宏观经济数据的预测回归

样本大小n=300EL1 EL1 EL1 EL2（a，φ，φ，v，v，b）h=1 h=2 h=1 h=1 h=2 h=2 h=4（0，0.0，0.9，0.9，4，4，4，4，4，0 0）0.0970 0.0970 0.090 0 0.090 0 0 0 0.0963 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.090 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.10010.0973 0.0964 0.0938 0.0925 0.0928（0,1,1.5,0）0.0995 0.0993 0.09940.0983 0.00991 0.0979(0, 0.9, 0.5, 0) 0.1008 0.1004 0.0999 0.0978 0.0982 0.0977(0, 0.99, 0.5, 0) 0.0991 0.0980 0.0983 0.1033 0.1033 0.1032(0, 1, 0.5, 0) 0.0969 0.0963 0.0968 0.1033 0.1032 0.1032(-0.3, 0.9, 4, 0) 0.1687 0.1675 0.1657 0.1435 0.1436 0.1443(-0.3, 0.99, 4, 0) 0.4747 0.4658 0.4617 0.2669 0.2664 0.2658(-0.3, 1, 4, 0) 0.6717 0.6669 0.6623 0.3187 0.3173 0.3163(-0.1, 0.9, 1.5, 0) 0.2505 0.2343 0.2290 0.1994 0.1922 0.1915(-0.1, 0.99, 1.5, 0) 0.7035 0.6879 0.6850 0.5203 0.5124 0.5112(-0.1, 1, 1.5, 0) 0.8475 0.8401 0.8378 0.6384 0.6324 0.6308(-0.002, 0.9, 0.5, 0) 0.8341 0.8306 0.8304 0.8088 0.8079 0.8072(-0.002, 0.99, 0.5, 0) 0.9728 0.9723 0.9722 0.9547 0.9545 0.9545(-0.002,1,0.5,0）0.9885 0.9888 0.9888 0.9683 0.9682 0.9682我们的研究结果与Campbelland Yogo（2006）的研究结果之间的差异可以用以下论点来解释。对于该子样本，φ的置信区间[见Campbell and Yogo（2006）中的表4]为[0.970,0.997]，它不包括φ=1，因此它可能是平稳的，是一个不太持久的序列。

如前所述，Bonfer表6中月度CRSP价值加权指数的置信区间是针对推荐的经验似然法CRSP系列变量^βLSE^σV/^σUI0计算的。9I0。951926-2002 d-p 0.0083 1.0367[-0.0042, 0.0231] [-0.0068,0.0259]1926-2002 e-p 0.0129 1.0428[0.0034,0.0317][0.0008,0.0346]1926-1994 d-p 0.0123 1.0342[-0.0134, 0.0297] [-0.0175,0.0342]1926-1994 e-p 0.0211 1.0373[-0.0059, 0.0401] [-0.0102,0.0449]1952-2002年d-p 0.01161.0324[-0.0105, 0.0181] [-0.0133,0.0208]1952-2002 e-p 0.0088 1.0117[-0.0134, 0.0118] [-[0.0159,0.0142]14朱F.蔡Z.L。当XT处于静止状态或接近集成状态时，PENGroni Q-test可能表现不佳。5.结论。研究人员一直在问，股票收益率是否可以通过宏观经济数据来预测。然而，宏观经济数据可能表现出非平稳性和严重的尾部。因此，重要的是要有一个统一的方法来测试回归中的可预测性，而不区分预测变量是平稳的还是非平稳的，或者具有有限的方差。在本文中，我们研究了一个预测回归模型，该模型能够将回归系数包括为平稳或非平稳（集成/接近集成）过程和/或具有有限方差，并允许所谓的两个创新相互关联。我们提出了一种新的基于s加权分数方程的经验似然方法，以构建效率的置信度或检验可预测性。我们证明，无论预测变量是平稳的、非平稳的或具有有限方差，威尔克斯定理都适用于所提出的经验似然方法。提出了一种无需任何特殊引导即可获得关键值的新方法。

因此，与预测回归文献中的其他现有方法相比，所提出的新方法提供了更为可靠的发现，并在金融计量经济学中有着广泛的应用。6.证据。我们只证明定理2，因为定理1的证明更简单。理论证明2。Put)Vj=Vj-Vj+mand让Ft表示{（~Us，~Vs）生成的∑场：1≤ s≤ t}∪{Vs:s≤ 0}. 写入B（L）=Qpj=1（1）-~bjL）。然后我们有B-1（L）=Qpj=1（1）-~bjL）-1=P∞k=0akLkandet=∞Xk=0akVt-k=t-1Xk=0akVt-k+∞Xk=takVt-k、 请注意| ak|≤ 金伯利进程max1≤我≤p|bi|kand max1≤我≤p | | bi |<1。（6） 放置et，1=Pt-1k=0akVt-k+P∞k=takVt-K-P∞k=t+makVt+m-坎德等，2=-Pt+m-1k=takVt+m-k、 当我们离开时-et+m=et，1+et，2对于t=1，m、 （7）预测回归15Wr iteXt=1-φt1-φθ+tXj=1φt-jej+φtX（8）和xt+m=1-φt+m1-φθ+t+mXj=1φt+m-jej+φt+mX=1-φt1-φθ+tXj=1φt-jej+m+φtX+φt-φt+m1-φθ（9）+mXj=1φt+m-jej+（φt+m）-φt）X.Put Wt，1=Ptj=1φt-jej，1和wt，2=tXj=1φt-杰杰，2岁-φt-φt+m1-φθ -mXj=1φt+m-杰杰-（φt+m）-φt）X.那么，从（7）-（9）可以得出Xt=Wt，1+Wt，2对于t=1，m、 （10）当|φ|<1时，由（6）得出：→ ∞mmXt=1Wt-1,11+Wt-1,1=mmXt=1tXj=1φt-杰，1！（1+tXj=1φt-杰杰，1！）=极限→∞E（Ptj=1φt-jej，1）1+（Ptj=1φt-jej，1）+op（1）（11）：=σ+op（1）。当φ=1时- 某些常数γφ的γφ/n≥0，我们有| Wt，1 | p→∞, |Wt，1 |=Op（t1/α*) 和| Wt，1 | t1/α*-δp→∞（12） 对于任意δ>0的t→∞ 利用（6）和vt分布在指数α稳定律的吸引域这一事实*. 因此，Wt-1,11+Wt-1,1p→1作为t→ ∞,16朱F.蔡Z.和L。

也就是说，mmXt=1Wt-1,11+Wt-1,1p→1作为n→ ∞.（13） 到（11）和（13）时，我们得到了n→ ∞mmXt=1E~UtWt-1,11+Wt-1,1英尺-1.= 2Ummxt=1Wt-1,11+Wt-1,1p→（2EUσ，如果|φ|<1,2EU，如果φ=1-γφ/n。类似地，对于任何c>0，mmXt=1E~UtWt-1,11+Wt-1,1I~UtWt-1,11+Wt-1,1>厘米英尺-1.≤（c）√m） qmmXt=1E~UtWt-1,1q1+Wt-1,12+q英尺-1.=E |U | 2+q（c）√m） qmmXt=1 | Wt-1,1 | 2+q（1+Wt-1,1）（2+q）/2d→0作为n→ ∞.根据Hall and Heyde（1980）的推论3.1，我们得到了→ ∞√mmXt=1UtWt-1,1q1+Wt-1,1d→（N（0，2E（U）σ），如果|φ|<1，N（0，2EU），如果φ=1-γφ/n.（14）使用（6）和vt的分布位于指数α稳定律的吸引域这一事实*, 很容易检查|φ-行波管，2|=Op（1），如果|φ|<1，Op（m1/α*), 如果φ=1-γφ/n（15）和| Wt，2 | t1/α*-δp→∞（16） 任何δ>0的预测回归为t≤ m去了单位。因此，通过（12）、（15）和（16），我们已经√mmXt=1~Ut~Xt-1q1+Xt-1.-~UtWt-1,1q1+重量-1,1= -√mmXt=1Ut{1+（在-1Xt-1+ (1 -在-1） Wt-1,1）}3/2Wt-1,2= -√mmXt=1)Ut{1+（Wt-1,1-在-1Wt-1,2）}3/2Wt-1,2(17)=Op√|φt=1241！，如果|φ|<1，Op√mmXt=1 |Ut | m1/α*+δt3（1/α）*-δ)!, 如果φ=1- γφ/n=op（1）作为n→∞,在哪里-1.∈ [0,1]可能取决于Xt-1和重量-1,1，δ>0足够小。从（14）和（17）中可以看出√mmXt=1~Zt（β）d→（N（0，2EUσ），如果|φ|<1，N（0，2EU），如果φ=1-γφ/nas n→ ∞. 类似地，我们可以证明mmxt=1~Zt（β）p→（2EUσ，如果|φ|<1,2EU，如果φ=1- γφ/nas n→ ∞. 其余的则遵循经验似然法证明中的标准论点[见Owen（2001）第11章]。致谢。我们感谢编辑苏珊·帕多克教授、一位社会编辑和两位评论员的有益评论。参考文献Amihud，Y.和Hurvich，C.M.（2004）。预测回归：一种减少偏差的估计方法。J.金融。定量。肛门。39 813–841.Amihud，Y.，Hurvich，C.M.和Wang，Y.（2009）。多元预测回归：假设检验。牧师。财务部。

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