抵押品、信用风险和融资成本下的非线性估值

考虑到两个相邻的融资时间tjand tj+1≤ J≤ M- 1.经销商以相当于Ftjat时间tj的现金进行交易。在tj+1时，交易商再次赎回头寸，如果是长期现金头寸并支付借入现金的融资成本，则将现金重新返还给出资人；如果是短期现金头寸，则将现金返还给出资人，并从投资现金中获得融资收益。我们假设，这些融资成本和收益在每个融资期的开始日期确定，并在期末收取。在不丧失普遍性的情况下，投资者用于为交易提供资金的合同可以作为调整后的价格过程引入。让Pf+t（t）代表借款合同的价格Brigo，D.，Liu，Q.，Pallavicini，a.，Sloth，D.非线性估值，信用风险，抵押品和融资成本9在t时可测量，其中交易商在到期时支付一单位现金t>t，让Pf-t（t）是指交易商在到期时收到一单位现金的借贷合同价格。此外，正确的蓄水率由f±t（t），t给出-tPf±t（t）- 1.换句话说，如果交易的对冲策略需要借入现金，这可以在融资基金会f+进行，而剩余现金可以按照贷款利率f进行投资-. 我们将经销商面临的有效融资利率定义为-t（t）1{Ft<0}+f+t（t）1{Ft>0}。（11） 在此之后，在交易有效期内为套期保值策略提供资金的贴现现金流之和等于（t，t∧ τ; F）、m-1Xj=1{t6tj<（T∧τ）}D（t，tj）Ftj1.-Ptj（tj+1）Pftj（tj+1）, （12） 其中，与有效融资利率对应的零息债券定义为Pft（T），[1+（T-t） ~ft（t）]-1.

严格来说，这是一种贴现支出，融资成本或收益时间t是通过对现金流的风险中性预期获得的。与之前的共同融资成本一样，我们可能会将融资的现金流改写为与相关债券相关的连续复合利率f和r的一阶近似值。We（t，t）∧ τ; F）≈M-1Xj=1{t6tj<（T∧α}tj（t）}trtj（tj+1）-~ftj（tj+1）, （13） 我们还应该提到，偶尔，我们可能会将回购市场或股票借贷的影响纳入我们的框架。一般来说，我们可以从我们的财政部借入/出借建立H所需的现金，然后我们可以将H中的风险资产用于回购或股票借贷。这意味着我们可以将风险资产的融资成本和收益包括在内。在本文中，我们假设银行财政部以现金使用的相同利率自动确认该收益/成本，但对于涉及回购利率的更一般分析，请参见Pallavicini et al.（2012）。dea le r根据融资账户的符号和规模输入借贷或投资的特定头寸取决于银行的流动性政策。在下文中，我们讨论两种可能的情况：一种是交易商可以按照银行财政部设定的利率融资，还有一种是，交易商直接进入市场，按照当时的市场利率为其交易提供资金。因此，融资利率以及融资对竞争性交易价格的影响与所选择的流动性政策密切相关。财政资金如果交易商通过银行的财政部为对冲基金提供资金，财政部会确定交易商面临的融资利率，通常假设所有交易的平均融资成本和收益。

这导致两条曲线作为成熟度的函数；一个用于借贷资金f+和一个用于借贷资金f-. 在进入资金头寸Ftjat timetj后，交易商面临以下贴现现金流Φj（tj，tj+1；F），- NtjD（tj，tj+1），带NTJ，F-tjPf-tj（tj+1）+F+tjPf+tj（tj+1）。Brigo，D.，Liu，Q.，Pallavicini，A.，Sloth，D.具有信用风险、抵押品和融资成本的非线性估值10在这项流动性政策下，财政部——而不是交易商本人——负责因融资相关头寸而进行的债务估值调整。此外，作为同一机构的实体，如果机构违约，交易商和财政部都会消失，没有任何进一步的现金流被交换，在这种情况下，我们可以忽略融资的影响。因此，当考虑违约风险时，这会导致以下定义：融资现金流Φj（tj，tj+1；F），1{τ>tj}Φj（tj，tj+1；F）。因此，由于tjisEtj时输入的资金头寸，现金流的风险中性价格Φj（tj，tj+1；F）= -1{τ>tj}F-tjPtj（tj+1）Pf-tj（tj+1）+F+tjPtj（tj+1）Pf+tj（tj+1）！。如果我们在dea生命周期内的每一时间考虑此类融资操作的顺序，我们可以确定交易商为对冲交易而开立的所有借贷头寸的现金流之和，直到第一个违约事件发生∧ τ; F）、m-1Xj=1{t6tj<（T∧τ）}D（t，tj）Ftj+EtjΦj（tj，tj+1；F）=M-1Xj=1{t6tj<（T∧τ）}D（t，tj）Ftj- F-tjPtj（tj+1）Pf-tj（tj+1）- F+tjPtj（tj+1）Pf+tj（tj+1）！。就有效融资率而言，该表达式缩减为（12）。市场融资如果交易商在市场中为对冲策略提供资金——而不是通过银行的资金——融资利率由当时的市场条件决定，并且通常是特定于终端的。

这意味着交易商可以借入资金的利率f+可能不同于利率f-可以投资的资金。此外，这些利率在不同的交易中可能会有所不同，这取决于交易的概念、到期结构、经销商-客户关系等。与财政部融资的流动性政策类似，我们假设在违约的情况下，交易的融资操作被关闭。此外，由于交易商现在直接在市场上运作，他需要在标记交易账簿时包含一份DVA，因为他的资金头寸。简单地说，我们认为市场中的出资人是无违约的，因此无需考虑融资CVA。在两个相邻的融资时间tjand和tj+1之间，借贷头寸的贴现现金流由Φj（tj，tj+1；F），1{τ>tj}{τI>tj+1}Φj（tj，tj+1；F）给出- 1{τ>tj}{τI<tj+1}（LGDIε-F、 τI- εF，τI）D（tj，τI），其中εF，是投资人根据交易商的默认εF，τI计算的平仓金额，-NtjPτI（tj+1）。为了获得资金流，我们采用风险中性预期ETJΦj（tj，tj+1；F）= -1{τ>tj}F-tjPtj（tj+1）Pf-tj（tj+1）+F+tjPtj（tj+1）–Pf+tj（tj+1）！。此处，用于借款现金的零息融资债券“Pf+t（t）”根据交易商的信用风险“Pf+t（t）、Pf+t（t）进行调整LGDI{τI>T}+RI,Brigo，D.，Liu，Q.，Pallavicini，A.，Sloth，D.具有信用风险、抵押品和融资成本的非线性估值，其中右侧的预期是根据T-远期措施进行的。自然地，由于优先顺序可能不同，人们可能会假设融资头寸的回收率与衍生品交易本身的回收率不同（见Cr’epey（2011））。

本案的延伸是向前延伸的。接下来，将整个交易过程中融资操作顺序产生的贴现现金流相加，我们得到φ（t，t）∧ τ; F）、m-1Xj=1{t6tj<T∧τ}D（t，tj）Ftj+EtjΦj（tj，tj+1；F）=M-1Xj=1{t6tj<T∧τ}D（t，tj）Ftj- F-tjPtj（tj+1）Pf-tj（tj+1）- F+tjPtj（tj+1）–Pf+tj（tj+1）！。为了避免繁琐的符号，我们不会在续集中明确写“Pf+，但请记住，当经销商直接在市场上融资时，Pf+需要调整为fundingDVA。因此，就有效融资率而言，我们得到了（12）。3信贷、抵押品和融资下的一般定价方程在上一节中，我们分析了衍生产品交易的贴现现金流，并开发了一个框架，用于在抵押交易对手信贷和融资风险下对此类交易进行一致的估值。无套利定价框架包含在以下定理中。定理3.1（一般定价方程）。具有交易对手信用风险和融资成本的场外衍生品交易的一致无套利价格Vt（C，F）的形式为Vt（C，F）=Et[π（t，t∧ τ） +γ（t，t∧τ ; C） +~n（t，t）∧ τ; F）（14）+1{t<τ<t}D（t，τ）θτ（C，ε）,其中1。π（t，t）∧ τ） 是从合同支付结构到FirstDefault事件的贴现现金流。2.γ（t，t）∧ τ; C） 是指从抵押品保证金程序到第一次违约事件的贴现现金流，定义见（3）。ν（t，t）∧ τ; F）是对冲策略融资至FirstDefault事件的贴现现金流，在（12）中定义。θτ（C，ε）是违约现金流，结算金额ε在（6）中定义。。如果放弃融资和抵押品保证金成本，而保留抵押品以减少违约损失，则该定价方程将崩溃为Brigo等人推导的公式。

（2011）双边交易对手信用风险下衍生工具的价格。如果进一步的抵押担保被撤销，该公式将降低至Brigo and Capponi（2008）中的双边信用估值公式。虽然定价方程在概念上是明确的——我们只需在风险中性度量下对交易的所有贴现现金流的总和进行预期——但解决该方程会带来一个递归的非线性问题。有效融资利率f的未来路径取决于融资账户f的未来迹象，即我们是否需要在每个未来融资日借入或借出现金。同时，通过关系式（9）和（10），未来符号和Brigo，D.，Liu，Q.，Pallavicini，A.，Sloth，D.信贷风险、抵押品和融资成本的非线性估值12融资账户F的大小取决于交易的A调整价格V，这是我们试图首先计算的数量。这种定价问题的递归结构的一个关键含义是，FVA不仅仅是一个加性调整项，与CVA和DVA相反。更重要的是，用其资金确定交易的DVA的推测通常是不合适的。只有在不现实的情况下，交易商才能以相同的借贷利率为无抵押交易提供资金，即f+=f-, 我们是否实现了实践者经常假设的加法结构。如果交易是抵押的，我们需要对抵押物如何与交易价格挂钩施加进一步的限制。备注3.2。一价定律。在理论方面，定价方程动摇了经典衍生品定价中流行的著名一价定律的基础。

显然，如果我们假设没有融资成本，交易商和交易对手就交易价格达成一致，因为双方都可以——至少在理论上——通过市场上签订的CDS合同和相关的市场风险观察彼此的信用风险，从而就CVA和DVA达成一致。相比之下，由于引入融资成本，由于信息不对称，他们不会就交易的FVA达成一致。双方不能遵守彼此的流动性政策，也不能遵守各自与特定交易相关的融资成本。因此，交易对手的交易头寸价值通常不会与符号相反的交易商的交易头寸价值相同。原则上，这意味着交易商和交易对手永远不会结束交易，但在实践中，交易是作为供求基本力量的简单结果执行的。尽管如此，经销商们普遍认为，在最近的金融危机期间，融资成本是推动竞标范围扩大的主要因素之一。最后，当我们采用风险中性的估值框架时，我们隐含地假设无风险利率的存在。事实上，由于估值调整包括在额外现金流中，而不是作为特别差价，所有现金流都通过（14）中的无风险贴现率rD（t，t）进行贴现。然而，无风险利率只是一般定价方程的一个工具变量。我们清楚地将市场利率与理论上的无风险利率区分开来，避免了夜间利率（如EONIA）是无风险的错误说法。事实上，正如我们将持续时间展示的那样，如果交易商通过其无法获得的现金账户为交易的对冲策略提供资金——无论是作为再抵押抵押品还是来自国库、回购市场等的资金。

–无风险利率从定价方程中消失。3.1离散时间解我们的目的是将递推方程（14）转化为一组可通过最小二乘蒙特卡罗方法求解的迭代方程。这些方法已经是标准的inCVA和DVA计算（Brigo和Pallavicini（2007））。为此，我们引入辅助函数π（tj，tj+1；C），π（tj，tj+1）∧τ） +γ（tj，tj+1∧ τ; C） +1{tj<τ<tj+1}D（tj，τ）θτ（C，ε）（15）定义了在tjan和tj+1之间发生的交易现金流，并根据边际成本和违约风险进行了调整。我们强调，用于计算违约现金流的结算金额仍然指到期日为T的交易。然后，如果我们在每个融资日期tjin的时间网格{t，…，tn=t}求解定价方程（14），我们就可以得到在下一个连续融资日期tj+1\'Vtj=Etj的交易价格在时间tjas的函数\'Vtj+1D（tj，tj+1）+\'π（tj，tj+1；C）+ 1{τ>tj}Ftj- F-tjPtj（tj+1）Pf-tj（tj+1）- F+tjPtj（tj+1）Pf+tj（tj+1）！，式中，通过定义，最终数据中的“Vtn，0”。回忆一下（9）中融资账户的定义，如果不允许抵押品再抵押，以及（10）中，如果允许再抵押，我们可以解决融资账户正负部分的上述等式。本练习的结果是重新草书定价方程的圆盘-网时间迭代解，如下定理所示。Brigo，D.，Liu，Q.，Pallavicini，A.，Sloth，D.考虑信用风险、抵押品和融资成本的非线性估值1 3Theorem 3.3（一般定价方程的离散时间解）。我们可以将定理3.1中的完全递归定价方程作为时间网格{t，…，tn=t}上的一组反向迭代方程来求解，其中Vtn，0。

对于τ<tj，我们有Vtj=0，而对于τ>tj，我们有（i）如果禁止再抵押：“Vtj- Htj±=Pftj（tj+1）Etj+1tj“Vtj+1+”π（tj，tj+1；C）-HtjD（tj，tj+1）±，（ii）如果允许再抵押：“Vtj- Ctj- Htj±=Pftj（tj+1）Etj+1tj“Vtj+1+”π（tj，tj+1；C）-Ctj- HtjD（tj，tj+1）±，根据Qtj+1前瞻性措施进行预期。定理中的±号应该强调一个事实，即决定有效融资率的融资账户的符号取决于条件预期的符号。进一步的直觉可以通过持续时间获得，这就是我们现在要讨论的情况。3.2连续时间解让我们考虑一般定价方程的连续时间近似。这意味着融资保证金、融资和对冲策略是连续执行的。此外，我们假设允许再次接种，但如果不是这样的话，类似的结果也成立。通过计算时间限制，我们得到了交易π（t，t）的贴现现金流的以下表达式∧ τ） =ZT∧τtπ（s，s+ds）D（t，s），γ（t，t）∧ τ; C） =ZT∧τt（rs）- ~cs）CsD（t，s）ds，~n（t，t）∧ τ; F）=ZT∧τt（rs）-■fs）FsD（t，s）ds，与之前一样，π（t，t+dt）是衍生产品合同的付息流程和rtis的无风险利率。通过查看方程式（4）和（13）中给出的近似值，也可以立即导出这些方程式。然后，将上述所有条件与定理3.1中的违约现金流结合起来，递归定价方程得出“Vt=ZTtEt”{s<τ}π（s，s+ds）+1{τ∈ds}θs（C，ε）D（t，s）（16） +ZTtEt{s<τ}（rs）- §cs）CsD（t，s）ds+ZTtEth{s<τ}（rs-~fs）FsiD（t，s）ds。通过回顾等式（7），我们可以写出下面的命题3。4.

信贷缺口风险、抵押品和融资成本项下的索赔价值“Vt”可以写为“Vt=Vt”- CVAt+DVAt+LVAt+FVAt（17）Brigo，D.，Liu，Q.，Pallavicini，A.，Sloth，D.具有信用风险、抵押品和融资成本的非线性估值，其中VT是无信用风险、抵押品和融资成本时的交易价格；LVA是一种流动性估值调整，考虑了抵押品保证金的成本/收益；FVA是交易对冲策略的融资成本/收益，CVA/DVA是抵押后常见的借贷估值调整。这些不同的调整可以通过改写公式（16）来书写。一次获得svt=ZTtEtD（t，s）1{τ>s}π（s，s+ds）+1{τ∈ds}εs（18） 估值调整增值税=-中兴通讯D（t，s）1{τ>s}- 1{s=τC<τI}∏CVAcoll（s）duDVAt=ZTtED（t，s）1{τ>s}{s=τI<τC}∏DVAcoll（s）duLVAt=ZTtEtD（t，s）1{τ>s}（rs）- ~cs）csdsFVAt=ZTtED（t，s）1{τ>s}（卢比）-~fs）fs和往常一样，CVA和DVA都是阳性，而LVA和FVA可以是阳性或阴性。注意，如果c等于无风险利率，LVA就会消失。类似地，如果融资利率f等于无风险利率，FVA将消失。证据立竿见影。注意，（18）在无风险收尾ετ=Vτ的情况下进一步简化。实际上，在这种情况下，τ的存在不会改变现值。事实上，可以证明，由于τ处的平仓发生在公平价格Vτ处，且回收率为1，因此，就时间t的估值而言，这相当于对整个交易的估值vt=ZTtEtD（t，s）π（s，s+ds）.备注3.5。阿拉伯性？正如前面和Pallavicini等人（2011年）所指出的，估值公式（17）并没有真正以不同的术语划分风险成分。例如，f需要知道f的未来迹象，从而知道未来的V。这种未来的V共同取决于所有风险，f也是如此。