后向SDE和期权渐近展开的多项式格式

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英文标题：
《A Polynomial Scheme of Asymptotic Expansion for Backward SDEs and Option
  pricing》
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作者：
Masaaki Fujii
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  A new asymptotic expansion scheme for backward SDEs (BSDEs) is proposed.The perturbation parameter is introduced just to scale the forward stochastic variables within a BSDE. In contrast to the standard small-diffusion asymptotic expansion method, the dynamics of variables given by the forward SDEs is treated exactly. Although it requires a special form of the quadratic covariation terms of the continuous part, it allows rather generic drift as well as jump components to exist. The resultant approximation is given by a polynomial function in terms of the unperturbed forward variables whose coefficients are uniquely specified by the solution of the recursive system of linear ODEs. Applications to a jump-extended Heston and lambda-SABR models for European contingent claims, as well as the utility-optimization problem in the presence of a terminal liability are discussed.
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中文摘要：
提出了一种新的后向随机微分方程（BSDE）的渐近展开格式。引入扰动参数只是为了在BSDE内标度正向随机变量。与标准的小扩散渐近展开法相比，前向SDE给出的变量动力学得到了精确的处理。虽然它需要连续部分的二次协变项的一种特殊形式，但它允许存在相当普遍的漂移和跳跃分量。由此得到的近似值由一个多项式函数给出，该函数表示未受干扰的前向变量，其系数由线性常微分方程递归系统的解唯一指定。讨论了跳跃扩展的Heston和lambda-SABR模型在欧洲未定权益中的应用，以及存在终端负债时的效用优化问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_Polynomial_Scheme_of_Asymptotic_Expansion_for_Backward_SDEs_and_Option_pricing.pdf (724.28 KB)

2022-5-6 04:27:13 上传

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关键词：SDE 多项式 Quantitative Applications coefficients

后向SDE渐近展开的多项式格式与期权定价*Fujii Masaaki+第一版：2014年5月2日该版：2014年12月22日摘要提出了一种新的后向SDE（BSDE）渐近展开方案。引入微扰参数“”只是为了描述BSDE中的正向随机变量。与标准的小扩散渐近展开法相比，正向SDE给出的变量动力学得到了精确处理。虽然它需要连续部分的二次协变量项的特殊形式，但它允许存在相当普遍的漂移和跳跃分量。结果近似由多项式函数根据未受干扰的前向变量给出，其系数由线性常微分方程递归系统的解唯一指定。讨论了跳跃扩展的Heston和λ-SABR模型在欧洲应急目标中的应用，以及存在终端负债时的效用优化问题。关键词：随机控制、渐近展开、BSDE、随机测度、赫斯顿、SABR、效用优化*出现在定量金融领域。本研究中表达的所有内容仅为作者的内容，不代表任何机构的任何观点或意见。作者不对因使用本研究中的任何内容而造成的任何损失和/或损害承担任何责任。+东京大学经济研究生院。电子邮件：mfujii@e.u-东京。ac.jp1简介Bibiut（1973）[2]在线性设置下引入了后向微分方程（BSDE），后来Pardoux&Peng（1990）[29]将其扩展到一般非线性方程。

虽然这项研究活动仅限于一个相对较小的数学社区，但自上次金融危机以来，它在金融研究人员和从业者中迅速获得了关注。这是因为，当一个人试图处理信贷风险、抵押、融资和监管成本以及新的市场现实导致的各种其他不完整性来源所产生的各种非线性影响时，他/她几乎不可避免地会遇到BSDE。例如，参见杜菲和黄（1996）[14]、藤井和高桥（2013）[16]、克雷佩（2013）[9]和金融行业最近实践主题的摘要[3,5]。各种有趣的金融应用，如保险、效用差异定价和最优契约理论，可以在书[12,7,11,10]中找到。可以参考[15,25]作为BSDE一般数学处理的文本。现在有大量关于其数值处理的文献，包括马等人（1994）[26]提出的著名四步s模式，道格拉斯等人（1996）[13]提出的离散化实现，使用最小二乘回归法的各种蒙特卡罗技术（例如，见Bouchard&Touzi（2004）[6]，Bender&Denk（2007）[1]，[2010年，Henry Hashder等人[21]和Fujia-Bylemi[21]提出的方法[2010年]。然而不幸的是，其中许多方法需要大量的经验和深厚的专业知识才能获得稳定的结果，比如选择合适的基函数、回归的顺序，当然还有一种好的编程技术。显然，我们迫切需要一种简单的解析近似方法。

在Fujii&Takahashi（2012b）[18]中，我们为正向SDE开发了一种驱动扰动方法，并结合了标准的渐近展开技术。其误差估计最近由高桥和山田（2013）[33]提供。它是系统而直接的，但人们仍然需要忍受漫长而艰难的计算，尤其是高阶修正，这是源于在每个扩展阶上评估条件期望的需要。如果所谓的二次增长BSDE（qgBSDE）与线性高斯正向SDE相关联，同时，如果其终值基本上由高斯变量的二次形式给出，则会出现一个有趣的例外情况。在这种情况下，值函数由高斯变量的二次函数给出，其系数完全由普通微分方程（ODE）确定，其中包括Riccati形式的微分方程。例如，参见Schroder&Skiadas（1999）[31]的早期研究。最近，Fujii和Takahashi（2013、2014）[19、20]利用Mania和Tevzadze（2003）[27]导出的漂亮BSDE表达式，将该性质应用于均值-方差（二次型）套期保值问题。请注意，在一般设置中，Riccati方程可能在有限的时间间隔内发散。在这种情况下，需要缩短相应问题的成熟度。本文提出了一种新的方案，通过对不确定性变量的多项式运算来逼近BSDE的解。

在马尔可夫设置中，众所周知，BSDE的解由基础变量的马尔可夫函数给出[26]。因此，直觉上很清楚，对于短期到期，解决方案应该用多项式函数很好地近似，在短期到期内，基本变量的大小（经过适当的重缩放和均值偏移）仍然相对较小。尽管与通常的渐近展开式有明显的相似性，但新方案产生了一个递归的线性常微分方程组，它可以通过将假定多项式解的系数与BSDE驱动器的系数相匹配来获得。虽然我们必须假设正向过程有一种特殊形式的连续部分的二次协变量，但它们可以有相当普遍的漂移和随机跳跃分量。从这个意义上说，该方法可以被解释为精确但例外的二次解示例的推广，以使近似多项式解技术具有更广泛的应用。本文的组织结构如下：第二节阐述了多项式展开方案的主要思想。为了证明该方法的有效性和准确性，我们将该方法应用于本文剩余部分的几个著名问题。在第3节和第4节中，使用跳跃扩展的Heston模型和λ-SABR模型将建议的方案应用于欧洲未定权益。我们给出了线性常微分方程的递归系统的封闭表达式f，它规定了任意阶的近似解。第五章分析了存在可终止性的指数效用优化问题。线性常微分方程的封闭形式系统也是为这种设置推导的。每一个模型都与几个虚幻的数值例子相关联。

最后在附录中，给出了正文中遗漏的一些细节。2多项式展开式2。1问题设置让我们考虑概率空间中的以下正向和反向SDE系统(Ohm, F、 P）：Vt=H（XT）-ZTt\'fs、 Xs，Vs，Zs，ZKU（s，z）Q（s，dz）ds-ZTt-ZsdWs-ZTtZKU（s，z）eN（ds，dz）（2.1）Xt=x+Ztb（s，Xs）ds+Ztσ（s，Xs）dWs+ZtZKzN（ds，dz）（2.2），其中x∈ R是一个常数，W一维标准布朗运动，N是一个随机测度，Q（t，·）W以一些（紧）空间k为支撑给出了确定性跳跃分布。eN（dt，dz）是对应的P-补偿随机测量eN（dt，dz）：=N（dt，dz）-λ（t，Xt）Q（t，dz）dt（2.3），其中λ（t，Xt）表示跳跃强度。我们假设H:R→ R、 \'f:[0，T]×R→ R、 b:[0，T]×R→ R和λ：[0，T]×R→ R+都是光滑函数。此外，我们假设X的连续部分的q值协变量最多由X自身的二次形式给出=σ（t）Xt+σ（t）Xt+σ（t）dt（2.4），其中上标“c”表示X的连续部分。这里，（σi（t））i=1,2,3是一组确定性函数，它保证（2.4）的右侧对于X取的每个可能值都是非负的。我们假设（2.1）和（2.2）的前向-后向系统有一个适定解。由于（Vt）t的随机性≥0仅由（Xt）t提供≥0，我们可以重写BSDEasVt=H（XT）-ZTtfs、 Xs，Vs，Zs，ZKU（s，z）Q（s，dz）ds-ZTtZsdXcs-ZTtZKU（s，z）N（ds，dz）（2.5），对f（·）和z进行了适当的重新定义。这里，dXct:=b（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dwt表示X的变化的连续部分。因此，在下文中，我们考虑由（2.5）和（2.2）给出的等价系统。2.2渐近展开式2。2.1一般思想为了得到多项式展开式，我们引入，以便计算底层X的阶数。

让我们考虑以下g扰动BSDE:Vt=H（XT）-ZTtfs、 Xs，Vs，Zs，ZKU（s，Z）Q（s，dz）ds-ZTtZsdXcs-ZTtZKU（s，z）N（ds，dz）。（2.6）这里，V，Z，U中的上标强调这些变量现在依赖于参数。与（Yoshida（1992a）[35]、Takahashi（1999）[32]、Kunitomo&Takahashi（2003）[24]提出的未定权益定价的通常小差异渐近展开法、Yoshida（1992b）[36]提出的统计应用）基于渡边（1987）[34]理论的一个重要区别是，基本过程（Xt）t≥0本身不受干扰，只有其大小在BSDE中按缩放。我们假设扩展vt=∞Xn=0nV[n]t（2.7）V[n]t=nXm=0Xmtm！v[n]m（t）（2.8）例如，Z和Z通过关系Zs=Zsσ（s，Xs）连接。定义明确，其中（v[n]m（t），0≤ M≤ n） 都是给定时间区间内的确定有界函数吗∈ [0，T]。特别是，It^o公式应适用于（2.8）s o，即获得（V[n]t）0的良好定义的forwar d SDE≤T≤T.它导致控制变量zT的相应展开=∞Xn=0nZ[n]t（2.9）U（t，z）=∞Xn=0nU[n]（t，z）（2.10），一旦得到（2.8），就可以很容易地导出其表达式。如果到期时间足够短，以致于X的大小仍然很小，那么在一定的阶数n处截断展开式in（2.7）并放置（=1）可以给出原始问题的近似值。请注意，由于是作为组合（X）引入的，因此将的大小与X分开讨论是没有用的。让我们表示截断的n阶近似（用上标（n）代替[n]）V（n）t=nXj=0V[j]t（2.11）Z（n）t=nXj=0Z[j]t，U（n）（t，Z）=nXj=0U[j]（t，Z）。

（2.12）请注意，它们都是由X的多项式函数给出的，最多为n阶。我们可以通过比较ev（n）（T）=V（n）+ZTf来检查近似的准确性s、 x，V（n）s，Z（n）s，ZKU（n）（s，Z）Q（s，dz）ds+ZTZ（n）sdXcs+ZTZKU（n）（s，z）n（ds，dz）（2.13）和H（XT）以“路径方式”。在后面给出的数值例子中，weshall观察到多项式逼近给出了良好的路径逼近，至少对于（|Xt（ω）|）t≥0不会显著增长到一个大的价值。在实际应用中，检查的能力（H（XT）-eV（n）（T））对于为实施套期保值计划留出适当的风险准备金应该有很大的帮助。根据多项式逼近的本质，我们可以想象，在一个非常不稳定的市场中，或者对于一个长期存在的问题，一个更高的阶展开可能会产生一个不稳定的结果。上述比较为给定情况下的适当扩展顺序提供了有用的信息。正如我们将在下面看到的，所有函数（v[n]m（t））m，除v[0]（t）外，均由linearODEs指定。在后面处理特定模型的章节中，我们提供了一个封闭形式的线性常微分方程递归系统，它将多项式的系数固定到任意阶。然而，在本节中，让我们采用一个稍微乏味的b-y-step解释，我们希望给读者一个更清晰的图像。2.2.2第零阶很明显，v[0]t=H（0）-ZTtf（s）ds（2.14），其中f（s）：=f（s，0，V[0]s，0，0）。因此，系数s应该由˙v[0]（t）=f（t，0，v[0]（t），0，0），v[0]（t）=H（0）确定。（2.15）这是我们遇到的唯一n个线性常微分方程。我们假设有限解存在于相关的时间间隔t∈ [0，T]。

这应该是大多数自然应用的情况，因为0阶问题对应于所有欠解均为常数的市场。2.2.3一阶由于s平滑假设，一个hasV[1]t=xH（0）XT-ZTtZ[1]sdXcs-ZTtZKU[1]（s，z）N（ds，dz）-ZTt(xf（s）Xs+vf（s）V[1]s+zf（s）Z[1]s+uf（s）ZKU[1]（s，z）Q（s，dz））ds。（2.16）另一方面，假设上述解由v[1]t=v[1]（t）Xt+v[1]（t）给出。（2.17）然后，它产生动态CdV[1]t=n˙v[1]（t）Xt+˙v[1]（t）odt+v[1]（t）dXct+v[1]（t）ZKzN（dt，dz）。（2.18）通过比较（2.16）和d（2.18），我们应该有z[1]t=v[1]（t）（2.19）U[1]（t，z）=v[1]（t）z。（2.20）将V[1]、Z[1]和U[1]的表达式代入（2.16），并将其驱动器与（2.18）的漂移部分匹配，得到˙V[1]（t）=xf（t）+vf（t）v[1]（t）（2.21）˙v[1]（t）=vf（t）v[1]（t）+zf（t）+uf（t）q（t，1）v[1]（t）（2.22）具有终端条件v[1]（t）=xH（0）和v[1]（T）=0。这里，我们使用了符号Q（t，n）=ZKznQ（t，dz）（2.23）来表示第n个ju-mp时刻。在本文的提醒中，我们假设与近似格式相关的矩的存在。很明显，假设解（2.17）和系数满足上述常微分方程的相应控制变量实际上是BSDE（2.16）的一个解，只要前向SDE（2.18）定义良好。由于常微分方程的线性，在假定的多项式形式中，解应该是唯一的。2.2.4二阶对于二阶和高阶修正，二次协变量项的假设起着重要作用。和前面一样，我们假设这个解采用多项式形式：V[2]t=V[2]（t）Xt2！+v[2]（t）Xt+v[2]（t）。（2.24）然后，它的一个简单应用^o-公式yieldsdV[2]t=˙v[2]（t）Xt2！+˙v[2]（t）Xt+˙v[2]（t）dt+v[2]（t）dhXcit+v[2]（t）Xt+v[2]（t）dXct+ZKv[2]（t）（Xt）-+ z）-Xt-+ v[2]（t）zN（dt，dz）。

（2.25）应该清楚的是，（2.4）中的假设是必要的，以保证在（Xt）t的动力学下，V[n]中假设的最高多项式阶数为n≥（2.25）中的表达式现在意味着z[2]t=v[2]（t）Xt+v[2]（t）（2.26）U[2]（t，z）=v[2]（t）Xt-z+z+ v[2]（t）z。（2.27）另一方面，（2.6）的第二阶部分导致BSDEV[2]t=XT2！xH（0）-ZTtZ[2]sdXcs-ZTtZKU[2]（s，z）N（ds，dz）-ZTt(vf（s）V[2]s+zf（s）Z[2]s+uf（s）ZKU[2]（s，z）Q（s，dz）+xf（s）Xs+vf（s）[V[1]s]+zf（s）[Z[1]s]+uf（s）ZKU[1]（s，z）Q（s，dz）+Xsx、 vf（s）V[1]s+x、 zf（s）Z[1]s+x、 uf（s）ZKU[1]（s，z）Q（s，dz）+V[1]sv、 zf（s）Z[1]s+v、 uf（s）ZKU[1]（s，z）Q（s，dz）+z、 uf（s）z[1]sZKU[1]（s，z）Q（s，dz））（2.28）虽然出现了许多交叉项，但将（2.28）的驱动程序中的X系数与（2.25）中的X系数匹配的一阶情况下相同的程序给出了一组线性节点。经过简单的计算，可以确定相关的常微分方程由˙v[2]（t）给出=vf（t）- σ（t）v[2]（t）+vf（t）v[1]（t）+ 2.x、 yf（t）v[1]（t）+xf（t）（2.29）˙v[2]（t）=vf（t）v[2]（t）+zf（t）+uf（t）q（t，1）-σ（t）v[2]（t）+v、 zf（t）+v、 uf（t）q（t，1）[v[1]（t）]+vf（t）v[1]（t）v[1]（t）+x、 zf（t）+x、 uf（t）q（t，1）v[1]（t）+x、 vf（t）v[1]（t）（2.30）˙v[2]（t）=vf（t）v[2]（t）+uf（t）q（t，2）- σ（t）v[2]（t）+zf（t）+uf（t）q（t，1）v[2]（t）+vf（t）[v[1]（t）]+zf（t）+uf（t）q（t，1）+2z、 uf（t）q（t，1）[v[1]（t）]+v、 zf（t）+v、 uf（t）q（t，1）v[1]（t）v[1]（t）（2.31）带终端条件sv[2]（t）=xH（0），v[2]（T）=v[2]（T）=0。（2.32）给定一阶展开式（v[1]（t），v[1]（t））的解，上述常微分方程可由v[2]的一阶展开式求解→ v[2]→ v[2]。如果假设解的正向动力学（2.25）得到了很好的定义，那么很明显，它实际上为二阶BSDE（2.28）给出了一个解。