抵押品、信用风险和融资成本下的非线性估值

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英文标题：
《Nonlinear Valuation under Collateral, Credit Risk and Funding Costs: A
  Numerical Case Study Extending Black-Scholes》
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作者：
Damiano Brigo, Qing Liu, Andrea Pallavicini, David Sloth
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We develop an arbitrage-free framework for consistent valuation of derivative trades with collateralization, counterparty credit gap risk, and funding costs, following the approach first proposed by Pallavicini and co-authors in 2011. Based on the risk-neutral pricing principle, we derive a general pricing equation where Credit, Debit, Liquidity and Funding Valuation Adjustments (CVA, DVA, LVA and FVA) are introduced by simply modifying the payout cash-flows of the deal. Funding costs and specific close-out procedures at default break the bilateral nature of the deal price and render the valuation problem a non-linear and recursive one. CVA and FVA are in general not really additive adjustments, and the risk for double counting is concrete. We introduce a new adjustment, called a Non-linearity Valuation Adjustment (NVA), to address double-counting. The theoretical risk free rate disappears from our final equations. The framework can be tailored also to CCP trading under initial and variation margins, as explained in detail in Brigo and Pallavicini (2014). In particular, we allow for asymmetric collateral and funding rates, replacement close-out and re-hypothecation. The valuation equation takes the form of a backward stochastic differential equation or semi-linear partial differential equation, and can be cast as a set of iterative equations that can be solved by least-squares Monte Carlo. We propose such a simulation algorithm in a case study involving a generalization of the benchmark model of Black and Scholes for option pricing. Our numerical results confirm that funding risk has a non-trivial impact on the deal price, and that double counting matters too. We conclude the article with an analysis of large scale implications of non-linearity of the pricing equations.
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中文摘要：
我们按照帕拉维奇尼和合著者2011年首次提出的方法，开发了一个无套利框架，用于对具有抵押、交易对手信用缺口风险和融资成本的衍生品交易进行一致估值。基于风险中性定价原则，我们推导出了一个通用的定价方程，其中通过简单修改交易的支付现金流，引入了信用、借记、流动性和融资估值调整（CVA、DVA、LVA和FVA）。融资成本和违约时的具体收尾程序打破了交易价格的双边性质，使估值问题成为非线性和递归问题。CVA和FVA通常不是真正的相加调整，重复计算的风险是具体的。我们引入了一种新的调整，称为非线性估值调整（NVA），以解决重复计算问题。理论上的无风险利率从我们的最终方程中消失了。正如Brigo and Pallavicini（2014）所详细解释的那样，该框架也可以根据初始保证金和变动保证金下的CCP交易进行定制。特别是，我们考虑了不对称抵押品和融资利率、置换结清和再抵押。估值方程采用倒向随机微分方程或半线性偏微分方程的形式，可以转换为一组迭代方程，可以通过最小二乘蒙特卡罗法求解。我们在一个案例研究中提出了这样一个模拟算法，该案例研究涉及期权定价的Black和Scholes基准模型的推广。我们的数字结果证实，融资风险对交易价格有着不可忽视的影响，重复计算也很重要。最后，我们分析了定价方程非线性的大规模影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Nonlinear_Valuation_under_Collateral,_Credit_Risk_and_Funding_Costs:_A_Numerical.pdf (376.35 KB)

2022-5-6 04:03:51 上传

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关键词：信用风险 非线性 抵押品 Differential Implications

本报告的最新版本将出现在卷中：Veronesi，P.（编辑），《固定收益证券手册》，威利，2014年《抵押品、信用风险和融资成本下的非线性估值：扩展Black ScholesDamiano Brigo的数值案例研究》*Liu Qing+Andrea PallaviciniDavid Sloth§2014年4月30日摘要我们按照Pallavicini和合著者在2011年提出的方法，开发了一个无套利框架，用于对衍生品交易进行一致的估值，包括抵押、交易对手信用缺口风险和融资成本。基于风险中性定价原则，我们推导出了一个通用定价方程，其中通过简单修改交易的支付现金流，引入了信用、借记、流动性和融资估值调整（CVA、DVA、LVA和FVA）。融资成本和违约时的特定收尾程序打破了交易价格的双边性质，使估值问题成为非线性和递归问题。CVA和FVA通常不是真正的相加调整，重复计算的风险是具体的。我们引入了一种新的调整，称为非线性估值调整（NVA），以解决重复计算问题。我们的框架基于实际市场利率，因为理论上的无风险利率从我们的最终方程中消失了。如Brigo和Pallavicini（2014）所详细解释的，该框架解决了ISDA管辖的交易的常见市场惯例，没有对大额保证金支付和平仓净额结算规则的限制性假设，也可以根据初始和变动保证金下的CCP交易进行调整。特别是，我们考虑了不对称抵押品和融资利率、置换结清和再抵押。

估值方程采用倒向随机微分方程或半线性偏微分方程的形式，可以转换为一组可通过最小二乘蒙特卡罗求解的迭代方程。我们在一个案例研究中提出了这种模拟算法，该案例研究涉及Black和Scholes期权定价基准模型的推广。我们的数值结果证实，融资风险对固定资产价格有着不可忽视的影响，重复计算也很重要。最后，我们分析了定价方程非线性的大规模影响：风险的不可分离性、估值中的聚集依赖性，以及与通用定价措施相反的局部定价措施。这引发了价格和价值概念之间的辩论和比较，并将影响ban ks的运营结构。本文尤其是对帕拉维奇尼等人（2011年、2012年）、帕拉维奇尼和布里戈（2013年）以及斯洛特（2013年）的研究成果的演变。AMS Cl分类代码：62H20、91B70JEL分类代码：G12、G13关键字：信用估值调整、交易对手信用风险、融资估值调整、融资成本、抵押、非线性估值调整、衍生品定价、CVA、DVA、LVA、FVA、NVA、融资DVA、半线性PDE、BSDE、非线性估值、非线性FYNMAN Kac、最小平方蒙特卡罗、，布莱克·斯科尔斯*伦敦帝国理工学院数学系和Capco学院+伦敦帝国理工学院数学系+伦敦帝国理工学院数学系和米兰班卡伊米银行§丹麦银行，C openhagenBrigo，D.，Liu，Q.，Pallavicini，A.，Sloth，D。

具有信用风险、抵押品和融资成本的非线性估值21简介2007-2008年金融危机之后，交易商和金融机构被迫考虑如何在场外交易（OTC）市场或通过中央结算（CCPs）对交易的含风险债权进行估值和对冲。两个有风险的场外金融衍生工具是双边合约金融衍生工具。然而，在危机之前，机构往往忽视高质量评级交易对手的信用风险，但最近的历史表明，这是一个特别危险的假设。此外，随着危机席卷西方经济体，银行变得不愿意相互放贷，隔夜指数掉期（OIS）利率和伦敦银行间同业拆借利率之间的利差扩大了。为了跟上这种游戏的突然变化，今天的交易商在进行场外交易时进行了一些调整。由于交易对手可能违约，信用估值调整（CVA）c修正了交易商预期成本的价格，而所谓的债务估值调整（DVA）则修正了交易商因自身违约风险而获得的预期收益。后一种调整具有争议性的影响，即当违约风险增加时，卖方可以预定一笔利润，如果不是不可能对冲的话，这是非常困难的。最后，经销商通常会根据交易的资金成本调整价格。在业内，这种做法被称为流动性和融资估值调整（LVA，FVA）。当衍生品交易台与客户执行交易时，它通过与市场上的其他交易商进行对冲、过账/收取抵押品以及收取/支付过账抵押品的利息来支持交易。这涉及到借款和其他资产。

古典衍生品定价理论基于这样一个假设：托恩可以以一个独特的无风险利率借贷，这个理论上的无风险利率由许多市场利率所替代。布莱克·斯科尔斯·默顿（Black Scholes Merton）的开创性工作表明，在这种情况下，股票期权可以在任何短时间内通过股票和无风险债务的组合进行复制。在危机发生之前，银行以伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）为对冲策略提供资金时，这种假设可能是合理的。然而，随着危机的爆发，利差急剧增加，LIBOR显然受到了信用风险（除了信贷风险）的影响，因此它是无风险利率的一个不完美的代表。虽然隔夜利率已取代伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）成为ris k自由利率的代表，但定价框架最好不要在最终估值公式中采用理论利率。在本文中，我们建立了一个无套利的框架，用于在交易对手信用风险、共同保证金和融资成本的情况下，对抵押贷款和无抵押贷款进行一致的估值。场外交易市场的规模强调了在衍生产品估值中持续考虑交易条件变化的必要性。事实上，尽管存在危机和之前被忽视的风险，衍生品市场的规模仍然惊人；截至2012年底，场外衍生品合约的市值为24.7万亿美元，名义价值高达632.6万亿美元（国际清算银行（2013））。采用风险中性估值原则，我们推导出衍生品交易的一般定价方程，其中新的或以前被忽略的风险类型仅作为支付现金流的修正。

我们根据国际掉期和衍生品协会的指导方针处理当前的市场实践，而不对共同保证金程序和平仓净额结算规则施加限制性约束。特别是，我们考虑了不对称的抵押品和融资利率，以及外部给定的流动性政策和对冲策略。我们还讨论了抵押担保的再炒作。在处理融资成本时，可以采用单一交易（微观）或同质（宏观）成本观。从微观角度来看，融资成本是在交易层面确定的。这意味着交易台借入资金的利率可能与投资基金的利率不同，即使在同一交易台，交易台的利率也可能因交易而异。从总体成本角度来看，平均融资利差适用于所有交易，但bor划船基金的利差可能仍与贷款不同。最后，如果我们转向宏观和对称的观点，借贷的融资成本被假定为相同的，并且在所有交易中应用一个共同的融资利差。显然，银行的财政部在微观方法中扮演着积极的角色，是一个运营中心，而在宏观方法中，它更多地扮演着交易总线的支持功能。在这项工作中，我们尽可能地保持一般性，并采用microBrigo，D.，Liu，Q.，Pallavicini，a.，Sloth，D.非线性估值，信用风险，抵押品和融资成本3成本观。当然，宏观视角只是微观视角的一个特例。这将隐含在其他外来分配的融资利率中，即特定交易价值的函数。我们应该注意到，我们采用的特定财政部模式也会影响信贷风险，尤其是DVA对融资政策的影响。

这种影响偶尔被称为DVA2，但我们在这里不采用这种术语。融资风险的引入使得定价问题具有递归性和非线性。交易价格取决于交易者在未来路径中的融资策略，而为了确定未来融资策略，我们需要知道未来路径中的交易价格本身。这种递归结构也在Pallavicini等人（2011）、Cr’epey（2011）、Burgard和Kjaer（2011b）的研究中发现，但在向贴现曲线添加资金利差的常用方法中，这一特征被忽略。与标准的CVA和DVA计算相比，融资风险下的估值问题要复杂得多，计算要求也高得多（置换关闭下的CVA/DVA可能除外），因此需要同时进行正向模拟和反向归纳。此外，FVA并不像市场参与者通常使用的那样，采用简单的加性术语的形式。资金和信贷成本并不是以纯粹的相加方式分开的。这样做的一个结果是，随着投资组合的价格不加总，估值变得依赖于集合。因此，英国航空公司很难设立责任明确的CVA和FVA服务台。这可能是以容忍某些重复计算为代价的。在这方面，我们引入了NVA，将其定义为一种非线性估值调整，通过借贷利率的对称化和无风险平仓替代违约时的重新安置平仓来衡量一个人在消除非线性时的估值误差程度。

更一般地说，非线性意味着我们在结论中暗示的组织挑战。为了深入探讨融资成本下的估值，我们展示了如何将一般定价方程转换为一组迭代方程，通过最小二乘法蒙特卡罗（见Carrier（1996）、Longsta off和Schwartz（2001）、Tilley（1993）和Tsitsiklis和Van Roy（2001））可以方便地进行求解，并提出了一种有效的模拟算法。此外，我们推导了定价方程和相关偏微分方程（PDE）解的连续时间近似，表明ris k自由率消失。尽管市场普遍接受，但包括融资成本调整在内的做法在ac专家和从业者中引发了相当多的争议（见Hull and White（201 2））之后的辩论。这场争论的核心问题是，由于信息不对称，应急融资定价变得主观。经销商不（完全）了解客户选择的特定融资政策，反之亦然。因此，交易双方的价格可能会有所不同。理论上，这意味着双方永远不会达成协议。然而，在现实中，交易商可能无法从客户那里收回全部融资成本，但交易员表示，融资风险是在危机期间推动竞购扩大的关键因素。J强调了融资估值调整在影响方面的重要性。摩根大通2014年1月的业绩。迈克尔·拉波波特于2014年1月14日在《华尔街日报》上报道：“[…]那么，什么是融资估值调整，为什么要让摩根大通付出代价呢。

摩根大通15亿美元？由于这一调整，摩根大通在周二公布的第四季度收益中记下了15亿美元的费用，这是摩根大通对其账面上一些衍生品估值方法发生复杂变化的结果。摩根大通在一次投资者介绍会上表示，该行被说服改变FVA，原因是行业向su ch转移。许多其他大型银行，主要在英国和欧洲，已经做出了类似的改变。”根据该领域的现有文献，有几项研究分别分析了各种估值调整，但很少有研究试图建立一种始终考虑债务化、交易对手信用风险和融资成本的估值方法。根据unilatera l defaultBrigo，D.，Liu，Q.，Pallavicini，A.，Sloth，D.具有信用风险、抵押品和融资成本4risk的非线性估值，即当只有一方可违约时，Brigo和Masetti（2005）考虑使用CVA对衍生品进行估值，而Brigo和Pallavicini（2007）、Brigo和Chourdakis（2009）以及Brigo等人（2011）给出了其方法的具体应用，见Brigo等人（2013）的总结。双边违约风险指数k出现在Bielecki和Rutkowski（2002年）、Brigo和Capponi（2008年）、Brigo等人（2011年）和Gregory（2009年）中，他们为衍生品交易的CVA和DVA定价。抵押对违约风险的影响已在Cherubini（2005）和最近的Brigo等人（2014）和Brigo等人（2011）中进行了研究。假设没有违约风险，皮特堡（2010）对程式化的布莱克-斯科尔斯经济中的抵押和融资风险进行了初步分析。然而，在一个没有违约风险的世界里引入抵押品是值得怀疑的，因为它的主要目的是减轻这种风险。Fujii等人。

（2010）分析抵押诉讼中多种货币特征的后果s.Morini和Prampolini（2011）、Fries（2010）和Ca stagna（2011）考虑了存在违约风险时融资的基本含义。然而，这些工作只关注简单的金融产品，如零耦合债券或贷款，不影响包括所有必需功能所需的通用性水平。因此，在新的风险下，仍然缺乏一个统一的估值框架。最全面的尝试是Burgard和Kjaer（2011b，a），Cr\'epey（201112012a，b）和Pallavicini等人（2011，2012）。尽管如此，由于Burg ard和Kjaer（2011b，a）采用PDE方法，他们的结果仅限于低维度。此外，他们还忽视了抵押的隐藏复杂性和违约时按市值计价的不连续性。Cr’epey（20112012a，b）的方法较为通用，尽管它不允许交易组合中使用信用工具。我们遵循Pallavicini等人（2011年、2012年）和Sloth（2013年）的工作，并考虑衍生工具dea的一般定价框架，该框架充分且一致地考虑了抵押、交易对手信用风险和融资风险。与之前的尝试相比，该框架在概念上非常简单。它基于著名的风险中性估值原则，新的风险只需通过调整交易的支付现金流即可计入。我们给出了一个数字案例研究，该研究将Black-Scholes的股票期权基准理论用于信用缺口风险（抵押后的CVA/DVA）、抵押和融资成本。我们发现，融资包容性价值的精确模式取决于许多因素，包括借贷利率之间的不对称。我们强调这些投入，以便分析它们对融资包容性价格的影响。