财务指标的多变量模型及预测算法

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英文标题：
《A multivariate model for financial indices and an algorithm for
  detection of jumps in the volatility》
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作者：
Mario Bonino, Matteo Camelia, Paolo Pigato
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider a mean-reverting stochastic volatility model which satisfies some relevant stylized facts of financial markets. We introduce an algorithm for the detection of peaks in the volatility profile, that we apply to the time series of Dow Jones Industrial Average and Financial Times Stock Exchange 100 in the period 1984-2013. Based on empirical results, we propose a bivariate version of the model, for which we find an explicit expression for the decay over time of cross-asset correlations between absolute returns. We compare our theoretical predictions with empirical estimates on the same financial time series, finding an excellent agreement.
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中文摘要：
我们考虑了一个均值回复随机波动率模型，该模型满足金融市场的一些相关类型化事实。我们介绍了一种用于检测波动率曲线峰值的算法，该算法适用于1984-2013年期间道琼斯工业平均指数和英国《金融时报》证券交易所100指数的时间序列。基于实证结果，我们提出了该模型的一个双变量版本，对于该模型，我们找到了绝对收益之间的交叉资产相关性随时间衰减的显式表达式。我们将我们的理论预测与同一金融时间序列的经验估计进行了比较，发现了一个极好的一致性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_multivariate_model_for_financial_indices_and_an_algorithm_for_detection_of_jum.pdf (1.3 MB)

2022-5-6 04:19:13 上传

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关键词：财务指标 多变量 Applications Quantitative Differential

金融指数的多元模型和波动性检测算法马里奥·博尼诺*Matteo Camelia+Paolo Pigato2022年3月26日摘要我们考虑一个均值回复随机波动率模型，该模型满足金融市场的一些相关风格。我们介绍了一种用于检测波动率峰值的算法，该算法适用于1984-2013年期间道琼斯工业平均指数和金融时报股票交易所100指数的时间序列。基于实证结果，我们提出了该模型的一个双变量版本，对于该模型，我们找到了绝对收益之间交叉资产相关性随时间衰减的显式表达式。我们将我们的理论预测与同一金融时间序列上的经验模型进行了比较，发现了一个极好的一致性。关键词：互相关、跳跃检测、随机波动性、金融时间序列、LongMemory2010数学科目分类：60G44、91B25、91G701简介在过去二十年中，许多研究人员对经济和金融领域及其与统计力学的联系表现出越来越大的兴趣。当使用统计物理学中的数学工具查看金融数据时，会出现许多有趣的现象，这是因为金融市场在某种程度上类似于一个物理“复杂系统”，是大量代理相互作用的结果。我们看到的不是单个代理的行为，而是一些我们认为重要的宏观数量。这一新观点导致人们发现了一些引人注目的实证性质，这些性质在各种类型的金融市场中都可以发现，现在被认为是这些市场的典型事实。

这类事实的例子包括标度特性、自相似性、波动率特性（如峰值和聚类）以及长期相关性。在本文中，我们讨论最后两种现象，但我们的观点更多地来自数学金融而非统计力学。我们不看微观行为，而是直接看上面提到的宏观量，尽管我们可以假设所研究的大型麻黄目动物起源于一些小规模的相互作用。为此，我们在连续时间随机波动模型的框架下工作。更准确地说，我们在本文中使用的市场模型是均值回复随机波动率模型，波动率由ajump过程驱动。这意味着我们对去趋势原木价格的处理过程通过dXt=σtdBt演变，其中B是布朗运动，波动率σ=（σt）t∈Ris是以下形式的SDE的平稳解的平方根：dσt=-f（σt）dt+dLt。(1.1)*意大利帕多瓦德格利研究大学材料与应用研究所，地址：意大利帕多瓦I-35121号的里雅斯特63号。马里奥。bonino@outlook.com.+意大利帕多瓦德格利研究大学Matematica Pura ed Applita分校，途经意大利帕多瓦I-35121号的里雅斯特63号。马特奥。camelia@gmail.com.INRIA Nancy&IECL校园科学，英国石油公司70239，54506 Vandouvre-L\'es Nancy-Cedex，Francepaolo。pigato@inria.fr（通讯作者）函数f，我们称之为“均值回归”，具有将波动率推回到其平衡值的作用，而L=（Lt）是一个模拟波动率中噪声的过程，它被视为一个纯跳跃过程（见[10,15,3]）。如果σ是一个路径为loc（R）a.s的独立过程，那么过程X可以被视为布朗运动的随机时间变化：Xt=WI（t），其中I（t）=Rtσsds。

[1]中给出的模型就是这种过程的一个例子，这将是本文的重点。该模型的引入正是因为它能够解释上述一些典型事实，即：对数收益分布从幂律到高斯行为的交叉，波动率自相关的缓慢衰减，微分标度和矩的多尺度，同时保持简单的公式和对参数的显式依赖。我们在这里考虑以下两个问题：市场冲击检测算法（波动率峰值）和模型的双变量版本研究。这两个方面是联系在一起的，因为两个指数之间的互相关高度依赖于波动过程跳跃之间的相关性。在简单介绍了[1]中介绍的模型之后，我们提出了检测波动率跳跃的算法。金融时间序列中发现冲击的问题是一个经典问题。例如，GARCH模型（广义自回归条件异方差[4]）被广泛使用，但在实践中，“波动似乎更像是一个跳跃过程，在经历突变之前，它在一段较长的时间内围绕某个值波动”（[20]）。为了解决这个问题，已经开发了政权转换GARCH模型（[11,12]），但它们可能很难实现。因此，更常见的方法是使用一种近似过程，即[13]中介绍的所谓ICSS-GARCH算法。当在连续时间内工作时，估计波动性的经典工具是通过平方收益之和使用价格过程的二次变化近似值（理论结果见[2]或新书[14]）。在这里，我们在这个框架下工作，具体目标是估计冲击。

因此，我们的估计器使用平方收益作为ICSS-GARCH算法。然而，ICSS-GARCH算法在收益为正态分布的假设下运行良好。相反，我们的算法基于价格过程二次变化的几何考虑。我们对1984年至2013年道琼斯工业平均指数（DJIA）和英国《金融时报》证券交易所（FTSE）100指数的经验时间序列使用了我们的算法。对输出的一些启发性考虑证实了其在跳跃检测中的有效性。我们发现，该算法估计的波动率峰值大部分由两个指数共享。受两个市场的大多数冲击都是共同的这一事实的启发，我们考虑了该模型的一个双变量版本，其中冲击的联合过程由相关的泊松过程给出。这是我们建模的一个主要依据，因为在波动过程中，长期依赖性严重依赖于冲击时间。事实上，定义dxt=σXtdBXt，d（σXt）=-f（（σXt））dt+dLXt，dYt=σYtdBYt，d（σYt）=-f（（σYt））dt+dLYt，在联合波动率（σXt，σYt）t非常弱的假设下，很容易表现出来∈Rthatlimh↓0corr（| Xh）- X |，| Yt+h- Yt |）=corr（σX，σYt）。如果波动率是[1]中考虑的精确形式，则可以进行显式计算，且（σX，σY）的演化仅取决于lxly和lxly的跳跃。两种资产在某一时间的增量和绝对增量之间的相关性已经得到了广泛的研究，尤其是因为它与系统风险和投资组合管理有着直接的联系（参见[9,6]），但这里我们讨论的是一些更为特殊的问题。我们考虑不同时间绝对增量的互相关，并计算这种相关性如何随着时间差的增加而衰减。Podobnik等人已经解决了这个问题。

在[18]中，他们分析了道琼斯工业指数和theS&P500指数；在[19,21]中，在纳米器件、大气地球物理、地震学和金融等多项研究中发现了震级之间的长期交叉相关性。在我们的框架中，我们找到了绝对回报之间交叉资产相关性衰减的显式公式，具体取决于时滞（见推论3.4）：limh↓0corr（| Xh）- X |，| Yt+h- Yt |）=πCov（SX）DX-1/2，（λYt+SY）DY-1/2pV ar（|N | SDX-1/2）V ar（|N | SDY-1/2）e-λyt所涉及的量是波动率σx和σY的常数参数，除了sx和SY，它们是来自跳跃过程L=（LX，LY）和两个独立随机变量N（标准高斯）和S（指数）的相关指数变量。我们将这一结果与富时指数和道琼斯工业平均指数的两个经验时间序列进行了比较，发现模型的预测与经验结果之间有很好的一致性。特别是，我们发现，从模型和经验数据来看，自相关和互相关的衰减几乎是一致的，尤其是时间缓慢，证实这是一个长记忆过程。另一方面，从经验上看，我们发现富时指数和道琼斯工业平均指数的回报率之间没有显著的互相关，即使是非常小的时滞，这也与模型一致。这并不奇怪，因为这两个指数都有图1：互相关的衰减没有收益的长期自相关，这很容易被认为与我们的模型一致。如前所述，与此相反，绝对收益的互相关衰减非常缓慢（见图1）。事实上，我们的模型在所有这些方面都表现为真实的金融时间序列，这是一个全新的发现。我们提到了Podobnik等人进行的统计分析。

在[18,21]中，我们得出了与我们类似的结果，也涉及自相关和交叉资产相关性衰减的相似性。在第2节中，我们介绍了[1]中介绍的模型，并解释了检测波动率跳跃的算法。在第三节中，我们研究了二元模型。在第4节中，我们证明了激励算法的结果和二元模型的结果。2.模型的定义和跳跃的检测在本章中，我们描述了与程式化事实相关的模型和状态属性以及结果。然后，基于价格过程二次变化的性质，我们提出了一种检测市场冲击的算法。2.1给出三个实数D的模型定义∈ (0, 1/2], λ ∈ (0, ∞), σ ∈ (0, ∞), 该模型基于两种随机性来源定义：o布朗运动W=（Wt）t≥0;o 泊松点过程T=（τn）n∈R上的Zof速率λ。我们假设W和T独立。按照惯例，我们标记T的点，使τ<0<τ。要塞≥ 0，我们定义（t）：=sup{n≥ 0：τn≤ t} =#{t∩ （0，t]}.i（t）是t之前泊松过程中的正次数，因此τi（t）是t之前t中最后一点的位置。我们引入过程i=（It）t≥0de finingit=¨σ（t）- τi（t））2D+i（t）Xk=1（τk- τk-1） 二维- (-τ） 二维（2.1）如果i（t）=0，我们同意右侧的总和为0。现在我们定义了去趋势原木价格asXt=WI（t）的模型过程。（2.2）观察到I是一个严格递增过程，具有绝对连续的路径，它独立于布朗运动W。因此，该模型可视为布朗运动的独立随机时间变化。我们很快给出了这一定义的动机。注意，对于D=1/2，该模型降低了toBlack&Scholes的波动率‘∑。

当D<1/2时，引入时间不均匀性t→ t2Dat乘以τ表示金融时间序列的交易时间，其中在随机时间市场中存在冲击，由我们的泊松点过程建模。市场的反应是在冲击后立即加速动力，随后逐渐放缓，直到新的冲击再次加速动力。这种行为是由函数t引起的→ t2D，D∈ （0，1/2），对于接近0的t，它是陡峭的，对于增加t，它是弯曲的。图2：时间不均匀性将模型定义为时变布朗运动意味着我们可以等效地将其表示为随机波动率模型，其中波动率σt=pI（t）=√2D′σ（t- τi（t））D-1/2，X的演化由dXt=σtdBt给出。为了将波动率写成（1.1）形式的随机微分方程的解，我们可以将其定义为d（σt）=-α（σt）γdt+∞di（t），其中常数为γ=2+2D1- 2D>2，α=1- 2D（2D）1/（1）-2D）σ2/（1）-2D）。这一过程很明确，因为在有限跳跃之后，超线性漂移项瞬间产生有限路径解。我们参考[8]了解该框架中时间变化和随机波动性之间的对应关系，以及更广泛的随机波动性模型。备注2.1。在该模型的最一般版本中，参数σ不是常数。随机变量序列（¨σn）n∈Nis模拟，每个都与相应的跳转关联。这里给出的结果在这种情况下仍然有效，公式稍微复杂一些。在这项工作中，我们假设∑常数，因为对来自金融时间序列的数据进行校准在任何情况下都会导致这种选择。2.2主要特性我们简要回顾了工艺X的一些特性。

关于证据、更详细的陈述和一些额外的考虑，我们参考[1]。命题2.2（基本属性）。设X为（2.2）中定义的过程。以下断言保持：（1）X具有固定增量。（2） X是一个零均值、连续的平方可积鞅，二次变差hXit=It。（3） X的增量分布是遍历的。（4） E（|Xt|q）<∞ 对于某些（以及任何）t>0，q∈ [0, ∞).我们现在准备陈述一些结果，这很重要，因为它们在我们的模型和引言中提到的程式化事实之间建立了联系。（2.2）中定义的过程X与许多实时序列中经验性检测到的重要事实一致，即：收益率的离散标度、矩的多标度、波动率自相关的缓慢衰减。第一个结果显示，增量（Xt+h-Xt）当h↓ 0，具有重尾极限分布，当h↑ ∞, 具有正态极限分布。这是对数收益分布中交叉现象的精确数学公式，从近似重尾（小时间）到近似高斯（大时间）。定理2.3（扩散比例）。以下分布收敛性适用于任何参数D，λ，σ的选择小时间扩散缩放：（Xt+h）- Xt）√高清---→H↓0f（x）dx:=σ定律√2Dλ-DSD-W、 （2.3）其中~ Exp（1）和W~ N（0，1）是独立的随机变量。

函数f isf（x）=Z∞dtλe-λtt1/2-D′σ√4Dπexp-t1-2Dx4D′σ.o 大时间扩散缩放：（Xt+h）- Xt）√高清----→H↑∞E-x/（2c）√2πcdx=N（0，c），c=\'）σλ1-2DΓ（2D+1），（2.4）式中Γ（α）：=R∞xα-1e-xdx表示欧拉伽马函数。当D<时，密度f具有幂律尾：Ef（|x | q）=∞ <=> Q≥ Q*:= (1/2 - D）-1.函数f描述了h的渐近定律↓ 0，of xt+h-Xt√h、 与Xt+h的密度有不同的尾部行为-Xt，用于固定h（参见命题2.2第4点）。f的这一特性与我们模型的另一个特性有关：矩的多尺度。让我们来定义q- 以时间刻度h:mq（h）：=E（|Xt+h）返回日志的第h时刻- Xt | q）=E（|Xh | q）增量平稳性的最后一个等式。由于不同的标度特性（定理2.3），我们预计mq（h）在某种意义上近似于hqRxqf（x）dx=cqq，对于h↓ 0.对于q<q，这实际上是正确的*, 也就是说，对于q来说- 极限分布的第四个时刻是有限的。问≥ Q*, q-极限分布的第四个时刻是不确定的，它表明一个更快的缩放保持不变，即mq（h）≈ hDq+1。mq（h）标度的这种转变被称为矩的多标度，这是一种在许多时间序列（尤其是金融序列）中经验性地检测到的特性。以下定理表明，对于该模型，多尺度指数是q的依次线性函数。在[8]中，考虑了更一般的随机波动模型中的多尺度问题，发现一个类似的行为在更广泛的类别中是常见的。定理2.4（矩的多重标度）。当q>0时，q- 对数矩返回mq（h）的渐近行为如下↓ 0:mq（h）~Cqhq，如果q<q*cqlhqlogH, 如果q=q*CqhDq+1，如果q>q*对于某些常数Cq∈ (0, ∞) （其显式表达式见[1]）。