Solvency II制度中的市场风险建模和对冲期权

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英文标题：
《Market risk modelling in Solvency II regime and hedging options not
  using underlying》
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作者：
Przemys{\\l}aw Klusik
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In the paper we develop mathematical tools of quantile hedging in incomplete market. Those could be used for two significant applications:   o calculating the \\textbf{optimal capital requirement imposed by Solvency II} (Directive 2009/138/EC of the European Parliament and of the Council) when the market and non-market risk is present in insurance company. We show hot to find the minimal capital $V_0$ to provide with the one-year hedging strategy for insurance company satisfying $E\\left[{\\mathbf 1}_{\\{V_1 \\geq D\\}}\\right]=0.995$, where $V_1$ denotes the value of insurance company in one year time and $D$ is the payoff of the contract.   o finding a hedging strategy for derivative not using underlying but an asset with dynamics correlated or in some other way dependent (no deterministically) on underlying. The work is a generalisation of the work of Klusik and Palmowski \\cite{KluPal}.   Keywords: quantile hedging, solvency II, capital modelling, hedging options on nontradable asset.
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中文摘要：
本文开发了不完全市场分位数套期保值的数学工具。这些可用于两个重要应用：o当保险公司存在市场和非市场风险时，计算偿付能力II（Solvency II）规定的最佳资本要求（欧洲议会和理事会的指令2009/138/EC）。我们希望找到最低资本额$V_0$，为满足$E\\left[{\\mathbf 1}{{{V_1\\geq D\\}\\right]=0.995$的保险公司提供一年期套期保值策略，其中$V_1$表示保险公司在一年内的价值，$D$表示合同的回报。o为衍生工具寻找套期保值策略，该衍生工具不使用基础资产，而是使用与基础资产相关或以其他方式依赖（非决定性）的动态资产。这项工作是对Klusik和Palmowski的工作的概括。关键词：分位数套期保值，偿付能力II，资本建模，非交易资产套期保值期权。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Market_risk_modelling_in_Solvency_II_regime_and_hedging_options_not_using_underlying.pdf (593.17 KB)

2022-5-6 04:54:32 上传

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关键词：solvency Solve 市场风险 Ency SOL

Solvency II制度中的市场风险建模和不使用Przemys law Klusik的对冲期权*2022年3月1日摘要本文开发了不完全市场分位数套期保值的数学工具。这些可用于两个重要应用：1。当保险公司存在市场和非市场风险时，计算Solvency II（欧洲议会和理事会的指令2009/138/EC）引入的最佳资本要求。我们展示了为保险公司提供一年期套期保值策略以满足客户需求的最低资本{V≥D}= 0.995，其中V表示一年内保险公司的价值，D表示合同的付款。2.为不使用基础丁烷资产的衍生工具制定套期保值策略，其动态与基础丁烷资产相关，或以其他方式依赖于基础丁烷资产（非决定性）。这部作品是克鲁西克和帕尔莫夫斯基作品的总称[2]。关键词：分位数套期保值、偿付能力II、资本建模、不可交易资产的hedging期权。JEL学科分类：初级G10；2009年11月25日欧洲议会和欧洲理事会关于接收和追踪的第二个G121指令2009/138/EC*波兰Wroc法律大学，pl.Grunwaldzki 2/4，50-384 Wroc法律，波兰，电子邮件：przemyslaw。klusik@math.uni.wroc.plof保险和再保险业务（Solvency II）为保险公司引入了新的资本制度。根据第101条第3页第4节：应校准偿付能力资本要求，以确保考虑到保险或保险业务面临的所有可量化风险。它将涵盖现有业务，以及预期在未来12个月内完成的新业务。

就现有业务而言，仅赔偿意外损失。它应与保险或再保险业务的基本自有资金的风险价值相对应，在一年内的保险水平为99.5%。进一步根据第4页：偿付能力资本要求应至少涵盖以下风险：（a）非寿险承保风险；（b） 寿险承保风险；（c） 健康承保风险；（d） 市场风险；（e） 信用风险；（f） 操作风险。这项规定提出的问题是，有多少钱足以以0.995的概率对冲风险。从数学的角度来看，这里重要的是，这里的风险涉及市场和非市场因素，这意味着不能仅使用真实的预期概率度量来处理。保险公司通常会忽略这一点，尽管这种忽略影响了被广泛接受的布莱克-斯科尔斯方法。从数学上讲，我们要求最小的安全概率来满足所有的要求{V≥D}≥ 0.995，其中D表示包含索赔，vt表示时间t时套期保值组合的价值。等效地，我们可以用最大成功概率来确定资本寻找策略。这个问题在文献中仅针对完整市场（除了塞金[4]和克鲁西克&帕尔莫夫斯基[2]），即不考虑典型保险风险的金融头寸得到解决。Foellmer&Leucert[1]研究了一般半鞅设置。作者指出了具有极大值的完全市场的最优策略{VT≥D}. 这些证明基于内曼-皮尔逊引理的不同版本。Spivak&Cvitanic[5]研究了一个完整的资产市场框架，该框架采用Ito流程建模。他们还与maximalE制定了一项战略{VT≥D}但是使用不同的证明方法。他们还通过部分观察为市场实施了这种技术。

最后，他们考虑了财富过程的漂移是代理人投资策略的非线性（凹）函数的情况。Klusik，Palmowski，Zwierz[3]从一个更明智的代理人在市场上行动的角度，解决了分位数Hedging的问题。该代理的额外知识是通过一些随机变量初步放大的过滤建模的。Sekine[4]考虑了一个非常简单的不完全市场中的可违约证券，其中证券持有人可以在某个随机时间违约，并通过鞅过程建模获得支付。作者展示了最大化成功对冲概率的策略。Klusik&Palmowski[2]认为更复杂的不完全市场。他们考虑的是权益相关产品，其中保险事件可以有一定数量的状态，并且独立于几何布朗运动建模的金融资产。他们为这两个目标构建了最优策略：最大概率和最大预期成功率。在他们的框架中，关于保险事件的知识在到期之前没有披露。本文讨论了无偿付能力概率优化的一般问题{VT≥D}在一个不完整的市场中，如Klusik&Palmowski[2]，但我们允许市场外信息的一般流动，以及可能的非市场事件的一般空间。正如一开始所说，这个问题的解决方案解决了偿付能力II问题。事实上，该解决方案不仅可以用于Solvency II，还可以用于不完全市场中的定价工具。这将包括股权挂钩、非流动资产期权或仅在场外交易的期权。在这种情况下，复制策略无法建立。它可能会建议将期权定价作为主观概率衡量的预期，或作为超边际成本（非常昂贵！）。

从实践角度来看，用一些依赖的（例如相关的）流动资产对冲索赔可能更合适，并巧妙地允许一些风险，据我们所知，许多（也是全球公认的）金融机构在没有量化工具的情况下实际做了些什么。本文的组织结构如下。第2节介绍了金融市场模型和最优性问题。我们还陈述并给出了套期保值的价格，并构建了套期保值策略。在第3节中，我们将应用我们的结果对不可交易资产的欧式看跌期权进行套期保值。我们使用价格过程部分依赖于基础资产的其他资产计算混合策略的成本。在数值计算中，我们假设两个价格过程都是由相关的几何布朗运动驱动的。2数学模型考虑折扣价格过程X=（Xt）t∈[0，T]是概率空间上的半鞅(Ohm, F、 P）过滤F=（Ft）t∈[0，T]，FT=F。请注意，F可能大大大于X产生的过滤。解释如下：由F建模的知识可以通过市场之外的信息来增强。融资的增加可以解释为有关对合同价值重要的非市场变量的信息信号。这里的一个例子可能是与股权挂钩的合同信息的“生命”部分。

我们将假设F=FT.表示所有等价鞅测度的集合P，并假设市场不允许套利，即p6=.自融资允许交易策略是一对（V，ξ），其中Vis常数和ξ是[0，T]上的F-可预测过程，其值过程Vt:=V+RtξudXu，T∈ [0，T]定义明确，且≥ 0 P-几乎可以肯定所有t∈ [0，T]。固定一个初始大写字母Vand，表示所有可容许策略（V，ξ）的集合，使V≤埃夫。对于非负实v，定义一个成功因子φvd，假设值为[0，∞] 使得φvd是所有d的v的非减量函数。以下函数可以作为成功因子的示例：φvd:=1{v≥d} φvd:={v≥d） +1{v<d}vd。对于未定权益D是一个FT可测量的非负随机变量，我们提出以下问题：问题2.1。求（V，ξ）∈ 最大化预期成功因素EPhφVTDi。对于任何递增函数g:[0，∞] → R和正常数mde fineπgm:=min{x:g（x）=^g（x）}（2.1），其中^g:[0，∞] → R表示从上方与g接触的最高线，斜率为m（参见图）。图1：图中显示了g，^g，m和πm（g）之间的关系。修好一道菜∈ P和definegq（x）：=EQdPdQφxD十、. （2.2）假设存在一个正常数m，πgqm存在，并且可通过策略（V）复制*, ξ*) V在哪里*=eV，即πGQm=V*+ZTξ*乌德许。（2.3）备注2.1。请注意，如果P中的所有测量值在σ（X）上一致，则上述假设始终成立。这是真的，因为πgqm是σ（X）-可测的。尤其是对于一个完全市场而言，这是一种情况，该市场扩展了或有权益，依赖于来自市场之外的一些随机性（也适用于市场之外的信息持续披露到到期的情况）。

在下一节中，我们将给出一个通过蒙特卡罗估计找到m的数值过程。从现在开始，我们写π作为πGQm的捷径。定理2.2。（五）*, ξ*) 是问题2.1的一个解决方案，其预期成功因子等于EP[φπD]。证据对于任何（V，ξ）∈ A保持EQ[VT]- π] ≤ 五、-电动汽车≤ 0.对于每x和a.a.ω∈ Ohm 不等式holdsbGmQ（x）（ω）≥ 其中bgmq（x）=GQ（π）+m（x- π). 因此EQhbGmQ（VT）i≥ EQ[GQ（VT）]，即EPhφV*TDi=EP[φπD]≥ EP[φπD]+mEQ[VT- π] ≥ EPhφVTDi。注意（V）*, ξ*) ∈ A因为V*=eV，所以不平等的左侧是可以消除的。3.申请。1无标的对冲或有我们考虑一种情况，即我们出售不可交易资产Y的看跌期权，付息D=（K-YT）+。我们将使用可交易资产和最大化P（VT）的策略来对冲它≥ D） 。假设两个价格过程的动力学由以下等式给出：xt=uXXtdt+σXXtdWXt，X=X>0dYt=uyytdtt+σYYtdWYt，Y=Y>0，其中我们假设两个布朗运动WY和WX之间的相关性ρ，即WY=ρWX+p1- ρW，其中W是与WX无关的布朗运动。我们假设利率等于零。图2：所述算法的数值模拟结果。0<x<D我们有gq（x）=EQdPdQ{D≤x}十、=dPdQEQh{（K）-YT）+≤x}Xi=dPdQQK- 十、≤ 是的uYT+σY（ρWXT+p1- ρWT）-σYT十、=dPdQQ自然对数K- xyo≤ uYT+σY（ρWXT+p1- ρWT）-σYT十、=dPdQQ自然对数K-xyo- uYT- σYρWXT+σYTσYp1- ρ≥ WT十、= 经验uXσXWXT+uXσXT1.- Φ自然对数K-xyo- uYT- σYρWXT+σYTσYpT（1- ρ),其中Φ表示标准正态分布的cdf。我们描述了基于蒙特卡罗方法的数值算法：1。确定一个实数m≥ 0和整数Nx>0，NW>0.2。画一个样本w，WNW来自均值为0且方差为T的正态分布。对于i=1，NW从集合{0,1KNx，2KNx。

，NxKNx}expressionexpuXσXwi+uXσXT1.- Φ自然对数K-xyo- uYT- σYρwi+σYTσYpT（1- ρ)-mx，并用xmax（i）表示。解决方案如下：对于初始资本等于toNWNWXi=1exp-uXσXwi-uXσXTxmax（i）最大预期成功系数为EqualNWXi=11.- Φ自然对数K-xmax（i）yo- uYT- σYρwi+σYTσYpT（1- ρ).不同的m会给出不同的初始资本和预期成功因素。图中显示了在T=1时到期的看跌期权的模拟结果，其行使K=1。价格动态遵循3.1，参数为uX=uY=0.1，σX=σY=0.3，Y=X=1。图中显示了不同水平ρ的相关性。我们可以验证，如果X几乎与Y相似（即ρ几乎为1），那么X的对冲策略应该非常接近Y的对冲策略（如果Y是可交易的）。最后一个的成本等于标准Black-Scholes公式的0.119235。3.2应用：偿付能力II通常在资本建模期间，保险公司忽略了市场风险和保险（以及其他非市场风险）之间的基本区别：市场风险可以在我们的框架内使用基础资产进行对冲。在我们看来，这意味着取T=1，φvd:=1{v≥d} 代表保险公司在时间1的所有责任的AND。值得强调的是，我们的解决方案提供了一种策略，使破产概率降至最低。对于给定的概率（这里是0.995），我们得到所需的最小资本。该解决方案不假设静态或几乎静态的位置，通常在实践中是这样做的，但指出了最佳策略（可能是动态的）。4确认本作者的研究得到了科学和高等教育部NCN 2011/01/B/HS4/00982的支持。参考文献[1]H.F–ollmer和P.Leucert。分位数对冲。金融斯托赫。，3(3):251–273,1999.[2] Przemyslaw Klusik和Zbignew Palmowski。

股权关联合同的分位数套期保值。《保险：数学与经济学》，48（2）：280–2862011年3月。[3] J.Zwierz P.Klusik，Z.Palmowski。内幕人士的分位数对冲。概率与数理统计，30（2），2010年。[4] J.塞金。不完全市场中可违约证券的分位数套期保值。乌里凯塞基肯基·乌舒克·奥基·乌鲁库（1165）：215-231，2000年。数学经济学（日语）（京都，1999年）。[5] Gennady Spivak和Jaksa Cvitanic。最大化完美对冲的可能性。安。阿普尔。Probab。，09(04):1303–1328, 1999.