比例交易成本下的超复制定理

（23）AsаT=аT+а试验≥ -M（1+ST）。（24）我们已经展示了（2）。要获得对φ0的控制，↓Ttoo，请注意，аT=аT+а测试≥ -M（1+ST）为φT=0，因此φ0，↓T≤ φ0,↑T+M（1+ST）。因此，我们得到以下总变化的估计值φ0，↑T+~n0，↓0tofqh，↑T+~n0，↓钛≤ Mλ - λ′+ 11+EQ[ST]. （25）从L（Q）-估计（25）到L（P）-估计（20）的过程是标准的：f或ε>0存在δ>0，因此对于子集A∈ 当Q[A]<δ时，我们得到P[A]<ε。LettingC=Mδ（λ）-λ′+1）（1+EQ[ST]），并将Tschebysche fff应用于（25），我们得到phа0，↑T+~n0，↓T≥ Ci<ε，（26），这意味着（20）。正如Regards（21）所说，它是从（9）开始的，↑T≤d~n0，↓tSt，（27）或更准确地说，通过（10）、（11）和（12），dа1，↑,计算机断层扫描≤d~n0，↓,ctSt，（28）φ1,↑T≤φ0,↓tSt-, (29)+φ1,↑T≤+φ0,↓tSt。（30）假设（St）0的轨迹≤T≤皮重绝对为正。事实上，对于几乎所有的轨迹（St（ω））我们甚至有0≤T≤T、 那inf0≤T≤TSt（ω）是严格正的。事实上，作为一个a.s.满意度大于0的Q-鞅≤T≤测试（ω）为Q-a.s.，因此P-a.s.严格为正。综上所述，对于ε>0，我们可能会发现δ>0这样的pinf0≤T≤TSt<δ<ε.因此，我们可以控制φ1，↑t通过使用（27）和估算φ0，↓到（26）。最后，我们可以控制Ф1，↓t通过简单地观察到θ1，↑T- φ1,↓T=~nT- φ= 0.备注3.2。在上面的pro中，我们已经证明了元素φ0，↑T、 ~n0，↓T、 ~n1，↑T、 ~n1，↓屈里曼在L(Ohm, F、 P），当（а，а）通过M-容许（在无火灾（15）的意义上）自融资过程且а=а0时，↑-φ0,↓和~n=~n1，↑-φ1,↓表示cano-nical分解。为了以后的使用，我们注意到，事实上，证明也表明函数的凸组合φ0，↑Tetc。保持有界(Ohm, F、 P）。实际上，估计值（22）显示了函数的凸包φ0，↑在L（Q）和（25）中有界的Tisbounded对于φ0产生相同的结果，↓T

对于~n1，↑Tand~n1，↓t论点相似。现在，我们可以在基于num\'eraire的以及asa num\'eraire自由版本（定理3.4和定理3.6）定义3.3中表述本节的主要结果。对于M>0，我们用AMnb（分别为AMnf）表示成对的集合（φT，φT）∈L（R）自融资交易策略的终值，从（0，0）开始，在基于num’erai的sen（14）（分别在num’erai re freesense（15））中是M-可容许的。我们用CMnb（分别为CMnf）表示随机变量的集合∈ l在AMnb中（分别在AMnf中）有（T，0）。当从上下文中可以清楚地看到我们处于num\'eraire bas ed（resp.num\'eraire free）设置时，我们偶尔会删除子脚本nb（resp.nf）。定理3.4。（基于数字的版本）修复S=（St）0≤T≤假设（CP Sλ′）在局部意义上满足，每0<λ′<λ。当M>0时，凸集AMnb L(Ohm, F、 P；R） 以及凸集CMnb L(Ohm, F、 P）关于测量中的对流拓扑是封闭的。证明：修正M>0，并让（nT）∞n=1=（а0，nT，а1，nT）∞n=1be AM=AMNBC中的一个序列将a.s.转换为某个φT=（φT，φT）∈ L（R）。我们必须证明∈是我们可能会找到自我融资、可接受的（基于数量的）策略n=（0，nt，1，nt）0≤T≤T、 从（а0，n，а1，n）=（0，0）开始，以终端值（а0，nT，а1，nT）结束。通过假设（CP Sλ′），对于每个0<λ′<λ，我们可以得出结论，这些过程在基于数值的意义上是M-容许的（[S 13]，第1.7条）。如上所述，将这些过程标准化分解为φ0，nT=φ0，n，↑T-ν0，n，↓T、 和~n1，nT=~n1，n，↑T-ν1，n，↓T.ByLemma 3.1和随后的评论，我们知道（η0，n，↑（T）∞n=1，（ν0，n，↓（T）∞n=1，（ν1，n，↑（T）∞n=1，和（φ1，n，↓（T）∞n=1及其凸组合在L中有界(Ohm, F、 P），所以由引理A1得出。1 a在[DS 94]中，我们可能会发现收敛于a.s.的凸组合。

至元素sа0，↑T、 ~n0，↓T、 ~n1，↑T、 和1，↓T∈ L(Ohm, F、 P）。为了简化符号，我们仍然用原始序列来表示这些凸组合序列。我们声称（νT，νT）=（Ф0，↑T-φ0,↓T、 ~n1，↑T-φ1,↓T） 这将很容易地表明AMA与度量收敛拓扑的紧密性。通过归纳地传递到凸组合，仍然由原始序列表示，我们可以，对于每个有理数r∈ [0，T[，假设（φ0，n，↑r）∞n=1，（ν0，n，↓r）∞n=1，（ν1，n，↑r）∞n=1，和（φ1，n，↓r）∞n=1靠近某些元素0，↑r、 0，↓r、 1，↑r、 和1，↓林·L(Ohm, F、 P）。通过传递到一个对角子序列，我们可以证明这种收敛对所有有理数都成立∈ [0，T[.显然，这四个过程，↑R∈Q∩[0，T]等，由[0，T]中的有理数r索引。s.增加并定义（14）中基于数量的M-容许过程，由[0，T]索引[∩我们必须把这些过程推广到所有实数∈ [0，T]。这是由FiftlettingBа0完成的，↑t=limrtr∈Qā0，↑r、 0≤ t<t，（31）和bа0，↑= 0.终端值b~n0，↑T=0，↑这仍然是施工的第一步。c`adl`ag过程bа0，↑这还不是我们想要的极限，因为我们仍然需要特别注意b~n0的跳跃，↑. 过程bа0的跳跃，↑可通过序列（τk）耗尽∞k=1的停止时间。通过再次传递到一个凸组合序列，仍然由（b~n0，n，↑)∞n=1，我们也可以假设（φ0，n，↑τk）∞n=1几乎可以肯定，每k∈ N.定义φ0，↑t=（limn）→∞ν0，n，↑τkif t=τk，对于某些k∈ 注意：0，↑完全正确。这个过程是可以预测的。事实上，有一个子集Ohm′ Ohm 完全测度P[Ohm′] = 1，使得（Д0，n，↑)∞n=1在点方向上收敛到φ0，↑世界各地Ohm′×[0，T]。过程φ0，↑a.s.在t中也不减少∈ [0，T]。因此，我们发现了一个可预测的过程，↑= (φ0,↑t） 0≤T≤Tsuch那是a.s。

序列（φ0，n，↑t） 0≤T≤t收敛到（φ0，↑t） 0≤T≤t前庭∈ T.其他三种情况下，ψ0，↓, φ1,↑, 和1，↓以类似的方式处理。这些过程是可预测的、递增的，并且满足条件（9）。最后，定义流程（k t，k t）0≤T≤Tas（η0，↑T- φ0,↓t、 ~n1，↑T- φ1,↓t） 0≤T≤T.当该条件从过程中经过时，在基于数值的意义上（14）它是可预测的和M-容许的（φn）∞n=1达到极限值。类似地，过程满足自融资条件（9），即过程的收敛性（n）∞n=1为所有t∈ [0，T]。因此，我们证明了AM=AMNB在L（R）中是封闭的。CM=CMnbin的封闭性是一个直接的结果。备注3.5。我们不仅证明了AMIS关于测度收敛拓扑的闭性。相反，我们展示了一个凸压缩性质（比较[KZ 11]，[Z 09]）。事实上，我们已经证明，对于任何序列（νnT）∞n=1∈ AM，我们可以找到一个凸组合序列，它将a.s.凸化为一个元素∈ 是为了以后的使用（定理1.4的证明），我们还注意到，上面的证明产生了定理3.4的以下技术变量。设0<λn<λ是一个实数序列，增加到λ和（νnT）∞n=1be，在AM中，λnnb，其中超级脚本λ9表示从（0,0）开始的M-容许λn-自融资交易策略的终值。如果（νnT）∞n=1将a.s.收敛到φTwe，我们可以得出结论，这是策略的终值φ=（φ0,0t，φ1,0t）0≤T≤t其中M-可容许且λn-自融资，对于每个∈ N.从（9）中，我们得出以下结论：ν是λ-自我融资。定理3.6。（num\'eraire free v version）Fix S=（St）0≤T≤假设（CP Sλ′）在非局部意义上满足每个h 0<λ′<λ′λ。

形式>0，凸集AMnf L(Ohm, F、 P；R） 以及con-vex set CMnf L(Ohm, F、 P）关于测度收敛的拓扑是封闭的。证据与之前的证明一样，x M>0和let（νnT）∞n=1=（а0，nT，а1，nT）∞n=1b是一个序列，我们现在假设它在AM=AMnf中，将a.s收敛到某个φT=（φT，φT）∈L（R）。我们必须证明∈ 是同样，我们可能会发现自我融资、可接受的（在无火灾的意义上）策略（ν0，nT，ν1，nT）0≤T≤t从（а0，n，а1，n）=（0，0）开始，终端值为（а0，nT，а1，nT）。我们现在应用[s13]中的第2.4条来得出结论，这些过程在无干扰意义下是M-容许的（15）。然后，我们可以逐字逐句地进行上述证明，以构造一个限制过程φ=（φt，φt）0≤T≤t是可预测的，M-容许的（在无干扰的意义上），并且具有规定的终值。这再次表明，在L.4定理1.5的证明中，AM=AMNF和CM=CMNF是闭合的。我们现在将对偶理论应用于集合AMand CM。我们首先处理num’erairefree案例，我们遵循[K 99]、[KS 02]、[CS 06]和[KS 09]的思路。如上所述，FIX ac`adl`ag调整价格过程S=（St）0≤T≤交易成本0<λ<1。我们使用旋转Anf=∪∞M=1AMnfand和Cnf=∪∞M=1CMnf。定义4.1。我们定义了所有对的集合ZT=（ZT，ZT）∈ L（R+）使e[ZT]=1，使bnfi极性到Anf，即[~nTZT+~nTZT]≤ 0，（32）对于所有的аT=（аT，аT）∈ Anf。我们是ZT的会员∈ b由ZT定义的m artingale Z=E[ZT | Ft]，0≤ T≤ T.（33）在（32）中，我们通过要求（TZT+TZT）的负部分必须是可积的来定义期望。然后（32）在[1]中定义一个数字- ∞, +∞ ].我们将识别元素（ZT，ZT）∈ 通过lettingeSt=ZtZt和dqdp=ZT对（eS，Q）进行bnfw。（34）随机变量ZT可能在一组正测度上消失。

这与概率测度Q仅与P绝对连续的w.r.相对应，不一定等价。在这种情况下，我们定义了ZT消失的地方。现在我们证明了Bnfequals精确地表示了一组一致的价格系统（eS，Q）（在非局部意义上），其中我们只允许Q与P绝对连续（在定义1.1中，我们要求Q等于P）。提议4.2。在定义4.1的设置中，让ZT∈ Bnf。n鞅=（Zt）0≤T≤锡（33）满意度：=Zt∈ [(1 - λ） St，St]，0≤ T≤ T、 a.s.（35）相反，假设Z=（Zt，Zt）0≤T≤这是一个R+值的P-鞅，使得z=1和st:=ztzt在{Zt>0}上取a.s.[（1）中的值- λ） 圣，圣]。n ZT=（ZT，ZT）∈ Bnf。证据证明（35）假设有一个[0，T]值的停止时间τ，使得q[eSτ>Sτ]>0。如（16）中所述，在=(-1，Sτ）{eSτ>Sτ}Kτ，tk（T），0≤ T≤ T.这是一种自我融资策略，在数量意义上是可接受的（事实上，也是在基于数量的意义上），其收益率为（32）。EP[(-ZT+ZTSτ）{eSτ>Sτ}]=EP[EP[(-ZT+ZTSτ）{eSτ>Sτ}| Fτ]]=EP[Zτ(-1+eSτSτ）{eSτ>Sτ}]=EQ[(-1+eSτSτ）{eSτ>Sτ}]>0，这是一个矛盾。在Q[eST>ST]>0的剩余情况下，我们考虑策略=(-1，ST）{eST>ST}JT K（t）如（18）所示。我们仍然需要证明，Q[eSτ<（1- λ） Sτ]>0，对于一些停止时间0≤ τ<T，也导致了矛盾。如（17）所示，定义为：- λ） Sτ，-1） {eSτ<（1）-λ） Sτ}Kτ，tk（T），0≤ T≤ T.同样，这种策略是自筹资金和可接受的（这一次只是在自由主义时期），我们得出了一个矛盾的结论- λ） SτZT- ZT）{eSτ<（1）-λ） Sτ}]=EQ[（（1）- λ） Sτ-eSτ）{eSτ<（1）-λ） Sτ}]>0。案例Q[eST<（1）- λ） ST]的处理方式与上述（19）类似。

这显示了该提议的第一部分。作为第二部分，fix a ma r tingale Z=（Zt，Zt）0≤T≤将（eS，Q）定义为（34）。对于每一种自我融资交易策略，φ=（φt，φt）0≤T≤T、 我们从命题2.3和[S 13]中随后的注释中推断出，evt:=νT+~n在Q下证明了一个可选的强超鞅（参见[S 13]，定义1.5，定义）。这就给出了所需的不均匀性0=eV≥ 等式[eVT]=EP[~nTZT+~nTZT]。命题4.2的证明现已完成。为了获得证据。1.5我们仍然需要L的双极性定理。我们首先回顾[BS 99]中获得的一维环境中的双极性定理。对于子集a L（R+）我们用A={g]来定义它在L（R+）中的极性∈ L（R+）：E[fg]≤ 1}.[BS 99]中的双极性定理指出∈ L（R+）属于if和only ifE[fg]的封闭（w.R.在度量上为收敛）、凸的实心外壳≤ 1.为了所有人∈ A.我们需要（[KS 09]，第5.5.3条）中建立的该结果的多维版本，适用于L（R）中的圆锥。在二维环境中[BMR]被认为是更复杂的[9]），而在二维环境中[9]被认为是更复杂的。我们在L（R）上定义了部分订单，方法是：让φT=（φT，φT） ψT=（ψT，ψT）如果差φT- ψT可被清算为零投资组合，即VT（ψT）-ψT）≥ 0.该偏序的设计方式如下：∈ AMnf，我们有这个 (-M-M） 。在[K S 09]之后，我们说一个序列（νnT）∞n=1in L（R）法图收敛到φT∈L（R）如果M>0，则每个φNt占主导地位（-M-M） 和（新台币）∞n=1 Convergesa。s

对于（法图引理的一个版本），这个收敛意味着，对于每个ZT=（ZT，ZT）∈Bnf，lim infn→∞h~nnT，ZTi:=lim infn→∞E[~n0，nTZT+~n1，nTZT]≥ E[~nTZT+~nTZT]=h k T，ZTi，asа0，nTZT+а1，nTZT≥ -M（ZT+ZT）后一个函数是P-可积的。用Abnf表示Anf中的有界元素集，即Abnf=Anf∩ L∞（R） 。从定理3.6可以很好地推断，在定理1.5的假设下，下列性质是满足的。（i）Anfis Fatou闭的，即包含其Fatou收敛序列的所有极限。（ii）Anf中的Abnfis-Fatou密集型，即用于∈ Anf，有一个序列（νnT）∞n=1∈ Fatou收敛到φT的abnf（iii）abnf包含负正态-L∞（R+）。定义AnfbyAnf={ZT=（ZT，ZT）的极性∈ L（R）：h k T，ZTi≤ 1}.因为anf是一个圆锥体，我们可以等价地写出anf={（ZT=（ZT，ZT）∈ L（R）：h k T，ZTi≤ 0}.命题4.2指出，ANF等于Bnf生成的圆锥体。如（[KS 09]第5.5.3节）所示，上述三个性质意味着，对于满足（i）、（ii）和（iii）的集合Anfin L（R），双极性定理成立，即元素XT=（XT，XT）∈ L（R）使XT ( -M-M） 对于某些M>0，是inAff且仅当，hXT，ZTi:=E[XTZT+XTZT]≤ 0，每ZT∈ Anf，（36）通过归一化，它相当于要求（36）对所有ZT的有效性∈ Bnf。因此，我们收集了所有的材料来证明超级套期保值定理的无错误版本。定理1.5的证明：上述讨论实际上产生了以下二维结果，比定理1的一维陈述更一般。5.在定理1.5的假设下，考虑一个未定权益XT=（XT，XT），该未定权益在时间T交付了XTmany债券和XTmany股票。

然后是一种自我融资的、可接受的（在无干扰的意义上）策略，从（k，k）=（0，0）开始，以（k T，k T）=（XT，XT）结束，当且仅当且仅当ifhXT，ZTi=EP[XTZT+XTZT]=EQ[XT+XTeSt]≤ 每ZT 0，（37）∈ Bnf。这只是陈述（36），其中（eS，Q）由（34）给出，即Q是概率测度，绝对连续w.r到P，andeS是（真）Q-鞅，取[（1）中的值- λ） S，S]。我们还需要两次观测。在（37）中，我们可以等价地假设概率测度Q实际上等价于P，即相应的鞅Z几乎可以肯定地满足zt>0。事实上，Fix ZT∈ Bnfas（37）。根据假设（CP Sλ）（在非局部意义上）存在一些zt∈ bnf几乎可以肯定地验证ZT>0。请注意，hxt，ZTi取一个固定值。对于0<u<1，凸组合uZT+（1- u）ZTisin Bnfand仍然满足严格的正性条件。将u设为零，我们可以在（37）中假设w.l.g.为a.s.严格正。第二点是关于初始捐赠（k，k），在（37）中，我们将其标准化为（0，0）。如果我们用任意一对（X，X）替换（0，0）∈ Rthen（37）简单地翻译为以下两个语句的等价性，用于验证VT（XT，XT）≥ -M（1+ST），对于某些M>0。（i） 有一种自我融资的、可接受的（在无风险的意义上）交易策略=（t，t）0≤T≤T对于每个一致的价格体系，即。

每个概率测度Q，相当于在Q下有一个鞅，取其在买卖价差中的值[（1- λ） 我们有eq[（XT- 十） +（XT）- 十） [美国东部标准时间]≤ 0.专门研究Xt和Xt等于零的情况，我们得到定理1.5.5的断言定理1.4的证明，我们现在从它的num’eraire Free对应物推导出基于num’eraire的超级复制定理。（一）=> （ii）这是一个简单的含义。假设Xt和а=（аt，аt）0≤T≤皮重如定理1.4的（i）所示。让（eS，Q）成为一个一致的本地价格体系。根据[S 13]中的命题1.6，过程vt=（ηt+ηteSt）0≤T≤这是Q下的一个可选强上鞅，这意味着（6）。（二）=> （i） 相反，让我们≥ -如定理1.4所述，假设（ii）为真。定义[0，T]∪ {∞}-值停止时间τnbyτn=inf{t:St≥ n} 。也就是denexnt=（XT，on{τn=∞} ,-M、 关于{τn≤ T}，所以（XnT）∞n=1是Fτn-可测量的，并将a.s.增加到XT。设0<λn<λ是一个实数序列，增加到λ。固定的∈ N我们可以将定理1.5应用于停止的过程SτN、随机变量xn和交易成本λN。为了验证定理1.5的条件确实满足，请注意，在定理1.4的假设下，对于每0<λ′<1，条件（CP Sλ′）在局部意义上满足S，因此，通过停止alsofor Sτn。根据下面的命题6.1，我们得出结论，t（CP Sλ′）在非局部意义上满足定理1.5所要求的过程Sτ。接下来，我们证明定理1.5的条件（ii）对于过程Sτ和交易成本λn是满足的。