（t，t）Ak（t）P（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tm）-1，tm）Aim（tm）P（tm，T）~n=nXk=1zttdtdtzttdt··ZTtk-1dtkXi∈In，kP（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tk）-1，tk）Aik（tk）P（tk，T）~n，与表达式（3.12）一致。备注3.7。请注意，根据（3.16），零阶价格uis只是期权支付μversusa Gaussian kernelΓ的积分，就像Black-Scholes模型一样。从定理3.4中，我们可以看到，通过将微分算子Lnu应用于后向变量z，可以获得高阶项。后向变量z只存在于高斯核Γ中，在前向变量ζ乘以Γ时产生（厄米）多项式。因此，价格展开式中的每一项的形式为（t，z）=ZRdζpn（ζ）p2πs（t，t）exp-(ζ - m（t，t））2s（t，t）φ(ζ).其中函数pn是多项式。因此，近似价格的计算时间与Black-Scholes模型相当。4期权定价近似值的准确性本节的目标是为前几节所述的N阶定价近似值建立严格的误差范围。我们将采用Pagliarani和Pascucci（2014）的方法，将局部椭圆的算子A（t）处理为我们当前的情况，其中算子A（t）是单数的（见备注3.1）。我们的主要误差界在本节末尾的定理4.8中给出。

为了证明这个定理，我们引入了（t，x，y）过程的对称正半有限差分矩阵A（t，x，y）：=2a（t，x，y）f（t，x，y）f（t，x，y）2b（t，x，y）！。我们还介绍了Dr（x，y），欧几里得ballDr（x，y）={（x，y）∈ R:|（x，y）- （x，y）|<r}，为任何（x，y）定义∈ 兰德r>0。通过第4节，我们假设如下：假设4.1。（3.1）中的函数u解决了向后柯西问题(t+A（t））u（t，x，y，z）=0，（t，x，y，z）∈ [0，T）×D，u（T，x，y，z）=φ（z），（x，y，z）∈ D、 其中D是R中的一个域。D=R是可能的，但不是必需的。假设4.2。i） 局部有界性和全局正则性：系数a，b，c，f属于L∞loc（[0，T]×D）和满意度（T，·，·，·），b（T，·，·），c（T，·，·，·），f（T，·，·）∈ CN+1（D）表示任何t∈ [0，T]。ii）局部非简并性：A=A（t，x，y）的扩散矩阵在某些圆柱[0，t]×Dr（x，y）上为正定义。更精确地说，A=eA in[0，T]×Dr（x，y），其中eA∈ L∞（[0，T]×R）是公式a（T，x，y）=2ea（T，x，y）ef（T，x，y）ef（T，x，y）2eb（T，x，y）！，例如ea（t，·，·）∈ CN+1b（R）表示任何t∈ [0，T]，其中，Cnbde注意到具有高达N阶有界导数的连续可微函数的空间，以及m-1|ξ|≤Xi，j=1eAij（t，x，y）ξiξj≤ M |ξ|，t∈ [0，T]，（x，y），ξ∈ R、 对于某些正常数M，我们要求函数ec的存在性∈ L∞（[0，T]×R）这样的ec（T，·，·）∈ CN+1b（R）表示任何t∈ [0，T]和c=ec in[0，T]×Dr（x，y）。假设4.3。我们假设支付函数是Z上的看跌期权的函数。也就是说，支付函数是（Z）=埃克- 简单+.备注4.4。假设4.1和4.2得到了许多著名模型的满足，包括赫斯顿、恒定方差弹性（CEV）和SABR。因此，对于这些模型，我们可以建立欧洲看跌期权价格的严格误差界限。

通过看涨期权平价获得的看涨期权价格的误差范围保持了相同的精度顺序。备注4.5。注意，尽管过程（X，Y）的扩散矩阵a是局部正定义的，但过程（X，Y，Z）的扩散矩阵（3.4）仍然是奇异的。因此，柯西问题（3.2）不是抛物线问题。帕利亚拉尼和帕斯库奇（2014）没有处理这个问题，这是一个必须克服的技术挑战，以便为我们的定价近似值建立误差估计。为了处理定价算子的双简并（回想一下，（x，y）变量有部分简并，z变量有全局简并），我们现在使用椭圆正则化技术。具体地说，我们引入了一个过程Zε，它是（2.4）中Z动力学的修正。Wede finedzεt:=dZt-εdt+εdWzt，dhWx，Wzi=0，dhWy，Wzi=0，ε≥ 0.我们用Aε（t）表示马尔可夫过程（X，Y，Zε）的最小生成元，用uε表示与Aε（t）相关的柯西问题的解，最后的数据为。具体而言(t+Aε（t））uε（t，x，y，z）=0，（t，x，y，z）∈ [0，T）×Dε，uε（T，x，y，z）=φ（z），（x，y，z）∈ Dε，其中Dε是R的某个域。因此，uε表示（X，Y，Zε）上的欧式看跌期权的价格。假设4.2-i）保证我们可以通过在定义3.3中用ε（t）替换A（t）来构造uεN，即uε的N阶近似值。此外，对于任何ε>0，Aε（t）和|满足Pagliarani和Pascucci（2014）中定理3.1的假设，其中| uε的局部误差估计- 建立了“uεN”。

下面我们证明，这种误差估计在ε中是一致的，因此，在马尔可夫过程（X，Y，Z）上写出的期权价格近似值的误差界将遵循ε→ 0.在这一点上，引入过程Vε是有用的，它满足以下SDE:dVεt=β(1 - β） σ（t，Xt，Yt）- εdt+εdWzt。我们注意到，Zε的动力学可以写成如下dzεt=βdXt+dVεt。因此，除了考虑（X，Y，Zε）的生成元外，我们还可以考虑（X，Y，Vε）的生成元，它（稍微滥用符号）表示aε（t）的增益。这个算符分为一个算符x（t）和一个算符Vε（t），前者对（x，y）求导数，后者对V求导数。也就是说，Aε（t）=x（t）+Vε（t），x（t）=A（t，x，y）十、- 十、+ b（t，x，y）y+f（t，x，y）十、y+c（t，x，y）y、 Vε（t）=ε五、- 五、+ a（t，x，y）β（1）- β)v、 Pagliarani和Pascucci（2014）定理3.1证明的第一步是将[0，t]×D上定义的算子aε（t）扩展为[0，t]×R上的一致椭圆算子aε（t）。这可以通过假设4.2-ii实现。事实上，对于一个nyε≥ 0时，必须定义ε（t）=eX（t）+eVε（t），eX（t）=ea（t，x，y）十、- 十、+eb（t，x，y）y+ef（t，x，y）十、y+ec（t，x，y）y、 eVε（t）=ε五、- 五、+ ea（t，x，y）β（1）- β)v、 根据假设4.2，Aε（t）=eAε（t）和X（t）=eX（t）在[0，t]×Dr（X，y）×R中。注意，eAε（t）和X（t）分别是[0，t]×Rand[0，t]×上的一致椭圆算子。不管怎样(t+eAε（t））是均匀分解的，有一个基本解，用ε=eε（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）表示，t<t，（4.1），这（通过定义）是(t+eAε（t））eΓε（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）=0，（t，x，y，v）∈ [0，T）×R，eΓε（T，·，·；T，x′，y′，v′）=δx′，y′，v′。在下面的引理中，我们证明eΓε满足一些高斯估计。引理4.6。

让我，j，h，k∈ N带h+k≤ N+2和¨T>0。然后，在假设4.2下，我们有（十）-x′）i（y）- y′）jhxkyeΓε（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）≤ c（T）- t） i+j-H-kΓ（M，ε）热（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）（4.2）对于任何x，y，v，x′，y′，v′∈ R、 0≤ t<t≤\'T和ε∈ 这里，Γ（M，ε）heat表示热算符的基本解t+M(xx+yy）+εvv和Cs是一个仅依赖于M、N、i、j和¨T的正常数。特别是，常数cis与ε无关。证据估计值（4.2）与经典高斯估计值略有不同（参见Friedma n（1964）；另见Di Francesco和Pascucci（2005年），Pascucci（2011年）的最新和一般性介绍），因为(t+eAε（t）），而pa-rabolic，不是关于ε的一致抛物线∈ （0，1）。然而，通过模仿基于Parameterix方法的经典参数，并仔细检查常数CI是否独立于ε，可以证明本文的论点。尤其是，Parameterix构造中的主要成分是一些统一的In-ε高斯估计（例如，见Di Frances co和Pascucci（2005）中的命题3.1），我们现在描述了这些。对于任何固定（\'x，\'y）∈ R、 wedenote byeX\'x，\'y（t）通过冻结在（\'x，\'y）处的系数获得的算子，我们设置εx，\'y（t）：=eX\'x，\'y（t）+εv、 LeteΓεΓx，\'yandeΓx，\'Yb是对应于(t+eAεx，y）和(分别为t+eX\'x和y）。然后对于每个‘x，’y，x，y，v，x′，y′，v′∈ R、 0≤ t<t≤\'T和ε∈ （0，1），我们有-2Γ（M）-1，ε）热（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）≤eΓεx，y（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）≤ MΓ（M，ε）热（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）。（4.3）估算（4.3）可以很容易地证明，如Di France sco和Pascucci（2005）中的命题3.1所示，通过notingtateΓεΓx，\'y=eΓx，\'yΓε，其中Γε是一维热（抛物线）算子的基本解(εt+vv）。