后向SDE和期权渐近展开的多项式格式

由于ODE的线性，解决方案在假设形式中应该是唯一的。很明显，人们可以重复这个过程，直到达到任意的顺序。随时可以(≥ 1） ，指定多项式解系数的相关常微分方程是线性的，它们给出了唯一的解。如果假设的多项式解在给定区间内定义良好，则它至少为第n阶BSDE提供了一个解。注：在上例中，分布（Q（t，·））t≥0不一定是确定性的。q（t，n）可以是X的多项式函数，最多为n阶。然而，值得注意的是，这一点取决于跳跃分量在模型中的引入方式：如果X是一个比例跳跃，那么指定比例跳跃因子的第n阶矩的q（t，n）应该独立于X。例如，我们可以考虑将（2.28）保持为X.2.2.5的二阶多项式的条件，以进行收敛和误差估计。不幸的是，我们还没有很好地理解所提议的展开式的数学性质。尽管参数的引入方式及其在Fujii和Takahashi[18]中对SDES的类似应用与Takahashi[32]和Kunitomo和Takahashi[24]相似，但目前尚不清楚我们是否可以简单地借用Takahashi和Yamada[33]中的argu-ments对当前多项式方案进行调整。为未来研究的一个重要课题留下了严格的证据。然而，我们想强调的是，上述限制对于实际应用来说并不是一个显著的缺点。近似解的显式形式的最大优点是，可以直接测试给定设置的精度（见第2.2.1节的讨论）。

这样的测试对于任何方法都是必要的，因为在现实情况下，数学证明所需的便利假设无论如何都会被违反。与所提出的方案（以及[18]中的方案）相比，可以看出，对于基于模拟的技术来说，进行这种检查并不是一项简单的任务。此外，有趣的是，在用dX表示BSDE之后，我们并没有使用任何特殊的维纳积分性质，如（2.5）。如果我们能放松二次协变量项所需的条件，我们可能会得到一种更一般的半鞅逼近的唯一方法。3.欧洲期权的定价与Heston模型的跳跃式扩展3。1问题设置我们假设资产价格S及其随机方差因子Y在概率空间下具有以下动态性(Ohm, F、 Q）：St=S+ZtSsσ（s）p′YsdWs+ZK（ez）-1） eN（ds，dz）（3.1）`Yt=1+Ztα（s）p′YsdBs+κ（s）（1）-\'Ys）ds（3.2）其中Q是市场参与者选择的某个等价鞅测度。W和B表示一维Q-布朗运动，其中dhW，Bit=ρ（t）dt。eNdenotes Q补偿随机测量指定byeN（dt，dz）=N（dt，dz）-带跳跃强度λ及其确定性分布函数Q（t，·）的λ（t，y）Q（t，dz）dt（3.3）。σ（·）、α（·）、ρ（·）和κ（·）是合适的确定函数。我们允许∧：[0，T]×R+→ R+是Y的一个小的一般函数，因此（3.1）和（3.2）不包括分析可解的a ffine系统。为了使原点附近的展开成为一个很好的近似值，我们对变量Xt:=ln进行了改变StSYt:=\'Yt- 1.

（3.4）然后，它们遵循dyn amicsXt=Ztσ（s）pYs+1dWs-hσ（s）（Ys+1）+λ（s，Ys）β（s）ids+ZtZKzN（ds，dz）（3.5）Yt=Ztα（s）pYs+1dBs- κ（s）Ysds（3.6）其中β（·）是由β（t）=ZK（ez）定义的确定性函数- 1） Q（t，dz）（3.7）和λ（t，Yt）：＝λ（t，Yt+1）。让我们考虑BSDE形式的欧式期权的估值问题：Vt=H（XT）-ZTt-ZsdWs-ZTtΓsdBs-ZTtZKU（s，z）eN（ds，dz）（3.8），其中H（XT）表示到期日T时X的最终支付，vt表示其在时间T（<T）的现值。简单地重新定义控制变量（\'Z，\'Γ），一个得到svt=H（XT）-ZTtZsdXcs-ZTtΓsdYs-ZTtZKU（s，z）N（ds，dz）-ZTtZshσ（s）（Ys+1）+λ（s，Ys）β（s）i+κ（s）ΓsYs-λ（s，Ys）ZKU（s，z）Q（s，dz）ds。如果H（·）是一个mooth函数，我们现在可以将所提出的多项式展开方案应用于BS-DE。虽然我们可以通过多项式函数直接近似期权支付，但我们将采用不涉及此类近似的替代方法。对于m=1，2，3，我们将考虑H（x）=xm。然后，相应的值函数vt给出了XT的矩。最后，我们使用Edgewor th表达式来估计XT（以及ST）的概率密度函数，以计算s标准看涨期权和看跌期权。3.2多项式展开我们考虑扰动BSDEVt=H（XT）系统-ZTtZsdXcs-ZTtΓsdYs-ZTtZKU（s，z）N（ds，dz）-ZTtZshσ（s）（Ys+1）+λ（s，Ys）β（s）i+κ（s）ΓsYs- λ（s，Ys）ZKU（s，z）Q（s，dz）ds（3.9）和远期SDE（3.5）和（3.6）。我们用asVt来扩展解=∞Xn=0nV[n]t（3.10）Zt=∞Xn=0nZ[n]t，Γt=∞Xn=0nΓ[n]t，U（t，z）=∞Xn=0nU[n]（t，z）。（3.11）在下一个引理中，我们用线性常微分方程的递归系统给出了上述展开式的解。我们表示从n中选择m的选择数(≥ m） byC（n，m）=n！（n）- m） !！M

我们还使用惯例作为总结符号thatPji≡ 0when（j<i）。引理1如果它存在，（3.10）和（3.11）中展开式的多项式解由v[n]t=nXm=0mXk=0Xm唯一给出-ktYkt（m）-k） !！Kv[n]m-k、 k（t）（3.12）Z[n]t=nXm=1m-1Xk=0Xm-K-1tYkt（m）-K- 1)!Kv[n]m-k、 k（t）（3.13）Γ[n]t=nXm=1mXk=1Xm-ktYk-1吨（米）-k） !！（k）- 1)!v[n]m-k、 k（t）（3.14）U[n]（t，z）=n-1Xm=0mXk=0Xm-ktYkt（m）-k） !！KnXl=m+1zl-m（l）- m） !！v[n]l-k、 k（t）（3.15）具有确定性函数集v[n]m-k、 k（t）of（0）≤ K≤ M≤ n） 满足下列线性常微分方程组˙v[n]m-k、 k（t）=-我≤N-1,1≤k） kσ（t）v[n]m-k+2，k-1（t）+ρ（t）σ（t）α（t）v[n]m-k+1，k（t）+α（t）v[n]m-k、 k+1（t）-我≤N-2)σ（t）v[n]m-k+2，k（t）+ρ（t）σ（t）α（t）v[n]m-k+1，k+1（t）+α（t）v[n]m-k、 k+2（t）+我≤N-1,1≤k） kσ（t）v[n-1] m-k+1，k-1（t）+κ（t）v[n-1] m-k、 k（t）+ 我≤N-1） σ（t）v[n]m-k+1，k（t）+I（m）≤N-1） kXl=0C（k，l）lyλ（t，0）β（t）v[n-l] m-k+1，k-l（t）-N-mXj=1v[n-l] j+m-k、 k-l（t）q（t，j）j！（3.16）具有终端条件v[n]n，0（T）=nxH（0），所有其他组件为零。证明：假设（3.12）中给出的多项式形式解存在。

然后，应用It^o公式和简单的求和重排YieldV[n]t=nXm=0mXk=0Xm-ktYkt（m）- k） !！K（˙v[n]m-k、 k（t）+I（m）≤N-1,1≤k） kσtv[n]m-k+2，k-1（t）+ρtσtαtv[n]m-k+1，k（t）+αtv[n]m-k、 k+1（t）+我≤N-2)σtv[n]m-k+2，k（t）+ρtσtαtv[n]m-k+1，k+1（t）+αtv[n]m-k、 k+2（t）)dt+nXm=1m-1Xk=0v[n]m-k、 k（t）Xm-K-1tYkt（m）- K- 1)!KdXct+nXm=1mXk=1v[n]m-k、 k（t）Xm-ktYk-1吨（米）- k） !！（k）- 1)!dYt+n-1Xm=0mXk=0Xm-ktYkt（m）- k） !！KnXl=m+1v[n]l-k、 k（t）ZKzl-m（l）- m） !！N（dt，dz）（3.17），这意味着（3.13）、（3.14）和（3.15）。另一方面，从BSDE（3.9）中提取第n阶部分，得到sv[n]t=XnTn！nxH（0）-ZTtZ[n]sdXcs-ZTtΓ[n]sdYs-ZTtZKU[n]（s，z）n（ds，dz）-ZTt（σs）YsZ[n]-1] s+Z[n]s+ β（s）n-1Xl=0lyλ（s，0）l！YlsZ[n]-l] s+κsYsΓ[n]-1] s-N-1Xl=0lyλ（s，0）l！YlsZKU[n]-l] （s，z）Q（s，dz）ds（3.18）用（3.13），（3.14）和（3.15）中的假设形式替换控制变量z，Γ和U，并重新排序求和，可以证明（3.18）变成了sv[n]t=XnTn！nxH（0）-ZTtZ[n]sdXcs-ZTtΓ[n]sdYs-ZTtZKU[n]（s，z）n（ds，dz）-nXm=0mXk=0ZTtXm-ksYks（m）-k） !！K我≤N-1)σsI（1）≤k） 千伏[n]-1] m-k+1，k-1（s）+v[n]m-k+1，k（s）+kXl=0C（k，l）β（s）lyλ（s，0）v[n-l] m-k+1，k-l（s）+I（1）≤k） kκ（s）v[n-1] m-k、 k(s)-kXl=0C（k，l）lyλ（s，0）N-mXj=1v[n-l] j+m-k、 k-l（s）q（s，j）j！ds。（3.19）然后，将漂移项（3.17）中的系数与（3.19）中的系数匹配，得到线性常微分方程组（3.16）。表达式（3.19）中应明确终端条件。只要在使用ODE（3.16）的解时明确了远期SDE（3.17），它实际上为第n阶BSDE（3.18）提供了一个可能的解。由于常微分方程的线性，假设形式内的解的唯一性应该是明确的。请注意，上述ODE系统可以通过按以下顺序进行计算来轻松逐个求解：n:0-→ nmax（3.20）m:n-→ 0（3.21）k:0-→ M

（3.22）3.3欧式期权的定价公式证明，我们已经从BSDE（3.9）与h（x）=xm的截断近似中获得了γm=e[XmT]对于m=1，2，·的矩的良好估计。n阶cumu lantχ由χn=n给出！X{km}(-1） r-1（r）- 1)!nXm=1km！嗯！km（3.23），其中对满足丢番图方程k+2k+·nkn=n的所有n个非负整数{k，·kn}取和p{km}。（3.24）r由r定义：=k+k+·kn。然后，使用Pn（x）=φ（x；u，∑）给出的n阶累积量对XT密度进行Edgeworth展开1+n-2Xs=1X{km}∑s+2rHs+2r十、- uΣsYm=1公里！χm+2（m+2）！公里（3.25）式中u：=χ，∑：=√χ和φ（x；u，∑）=√2π∑exp-十、- uΣ. （3.26）这里，对满足k+2k+···+sks=s（3.27）和r:=k+k+··+ks（3.25）的所有非负整数的s-偶取p{km}。Hn（）表示由byHn（x）定义的Hermite多项式：(-1） NextDNDXNE-x、 （3.29）例如，请参见Blinnikov和Moessner（1998）[4]，了解公式的简单推导和矩密度近似的信息性数值示例。然后，基于第n阶（n）的STK上行使K的看涨期权的近似价格≥ 2） Edgeworth展开式由ckn=Z给出∞-∞（性- K） +pn（x）dx=Z∞d（Se∑y+u）- K） φ（y）1+n-2Xs=1X{km}∑s+2rHs+2r（y）sYm=1km！χm+2（m+2）！公里dy（3.30）我们的意思是使用累积量（χi），i=1,2，···，n的展开式，其中d:=ln（K/S）- u∑，φ（y）=√2πe-y、 （3.31）由于埃尔米特多项式的下列性质，（3.30）中所有必要的积分都可以解析地形成：∞dφ（y）Hn（y）dy=φ（d）Hn-1（d）（3.32）Z∞de∑yφ（y）Hn（y）dy=e∑dφ（d）Hn-1（d）+∑Z∞de∑yφ（y）Hn-1（y）dy。

（3.33）看跌期权也可以进行类似的评估。3.4数值例子对于数值例子，我们选择一组常数参数和一个高斯密度，给出asQ（t，dz）=√2πσJexp-Z- uJσJdz。（3.34）在图1至图3中，根据引理1的结果，在展开阶高达n=20的情况下，力矩γm=E[XmT]（m=1，··，10）的近似值在左侧面板中给出。每条线将多项式展开式P估计的{γm}中的一个连接到横轴指定的阶数。注意，仅对于n，γm的近似值不为零≥ m、 在e上可以看到，低阶矩收敛得相当快。右边的面板给出了使用相应阶累积量和50万条路径的Monte Carlo模拟结果，通过奇沃思展开近似得出的隐含波动率的比较。我们通过直接应用相应的公式，而不依赖看跌期权平价，使用看跌期权进行较低的行权。横轴表示以S为标度的走向大小，即K/S。在图4中，高阶矩（γ，γ，γ）分别显示，隐含波动率的结果如图5所示。从图3和图4可以看出，对于更长的到期日，高阶矩会迅速增长，收敛速度也会减慢。对于高阶矩，即使精确估计矩，也无法保证Edgeworth展开收敛。另外，根据多项式展开的本质，当|γm |>> 1扩展可能是发散的。

如图5所示，通过关注下限（和累积量），可以更好地获得长期问题的稳定近似值。它没有紧凑的支持，但在本例中，该方案似乎仍然运行良好。基于χ的估计被省略，因为它似乎给出了一个完全无用的结果。尽管相似，但Gram-Charlier级数通常给出的近似值要差得多。图1：矩和隐含波动率的估计。T=1，σ=0.15，α=0.6，ρ=-0.6，κ=0.1，uJ=-0.02，σJ=0.03，λ（t，Yt）=8（Yt+1）。图2：矩和隐含波动率的估计。T=1，σ=0.15，α=0.6，ρ=0，κ=0.1，uJ=-0.02，σJ=0.03，λ（t，Yt）=8（Yt+1）。图3：矩和隐含波动率的估计。T=3，σ=0.15，α=0.5，ρ=-0.5，κ=0.1，uJ=0.01，σJ=0.035和λ（t，Yt）=5Yt+10Yt+8。图4：矩的估计。T=5，σ=0.15，α=0.5，ρ=-0.5，κ=0.1，uJ=0.01，σJ=0.035和λ（t，Yt）=5Yt+10Yt+8。图5：隐含波动率的估计。T=5，σ=0.15，α=0.5，ρ=-0.5，κ=0.1，uJ=0.01，σJ=0.035和λ（t，Yt）=5Yt+10Yt+8。在结束本节之前，让我们研究终端条件H（XT）=XmT的电流近似模式的路径性质。对于每阶矩m和展开式n，可以计算路径截断近似误差[XmT]-eV（n）T]，其中eV（n）由（2.13）给出，适用于当前模型。在图6中，我们展示了（m=1和5）的这个量的散点图，使用与图E3相同的设置，使用不同的展开顺序，即{T=3，σ=0.15，α=0.5，ρ=-0.5，κ=0.1，uJ=0.01，σJ=0.035和λ（t，Yt）=5Yt+10Yt+8}。在表1中，[XmT]的平均值和标准偏差-在相同的设置下，给出了m={1，2，··，5}的eV（n）T]。

为了便于比较，下表中还给出了每一时刻通过模拟估算的E[XmT]。注意，非平凡近似只存在于n≥ m、 在几个高阶展开式n上有效地改进了近似停止≥ m、 这意味着多项式展开对XmTis目标的贡献主要由m-th和几个高阶多项式决定。这很自然，也与图3的左面板一致，显示了每一时刻近似级数的收敛性。我们可以观察到，我们的方案可以提供精确的路径逼近，但其误差在较高的时刻会逐渐增大。这种f行为是可以自然预期的，因为存在于XT分布尾部的少量实现的贡献对于更高的时刻变得更重要。对于上述示例，即使我们使用λ=0的纯扩散模型，情况也不会发生有意义的变化。我们观察到，收敛性只有几倍的微小改善。由于我们使用了标准的欧拉格式，相应的模拟误差可能在一定程度上影响上述结果。图6:XmT的散点图-eV（n）T]（左m=1，右m=5）具有不同的扩展顺序n。设置与图3中相同。m=1 n=0 n=1 n=2 n=3 n=5 n=7 n=10平均-0.054-3.4 × 10-3.-3.2 × 10-36.7 × 10-41.4 × 10-51.6 × 10-71.5 × 10-6stdev 0.34 0.028 4.6×10-39.5 × 10-41.3 × 10-41.2 × 10-41.2 × 10-4m=2 n=0 n=2 n=3 n=4 n=5 n=7 n=10平均0.12 0。

014 7.7 × 10-3.-1.6 × 10-31.9 × 10-4.-4.7 × 10-5.-5.4 × 10-5stdev 0.22 0.044 0.017 4.7×10-33.9 × 10-33.9 × 10-33.9 × 10-3m=3 n=0 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=10平均值-0.041-0.017-6.6 × 10-34.7 × 10-4.-1.8 × 10-41.5 × 10-43.9 × 10-5stdev 0.27 0.084 0.043 5.6×10-35.3 × 10-35.3 × 10-35.2 × 10-3m=4 n=0 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=10平均值0.060 0.025 0.014 8.3×10-46.1 × 10-4.-4.4 × 10-4.-1.2 × 10-4stdev 0.39 0.18 0.11 0.019 0.012 0.011 0.010m=5 n=0 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10平均值-0.050-0.037-0.021-5.2 × 10-3.-1.9 × 10-36.8 × 10-4.-9.0 × 10-6stdev 0.65 0.40 0.28 0.084 0.042 0.025 0.024m=1 m=2 m=3 m=4 m=5E[XmT]-5.60 × 10-21.16 × 10-1.-4.30 × 10-26.33 × 10-2.-5.69 × 10-表1:XmT路径实现的平均值和标准偏差-m={1，···，5}的eV（n）T]与图3中的模拟设置相同。为了清晰起见，第二个表给出了m={1，···，5}通过MC模拟估算的E[XmT]的图。4λ-SABR模型的应用4。1问题设置通过使用适当的变量变化，提出的多项式展开方案可以应用于比天真想象的更广泛的模型选择。让我们考虑（重新标度的）λ-SABR模型（具有平均回复性波动率的SABR模型）在等价的可变测度Q.St=S+Zt（S1）下-β） σ（s）`YsSβsdWs（4.1）`Yt=1+Ztα（s）`YsdBs+κ（s）（1）-\'Ys）ds（4.2）式中，W，B在e维Q-布朗运动上，dhW，Bit=ρ（t）dt。（σ，ρ，κ）所有确定性函数，和dβ∈ [0,1）是一个常数，这里是一个S1的系数-β被包括在内，以使σ大致等于S的货币隐含波动率。变量X的变化：=1- βStS1.-β- 1.（4.3）Yt:＝Yt- 1（4.4）导致dynamicsXt=Ztσ（s）（1+Ys）dWs-βσ（s）b（Xs）（1+Ys）ds（4.5）Yt=Ztα（s）（1+Ys）dBs- κ（s）Ysds其中b（x）：=1+（1）-β） x。