与最大成功因素相关的股权套期保值

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英文标题：
《Hedging of equity-linked with maximal success factor》
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作者：
Klusik Przemyslaw
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We consider an equity-linked contract whose payoff depends on the lifetime of policy holder and the stock price. We assume the limited capital for hedging and we provide with the best strategy for an insurance company in the meaning of so called succes factor $\\IE^\\IP\\left[{\\mathbf 1}_{\\{V_T \\geq D)}+{\\mathbf 1}_{\\{V_T < D\\}}\\frac{V_T}{D}\\right ]$, where $V_T$ denotes the end value of strategy and $D$ is the payoff of the contract. The work is a genaralisation of the work of F\\\"{o}llmer and Schied \\cite{FS2004} and Klusik and Palmowski \\cite{KluPal}, but it considers much more general \"incompletness\" of the market, among others midterm nonmarket information signals and infitite nonmarket scenarios.
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中文摘要：
我们考虑一个与股票挂钩的合同，其收益取决于投保人的寿命和股票价格。我们假设套期保值的资本有限，我们为保险公司提供了最佳策略，即所谓的成功因素$\\IE^\\IP\\left[{\\mathbf 1}{V_T\\geq D}+{\\mathbf 1}{{V_T<D}\\frac{V_T}{D}\\right]$，其中$V_T$表示策略的最终价值，$D$表示合同的回报。这项工作是F\\“{o}llmer和Schied{FS2004}以及Klusik和Palmowski{KluPal}工作的一个概括，但它考虑了市场更普遍的“不完整性”，以及其他中期非市场信息信号和弱非市场情景。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Hedging_of_equity-linked_with_maximal_success_factor.pdf (129.02 KB)

2022-5-6 04:49:33 上传

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关键词：套期保值 成功因素 大成功 information Informatio

与最大成功因素相关的股权套期保值Zemys law Klusik*2021年9月3日摘要我们考虑一个等式关联合同，其报酬取决于投保人的寿命和股票价格。我们假设套期保值的资本有限，并为保险公司提供所谓成功因素的最佳策略{VT≥D） +1{VT<D}VTD, 其中VT表示策略的最终价值，D表示合同的支付。这项工作是对F？ollmer和Schied[10]以及Klusik和Palmowski[11]工作的概括，但它考虑了市场、其他中期非市场信息信号和现场非市场情景中更多的总体“不完整性”。关键词：分位数套期保值，股权挂钩合同主题分类：主要G1 0；在本文中，我们考虑的是一个不完全的金融市场。在这样的市场上，合同的卖方可以把它卖出去。这是非常昂贵的，但最坏的情况是持续的。这里的一个很好的例子是与单位挂钩的保险产品，只有在被保险人在某个特定日期还活着的情况下，才会支付作为某些金融指数价格函数的赔付。最安全的策略是为每个被保险人幸存下来的情况做好准备，但要付出代价。竞争迫使保险公司承担一些风险，因为很可能（尤其是在大群体中）一些被保险人在到期前死亡。*波兰Wroc法律大学，pl.Grunwaldzki 2/4，50-384 Wroc法律，波兰，电子邮件：przemyslaw。klusik@math.uni.wroc.plOne控制已实施策略的风险的方法称为分位数套期保值。经典地，我们假设一些允许的资本，并实施策略，使所有索赔的概率最大化{VT≥D},其中D表示或有权益，VT表示对冲组合的最终价值。

同样，我们可以确定成功对冲的可能性，并寻找最便宜的策略。然而，这种方法可能会受到批评，因为它会让不成功的场景完全失控。这就是为什么预期成功率标准≥D} 也使用+1{VT<D}vtdii。Foellmer&Leucert[9]研究了一般半鞅设置。作者指出了E最大的完全市场的最优策略{VT≥D}. 它们还（公正地）证明了这种策略的存在，即在不完全市场中使预期成功率最大化。这些证明基于内曼-皮尔逊引理的不同版本。Spivak&Cvitanic[18]研究了用Ito流程建模的完整资产市场框架。他们用maximalE制定了一个战略{VT≥D}效用最大化的对偶方法。研究人员还通过部分观察将该技术应用于市场。最后，他们考虑了财富过程的漂移是代理人投资策略的非线性（凹）函数的情况。Sekine[17]考虑了不完全市场中的可违约证券，在不完全市场中，证券持有人可以在某个随机时间违约，并获得鞅过程模拟的支付。作者展示了最大化h边成功概率的策略。Klusik，Palmowski，Zwierz[16]从一个更明智的代理人在市场上行动的角度解决了分位数Hedging的问题。该代理的额外知识是通过一些随机变量初步放大的过滤建模的。上述方法集中于完整的市场框架，不能用于与股权相关的合同。

股权挂钩保单的支付是两个随机因素的函数：股票或金融指数的价格（因此称为股权挂钩），以及合同所有人生命周期中的某些保险类型（即非市场）事件（死亡、退休、存活到某一日期等）。因此，支付取决于财务和保险风险因素，必须对其进行定价，以确保由此产生的保费对合同的卖方和买方都是公平的。由于死亡风险使得市场不完整，因此，很少有方法能够针对此类利用不完善对冲形式的合同提供适当的风险管理。Klusik&Palmowski[11]提出了最大成功因素。他们考虑的是与股票挂钩的产品，其中保险事件可以包含一定数量的州，并且独立于用几何布朗运动建模的金融资产。他们为这两个目标构建了最优策略：最大概率和最大预期成功率。在他们的框架中，关于保险事件的知识在成熟之前是不会被揭示的。自20世纪70年代以来，人们一直在研究与股票挂钩的政策（见Brennan and Schwartz[6]、Boyle and d Schwartz[5]和Delbaen[7]）。后来的作品有巴西内洛[3]、艾斯和佩尔松[1]、埃克恩和佩尔松[8]、博伊尔和哈代[4]、巴西内洛[2]、默勒[15]、梅尔尼科夫[14]和[13]、梅尔尼科夫·安德罗曼纽克[12]。在本文中，我们陈述了一个优化成功因素的一般问题≥D） +1{VT<D}vtdi在一个不完整的市场中，如Klusik&Palmowski[11]中所述，但我们允许市场外的信息流动非常普遍。我们使用几何方法找到最佳策略。本文的组织结构如下。第2节介绍了金融市场的模型和我们考虑的保险产品的结构。Wealso陈述并给出套期保值两个问题的解决方案。

第三节给出了主要结果的证明。为了使本节可读，我们将技术证明（引理4.1的证明）移至附录。2数学模型和投资问题考虑贴现价格过程X=（Xt）t∈[0，T]是概率空间上的半鞅(Ohm, F、 P）过滤FX=（FXt）t∈[0，T]。我们假设在FXTdenotedby R上存在唯一的等价鞅测度。考虑一个过滤F=（Ft）t∈[0，T]和固定序列0=T<T<T<tn=T。我们假设t∈ （ti，ti+1）等于Ft=FXt∨ Fti。解释如下：F建模的知识可以通过市场之外的信息来增强，仅在t，t，tn.我们假设F=FT。这里过滤的增加可以解释为关于对合同价值重要的非市场变量的信息信号。这里的一个例子可能是与股权挂钩合同有关的信息中的“生命”部分。通过稍微滥用符号，我们将度量值R扩展到σ-场F:R（A）：=ZAdRdPfxtdpf for A∈ F.我们将考虑未定权益D是一个FT可测量的非负随机变量和复制投资策略，其用r相对于X的积分表示。也就是说，我们将处理自融资可容许交易策略（V，ξ），其中粘滞常数和ξ是[0，T]上的F-可预测过程，对于该过程，vt=V+ZtξudXu，T∈ [0，T]定义明确，产生非负财富：Vt≥ 0，P- a、 为所有人服务∈ [0，T]。用P表示所有等价鞅测度的集合。这意味着对于P中的所有测度，过程X遵循一个鞅。问题2.1。确定初始资本V.Amon g所有可接受的策略≤找到一个最大化预期成功率的方法：EP{VT≥D） +1{VT<D}VTD.

（2.1）定义（k）=ess sups∈L(Ohm,（FXT）s:呃dPdR{s≤D} DFXT≥ K. （2.2）假设常数k由：ER[f（k）]=V（2.3）定理2.1定义。问题2.1的解决方案是Min（D，f（k））的超级复制策略。最大成功率等于EPhmin1，f（k）Di、 3问题的解决方案2.1让我们从辅助问题开始：问题3.1。找到一个FXT可测量的随机变量Γ，使EP最大化闵1，ΓD受条件制约≤~V.引理3.1。问题3.1的解由Γ=f（k）给出，其中k由2.3定义。证据考虑一个函数f（s）：=ERdPdRmin1，sDFXT（3.1）就s、soF而言，几乎所有地方都是增加和凹的≤ F（F（k））+k（s）- f（k））（3.2）放置s=Γ并接受期望：ER[f（Γ）]≤ ER[F（F（k））]+k呃[Γ]- ER[f（k）]（3.3）最后作为ER[Γ]≤~V=ER[f（k）]我们得到了ER[f（Γ）]≤ ER[F（F（k））]，即EP闵1，ΓD≤ EP闵1，f（k）D（3.4）对于随机变量M，让我们引入FXT可测随机变量K的集合KMT，使得R（M≥ K | FXT）>0几乎可以肯定。我们将使用约定M=ess sup KM。现在我们解决另一个辅助问题：问题3.2。求一个F-可测的随机变量φ，使得0≤ φ ≤ 1根据条件ER[φD]最大化EP（φ）≤~V.引理3.2。问题3.2的解决方案是φ*:= 闵1，f（k）D.证据首先，检查一下*属于问题3.2的领域：ER[φ*D] =ER“min1，f（k）DD#≤ ER[f（k）]=V.秒，检查φ*使EP（φ）最大化：假设φ是另一个解。As-ER[)φD]≤ ER[)φD]≤从引理3.1我们得到：EPφ*= EPhmin公司1，f（k）D我≥ EP闵1，~φDD.毛发疗法闵1，~φDD≥ 伊夫明1，~φDD我≥ 伊夫明1,~φ我≥ EP~φ。问题3.3。求一个F-可测的随机变量φ，使得0≤ φ ≤ 1和th at根据条件EQ[φD]最大化EP（φ）≤所有Q∈ P引理3.3。问题3.3的解是φ=min1，f（k）D.证据证明来自引理4.1和3.2。定理2.1的证明。

从问题2.1的域中取任何可容许的策略（V，ξ），即≤■V.适用于所有Q∈ P我们有：~V≥ 五、≥ EQVT≥ 情商D1{VT≥D} +VT{VT<D}= 式中φ（V，ξ）=1{VT≥D） +1{VT<D}VTD。注意，从引理3.3我们得到ep[φ（V，ξ）]≤ 伊夫明1，f（k）Di、 φ（V，ξ）在问题3.3的范围内。我们可以选择策略（V，ξ），使值EPhmin1，f（k）D我得到了。采取策略（V*, ξ*) 作为未定权益min（D，f（k））的超复制策略。我们有V*= supQ∈PE[min（D，f（k））]≤■V（来自Lemm a 3.3）。我们证明了该策略的f值为EPhmin1，f（k）D地址：EP闵1，f（k）D≤ EP{V*T≥D} 我在1，f（k）D{V*T<D}= EP{V*T≥D} +min（D，f（k））D{V*T<D}≤ EP{V*T≥D} +V*TD{V*T<D}= EPhφ（V）*,ξ*)i（3.5）So（V）*, ξ*) 是问题2.1.4附录引理4.1的解决方案。让我∈ L(Ohm, F） 。然后是SUPQ∈PEQM=ERM。（4.1）证据。修正一个随机变量M。每个Q∈ P我们有一个不等式eqm≤ EQM=ERM，所以supQ∈佩克姆≤ 呃，我们需要证明上确界是可以达到的。对于任何α∈ [0,1]和K∈ KMde定义一个度量值Rα，KdRα，KdR=nYi=1Aα，Ki（4.2），其中α，Ki=α+R（M≥ K | Fti）（1- α） R（M）≥ K | FXti∨ Fti-1） （4.3）注意，对于任何s<tiwe Haver[Aα，Ki | FXT∨ Fs]=ER“α+R（M≥ K | Fti）（1- α） R（M）≥ K | FXti∨ Fti-1)FXT∨ Fs#=ER“α+R（M≥ K | Fti）（1- α） R（M）≥ K | FXti∨ Fti-1)FXti∨ Fti-1#=1在[Aα，Ki | Fs]=ER“α+R（M≥ K | Fti）（1- α） R（M）≥ K | FXti∨ Fti-1)Fs#=ER“ER”α+R（M）≥ K | Fti）（1- α） R（M）≥ K | FXti∨ Fti-1)FXti∨ Fti-1#Fs#=ER[1 | Fs]=1So代表t∈ （tj，tj+1）呃α博士，KdR英尺= ER“nYi=1Aα，KiFt#=ER“ER”nYi=1Aα，KiFtn-1#Ft#=ER“n-1Yi=1Aα，KiERhAα，KnFtn-1iFt#=ER“n-1Yi=1Aα，KiFt#=ER“n-2Yi=1Aα，Ki英尺#=。

=ER“j+1Yi=1Aα，KiFt#=jYi=1Aα，KiERhAα，KjFti=jYi=1Aα，Ki（4.4），我们得到的方式相同α博士，KdRFXT∨ 英尺=jYi=1Aα，Ki，即每t∈ [0，T]我们有α博士，KdRFXT∨ 英尺= 急诊室α博士，KdR英尺（4.5）注意Rα，K∈ P代表α∈ （0，1），因为对于s<s:ERα，K[Xs | Fs]=dRα，KdR | FsERα博士，KdRXs财政司司长=α博士，KdR | FsER急诊室α博士，KdRXsFXT∨ 财政司司长财政司司长= 急诊室XsERhdRα，KdRFXT∨ FsidRα，KdR | Fs财政司司长= ER[Xs | Fs]=每个随机变量K的Xs∈ 我们有一个不平等：呃≥ supα∈（0,1]ERα，KM≥ ER0，KM=ER“MnYi=1Aα，Ki#=ER”Mn-1Yi=1Aα，Ki{M≥K} R（M）≥ K | FXti∨ Fti-1)#≥ 呃“Kn-1Yi=1Aα，Ki{M≥K} R（M）≥ K | FXti∨ Fti-1） #=ER“KnYi=1Aα，Ki#=ER“KER”nYi=1Aα，KiFXT##=呃[K]但是从另一边吃∈KMERK=ERM。这意味着sup（α，K）∈（0,1]×KMERα，KM=ERM。（4.6）5确认本作者的研究得到了科学和高等教育部NCN 2011/01/B/HS4/00982资助。参考文献[1]K.Aase和SA。佩尔松。单位人寿保险单的定价。斯堪的纳维亚。精算师。J.，（1）：26-521994年。[2] 巴西内洛。人寿保险参与保单的公平定价，并保证最低利率。阿斯汀·布尔。，31(2):275–297, 2001 .[3] 阿尔·巴西内洛和F·奥尔图。具有内生最低担保的股权挂钩人寿保险定价。保险数学。经济。，12(3):245–257, 1993.[4] P.P.博伊尔和M.R.哈代。保留到期担保：两种方法。保险：数学与经济学，21:113–27，1997。[5] P.P.博伊尔和E.S.施瓦茨。股权挂钩合同下担保的均衡价格。《风险与保险杂志》，44:639-801977。[6] 乔丹。布伦南和贝里斯。施瓦茨。具有资产价值担保的股权相关人寿保险单的定价。《金融经济学杂志》（3）：195–213，J une 1976。[7] 德尔班。股票相关政策公告协会皇家精算师贝尔吉斯，80:33–521986。[8] S.埃肯和S.A.佩尔松。

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