财务指标的多变量模型及预测算法

因此，标度指数a（q）isA（q）=limh↓0日志mq（h）日志h=qif q≤ Q*Dq+1如果q≥ Q*我们现在陈述一个关于过程X的波动率自相关的结果，即给定时间距离下收益绝对值的相关性。回想一下，两个随机变量X和Y的相关系数是ρ（X，Y）=Cov（X，Y）pV ar（X）V ar（Y）。对于过程X，引入ξ=（ξt）t≥0，增量绝对值的过程，对于h固定：ξt=|Xt+h- Xt |。那么X的波动率自相关是ρ（t）- s） =林↓0ρ（ξs，ξt）=Cov（ξs，ξt）pV ar（ξs）V ar（ξt）实际上，由于过程是平稳的，我们上面定义的量只取决于时间差- s、 定理2.5（波动率自相关）。对于t≥ 0，ρ（t）=πCovSD-1/2，（λt+S）D-1/2V ar（|N | SD）-1/2）e-λtws是参数为1的指数变量，N是标准正态变量，它们相互独立。这个定理表明，波动率自相关的衰减在t=O（1/λ）的多项式和指数之间，t>>1/λ的指数之间。2.3跳跃和二次变化我们现在考虑价格过程的二次变化，也被称为综合波动率。以下考虑的目的是介绍一种检测波动率相关跳跃的算法，该算法在[5]中首次提出，然后在[7,17]中进行了分析。我们知道X的二次变化由I（命题2.2）给出：hXit=It。我们记得，二次变化是收缩分区的平方增量和的概率极限。

因此，I的自然估计量是X的adense采样的平方增量之和（关于这类估计量的一致性和收敛速度的许多结果，请参见[14]）。另一方面，过程I是分段凹的；事实上，我们还记得，这种过程是由it=\'σ定义的（t）- τi（t））2D+i（t）Xk=1（τk- τk-1） 二维- (-τ） 二维很明显，在连续两次冲击之间，这个过程是凹的。我们计算时间T，并考虑由qt（T）定义的后向差异商：=IT- 信息技术-tt。这个量以T为条件，增加到T之前的最后一次冲击时间，因此在T=T时有一个局部最大值-τi（T）。此外，它的导数在电击后非常大，但随着时间的推移会迅速衰减。因此，我们预计QT（s）<QT（T-τi（T））如果s∈ （T）-τi（T），T-τi（T）-五十） ，对于一些L>0的人。我们在这里提出了一个基于以下思想的算法：如果我们选择M>0，那么τi（T）-1<T- M<τi（T）<T和T- M“比τi（T）更接近τi（T）-1“，然后是间隔（t）内QT（t）的全球最大值- M、 T）应在T=T时达到- τi（T）。4.1中说明并证明了这一事实的几何性质。由于X的二次变化的自然估计量是Xt的平方增量的平均值，我们引入以下估计量：VT（k）：=kkXi=1（Xt）-i+1- XT-i） 条件作用于T，我们有{VT（k）|T}=kkXi=1En（XT-i+1- XT-i） | To=kkXi=1En机智-i+1- 机智-我|To=kkXi=1（它- 信息技术-k） =QT（k）由于我们无法直接在历史数据上观察QT，因此我们使用vt作为近似值，并实现了一种算法，以确定实现的跳跃时间。2.4波动性跳跃的检测我们现在描述算法的实现和应用。我们开始介绍一些符号。

财务指数时间序列将用（si）0表示≤我≤N、 而去趋势对数时间序列将由（xi）250表示≤我≤N、 式中xi:=log（si）-\'d（i）和\'d（i）：=Pi-1k=i-250log（si）；我们观察到，不可能定义XII<250。我们定义（y（i））0≤我≤是相应的交易日期序列。我们还介绍了VNascVN（k）：=kkXi=1（xN）的经验估计-i+1- xN-i） 现在，假设我们想知道时间序列中最后一次冲击是什么时候发生的。其思想是选择一个合适的整数M，使0<M≤ 然后看看序列（cVN（k））N-M≤K≤自然达到最大限度。这就引出了以下定义。定义2.6。设（si），（xi），（yi），N，M如上；给定一个整数N，使得M≤~N≤ N、 我们定义k（~N，M）：=argmax~N-M≤K≤~NkkXi=1x~N-i+1- x~N-我.这个数量是对y)N之前最后一次冲击时间距离的估计。我们定义了alsobi（)N，M）：=N-bk（~N，M）+1，我们对上一次冲击时间估计的指数的估计，以及因此我们对yNisbτ（~N，M）之前的上一次冲击时间的估计：=ybi（~N，M）.值得将我们的算法与所谓的ICSS-GARCH算法进行比较。在[20]之后，我们可以如下描述ICSS-GARCH算法。考虑到一系列的财务回报，rn，用平均值0，我们定义了累积平方和Ck=Pki=1和letDk=CkCn-千牛，1≤ K≤ n、 D=Dn=0如果序列r，Rn的方差为常数，那么序列D，Dn应该在0左右振荡。然而，如果方差出现震荡，序列应该在该点附近表现出极端行为。我们注意到，这两种算法都使用收益平方和来检测波动性冲击。然而，ICSS-GARCH算法在收益为正态分布的假设下运行良好，但不适用于重尾分布，如[20]所示。

相反，我们的算法基于几何方面的考虑：它定位的冲击来自于这样一个事实：我们的回报是由布朗运动的分段凹时间变化给出的。在随机波动率模型中，分段凹时间变化的假设是合理的。事实上，为了重现波动性的跳跃，我们可以引入一个过程，使波动性在冲击发生时强烈增加，然后随着时间慢慢衰减。对于本文概述的实证讨论，我们使用了从1984年4月2日到2013年7月6日的道琼斯工业平均指数和富时指数，因此N=7368。1950年1月3日至2013年7月23日期间，对标准普尔500指数进行了类似的数据分析，发现了类似的结果，并确认了该方法对综合指数的有效性。本文中给出的所有计算和图片都是使用MatLab软件获得的[16]。图3给出了估算上次冲击时间的经验程序示例。图3:k=1时的量子化曲线，2000年（M=2000）。N已被选中，因此y将在2011年5月10日。峰值对应于2008年9月15日，也就是雷曼兄弟银行破产的那一天。为了确认冲击时间的估计值是正确的，我们可以在接近冲击时间时重复该程序，放弃最后一次观察，或放弃一些最后的观察。如果最后一次冲击时间的估计是确定的，那么我们有一个明确的迹象表明存在冲击（见图4–（a））。我们注意到，当在考虑的时间间隔内出现多个冲击时，如果我们充分利用y/Nclose（同样，这是由引理4.1激发的），最近的一个冲击被发现为^V的最大峰值。

当我们进一步研究时，选择的峰值不一定是最近的，如图4–（b）所示。图4:k=1时的数量CvN（k）曲线图，2000年（M=2000），适用于DJIA。在每个图中，我们在20个工作日内换班4次。在（a）中，选择了N，因此y是10/05/11（红色）、11/04/11（黄色）、14/03/11（绿色）和11/02/11（蓝色）。这四个maxima都位于2008年9月15日，也就是莱曼兄弟银行破产的那一天，这证实了那里存在的冲击。在（b）中，选择了N，因此y是2012年2月27日（红色）、2012年1月27日（黄色）、2011年12月28日（绿色）和2011年11月29日（蓝色）。我们可以看到，当y接近2011年5月8日（欧洲主权债务危机）时，这个日期对应于^V的最大值，而当我们进一步移动时，最大值再次出现在2008年9月15日。（a） （b）为了得到更清晰的结果，我们稍微调整了程序。当计算bk（~N，M）时，忽略总和的最后20个元素。按顺序排列，而不是将bk（~N，M）计算为argmaxfor ~N- M≤ K≤~N，我们删除该系列的最后20个元素。通过这种方式，我们只能定位至少20天的冲击，但我们消除了冲击后可能立即出现的大波动，这可能会导致算法中的一些不稳定性。为了定位给定时间序列中的所有过去的冲击，我们计算了N=N，M、 然后介绍下面的顺序。定义2.7。鉴于定义2.6中的数量，我们引入冲击时间序列asbh（（xi）250≤我≤N、 M）：=bi（~N，M）M≤~N≤最后，为了清楚地了解相关冲击在时间序列中的位置，我们可以绘制序列bh（（xi）250中每个元素的发生次数≤我≤N、 M）。如果某个日期出现的次数超过某个阈值，我们可以选择将其视为震惊日期。表1包含了我们估计的冲击日期。

在图5中，我们可以看到图形证据，即FTSE和道琼斯工业平均指数的最大值都集中在一小部分天数上，这支持了该方法的有效性。阈值的选择尚未完全确定，我们基于两个标准。首先，估计的冲击次数应与泊松过程的预期跳跃次数一致（其速率在第3节中进行了校准）。其次，我们看到在这两个系列中，everydate都有一些小的或非常大的事件。更明确地说，对于DJIA，只有3个日期被发现大约50次，而所有其他日期被发现超过80次或少于25次。类似地，对于富时指数，只有两个日期被发现大约50次，而其他所有日期被发现超过80次或不到20次。因此，我们有理由将真实地震视为发生次数超过80次的地震，而不太清楚如何考虑发生次数约为50次的地震。在任何情况下，这些选择都与泊松过程的预期跳数一致。另一个选择震惊日期的问题是，有时两个或两个以上非常接近的日期被发现的次数相当多。在这种情况下，我们认为它们与相同的冲击有关。这些日期在表1中用“稀疏”一词标记，我们在表1中报告了估计日期。图5：冲击时间；x轴：增加时间指数；y轴：y（i）=i（a）FTSE冲击次数（b）DJIA冲击次数下实现最大^V的次数备注2.8。在这一点上，人们自然会怀疑这两个指数中的冲击之间是否存在关系，一个简单的实验就是尝试将这两个图形叠加（见图6）。

我们得到的是一个明确的迹象，表明这两个系列的冲击时间几乎是一致的，只是震级（或证据）不同，并且只有很少的冲击出现在两个指数中的一个。这是选择双变量过程波动率的一个重要提示，下一节将讨论这个问题。图6：常见跳跃：图5（a）和（b）3的重叠-二元模型3。1二元模型的定义我们在此研究二元模型（X，Y）=（Xt，Yt）t的绝对收益之间的相关性衰减≥第2节中定义的模型的0。我们需要以下数量：表1:DJIA14/10/87 15/09/8724/01/8926/09/89 11/10/89（有问题，53）09/01/9601/07/96（有问题，54）13/03/97（稀疏）08/08/9722/10/97（有问题，48）16/10/9704/08/98 31/07/9830/12/99 04/01/0009/01/01/09/03/01/0112/06/02/07（有问题，43/07/07）57/07/0804/01/08（稀疏）03/09/08 15/09/0805/08/11 05/08/11o两个布朗运动WX=WXtT≥0和WY=怀特T≥0;o R:TX=（τXn）n上的两个泊松点过程∈Zand TY=（τYn）n∈Z、 分别为λx和λY；o正常数DX，DY，“∑x”和“∑Y”。棘手的一点是泊松过程的定义，我们想要依赖但不同的泊松过程。Weintroduce Ti，i=1,2,3，强度为λi，i=1,2,3的独立泊松过程。然后我们定义x=T∪T、 TY=T∪T

这也是泊松过程，强度为λ+λ和λ+λ，如果不是退化的，它们是相互依赖的。我们想要一个相关系数ρ∈ [-1，1]也在布朗运动之间，因此我们引入两个独立的布朗运动WX，~W，和definewyt=ρWXt+p1- ρWt。Wy和Wx之间的相关性在本文中不起作用，但参数ρ对于同时增加X和Y的相关性很重要，这可能是一个值得考虑的方面。我们假设二维布朗函数W=（WX，WY）和二维时变T=（TX，TY）是独立的。第2节关于边缘一维过程的要求得到满足，我们可以定义X和Y asXt=WXIXt，Yt=WyIyt，其中随机时间变化IX和IyTar的定义如（2.1）所示。正如我们在备注2.8中所注意到的，这一定义的动机是，在经验数据中，两个指数中的一个指数的冲击发生通常与另一个指数的波动峰值重合。3.2绝对对数回归的协方差和相关性对于给定的时间h，我们设置ξt=|Xt+h- Xt |，ηt=|Yt+h- Yt |，时间t时X和Y的收益的绝对值。关于时滞h变为0时ξ和ηtas之间协方差的渐近行为的以下结果在第4.2节中得到证明。定理3.1（绝对对数收益的协方差）。让过程（X，Y）如上所述定义。然后，对于任何t>s>0，以下公式成立：limh↓0Cov（ξs，ηt）h=4′σX′σY√DXDYπCov(-τX）DX-1/2，（t- s- τY）DY-1/2E-λY（t）-s） 备注3.2。

利用TX和TY的定义和泊松过程的性质，可以将此表达式改写为LIMH↓0Cov（ξs，ηt）h=π′σX′σY√DXDYλX1/2-DXλY1/2-DY×Cov（SX）DX-1/2，（λY（t）- s） +SY）DY-1/2E-λY（t）-s） 。这里Sx和Sy是参数1的相关指数变量，定义如下。我们设置（λ+λ）S1，X=（λ+λ）S1，Y~ exp（λ），S~ 经验λλ+ λ, s~ 经验λλ+ λ,S1，X，S，S实际上是独立的。我们定义了SX:=min{S1，X，S}和SY:=min{S1，Y，S}。备注3.3。如果不是绝对回报，而是简单回报，我们会发现↓0Cov（Xs+h）-Xs，Yt+h-Yt）=0，适用于任何s 6=t。我们的模型与这样一个事实相一致，即即使对于非常小的时间滞后，回报的经验互相关也不显著，就像对于自相关一样。从这个定理，我们得到了绝对对数收益率之间相关性的渐近估计，当时间尺度变为0时。回想一下，ξ和η之间的相关系数定义为ρ（ξs，ηt）=ρ（|Xs+h）- Xs |，| Yt+h- Yt |）=Cov（ξs，ηt）pV ar（ξs）V ar（ηt）。推论3.4（交叉资产相关性的衰减）。对于上面定义的过程（X，Y），对于anyt>s>0，以下表达式为h↓ 0:林↓0ρ（ξs，ηt）=πCov（SX）DX-1/2，（λY（t）- s） +SY）DY-1/2pV ar（|N | SDX-1/2）V ar（|N | SDY-1/2）e-λY（t）-s） 其中s表示参数1的指数变量，N表示标准正态变量，它们相互独立。注释3.2对SX和Sy进行了定义。备注3.5。假设X和Y是由两个不同布朗运动的相同时间变化产生的，即IX=IY=：i，或：DX=DY=D，TX=TY=T，\'σX=\'σY=\'σ。在这种情况下，交叉资产相关性衰减的表达式为imh↓0ρ（ξs，ηt）=πCov\'\'σSD-1/2，¨σ（λ（t-s） +s）D-1/2E-λ（t）-s） V ar（‘σ| N | SD）-1/2），这正是自相关衰减的表达式（参见定理2.5）。

这与我们在经验金融数据上看到的非常接近。3.3实证结果我们考虑了1984年4月2日至2013年7月6日期间的道琼斯工业平均指数和富时指数。对于数据分析，我们使用软件MatLab[16]。接下来的内容取决于增量x的遍历性（命题2.2-（3））。我们开始分别考虑这两个系列。我们选择了一些与程式化事实相关的重要量，并将其用于校准：我们考虑了多尺度系数C、多尺度指数A（q）、波动率自相关函数ρ（t）。校准程序在[1,17]中有详细描述。我们发现以下参数估计值。富时：D≈ 0.16; λ ≈ 0.0019; σ ≈ 0.11.迪亚：D≈ 0.14; λ ≈ 0.0014; σ ≈ 0.127.在图7中，我们展示了经验多尺度指数与使用这些参数的模型预测的对比。我们对多尺度指数的估计似乎被经验曲线抹平了。由于对模型每日增量的模拟产生了一个类似于经验性克隆的图形，这种轻微的不一致可能是因为理论线显示了h的极限↓ 0，而经验数据来自每日样本。图8涉及波动率自相关。衰减介于多项式和指数之间，考虑到它们非常普遍，经验数据非常适合。图7：多尺度指数（a）FTSE（b）DJIAWe现在显示我们模型的对数收益分布：pt（·）=P（Xt∈ ·) = P（Xn+t）-Xn∈ ·)对于t=1天，以及类似的经验量。我们没有一个明确的pt解析表达式，但我们可以很容易地从数值上得到它。图（9）显示了分布的体积和集成细节。