缩编：从实践到理论再回到实践

我们提出的提款风险指标，即条件预期提款（定义2.4），衡量最坏情况下超过最大提款分布分位数的最大提款的平均值。因此，它类似于跟踪记录被理解为投资基金自成立以来的历史长度。提取：从实践到理论，再回到基于回报的预期缺口。ES和CED均由底层分布的尾部平均值给出，即损失和最大水位的尾部平均值。与基于回报的风险价值（VaR）类似，我们定义了信心水平α∈ [0,1]，最大下降阈值DTα是最大下降分布的分位数：DTα（u（X））=inf{m|P（u（X）>m）≤ 1.- α} 因此，最大压降u（X）超过m的概率最多为（1- α). 例如，95%的最大水位下降既是正常时期水位下降的最差情况，也是极端情况下的最佳情况。它将5%的最差最大提款与其他提款分开。定义2.4（有条件的预期提款）。在信心水平α∈ [0,1]，条件预期下降CEDα：R∞→ R是将u（X）映射到预期最大压降的函数，前提是α处的最大压降阈值被打破。更正式地说，CEDα（X）=1- αZαDTu（u（X））du。如果u（X）的分布是连续的，那么CEDα相当于尾部条件期望：CEDα（X）=E（u（X）|u（X）>DTα（u（X）））。换句话说，CED是最大水位下降分布的尾部平均值（Acerbi和Tasche（2002b）），其中为置信水平α∈ （0,1），并假设E[u（X）]<∞, u（X）的α平均值由以下公式得出：TMα（u（X））=1- αZαDTu（u（X））du。

条件预期下降的性质我们推导了条件预期下降的理论性质，最显著的是凸性和正齐性，并证明它是一个广义偏差度量，如Rockafellar等人（2002年、2006年）提出的。广义地说，偏差度量遵循标准偏差和半偏差等度量属性的公理。我们将这些公理推广到依赖路径的宇宙。定义3.1（广义路径相关偏差度量）。广义路径依赖偏差测度是路径依赖风险测度δ：R∞→ 满足以下公理的R：（D0）规范化：对于所有常数C∈ R∞, δ（C）=0。（D1）积极性：适用于所有X∈ R∞, δ（X）≥ 0.（D2）平移不变性：适用于所有X∈ R∞所有常数都是C∈ R∞, δ（X+C）=δ（X）。8下降：从实践到理论再回到（D3）凸性：对于所有X，Y∈ R∞λ∈ [0, 1], δ(λ + (1 - λ） Y）≤ λδ（X）+（1）- λ） δ（Y）。（D4）阳性程度1同质性：适用于所有X∈ R∞λ>0，δ（λX）=λδ（X）。任何价值为零的投资组合，更一般地说，具有恒定确定性价值的投资组合，都不会面临提款风险，因此对于所有恒定确定性C∈ R∞, 我们有CEDα（C）=0，因此公理（D0）是满足的。此外，CED满足（D1），因为最大降深由定义非负决定。下面的引理证明了移位不变性性质（D2），它本质上表明，通过（决定性地）将投资组合价值的路径向上或向下移动，该路径内的下降保持不变。引理3.2。为了所有的X∈ R∞几乎可以肯定，所有这些都是常数∈ R∞, CEDα（X+C）=CEDα（X）（对于所有α∈ (0, 1)).证据对应于X的下降过程是平移不变的，因为对于t∈ [0，T]，M（X+C）T=supu∈[0，t]（X+C）u=supu∈[0，t]（X）u+C=M（X）t+C。因此D（X+C）=M（X+C）-十、-C=M（X）+C-十、-C=M（X）-X=D（X）。

因此，u（X+C）=supt∈[0，T]nD（X+C）to=supt∈[0，T]nD（X）至=u（X）。因此，CEDα（X+C）=CEDα（X）。接下来我们重点讨论广义偏差测度的凸性（D3）和正齐性（D4）的性质。3.1. CED的凸性。根据F¨ollmer and Schied（2002、2010、2011）的观点，分化的本质被封装在凸性公理中。假设我们有两个过程，代表两个投资组合的累积收益。投资者可以通过分配一小部分λ来实现多样化，而不是完全投资于这两个投资组合中的一个∈ [0，1]的资本，比如说，X，剩余的1- λ到Y。在凸风险度量下，这种分散不会增加风险。命题3.3（CED的凸性）。条件预期提取相对于投资组合权重是凸的：对于所有X，Y∈ R∞, λ ∈ [0,1]和置信水平α∈ （0,1），CEDα（λ+（1）- λ） Y）≤ λCEDα（X）+（1）- λ） CEDα（Y）。证据对于λ∈ [0,1]，我们有M（λX+（1）-λ） Y）≤ λM（X）+（1）- λ） M（Y）由上链的性质决定，因此（λX+（1-λ） Y）=M（λX+（1）-λ） Y）- λX- （1+λ）Y≤ λM（X）+（1）- λ） M（Y）- λX- （1+λ）Y=λD（X）+（1）- λ） D（Y）下降：从实践到理论，再回到9假设u（X）和u（Y）的分布是连续的，并且由于u（X）被定义为下降路径D内的上确界，我们有u（λX+（1-λ） Y）≤ λu（X）+（1）-λ） u（Y）。最后，由于尾部平均函数TM是次加性的，且正同质的，与基础分布无关（见Acerbi和Tasche（2002a，b）），并且也是单调的，因此它与μ的复合也是凸的，因此CEDα（λ+（1- λ） Y）≤ λCEDα（X）+（1）- λ） CEDα（Y）。备注3.4（提款风险优化）。CED的凸性意味着，从理论上讲，人们可以分配资产，以交易对冲风险和投资组合回报。在实践中进行任何优化都有三个关键要素。

要最小化的目标函数的凸性确保了最小值（如果存在）是全局的。第二个因素是优化算法的可行性和效率。Rockafellar和Uryasev（2000年、2002年）开发了一种有效的线性规划（LP）算法，用于最小化收益分布的尾部平均值，以及Chekhlov等人（2003年、2005年）的开创性工作，他们将DDrawdown纳入LP公式，理论上可以用来最小化最大下降分布的尾部平均值。第三个因素，让我们超越理论，是对风险的经验性合理估计。有必要对CED的性质进行进一步的实证探索，并研究其对定量投资组合构建的影响，这超出了本文的范围。3.2. CED的正均一性。一阶正齐次风险测度以欧拉齐次函数定理为特征，因此在组合风险分析中发挥着重要作用。更准确地说，对于投资组合P=PiwiXiin R∞, 风险度量ρ：R∞→ R是一阶正齐次的当且仅当ifPiwi(ρ（P））/(wi）=ρ（P）。因此，投资组合P=PiwiXican的风险ρ（P）可沿其系数xi线性归因。命题3.5（CED的正同质性）。就投资组合权重而言，有条件的预期提款率为一级正同质：对于所有X∈ R∞, λ>0和密度级α∈ （0,1），CEDα（λX）=λCEDα（X）。证据对于λ>0，我们有t∈ [0，T]，M（λX）T=supu∈[0，t]（λX）u=λsupu∈[0，t]（X）u=λM（X）t，因此D（λX）=λM（X）-λX=λD（X）。因为u（X）被定义为下降路径D中的上确界，所以我们有u（λX）=λu（X）。最后，尾部函数的正均一性产生了结果。另一个关键因素是有一个可靠的风险模型，为优化器提供现实和有用的场景。

这超出了本文的范围，我们在本文中集中讨论了两个主要的理论要求。我们请读者参考Zabarankin和Uryasev（2014），其中讨论了投资组合优化背景下的风险估计和错误敏感性理论。该公式和风险归因主题将在第4.10节“从实践到理论再到实践”中详细讨论。提款风险归因在提款风险计量的理论框架到位后，下一步是了解如何将有条件的预期提款纳入投资过程。我们展示了如何系统地分析投资组合中的提款风险来源，以及这些来源如何相互作用。实际上，投资者可能有兴趣将风险归因于特定风险模型的个别证券、资产类别、部门、行业、货币或风格因素。在下文中，我们假设一个通用的风险因素模型。确定一个投资期，并记录该期间因子i的回报（1≤ 我≤ n） 。然后，这段时间内的投资组合回报由Pull=nXi=1wiFi给出，其中Wii是指投资组合对因子i的敞口，为简单起见，不包括代表特殊风险的总和。由于投资组合风险不是来源风险的加权和，因此对于风险度量，这种分解没有直接的类比。然而，就边际风险贡献（MRC）而言，存在一个平行关系，这被解释为头寸对整体投资组合风险的百分比贡献。

它们提供了一种数学上和经济上合理的方法，将风险分解为可加的子成分。对于风险度量ρ，一个因素对风险的边际贡献是在保持所有其他风险固定的情况下，将因素敞口小幅增加时，总体投资组合风险的近似变化。从形式上讲，可以为任何不同的风险度量ρ定义边际风险贡献。定义4.1。对于投资组合中的因子Fip=PiwiFi，其边际风险贡献率Rc是基础风险度量ρ沿其风险敞口wi的导数：MRCρi（P）=ρ（P）威斯康星州。如果ρ是一次齐次的，则可以使用欧拉齐次函数定理分解整个投资组合风险，如下所示：XiwiMRCρi（P）=XiRCρi（P）=ρ（P），其中RCρi（P）=wiMRCρi（P）是对ρ的第i个总风险贡献。最后，分数风险贡献frcρi（P）=RCρi（P）ρ（P）表示第i个因子对投资组合风险的分数贡献。风险贡献已成为风险管理标准工具包的一部分，并用于风险预算和资本分配。我们请读者参考塔什（2000）、卡尔布雷纳（2005）、德诺（2001）和钱（2006）了解更多细节。提取：从实践到理论，再回到11风险贡献隐含地定义了一个足够普遍的相关性概念，可以定义为任何风险度量。广义风险度量ρ：M的广义风险相关性→ 投资组合与第i项资产Xi之间的R定义为：Corrρi=MRCρi（P）ρ（Xi）。广义关联的位置权重是单调递减的。从第i个风险贡献RCi（P）中分解出第i个边际风险ρ（Xi），我们得到了Menchro和Poduri（2008）的“X-Sigma-Rho”分解的广义形式：RCρi（P）=wiρ（Xi）MRCρi（P）ρ（Xi）=wiρ（Xi）Corrρi。我们参考读者Goldberg et al。

（2010）以获取更详细的广义相关发展。4.1. 提取风险贡献。Menchro和Poduri（2008年）以及Goldberg等人（2010年）开发了一个标准工具包，用于使用以边际风险贡献为中心的框架分析投资组合风险。通过将提款风险纳入该框架，投资者可以估计交易将如何影响投资组合的整体提款风险。由于有条件的预期提款是正同质的，因此在路径P内，单个因素对提款风险的贡献加起来等于总提款风险∈ R∞返回到时间为t的投资组合≤ T由Pt=PiwiFi给出，T:（4.1）CEDα（P）=xiwimrcedαi（P），α∈ [0, 1].回想一下，边际风险贡献是偏导数，因此从业者可以使用数值微分实现公式4.1。然而，这往往会带来噪音。接下来，我们将证明，对水位下降风险的单个边际贡献可以表示为一个积分，这减少了噪声，因为积分是一个平滑算子。实际上，第i个因子对整体投资组合提取风险的单个边际贡献Mrcedαiof由区间[s]内第i个因子的预期下降给出*, T*]  [0，T]考虑到整体投资组合的最大提款超过提款阈值，则出现整体投资组合的最大提款u（P）。这一定义类似于短缺的边际贡献，我们接下来将其正式化。提议4.2。

对提款风险的边际贡献由以下公式得出：（4.2）MRCCEDαi（P）=E[（Fi，t*- 菲，s*) | u（P）>DTα（P）]，对应于第i因子的过程被写入Fi，其实例在时间t∈ [0，T]用Fi，T表示。这类似于预期短缺的边际贡献，也可以用积分表示；参见Tasche（2000）和Tasche（2002），其中表明，对于基于分位数的风险度量（如VaR andES，但也包括光谱度量），Euler归因可以表示为直观的预期。12提取：从实践到理论再到实践，其中CEDα（P）是整体投资组合CED，u（P）是最大提取随机变量，DTα（P）是α处的投资组合最大提取阈值，s*< T*≤ T是这样的随机时间：u（P）=Pt*- 附言*,我们假设P=piwifi的最大下降是严格正的。证据我们使用了Tasche（2002）、Goldberg et al.（2010）和McNeil et al.（2005）的结果，他们表明，在信心水平α下，对预期短缺的第i次边际贡献为ESα∈ 代表投资组合损失的随机变量L=Piwiyi的（0，1）由（4.3）MRCESαi（L）=E[Yi | L>Varα（L）]给出，其中Varα（L）表示L在α的风险值，即损失分布的α分位数。我们推导出一个类似于公式4.3的公式。假设P=piwifi的最大压降严格为正，则设u（P）=Pt*- 附言*对一些人来说*< T*≤ T然后，第i个边际贡献MRCCEDαi（P）对总投资组合的下降风险CEDα（P）由MRCCEDαi（P）给出=wi（TMα（u（P）））=wiE[u（P）|u（P）>DTα（P）]=wiE[（Pt*- 附言*) | u（P）>DTα（P）]=wiE“nXi=1wiFi，t*-nXi=1wiFi，s*!| u（P）>DTα（P）#=无线“nXi=1wi（Wi-Fi，t*- 菲，s*) | u（P）>DTα（P）#=winXi=1wiE[（Fi，t*- 菲，s*) | u（P）>DTα（P）]！（4.4）使用关于分位数的偏导数为零的事实，如Bertsimas等人所讨论的。

（2004），公式4.4简化为：MRCCEDαi（P）=E[（Fi，t*- 菲，s*) | u（P）>DTα（P）]。缩编：从实践到理论，再回到ES0。9塞德。9（6米路径）CED0。9（1条路径）CED0。9（5Y路径）美国股票18.35%2.19%47%51%57%美国债券5.43%0.49%29%32%35%50/50 9.53%1.30%31%32%35%60/40 11.12%1.35%33%35%38%70/30 12.92%1.40%36%40%44%表5.1。1982年1月1日至2013年12月31日期间每日美国股票和债券指数以及三种固定组合投资组合的汇总统计数据。预期缺口和有条件的预期提款按90%的置信水平计算。通过考虑不同固定长度（6个月、1年和5年）回报路径内的最大提款，计算出三个提款风险指标。最后，请注意变量*和t*它们是随机的。这意味着，在这个问题的离散化版本的蒙特卡罗模拟中，它们将在不同的场景中呈现不同的价值。5.提款风险的实证分析我们基于两种资产类别的每日数据分析有条件预期提款的历史价值：美国股票和美国政府债券。我们使用的美国政府债券指数包括美国财政部发行的固定收益证券（不包括受通胀保护的债券）、美国政府机构和工具，以及美国政府担保的公司或美元计价的外债，期限超过10年。这些机构包括联邦国家抵押贷款协会（Fannie Mae）和联邦住房贷款抵押贷款公司（Freddie Mac）等没有明确担保的政府机构。与美国国债指数相比，2008年金融危机期间，美国国债指数波动性较大，与美国股票相关。

这种影响将体现在我们的实证分析中。表5.1.5.1显示了两种资产类别和三种固定组合组合的风险统计摘要。随时间变化的下降风险集中。利用对有条件预期提款边际贡献的定义（在命题4.2中推导），我们研究了对CED的时变贡献。图5.1显示了提款风险CED0的每日6个月滚动部分贡献。9（在6个月最大提款的90%阈值下，请参见附录A了解数据及其来源的详细信息。我们感谢Robert Anderson指出美国政府债券和美国联邦债券指数之间的重要区别。14提款：从实践到理论，再回到图5.1。沿着90%的有条件预期提款，每日6个月滚动部分风险贡献（FRC）（CED）平衡的60/40投资组合中的美国股票和美国债券。还显示了1982年至2013年期间的每日波动率系列，右轴表示其水平。在平衡的60/40配置中，两种资产类别（美国股票和美国债券）的分配。1982年至2008年间，以及2012年至2013年间，美国股票对整体提款风险的贡献在80%至100%之间。请注意，这一时期包括这30年期间发生的三种动荡的市场机制中的两种，即1987年的股市崩盘和千年早期互联网泡沫的破灭。然而，在2008年的信贷危机期间，我们意外地看到，债券对投资组合缩减风险的贡献几乎和股票一样大。我们的分析表明，在60/40固定的美国股票和美国债券组合中，市场动荡和提款风险集中之间几乎没有联系。值得注意的是，最公平的提款风险归因发生在2008年金融危机期间。