杠杆{ETF}隐含{ETF}动态波动

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英文标题：
《Leveraged {ETF} implied volatilities from {ETF} dynamics》
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作者：
Tim Leung, Matthew Lorig, Andrea Pascucci
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The growth of the exhange-traded fund (ETF) industry has given rise to the trading of options written on ETFs and their leveraged counterparts {(LETFs)}. We study the relationship between the ETF and LETF implied volatility surfaces when the underlying ETF is modeled by a general class of local-stochastic volatility models. A closed-form approximation for prices is derived for European-style options whose payoff depends on the terminal value of the ETF and/or LETF. Rigorous error bounds for this pricing approximation are established. A closed-form approximation for implied volatilities is also derived. We also discuss a scaling procedure for comparing implied volatilities across leverage ratios. The implied volatility expansions and scalings are tested in three well-known settings: CEV, Heston and SABR.
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中文摘要：
埃芬奇交易基金（ETF）行业的增长导致了ETF及其杠杆交易对手{（LETFs）}的期权交易。我们研究了当标的ETF由一类一般的局部随机波动率模型建模时，ETF和LETF隐含波动率曲面之间的关系。对于收益取决于ETF和/或LETF终值的欧式期权，导出了价格的封闭形式近似值。建立了这种定价近似的严格误差界。还导出了隐含挥发率的闭合形式近似。我们还讨论了一个比较杠杆比率隐含波动率的标度程序。隐含波动率扩展和标度在三个著名的环境中进行了测试：CEV、Heston和SABR。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Leveraged_{ETF}_implied_volatilities_from_{ETF}_dynamics.pdf (604.25 KB)

2022-5-6 04:00:59 上传

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关键词：ETF volatilities Quantitative relationship Applications

杠杆化ETF隐含波动率来自ETF dynamicsTim Leung*Matthew Lorig+Andrea Pascucci此版本：2015年4月16日摘要交易所交易基金（ETF）行业的增长导致ETF及其杠杆交易对手（LETF）的期权交易。我们研究了当标的ETF由一类一般的局部随机波动率模型建模时，ETF和LETF隐含波动率曲面之间的关系。对于欧式期权，其支付取决于ETF和/或LETF的终值，推导出了价格的封闭形式近似值。建立了该定价近似的严格误差界。还导出了隐含挥发率的封闭形式近似。我们还讨论了一个比较杠杆比率隐含波动率的标度程序。隐含波动率扩展和标度在三个众所周知的环境中进行了测试：CEV、Heston和SABR。关键词：隐含波动率、局部随机波动率、杠杆式交易所买卖基金、隐含波动率标度介绍自年推出以来，交易所买卖基金（ETF）市场一直以强劲的速度增长。截至2012年底，全球ETF行业拥有超过1.8万亿美元的资产管理规模（AUM），包括4272种产品，并有近2000亿美元的正向资本流入。近年来，一种被称为杠杆式ETF（leveraged ETF，简称LETF）的ETF子类因其杠杆化头寸的可操作性和流动性而在投资者中广受欢迎。这些基金旨在复制某些参考指数或资产的日收益倍数。例如，ProShares S&P 500 Ultra（SSO）和UltraPro（UPR）的广告分别产生标准普尔500指数日收益的2倍和3倍，减去少量费用。

另一方面，杠杆率为负的LETF允许投资者*哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，纽约州纽约市，邮编10027。电子邮件：leung@ieor.columbia.edu.+华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，98195。电子邮件：mattlorig@gmail.com.部分工作由NSF拨款DMS-0739195支持意大利奥洛尼亚博洛尼亚大学马特马蒂卡分校。电子邮件：安德里亚。pascucci@unibo.it.The第一只在美国上市的ETF，SPDR标准普尔500 ETF（SPY）于1993年1月29日推出。《2013年ETF和投资展望》，由道富环球顾问公司SPDR ETF战略与咨询公司David Mazza撰写。可在http://www.spdr-etfs.com.take基金对基础指数的看跌。一个例子是ProShares S&P 500UltraShort（SDS），其杠杆率为-2.最典型的杠杆比率是{-3.-2.-1, 2, 3}. 对于相同的参考，例如标准普尔500指数，这些LETF具有非常相似的随机性来源，但它们也表现出不同的路径行为（参见Cheng和Madhavan（2009）以及Avellaneda和Zhang（2010））。ETF的使用也导致了ETF期权交易的增加。2012年，芝加哥期权交易所（CBO E）的期权合约总量为10.6亿份，其中2.82亿份为ETF期权，4.73亿份为股票期权。这就产生了一个重要的问题，即ETF和LETF的期权定价是否一致。

由于期权通常是根据隐含波动率进行报价和比较的，因此考虑LETF期权之间的隐含波动率关系是很自然的，不仅是在履约和成熟度之间，而且对于各种杠杆也是如此。在本文中，我们分析了一类一般的局部随机波动率（LSV）模型中与欧式LETF期权相关的隐含波动率曲面。我们的方法是（i）找到近似的LETF期权价格的表达式（ii）为该近似值建立严格的误差范围，以及（iii）将价格近似值转换为近似的隐含波动率。在一般LSV设置下，显然不可能获得准确的定价和隐含波动率公式。有许多方法可以用来估算欧式期权价格及其相关的隐含波动率。我们在这里回顾了一些无杠杆产品的最新方法。Gatheral等人（20 12）在局部波动性设置中使用热核方法。Benhamou等人（2010年）对时间相关的Heston模型使用了波动率扩展的小波动率。最近，Bompis和Gobet（2013）使用Malliavin演算在相当普遍的LSV设置中获得近似值。Forde和Jacquier（2011）使用Freidlin-Wentzell大偏差理论来分析不相关的LSV模型。在本文中，我们使用多项式算子展开技术来获得近似价格和隐含效用。在Pagliarani和Pascucci（2012年）以及Pagliarani等人（2013年）中首次引入了多项式算子展开技术，以计算标量跳跃扩散环境下的期权价格。Lorig et al.（2015b）进一步发展了该方法，以获得多维随机波动率环境下的近似价格和隐含波动率（另见Lorig et al。

（2015c）用于带有跳跃的模型的定价近似值）。基于Lorig等人（2015b）开发的方法进行扩展的原因是，这些方法允许我们考虑ETF的一大类LSV模型；上述许多方法仅适用于特定ETF动态。然而，在没有进一步发展的情况下，Lorig等人（2015b）中描述的方法不足以满足我们在本文中建立的严格误差范围。事实上，inLorig等人（2015b）在一致椭圆假设下建立了误差界。正如我们将看到的，ETF/LETF联合过程的产生者不是椭圆的。因此，要建立LETF期权价格的严格界限，我们必须在这种具有挑战性的非椭圆环境下工作。也许我们分析的最有用的结果是我们得到的隐含挥发性膨胀的一般表达式。这种扩展使我们能够精确定位杠杆率β所起的重要作用，从而将（无杠杆）ETF和LETF期权之间的隐含波动率表面联系起来。这也促使我们应用对数货币性比例的思想，目的是在相同的规模和方向上查看杠杆率的隐含波动率。特别是，对于负杠杆率和高达对数货币性的一阶，已知LETF隐含波动率呈上升趋势，而ETF和LONG LETF隐含波动率呈下降趋势（见Leung和Sircar（2015））。标度能够适当调整隐含波动率的水平和形状，以便ETF和LETF隐含波动率在给定模型下紧密匹配。

为了举例说明，我们在三个著名的环境中测试了隐含波动率扩展和对数货币的缩放：CEV、Heston和SABR，并发现它们非常准确。在最近的论文中，Leung和Sircar（2015）应用渐近技术来理解在多尺度随机波动性框架内，ET F的叠加波动率和不同杠杆率的LETF之间的联系（参见Fouque等人（2011）对多尺度方法的回顾）。他们还引入了与我们不同的隐含可扩展性调整程序，以确定ETF和LETF期权市场中可能存在的价格互换。与他们的工作相反，本文在一般LSV框架中研究了这个问题，该框架自然包括著名的模型，如CEV、Heston和SABRmodels等。此外，虽然Leung和Sircar（2015）获得了对数正态线性的隐含波动率近似值，但我们提供了L ETF隐含波动率的一般表达式，即二次对数正态。我们还提供了三种特定模型（CEV、Heston和SABR）的计算公式，它们的对数均为立方。Ahn等人（2012年）提出了一种启发式近似方法，用Hesto n随机波动率和标的资产的跳跃来计算期权价格。虽然他们没有研究隐含的波动性，但他们指出，如果基础ETF承认Heston（无跳跃）动态，那么LETF也具有不同参数的Hestondynamics。作为LSV模型的一个特殊例子，我们还得到了通过隐含波动率扩展揭示的相同结果（见第6.2节）。本文的研究成果如下。在第2节中，我们回顾了在一般差异环境中，LETF动态与TF动态的关系。然后，我们为ETF的一类LSV模型引入马尔可夫动力学。

接下来，在第3节中，我们正式构造了欧式期权的渐近展开式，其收益取决于ETF和/或LETF的终值。我们的定价近似值的严格误差界在第4节中建立。在第5节中，我们将价格的渐近展开式转化为隐含价值的渐近展开式。我们还讨论了LETF隐含波动面的一些自然条件。最后，在第6节中，我们在三个著名的环境中实现了隐含波动率扩展：CEV、Hes ton和SABR。第7.2节杠杆式ETF动态中给出了一些结论，我们将其视为一个等价的鞅测度Q，由市场在一个完整的过滤概率空间中选择(Ohm, F、 {Ft，t≥ 0}，Q）。过滤{Ft，t≥ 0}代表市场的历史。下面定义的所有随机过程都存在于这个概率空间中，并且所有的预期都是关于Q的。为了隐含性，我们假设一个摩擦市场，没有套利，零利率，没有股息。我们将在Rema rk 3.2中讨论如何放松这些假设。让我们来看看交易所买卖基金（ETF）的价格过程。作为消费者，我们可以在严格积极的信息技术差异下进行建模。具体来说，我们有ETF:St=eXt，dXt=-σtdt+σtdWxt，（2.1），其中σ是严格正随机过程。请注意，漂移是由波动率固定的，因此S是鞅。Le t L是一只杠杆式交易所买卖基金（Let F）的价格过程，其基础是杠杆率β。β的典型值为{- 3.-2.-1, 2, 3} . LETF的管理方式如下：对于交易员投资于L的每一种货币单位，LETF管理人借入（β）- 1） 货币单位，并将β货币单位投资于S。基金经理通常还会向交易员收取一个小的费用率，为简单起见，我们假设该费用率为零。

那么L的动力学与S有关，如下所示：Dltlt=βdStSt=βσtdWxt，因此我们得到了Lt=eZt，dZt=-βσtdt+βσtdWxt。（2.2）将（2.1）与（2.2）进行比较，我们观察到L的波动性由β因子来衡量。此外，正如Avellaneda和Zhang（2010）所示，一个c可以明确地解出Z的SDE，以获得X的表达式，以及X到时间t的二次变化（综合方差）。具体来说，我们有- Z=β（Xt）- 十）-β(β - 1） Ztσsds。（2.3）等式（2.3）表明，一个LETF的对数收益率是两项之和。第一项与基础ETF的对数回报成比例。第二项与X的综合方差成正比，并强调了LETF上的期权是路径依赖型期权这一事实。请注意，对于杠杆率β∈ {-3.-2.-1,2,3}，效率-β(β-1） 已实现方差的绝对值为负。还要注意-β(β-1） 是β.2.1局部随机波动率框架的非对称函数。我们现在专门研究马尔可夫环境。我们引入了一个辅助过程Y，旨在捕捉随机波动性等效应。我们认为三重（X，Y，Z）可以用以下随机微分方程（SDE）建模：dXt=-σ（t，Xt，Yt）dt+σ（t，Xt，Yt）dWxt，dYt=c（t，Xt，Yt）dt+g（t，Xt，Yt）dWyt，dZt=-βσ（t，Xt，Yt）dt+βσ（t，Xt，Yt）dWxt，dhWx，Wyit=ρ（t，Xt，Yt）dt。（2.4）我们假设SDE（2.4）有唯一的强解，并且系数（σ，c，ρ）是光滑的。池田和渡边（1989）给出了唯一强解的充分条件。（2.4）描述的模型类具有以下特点：1。随机波动率：当σ和ρ仅为（t，y）的函数时（就像在赫斯顿这样的随机波动率模型中那样），那么（X，y）和（y，Z）对就是马尔可夫过程。

从数学角度来看，相关性ρ和波动率σg缺乏x依赖性，这大大简化了定价和隐含波动率分析，因为写在Z上的调用可以独立于x.2上的调用进行分析。局部波动性：如果σ和ρ都只依赖于（t，x）（就像它们在局部波动性模型（如CEV）中一样），那么x单独和对（x，Z）是一个马尔可夫过程。在这种情况下，对XC的调用可以与对Z的调用分开进行分析。但是，对Z的调用必须与X.3一起进行分析。局部随机波动率：如果σ和ρ依赖于（x，y）（在局部随机波动率设置中，如SABR中的情况），那么pa ir（x，y）是一个马尔可夫过程，就像三重过程（x，y，Z）一样。在这种情况下，X上的选项可以独立于Z进行分析。相比之下，要分析Z上的选项，必须考虑tr（X，Y，Z）。如果β=1，那么从（2.4）我们可以看到dXt=dZt。因此，我们只需要获得Z上写的期权的价格和隐含效用。通过考虑特殊情况β=1.3期权定价风险中性定价和过程（X，Y，Z）的马尔可夫性质，始终可以获得X上写的期权，我们可以写出期权u（t，x，y，z）的时间t价格，到期日期t>t，支付金额（ZT）作为支付金额u（t，x，y，z）=E[~n（ZT）|Xt=x，Yt=y，ZT=z]的风险中性预期。（3.1）在温和假设下，函数u满足科尔莫戈罗夫向后方程(t+A（t））u（t）=0，u（t）=~n，（3.2），其中算符A（t）由A（t）=A（t，x，y）给出十、- 十、+ βZ- Z+ 2β 十、Z+ b（t，x，y）y+c（t，x，y）y+f（t，x，y）(十、y+βYz） 函数（a，b，f）定义为asa（t，x，y）=σ（t，x，y），b（t，x，y）=g（t，x，y），f（t，x，y）=g（t，x，y）σ（t，x，y）ρ（t，x，y）。对于一般（a，b，c，f），没有（3.2）的显式解。

因此，我们的目标是为期权价格u找到一个封闭的形式近似，并为我们的近似推导出严格的误差界。备注3.1。我们注意到A（t）的二阶导数矩阵2a f2βaf 2bβf2βaβf2βa（3.4）是单数；特征向量（β，0，- 1） 对应于特征值0。因此，运算符A（t）是非椭圆的。这为建立pricingapproximation的误差范围提供了额外的数学挑战，我们将在第4节中进行。备注3.2（确定性利率、股息和费用比率）。假设利率是时间的决定性函数r（t）。还支持ETF持有人在单位时间内收到股息q（t）t，并且LETF提供商在q（t）和c（t）为确定性函数的情况下，按单位时间收取费用率c（t）t。在这种情况下，期权价格的计算方法为：贴现期望值（t，ex，y，ez）：=E[E-RTtds r（s）|（eZT）| eXt=ex，Yt=y，eZT=z]，deXt=dXt+（r（t）- q（t））dt，deZt=dZt+（r（t）- c（t）- βq（t））dt，其中（X，Y，Z）如（2.4）所示。在对变量su（t，x（t，ex），y，z（t，ez））进行以下更改时：=eRTtds r（s）eu（t，ex，y，ez），（3.5）x（t，ex）：=ex+ZTtds r（s），z（t，ez）：=ez+ZTtds（r（s）- 丙(s)- βq（s）），链式规则的简单应用表明，（3.5）中定义的u满足柯西问题（3.2）。因此，当前的框架允许我们方便地适应这些附加功能。3.1渐近价格通过Taylor和Dyson级数在本节中，我们展示了如何将Taylor和Dyson级数结合起来，以便正式构造Cauchy问题（3.2）解u的无符号近似。在随后的整个推导过程中，我们假设对于每个t，算子a（t）的系数（a，b，c，f）在（x，y）中是解析的，因此我们可以将这些函数中的每一个展开为泰勒级数。