财务指标的多变量模型及预测算法

考虑到这些曲线是一个测试后验曲线，并且没有使用这些分布估计任何参数，我们发现这种一致性是显著的！我们在备注2.8中看到，我们对富时指数和道琼斯工业平均指数中的冲击的估计是严格相关的：一个指数中冲击的发生往往与另一个指数中冲击的发生同时发生。因此，尝试对交叉资产相关性进行粗略建模的第一个想法是，为FTSE提供Tf跳跃过程，为DJIA提供Td跳跃过程，使其成为同一过程。从备注3.5以及富时指数和道琼斯工业平均指数的D和‘∑非常相似的事实来看，我们预计道琼斯工业平均指数波动率自相关的衰减、富时指数波动率自相关的衰减以及绝对收益的交叉资产相关性的衰减将显示出类似的行为。如果我们绘制这些数量（见图10），并与[18]的经验结果相一致，这正是结果。在这个粗略的假设下，我们对交叉资产相关性的估计与我们对富时指数或道琼斯工业平均指数波动率自相关衰减的预测一致，或者两者之间的平均值一致。我们可以更好地使用第3节开头描述的二元跳跃过程I=（IX，IY）。我们需要估计强度λ、λ、λ，受估计参数的约束。图8：波动率自相关（a）FTSE对数图（b）DJIA对数图（c）FTSE对数图（d）一维模型的DJIA对数图。将bγh（t）定义为h天内的经验相关系数：bγh（t）=corr（|xf·+h- xf·|，|xd·+t+h- xd·+t |）。其中XF和XD是FTSE和DJIA系列的去趋势日志返回。

最小化该量与理论互相关（定理2.5）之间的适当距离，我们得到λ=0.0014；λ= 0.0005; λ= 0.在图11中，我们绘制了我们的模型预测与交叉资产相关性的经验衰减，对于t=1。。，400天。我们的估计值为λ=0这一事实意味着，当富时指数的冲击由道琼斯工业平均指数的冲击加上一些额外的冲击（由Aspaser Poisson过程给出）给出时，我们与实际数据的最佳拟合就得到了。由于样本量较小，这些估计过于粗略，无法进行更多的定量考虑，但有人可能会认为，道琼斯工业平均指数中的冲击总是决定富时指数中的波动，而富时指数中可能存在冲击，这并不意味着道琼斯工业平均指数的经验方差会显著增加。4.技术成果4。1二次变量的几何性质回想一下，我们定义了后向差异商qt（t）=IT- 信息技术-tt，It=hXit。图9：对数收益率分布（a）富时指数成交量（b）道琼斯工业平均指数成交量（c）富时指数成交量（d）道琼斯工业平均指数成交量图10：经验相关性比较（a）对数图；三分之一的点绘制为（b）对数图；对于t≥ 20，三分之一的点被认为是路径，QT（·）有一些很好的几何性质，保证在T之前的最后一个跳跃时间存在一个“孤立”的最大值。为了简化符号，我们设置m:=T- τi（T），α：=τi（T）- τi（T）-1，K=二维1.-2D。（4.1）图11:FTSE和DJIA交叉资产相关性（a）对数图（b）对数图下列引理表明，如果m足够小，QT（·）在m处达到最大值。此外，减小m时，m处的QT（·）值任意大于连续最小值处的值。引理4.1。设m，α，K如（4.1）所示。如果m<Kα，那么（1）m是QT（·）的局部最大值（2）QT（·）在点γ处（m，m+α）达到其最小值。

此外，QT（·）在（0，m）上增加，在（m，γ）上减少。（3） 以下限值为Sqt（m）- QT（γ）m→0+----→ +∞证据（1） QT（t）处处是连续的，它是可微的，但在{t-τn}n∈N.证明它在m=T时达到最大值-τi（T）我们证明在m处，左导数大于0，右导数小于0。导数为qt（t）=σ2D（t- T- τi（T）-1） 二维-1t- （它- 信息技术-t） t，t∈ （m，m+α）和qt（t）=σ2D（t- T- τi（T））2D-1t- （它- 信息技术-t） t，t∈ （0，m）（4.2）由于Isis为分段凹形，因此- 信息技术-t<I（t- t） 从（4.2）我们得到QT（t）>0 in（0，m）。另一方面→m′σ2D（T- T- τi（T）-1） 二维-1t- （它- 信息技术-t） t=’σm2Dα2D-1米- m2D=: L′σ（α，m）（4.3）L′σ（α，m）具有以下性质L′σ（α，m）=0<=>m=α二维1.-2Dlimm→0+L′σ（α，m）=-∞林姆→+∞L′σ（α，m）=+∞这意味着当且仅当m<Kα时，右导数小于零，因此QT（t）在m当且仅当m<Kα时达到局部最大值。（2） 注意，QT∈ C∞（（m，α+m））a.s。。这个区间的二阶导数是q（2）T（T）=σ2D（2D- 1） （T）- T- τi（T）-1） 二维-2t-2QT（t）tThus QT（t）=0意味着Q（2）t（t）>0，那么所有的驻点都是极小值。此外，qt只能有一个事实上存在的最小值，因为从（4.3）我们可以得到limt→T-τi（T）QT（T）<0andlimt→T-τi（T）-1QT（t）=+∞让γ∈ （m，α+m）是QT（t）达到其最小值的点。显然，qt在（m，γ）上减少，我们已经证明qt在（0，m）上增加。（3） 定义qt（m）- QT（γ）>QT（m）- QT（α+m）Letξ=τi（T）-1.- τi（T）-2.

我们得到qt（m）- QT（α+m）=IT- IτI（T）T- τi（T）-信息技术- IτI（T）-1T- τi（T）-1= σm2D+α2Dm-m2D+α2D+ξ2Dm+α传递到limitQT（m）- QT（α+m）=σ（α2D+1+m2Dα- mξ2D）m（m+α）m→0+----→ +∞然后林姆→0+QT（米）- QT（γ）=+∞.4.2定理3.1关于绝对对数返回之间协方差的证明要求Wx和Wy的增量与不相交的时间间隔无关，Wx和W是独立的布朗运动。所以对于h<t- sCov（ξs，ηt）=E（|Xs+h）- Xs | | Yt+h- Yt |）- E | Xs+h- Xs | E | Yt+h- Yt |=E|WX | qIXs+h- IXs | W | qIYt+h- IYt- E|WX | qIXs+h- IXsE|~W | qIYt+h- IYt并使用独立Cov（ξs，ηt）=（E | WX |）CovqIXs+h- IXs，qIYt+h- IYt=π冠状病毒qIXs+h- IXs，qIYt+h- IYt.根据我们对TX和TY的选择，我们得到了（IX，IY）增量的平稳性qIXs+h- IXs，qIYt+h- IYt= 冠状病毒qIXh，qIYt-s+h- IYt-s.雷卡利＝’σ（h）- τi（h））2D+i（h）Xk=1（τk- τk-1） 二维- (-τ） 二维几乎可以肯定的是，对于足够小的h，i（h）=i（0）=0，因此右手中的和消失，a.s.limh↓0Ihh=limh↓0′σ（h）- τi（h））2D- (-τ） 2Dh=\'σlimh↓0（h- τ） 二维- (-τ） 2Dh=2D′σ(-τ） 二维-1和类似的LimH↓0It+h- Ith=2D′σ（t- τi（t））2D-1.下一个引理4.2表示族的一致可积性IXhh:h∈ (0, 1],（IYt+h）- 伊思：h∈ （0，1]），因此我们首先应用协方差的双线性，然后取其内部的极限，得到LimH↓0CovqIXh，qIYt+h- IYth=Cov林↓0里克斯，林↓0sIYt+h- 伊思= 2.√DXDY′σX′σYCov(-τX）DX-1/2，（t- τYiY（t））DY-1/2.将协方差中的右项乘以{iY（t）=0}的特征函数，再加上其补码Cov的特征函数，我们可以得到这个量的更好表示(-τX）DX-1/2，（t- τYiY（t））DY-1/2= 冠状病毒(-τX）DX-1/2，（t- τYiY（t））DY-1/2{iY（t）=0}+ 冠状病毒(-τX）DX-1/2，（t- τYiY（t））DY-1/2{iY（t）>0}第二个和是0，因为（t-τYiY（t））DY-1/2{iY（t）>0}是GY>0可测量的，其中GY>0=？（τYk:k>0），GY>0与τ无关。

因此，利用1{iY（t）=0}是GY>0可测量的事实，因为o是1{iY（t）>0}，我们得到了cov(-τX）DX-1/2，（t- τYiY（t））DY-1/2= 冠状病毒(-τX）DX-1/2，（t- τY）DY-1/2{iY（t）=0}= 冠状病毒(-τX）DX-1/2，（t- τY）DY-1/2E{iY（t）=0}= 冠状病毒(-τX）DX-1/2，（t- τY）DY-1/2E-λYt，证明了该定理。以下结果用于定理3.1的证明。回想一下，0<D<1/2。引理4.2。一类随机变量IXhh:h∈ (0, 1]对于δ<1，有界于Lδ-2D。证据RecallIt=\'σ（t）- τi（t））2D+i（t）Xk=1（τk- τk-1） 二维- (-τ） 二维分解E（Iδt）E（Iδt）=E（Iδt | I（t）=0）P（I（t）=0）+∞Xk=1E（Iδt | I（t）=k）P（I（t）=k）在I（t）=0上条件化，并使用凸性，It=\'σ（t）- τ） 二维- (-τ） 二维≤ 2D′σ(-τ） 二维-1在t=0的右邻域中。SoE（Iδt | I（t）=0）≤ （2D）δ′σ2δE(-τ） δ（2D）-1)tδ≤ δ<1的Ctδ-2D，自从-τ是一个指数分布的随机变量。条件作用于i（t）=k，k≥ 1，再次使用凸性≤ σ（t）- τk）2D+kXj=2（τj- τj-1） 2D+（t）- τ） 二维- (-τ） 二维≤ σ（t）- τk）2D+kXj=2（τj- τj-1） 2D+2D(-τ） 二维-1t.通过Jensen不等式和2D<1的事实- τk）2D+kXj=2（τj- τj-1） 二维≤ k（t）- τk）+Pkj=2（τj）- τj-1） k！二维≤ Ktk然后呢≤ \'\'σ2D(-τ） 二维-1t+ktk2D！。现在，假设≤ 1，对于合适的正常数Cand CE（Iδt | I（t）=k）P（I（t）=k），我们有≤ Cλkk！tδ+Ckδ（1-2D）λkk！t1+2Dδ。回忆δ<1-2D。所以δ<1+2Dδ，所以t1+2Dδ≤ tδ，然后是（Iδt | I（t）=k）P（I（t）=k）≤C+Ckδ（1）-2D）λkk！tδ。因此（Iδt）≤“C+∞Xk=1Cλkk#tδ≤ Ctδ，其中Cd为正常数。SonIXtt:t∈ （0，1）ois以Lδ为界。5致谢我们感谢Paolo Dai Pra的不断指导和建议。参考文献[1]A.Andreoli，F.Caravenna，P.D.Pra和G.Posta。金融系列中的标度和多标度：一个简单的模型。应用概率的进展，44（4）：1018–10512012。[2] O.巴恩多夫-尼尔森和N.谢泼德。

已实现波动的计量经济学分析及其在估计随机波动模型中的应用。《皇家统计学会期刊》B辑，64（2）：253-280，2002年。[3] O.E.巴恩多夫-尼尔森和N.谢泼德。基于非高斯ornstein-uhlenbeck模型及其在金融经济学中的一些应用。《皇家统计学会期刊》B辑，63（2）：167-2412001。[4] 博勒斯列夫。广义自回归条件异方差。《计量经济学杂志》，31:307-3271986。[5] Bonino，M.波动冲击下的投资组合分配和监控。硕士论文，帕多瓦大学，2011年。[6] C·T·布朗利和R·F·恩格尔。系统性风险度量的波动性、相关性和尾部。可从SSRN 16112292012获得。[7] Camelia，M.Variazione quartica di processi stocastici：联合国应用。本科毕业论文。，page Universit\'a degli Studi di Padova，2012年。[8] P.戴普拉和P.皮加托。随机波动率模型中矩的多重标度。随机过程。应用程序。，125:3725–3747, 2015.[9] P.Embrechts、A.McNeil和D.Straumann。风险管理中的相关性和依赖性：特性和陷阱。《风险管理：风险价值及以后》，第176-223页，2002年。[10] V.法森、C.吉隆坡伯格和A.林德纳。随机波动率模型的极值行为。InStochastic Finance，第107-155页。斯普林格，2006年。[11] S.F.格雷。将利率的条件分布建模为一个制度转换过程。《金融经济学杂志》，42（1）：27-62，1996年9月。[12] Z.他和J.M.马尤。实时检测garch模型中的结构断裂。《计算统计与数据分析》，54（11）：2628–26402010。[13] C.包括安和条子。使用累积平方和对方差变化进行回顾性检测。J.艾默尔。统计学家。协会，89:913–923，1994年。[14] J·贾科德和P·E·普罗特。

过程的离散化。随机建模和应用概率。施普林格，柏林，海德堡，2012年。[15] C·克洛佩尔伯格、A·林德纳和R·马勒。连续时间波动率建模：Cogarch versusornstein–uhlenbeck模型。《从随机微积分到数学金融》，第393-419页。斯普林格，2006年。[16] MATLAB。版本7.8.0（R2009a）。MathWorks公司，马萨诸塞州纳蒂克，2009年。[17] Pigato，P.金融指数受波动冲击的多元模型。硕士论文，帕多瓦大学，2011年。[18] B.波多布尼克、D.F.傅、H.E.斯坦利和P.C.伊万诺夫。具有长程互相关的幂律自相关随机过程。欧洲物理杂志B-浓缩物质和复杂系统，56（1）：47-522007。[19] B.Podobnik、D.Wang、D.Horvatic、I.Grosse和H.E.Stanley。收集现象中的时滞互相关。EPL（欧洲物理学通讯），90（6）：680012010。[20] G·J·罗斯。在突然变化的情况下对金融波动进行建模。Physica A:统计力学及其应用，392（2）：350–360，2013。[21]D.Wang、B.Podobnik、D.Horvati\'c和H.E.Stanley。量化和建模多个时间序列中的长期交叉相关性，并将其应用于世界股指。菲斯。牧师。E、 83（046121），2011年。