后向SDE和期权渐近展开的多项式格式

（4.7）对于这些新变量，现在满足了二次协变量（2.4）的假设。与到期日为T的最终支付额为H（XT）的欧洲未定权益相关的BSDE由vt=H（XT）给出-ZTtβσ（s）b（Xs）（1+Ys）Zs+κ（s）YsΓsds-ZTtZsdXs-ZTtΓsdYs（4.8）与赫斯顿的情况一样，我们选择H（x）=xm，（m=1，2，····）来获得Xt的矩估计，然后使用Edgeworth展开来近似其概率密度。在这里，我们并不是说Edgeworth展开式是最佳选择，不同的基函数（如拉盖尔多项式）可能更合适。4.2多项式展开我们现在将引入BSDE（4.8），以便我们可以执行多项式展开vt=H（XT）-ZTtβσ（s）b（Xs）（1+Ys）Zs+κ（s）Yssds-ZTtZsdXs-ZTtΓsdYs（4.9）asVt=∞Xn=0nV[n]t（4.10）Zt=∞Xn=0nZ[n]t，Γt=∞Xn=0nΓ[n]t.（4.11）我们有下面的引理。引理2如果它存在，（4.10）和（4.11）中展开式的多项式解由v[n]t=nXm=0mXk=0Xm唯一给出-ktYkt（m）-k） !！Kv[n]m-k、 k（t）（4.12）Z[n]t=nXm=1m-1Xk=0Xm-K-1tYkt（m）- K- 1)!Kv[n]m-k、 k（t）（4.13）Γ[n]t=nXm=1mXk=1Xm-ktYk-1吨（米）- k） !！（k）- 1)!v[n]m-k、 k（t）（4.14）与确定性函数集v[n]m-k、 k（t）of（0）≤ K≤ M≤ n） 满足下列线性常微分方程组˙v[n]m-k、 k（t）=-I（2）≤k） k（k）- 1)σtv[n]m-k+2，k-2（t）+ρtσtαtv[n]m-k+1，k-1（t）+αtv[n]m-k、 k（t）-我≤N-1,1≤k） kσtv[n]m-k+2，k-1（t）+2ρtσtαtv[n]m-k+1，k（t）+αtv[n]m-k、 k+1（t）-我≤N-2)σtv[n]m-k+2，k（t）+ρtσtαtv[n]m-k+1，k+1（t）+αtv[n]m-k、 k+2（t）+我≤N-1,1≤k） kκtv[n]-1] m-k、 k（t）+I（m）≤N-1） βσtm-kXl=0摄氏度（米）-k、 l）lxb（0）×v[n-l] m-K-l+1，k（t）+I（1）≤k） 2k v[n-L-1] m-K-l+1，k-1（t）+I（2）≤k） k（k）- 1） v[n]-L-2] m-K-l+1，k-2（t）！（4.15）具有终端条件v[n]n，0（T）=nxH（0），所有其他组件为零。证明：它可以用与引理1完全相同的方式证明。

第3.4节附录A.4.3数值示例中给出了推导过程，让我们提供几个估算力矩的数值示例，以及隐含波动率的比较。蒙特卡罗模拟的路径数和以前一样为50万条。对于该模型，我们不能使用（3.32）和（3.33）中的特殊关系，因此我们对定价的估计密度进行了数值积分。各图中使用的样式和惯例与第3.4节中的相同。虽然多项式展开对短期到期的精度类似，但与之前的扩展赫斯顿模型相比，它对长期到期的适用性相当有限。主要原因似乎是k（k）因素- 1） 出现在引理2的赋形第一行，它强烈地驱动{v[n]m，k}，尤其是对于更高的时刻，使它们无法收敛。这一因素与术语无关∝ 四元协变量。此外，由于Xt的支持范围仅限于Xt≥ -1.- β、 该模型与Edgeworth扩展的兼容性可能低于Heston模型。这可能是当包含更高阶的cumu-lants时，隐含挥发性行为有些不稳定的原因之一。为了完备性，我们给出了运行逼近[XmT]的路径实现的收敛性分析-和以前一样。在表2中，m={1,2，··，5}的平均值和标准偏差与图8中使用的相同设置下的不同顺序的表达式相同。在该模型中，近似的改进比之前的赫斯顿模型更快地停止。这可能是因为动量较小，可能还有其他精致的模型特征。从图8的左面板也可以看到近似级数的更快收敛。图7：矩和隐含波动率的估计。

T=0.5，σ=0.15，α=0.3，ρ=-0.4, κ =0.1, β = 0.4.这是由于执行了参数更改。图8：矩和隐含波动率的估计。T=1，σ=0.15，α=0.3，ρ=-0.4, κ = 0.1, β =0.4.图9：矩和隐含波动率的估计。T=1，σ=0.15，α=0.35，ρ=0，κ=0.1，β=0.6。m=1 n=0 n=1 n=2 n=3 n=5 n=7 n=10平均值-4.7 × 10-3.-2.8 × 10-4.-2.7 × 10-41.8 × 10-6.-4.4 × 10-75.5 × 10-81.0 × 10-7stdev 0.15 1.9×10-34.1 × 10-47.5 × 10-51.8 × 10-51.7 × 10-51.7 × 10-5米=2 n=0 n=2 n=3 n=4 n=5 n=7 n=10平均值0.024 2.1×10-45.3 × 10-52.2 × 10-51.2 × 10-51.1 × 10-51.0 × 10-5stdev 0.037 1.3×10-31.2 × 10-31.2 × 10-31.2 × 10-31.2 × 10-31.2 × 10-3m=3 n=0 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=10平均值-1.6 × 10-3.-4.0 × 10-5.-4.1 × 10-5.-5.7 × 10-6.-3.0 × 10-6.-1.8 × 10-6.-1.4 × 10-6stdev 0.018 6.5×10-45.9 × 10-45.6 × 10-45.6 × 10-45.6 × 10-45.6 × 10-4m=4 n=0 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=10平均值1.9×10-32.6 × 10-52.1 × 10-57.9 × 10-65.4 × 10-64.7 × 10-64.4 × 10-6stdev 9.1×10-34.8 × 10-44.5 × 10-44.3 × 10-44.3 × 10-44.3 × 10-44.3 × 10-4m=5 n=0 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10平均值-3.8 × 10-4.-9.7 × 10-6.-1.4 × 10-6.-4.6 × 10-6.-3.4 × 10-6.-2.9 × 10-6.-2.7 × 10-6stdev 5.7×10-33.9 × 10-43.7 × 10-43.6 × 10-43.5 × 10-43.5 × 10-43.6 × 10-4m=1m=2m=3m=4m=5E[XmT]-4.78 × 10-32.39 × 10-2.-1.73 × 10-32.04 × 10-3.-4.48 × 10-4表2:XmT路径实现的平均值和标准偏差-m={1，···，5}的eV（n）T]与图8中的设定值通过模拟得到。为了清晰起见，第二个表给出了m={1，····，5}通过MC模拟估计的E[XmT]的图。5具有终端负债的效用优化欧洲未定权益，我们在前面的章节中研究过，当然可以不用诉诸复杂的BSDE公式来解决。

主要的动机是通过研究这两种流行模式来了解拟议方案的性能。现在，在本节中，我们将讨论不完全市场中的效用优化问题，其中解决BSDE变得至关重要。在这里，我们采用了一个简单的赫斯顿证券市场，该市场由具有随机波动性的电子风险资产组成。为简单起见，我们假设利率为零。在物理量的概率空间中(Ohm, F、 P），假设基础变量的动力学由t=S+ZtSsσ（S）P′Ys开始dWs+θ（s，Ss，Ys）ds\'Yt=1+Ztα（s）p\'YsdBs+ρ（s）’θ（s，Ss，Ys）ds+ κ（s）（1）-\'Ys）ds！（5.1）式中，W，B是具有dhW的P-布朗运动，Bit=ρ（t）dt。σ、 α和κ是时间的决定函数，而‘θ：[0，T]×R+→ R给出了与W相关的风险溢价过程。B的风险溢价由ρ′θ和均值回复项Y表示。给定一个投资组合策略（πt）t≥0，终端时间T（>T）的财富由wπT（T，w）=w+ZTtπudSu给出。（5.2）在本节的后面，我们将研究与指数成本最小化相关的BSDE:V（t，w）=ess infπE“expγ\'H（圣彼得堡，YT）-WπT（T，W）!指定#H.5为正，其中#R为正+→ R是表示终端责任的光滑函数。使用It^o-Ventzell公式和变换v（t）=lnV（t，w）eγw（5.4）可以证明以下BSDE成立：Vt=γ′H（ST，\'YT）-ZTtθ（s，Ss，Ys）-(1 - ρ（s））Γsds-ZTt\'ZshdWs+\'θ（s，Ss，\'Ys）dsi-ZTt′ΓshdBs+ρ（s）′θ（s，Ss，Ys）dsi。（5.5）众所周知，转换（5.4）使V（t）独立于最初的财富W。细节和各种有趣的话题可以在Mania&Tevzadze（2008）的综合评论中找到[28]。

类似的q gBSDE也出现在其他具有重要经济意义的设置中，例如适当改变变量后的Power和HARA（双曲绝对风险规避）实用程序。我们模拟研究（5.5）以证明当前近似方案的可行性。需要注意的是，只要（\'H，\'θ）同时依赖于S和\'Y，就不能利用Cole-Hopf变换将qgBSDE（5.5）转换为可解线性BSDE。例如，如果两者都只依赖于“Y”，那么可以按照Zariphopoulou（2001）[37]给出的论点解析地解决它。与第3节一样，我们执行变量sxt=ln的更改StS（5.6）Yt=\'Yt- 1（5.7）和定义θ（s，Xs，Ys）：=θ（s，Ss，Ys）。（5.8）相关远期SDE现在由xt=Zt（σ（s）pYs+1给出dWs+θ（s，Xs，Ys）ds-σ（s）（Ys+1）ds）（5.9）Yt=Zt（α（s）pYs+1dBs+ρ（s）θ（s，Xs，Ys）ds- κ（s）Ysds）。（5.10）变量yieldsVt=γH（XT，YT）的简单重新定义-ZTtZsdXs-ZTtΓsdYs-ZTtΘ（s，Xs，Ys）-α（s）（1）- ρ（s））（1+Ys）Γs+σ（s）（1+Ys）Zs+κ（s）YsΓsds（5.11），其中H（XT，YT）：=\'H（ST，YT）和dΘ（s，Xs，Ys）=θ（s，Xs，Ys）。控制变量通过“Zs=Zsσ（s）pYs+1”，“Γs=Γsα（s）pYs+1”与（5.5）中的这些变量相关联。（5.12）我们假设前向和后向SDE（5.9）、（5.10）和（5.11）系统在本节的提醒中有一个适定解。虽然它偏离了本文的主题，但有趣的是，在特殊情况下，上述BSDE有一个简单的精确解。附录C.5.1多项式展开式中给出了详细信息。为了获得系统（5.9）、（5.10）和（5.11）的多项式近似，让我们引入并考虑扰动BSDE:Vt=γH（XT，YT）-ZTtZsdXs-ZTtΓsdYs-ZTt（Θ（s，Xs，Ys）-α（s）（1）-ρ（s））（1+Ys）[Γs]+σ（s）（1+Ys）Zs+κ（s）Yss）ds（5.13）和相关扩展vt=∞Xn=0nV[n]t（5.14）Zt=∞Xn=0nZ[n]t，Γt=∞Xn=0nΓ[n]t。

（5.15）如第2.2节所述，原始系统的近似解是通过截断特定阶数n的求和，并将（=1）放入。对于这个模型，我们得到了以下结果：引理3如果它存在，（5.14）和（5.15）中展开式的多项式解由v[n]t=nXm=0mXk=0Xm唯一给出-ktYkt（m）-k） !！Kv[n]m-k、 k（t）（5.16）Z[n]t=nXm=1m-1Xk=0Xm-K-1tYkt（m）- K- 1)!Kv[n]m-k、 k（t）（5.17）Γ[n]t=nXm=1mXk=1Xm-ktYk-1吨（米）- k） !！（k）- 1)!v[n]m-k、 k（t）（5.18）与确定性函数集v[n]m-k、 k（t）of（0）≤ K≤ M≤ n） 满足下列线性常微分方程组˙v[n]m-k、 k（t）=-我≤N-1,1≤k） kσtv[n]m-k+2，k-1（t）+ρtσtαtv[n]m-k+1，k（t）+αtv[n]m-k、 k+1（t）-我≤N-2)σtv[n]m-k+2，k（t）+ρtσtαtv[n]m-k+1，k+1（t）+αtv[n]m-k、 k+2（t）+I（m=n）N-kxkyΘ（t，0，0）+I（m）≤N-1） σtv[n]m-k+1，k（t）+I（m）≤N-1,1≤k） kv.电视-1] m-k+1，k-1（t）+κtv[n]-1] m-k、 k（t）-我≤N-2） n-1Xl=1l∧[m+1]Xj=1∨[l+2-n+m]j∧[k+1]Xp=1∨[j]-m+k]αtξtC（m）-k、 j-p） C（k，p）-1） v[l]j-p、 p（t）v[n-l] m-K-j+p，k-p+2（t）-I（1）≤M≤N-2,1≤k） n-2Xl=1l∧mXj=1∨[l+2-n+m]j∧kXp=1∨[j]-m+k]αtξtC（m）-k、 j-p） C（k，p）pv[l]j-p、 p（t）v[n-L-1] m-K-j+p，k-p+1（t）（5.19）和ξt:=（1）- ρ（t））和终端条件v[n]n-k、 k（T）=γN-kxkyH（0，0），所有其他分量为零。证明：证明的方式与引理1和引理2相似。推导的细节在附录B.5.2数值示例中给出。对于数值示例，我们将使用Θ（t，Xt，Yt）：=ce-cXt（Yt+1）（5.20）H（XT，Yt）：=e-其中c，c，gare常数和G（·）是Y的光滑函数。由于风险规避参数γ仅出现在组合γH中，因此f因子e-GxT可以等效地解释为一种风险厌恶。本节分析的问题本质上是线性的。因此，我们不能使用密度近似，必须通过平滑函数直接近似终端支付。

然而，在实践中，这不应该是一个禁止性的限制。由于问题是非线性的，我们必须考虑投资组合层面的优化。然后，考虑基于平滑近似支付函数的适当对冲策略，而不是精确地处理它，应该是合理的。我们考虑以下四种选择的终止责任（e除外）-gxfactor）在数值例子中：（1）：siny+π（5.22）（2）：最大值0，y（5.23）（3）：最大值0, -Y(5.24)(4) : 0.6 - 最大值0, 0.2 - Y（5.25）对于（2）到（4），我们用一个由简单的最小二乘法确定的五阶多项式函数来近似它，并在计算中将其视为真G（y）。这里，多项式函数的近似形式和阶数是随机选择的。在实践中，一个人必须在投资组合层面上考虑，并且需要选择多项式的某个阶次来恢复其整体形状。添加另一个术语的影响很容易直接检查。然而，人们自然认为，高阶条款只起到了很小的作用，否则就意味着该公司采取了相当有问题的立场，并将其暴露于标的证券的远尾行为。图10至图13中的每一个都包括：1）左上角：G（y）图，2）右上角：截断值函数图，以及水平轴指定的每一个n的控制变量（V（n），Z（n），Γ（n）），3）左下角：γH（XT，YT）的散点图-eV（n）T]对于每一个平移顺序，4）右下角：一个[γH（XT，YT）的平均值和标准偏差图-（0）的eV（n）T]≤ N≤ 10） 100000路径模拟，其详细信息也记录在与每个示例相关的表格中。

请注意，在（2）到（4）种情况下，相对于平滑修改的终端功能测量误差。从截断近似的定义中，我们可以很容易地看到，[γH（XT，YT）的平均值-eV（n）T]等于v（n）的估计值- EγH（XT，YT）-ZTZ（n）tdXt-ZTΓ（n）tdYt-ZTnΘ（t，Xt，Yt）-α(1 - ρ） （1+Yt）[Γ（n）t]+σ（1+Yt）Z（n）t+κYtΓ（n）todt（5.26）通过模拟。它收敛到零，给出了值函数在初始点的一致性检验。[γH（XT，YT）的s散射图-eV（n）T]和相应的标准偏差提供了更强的测试。他们认为截断值函数和控制变量为原始BSDE提供了良好的路径近似。我们可以清楚地观察到偏差[γH（XT，YT）-成熟期的eV（n）T]在零附近强烈聚集，即使对于相对较低的扩展阶n也是如此~ 3.当然，正如人们所能想象的那样γH（XT，YT），XT，YT变得（意味着）比一个大应该足够小以获得一个转换结果。这意味着我们需要对财富和其他参数采用适当的“缩放”，以确保chosenutility（或成本函数）保持O（1）。截断变量的定义见（2.11）和（2.12）。在存在非线性的情况下，对于实践中的任何风险管理，都需要类似的比例。值得注意的是，对于那些自己检查引理3结果的人来说，必须清楚的是，在现实的多资产设置中，推导出一个封闭形式的颂歌系统要困难得多。从这个意义上讲，上述数值结果是相当令人鼓舞的，因为这意味着即使通过低阶展开，也可以得到合理的近似值，例如n~ 4.

在这种情况下，按照第2.2节中给出的指示逐步推导相关的O DE，即使对于更复杂的BSDE，也可以不费吹灰之力。

有趣的实际应用留给未来的研究。图10:T=1，σ=0.2，α=0.5，ρ=-0.7，κ=0.1，c=0.01，c=0.4，γ=1，g=0.6。G（y）=sin（y+π/6）。n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=7 n=10平均值-0.026 0.016-0.016-0.011 6.3×10-33.9 × 10-3.-6.5 × 10-45.0 × 10-4stdev 0.39 0.13 0.094 0.027 0.030 0.020 0.012 9.1×10-表3:[γHT]的平均值和标准偏差-eV（n）T]用于图10中的设置。图11:T=1，σ=0.2，α=0.4，ρ=- 0.6，κ=0.1，c=0.01，c=0.4，γ=1，g=0.6。G（y）是一个逼近max（0，y）的五阶多项式。n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=7 n=10平均0.0930.10-2.8 × 10-33.7 × 10-3.-8.2 × 10-4.-1.3 × 10-32.9 × 10-41.3 × 10-4stdev 0.29 0.14 0.040 0.030 0.026 0.011 0.011 5.3×10-表4:[γHT]的平均值和标准偏差-eV（n）T]用于图11中的设置。图12:T=1，σ=0.2，α=0.4，ρ=- 0.6，κ=0.1，c=0.01，c=0.4，γ=1，g=0.6。G（y）是一个逼近max（0，-y） 。n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=7 n=10平均值0.064 0.075-0.019-8.6 × 10-35.8 × 10-3.-3.6 × 10-31.5 × 10-34.4 × 10-4stdev 0.17 0.089 0.044 0.042 0.041 0.011 0.012 8.0×10-表5:[γHT]的平均值和标准偏差-eV（n）T]用于图12中的设置。图13:T=1，σ=0.2，α=0.4，ρ=- 0.6，κ=0.1，c=0.01，c=0.4，γ=1，g=0.6。G（y）是一个近似于[0.6]的五阶多项式- 最大值（0,0.2- y） ]。n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=7 n=10平均值-0.052-0.031 0.012 0.011-9.2 × 10-4.-9.9 × 10-41.4 × 10-3.-9.0 × 10-4stdev 0.27 0.095 0.040 0.069 0.024 0.013 0.017 5.2×10-表6:[γHT]的平均值和标准偏差-eV（n）T]对于图13.6中的设置结论本文提出了BSDE渐近展开的多项式方案。