缩编：从实践到理论再回到实践

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英文标题：
《Drawdown: From Practice to Theory and Back Again》
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作者：
Lisa R. Goldberg and Ola Mahmoud
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Maximum drawdown, the largest cumulative loss from peak to trough, is one of the most widely used indicators of risk in the fund management industry, but one of the least developed in the context of measures of risk. We formalize drawdown risk as Conditional Expected Drawdown (CED), which is the tail mean of maximum drawdown distributions. We show that CED is a degree one positive homogenous risk measure, so that it can be linearly attributed to factors; and convex, so that it can be used in quantitative optimization. We empirically explore the differences in risk attributions based on CED, Expected Shortfall (ES) and volatility. An important feature of CED is its sensitivity to serial correlation. In an empirical study that fits AR(1) models to US Equity and US Bonds, we find substantially higher correlation between the autoregressive parameter and CED than with ES or with volatility.
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中文摘要：
最大支取，即从峰值到谷底的最大累积损失，是基金管理行业最广泛使用的风险指标之一，但在风险度量方面是最不发达的指标之一。我们将提款风险形式化为条件预期提款（CED），这是最大提款分布的尾部平均值。我们证明了CED是一个一级正同质风险度量，因此它可以线性地归因于各种因素；和凸性，因此可以用于定量优化。我们实证研究了基于CED、预期缺口和波动性的风险归因差异。CED的一个重要特征是它对序列相关性的敏感性。在一项将AR（1）模型与美国股票和美国债券相匹配的实证研究中，我们发现自回归参数与CED之间的相关性显著高于与ES或波动性之间的相关性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Drawdown:_From_Practice_to_Theory_and_Back_Again.pdf (987.82 KB)

2022-5-6 04:16:48 上传

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关键词：Quantitative Optimization Mathematical distribution Econophysics

缩编：从实践到理论，然后再回来（即将出版的《数学与金融经济学》杂志）丽莎·R·戈德伯甘德·奥拉·马哈茂达布斯特拉特（LISA R.GOLDBERGAND OLA MAHMOUDAbstract）。最大支取，即从峰值到谷底的最大累积损失，是基金管理行业最广泛使用的风险指标之一，但在风险度量方面发展最少。我们将提款风险形式化为条件预期提款（CED），这是最大提款分布的尾部平均值。我们证明CED是一个一级正同质风险度量，因此它可以线性地归因于各种因素；和凸性，因此可以用于定量优化。我们将根据CED、预期缺口和波动性，实证研究风险归因的差异。CED的一个重要特征是它对序列相关性的敏感性。在一项将AR（1）模型应用于美国股票和美国债券的实证研究中，我们发现自回归参数与CED之间的相关性显著高于与ES或波动性之间的相关性。关键词：缩编；有条件的预期缩编；偏差测量；风险归因；序列相关性潜在利益冲突的披露：作者声明他们没有利益冲突。加州大学伯克利分校统计与经济系和风险管理研究中心，加利福尼亚州94720-3880，美国圣路易斯大学数学与统计学院。

加伦，Bodanstrasse 6号，CH-9000，瑞士，加利福尼亚大学伯克利分校风险管理研究中心，加利福尼亚州埃文斯厅，邮编94720-3880，美国电子邮件地址：lrg@berkeley.edu,olamahmoud@berkeley.edu.Date：2016年9月22日。我们感谢Robert Anderson对本文中讨论的内容发表了富有洞察力的评论；感谢Alexeichelov、Stan Uryasev和Michael Zabarankin对这项工作之前草稿的反馈；感谢VladislavDubikovsky、Michael Hayes和M\'ark Horv\'ath对本文早期版本的贡献；托卡洛·阿塞尔比（Carlo Acerbi）就之前的草案提供了详细的意见；感谢《数学》和《金融经济学》的评委和编辑们的宝贵反馈。2缩编：从实践到理论，再回到图1.1。在特定路径上模拟投资组合的资产净值。一次大规模的撤资可能会迫使市场底部进行清算，而市场复苏的过程从未经历过。1.简介杠杆投资者容易陷入流动性陷阱：在市场突然下跌后无法获得资金，他可能被迫在不利的市场条件下出售有价值的头寸。这种经历在2007-2009年金融危机期间司空见惯，它重新将杠杆投资者和非杠杆投资者的注意力集中在一个重要的流动性陷阱上，即提款，这是固定期限内投资组合价值的最大跌幅（见图1.1）。如果出现大规模提款，在预期投资期结束时，常见的风险诊断，如波动性、风险价值和预期缺口，就不那么重要了。事实上，在对冲基金和大宗商品交易顾问（CTA）的世界中，被广泛引用的风险衡量标准之一是最大提取。

在应用概率论的文献中，对水位下降的概念进行了深入研究，我们将在第1.1节中对其进行回顾。然而，在投资管理行业中，似乎不存在一种公认的数学方法来形成对未来潜在最大提款的预期。在风险和偏差度量的背景下进行的缩减未能吸引到用于其他更传统风险度量的同类应用研究。我们的目的是制定一个（i）数学上合理的和（ii）实际有用的提取风险度量。我们对提款风险的形式化是通过对时间范围内的连续时间累积收益进行建模来实现的∈ (0, ∞) 作为一个代表返回路径的随机过程X，应用了一个实值泛函，即条件期望下降。从数学上讲，过程X被转换为随机变量u（X），表示有限路径内的最大压降。在信心水平α∈ [0,1]，然后将条件预期降深CEDα定义为预期最大降深：从实践到理论，再回到3，考虑到一些最大降深阈值DTα，即最大降深分布的α分位数被打破：CEDα（X）=E（u（X）|u（X）>DTα）。在定量风险度量方面，CED是Rockafellar等人（2002年、2006年）意义上的偏差度量。

特别是，这意味着CED在拓扑组合权重方面是凸的，这意味着它促进了多样性，可以在优化器中使用。它也是一次齐次的，因此它支持欧拉函数定理下的线性风险归因。通过关注固定长度T内所有提款的最大值，我们解决了一个高度相关的风险管理问题，该问题每天都会影响到基金经理，他们问自己：在投资期限T内，资产净值的预期最大可能累积跌幅是多少？如果损失超过某个阈值，投资者可能会被迫清算。对于给定的投资期限T，有条件的预期提款表示超过阈值的预期累积损失，并且可以针对不同的密度水平进行测量。因为有条件的预期提款被定义为最大提款分布的尾部平均值，所以它是一个下行风险度量，与预期短缺完全类似，预期短缺是回报分布的尾部平均值。因此，预期缺口的大部分理论和实践都会转化为有条件的预期缩编。然而，我们将表明，下降具有内在的路径依赖性，可以解释连续相关性，而预期的短缺不能解释连续损失。1.1. 文献综述。在应用概率理论的文献中，以及在主动投资组合管理的研究中，已经对提取的概念进行了广泛的研究，我们将在下面对其进行回顾。然而，无论是在投资管理行业还是学术文献中，似乎都不存在一种公认的数学方法来预测未来潜在的最大提款。

因此，在风险和偏差度量的背景下进行的缩减未能吸引到致力于其他更传统风险度量的同类应用研究。因此，我们的工作是对现有文献的补充，因为它开发了一个数学上合理且实用的提款风险度量。在应用概率论的文献中，对水位下降幅度的分析评估进行了广泛的研究。据我们所知，最早的布朗运动最大下降的数学分析出现在泰勒（1975）中，之后不久，莱霍茨基（1977）将其推广到时间均匀扩散过程。Douadyet al.（2000）和Magdon Ismail et al.（2004）分别推导了标准布朗运动和带漂移的布朗运动的有限级数展开式。Landriault等人（2015）将水位下降幅度的讨论扩展到研究布朗4水位下降的频率率：从实践到理论，再回到运动。Mijatovic和Pistorius（2012）分析了光谱负L’evy过程的下降。提取的概念，即衡量相对于运行最低值的最大累积收益，也进行了概率研究，尤其是就其与提取的关系而言；例如，见Hadjiliadis和Vecer（2006年）、Pospisil等人（2009年）和Zhang和Hadjiliadis（2010年）。在数学金融研究中，减少主动投资组合管理中的支取已经受到了相当大的关注。Grossman和Zhou（1993）考虑了一个受提取约束的资产分配问题；Cvitanic和Karatzas（1995）将同一优化问题扩展到多变量框架；切赫洛夫等人。

（2003年，2005年）开发了一种线性规划算法，用于对受提款限制的投资组合预期收益进行样本优化，Krokhmal等人（2003年）将其与考虑对冲基金应用的Portfall优化进行了数值比较；Carr等人（2011年）介绍了一种新的欧式提款保险合同和基于衍生品的提款策略；最近，Cherney和Obloj（2013）、Sekine（2013）、Zhang等人（2013）和Zhang（2015）研究了各种随机建模假设下的提款优化和提款保险。Zabarankin等人（2014年）以资本资产定价模型（CAPM）的形式，重新制定了一个带有提取的投资组合优化问题的必要优化条件，该模型用于推导提取贝塔的概念。在Pospisiland Vecer（2010）中，针对希腊的一类提款风险，引入了更多对提款风险敏感的衡量标准。在定量风险度量的背景下，Chekhlov等人（2003年、2005年）开发了一种称为条件风险提取（CDaR）的定量提取风险度量。同样，CDaR是一种偏差度量（Rockafellar等人（2002年、2006年））。然而，与CED不同的是，CDaR关注的是所有提款，而不是最大提款。2.测量水位下降风险我们使用Cheridito等人（2004）的一般设置来计算连续时间路径相关风险的数学形式。连续时间累积收益或等效净资产价值过程由基本有界的c`adl`ag过程（在给定的概率度量中）表示，该过程适用于过滤概率空间的过滤。

更正式地说，在一段时间内∈ (0, ∞), 让(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P）是一个满足通常假设的过滤概率空间，即概率空间(Ohm, F、 P）是完整的，（Ft）是右连续的，并且F包含F的所有空集∈ [1, ∞], （Ft）-适应的c\'adl\'ag过程位于Banach间隔区p={X:[0，T]×中Ohm → R | X（Ft）-适应的c`adl`ag过程，kXkRp}，它配备了normkXkRp:=kX*kpDRAWDOWN：从实践到理论再回到5X*= 监督∈[0，T]| Xt |。关于概率测度P，过程之间的所有等式和不等式都在几乎确定的意义上被理解。例如，对于过程X和Y，X≤ Y意味着对于P-几乎所有ω∈ Ohm, Xt（ω）≤ Yt（ω）适用于所有定义2.1（连续时间路径相关风险度量）。连续时间路径相关风险度量是实值函数ρ：R∞→ R.在实践中，当一个人在离散宇宙中工作时，这种连续时间设置是通过选择返回视界T上的观测频率来离散的。这为分析增加了一个关键参数，因为更高频率的观测往往会产生更大的下降。以2011年5月的金融危机为例。在日常工作中，无论投资期限有多长，人们都不会看到资金缩水。2.1. 最大降深。定义2.2（提款过程）。

对于地平线T∈ (0, ∞), 缩编过程D（X）：={D（X）t}t∈[0，T]对应于一个随机过程X∈ R∞比亚迪（X）t=M（X）t- Xt，其中m（X）t=supu∈[0，t]是时间t之前X的运行最大值。实际上，在对冲基金和大宗商品交易顾问中，使用最大提款作为风险指标尤其普遍，在对冲基金和大宗商品交易顾问中，经常使用经最大提款调整的绩效指标，如Calmar比率、英镑比率和Burkario。定义2.3（最大水位下降）。在固定的时间范围内∈ (0, ∞), 随机过程X的最大下降∈ R∞是[0，T]中X从峰值到谷底的最大降幅，因此是所有降幅中最大的D（X）T:u（X）=supt∈[0，T]{D（X）T}。等效地，最大水位降可以定义为通过以下基本随机过程X:u（X）=supt的变换获得的随机变量∈[0，T]sups∈[t，t]{Xs- Xt}。参见Madhavan（2012）对飞机坠毁的分析。6缩编：从实践到理论，再回到（a）（b）图2.1。（A） 1950年1月1日至2013年12月31日期间每日标准普尔500指数实现的6个月最大跌幅的经验分布，以及分布的90%分位数（跌幅阈值DT）和尾部平均值（CED）。

（B） 理想标准正态分布随机变量的6个月最大下降分布，以及分布的90%分位数和尾部平均值。尽管在给定的地平线上，任何给定的路径上都只能实现一个最大水位降，但考虑最大水位降的分布是有益的。通过观察最大提款分布，可以对给定投资期限内给定投资组合的最大提款规模和频率形成合理的预期。图2.1显示了（A）1950年至2013年期间每日标准普尔500指数时间序列的经验最大下降分布（路径长度为125个工作日），以及（B）理想高斯随机变量的模拟分布。这两种分布都是对称的，这意味着非常大的水位下降发生的频率低于较小的水位下降。Burghardt等人（2003年）使用蒙特卡罗模拟法表明，最大水位下降分布对跟踪记录的长度高度敏感（跟踪记录长度的增加会使整个分布向右移动），平均收益率（对于较大的平均收益率，分布不那么向右倾斜，因为较大的平均收益率往往会产生较小的最大提取、收益波动性（较高的波动性会增加大幅提取的可能性）和数据频率（基于较低频率数据的提取会忽略流量崩溃）。最大降深分布的尾部在实践中特别重要，从中可以提取出给定幅度降深的可能性。我们的提款风险度量，定义如下，是最大提款分布的尾部平均值。2.2. 有条件的预期缩编。