比例交易成本下的超复制定理

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英文标题：
《The super-replication theorem under proportional transaction costs
  revisited》
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作者：
Walter Schachermayer
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We consider a financial market with one riskless and one risky asset. The super-replication theorem states that there is no duality gap in the problem of super-replicating a contingent claim under transaction costs and the associated dual problem. We give two versions of this theorem. The first theorem relates a num\\\'eraire-based admissibility condition in the primal problem to the notion of a local martingale in the dual problem. The second theorem relates a num\\\'eraire -free admissibility condition in the primal problem to the notion of a uniformly integrable martingale in the dual problem.
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中文摘要：
我们考虑一个只有一种无风险资产和一种风险资产的金融市场。超级复制定理表明，在交易费用下的超级复制未定权益问题和相关对偶问题中不存在对偶缺口。我们给出了这个定理的两个版本。第一个定理将原问题中基于数值的可容许性条件与对偶问题中的局部鞅概念联系起来。第二个定理将原问题中的无干扰可容许条件与对偶问题中的一致可积鞅的概念联系起来。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> The_super-replication_theorem_under_proportional_transaction_costs_revisited.pdf (189 KB)

2022-5-6 04:56:10 上传

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关键词：交易成本 Optimization proportional Differential Quantitative

超级复制理论与比例交易成本*在伊瓦尔·埃克兰70岁生日之际，我们将其视为一个金融市场，其中包括一项无风险资产和一项高风险资产。超复制定理表明，在交易费用和相关对偶问题下的超复制未定权益问题不存在对偶缺口。我们给出了这个定理的两个版本。第一个定理将原问题中基于数的可容许性条件与对偶问题中的局部鞅概念联系起来。《经济学原理》将原问题中的无数可容许条件与对偶问题中的一致可积鞅概念联系起来。1引言布莱克-斯科尔斯理论（[BS 73]，[M 73]）的实质如下：在其模型S=（St）0的框架中≤T≤对于中央市场（无风险利率r标准化为r=0），在给定的byX=EQ[XT]时间到期的或有权益XT的唯一无套利价格。（1） 这里Q是Black-Scholes模型的“鞅测度”，即(Ohm, FT，P），其中S是鞅。Harrison Kreps[HK 79]的论文标志着对套利概念及其与mart ingale理论的关系有了更深入的理解。今天，人们很清楚，Black Scho-les模型的显著特点是（1）产生唯一的无套利价格，而鞅测度Q在该模型中是唯一的。金融市场承认一个独特的市场衡量标准Q，称为“完全金融市场”。我们顺便说一下，在这个非正式的介绍中，我们离开*法库特——在弗尔·马泰马提克大学——在维也纳，奥斯卡·摩根斯坦解放军tz 1，A-1090维也纳，沃尔特。schachermayer@univie.ac.at.

部分由奥地利科学基金（FWF）资助，资助项目为P25815和Doktoratskolleg W1245，欧洲研究理事会（ERC）资助项目为506041。撇开技术问题不谈，比如可积性假设，或者要求该度量eq应等同于原始度量P，即当且仅当P[A]=0时，Q[A]=0。在完全市场中，S=（St）0≤T≤每个未定权益X都可以完美地应用，即存在一个可预测的过程H=（Ht）0≤T≤Tsuch thatXT=X+ZTHtdSt。（2） 现在，我们将讨论更现实的情况，即可能不完整的金融市场S=（St）0≤T≤T.通过定义，我们假设等价鞅测度的集合Me（S）是非空的，但（可能）没有退化为单态。在该设置中，估值公式（1）被x=supQ替换∈这个实数Xis被称为XT的超级复制价格。之所以取这个名字，是因为人们可能会发现一个可预测的策略H=（Ht）0≤T≤Tsuch认为等式（2）现在被不等式xt所取代≤ X+ZTHtdSt（4）和Xis是具有此属性的最小数。这是N.El Karoui和M.-C.Quenez[EQ 95]在布朗框架下建立的超复制定理的信息，更一般地说，是F.Delbaen和aut hor在[DS 94]中建立的（比较[DS 06]以获得全面的解释）。本文的主题是在交易成本λ>0的情况下给出一个超复制理论（两个版本）。对于给定的金融市场S=（St）0≤T≤我们现在假设我们可以以S的价格购买股票，但只能以（1）的价格出售- λ） 较高的价格被称为要价，而较低的价格（1- λ） S被称为投标价格。在这种情况下，出现在（3）中的鞅测度Q的概念被以下概念所取代，这可以追溯到E.Jouini和H.Kallal[JK 95]的开创性工作。定义1.1。

修正价格过程S=（St）0≤T≤交易成本为0<λ<1。一致价格系统（分别是一致的本地价格系统）是一对（eS，Q），使得Q是一个与P andeS=（eSt）0等价的概率度量≤T≤t在买卖价差[（1- λ） S，S]=（[（1）- λ） [St，St]）0≤T≤TandeS是一个Q-鞅（分别是局部Q-鞅）。为了强调这两个概念的不同，我们有时将一致价格体系称为非本地意义上的一致价格体系。无摩擦集合中等价鞅测度存在的条件与下列概念相对应。定义1.2。对于0<λ<1，我们说价格过程S=（St）0≤T≤如果存在一致的价格体系（分别为一致的地方价格体系），则为Tsatis fies（CP Sλ）（分别为地方意义上的CP Sλ）。本文的目的是确定准确的假设，以便在将这些陈述转化为交易成本下的金融市场背景后，建立与上述（3）和（4）类似的假设。为了使我们的想法具体化，我们用一个尚未精确表述的“元定理”来模拟我们的程序。定理1.3。（还不是超级对冲的精确版本）修复金融市场S=（St）0≤T≤T、 交易成本0<λ<1，以及在时间T支付X万元保证金的持续索赔。假设S满足适当的正则条件（非套利类型）。对于一个数字X∈ R、 以下各项相当。（i） XT可以通过从任何债券单位的初始投资组合开始，然后在交易成本λ下以S进行交易来超级复制。交易策略必须是适当意义上的可接受性。（ii）对于每个一致的价格体系（eS，Q）（在适当的意义上，即。

本地或全球）我们有≥ EQ[XT]。我们将在下面阐述两个版本，将上述“元定理”转化为精确的数学陈述。让我们首先评论一下上述结果的历史。E.Jouini和H.Kallal在他们的开创性论文[JK 95]中考虑了希尔伯特空间设置，并在此背景下证明了上述定理的一个版本。因此，他们建立了一个与哈里森·克雷普斯（Harrison Kreps）的论文[HK 79]完全相同的模型，用一个涉及比例交易成本的模型取代了无摩擦理论。Y.Kabanov[K 99]提出了一种多货币市场的无数值设置（更多详细信息参见[K 09]），该设置比目前的设置更为普遍。在[KS 02]中，Y.Kabanov和Ch.Stricker在汇率过程连续性的假设下证明了Kabanov模型中的超赫丁定理的一个版本。L.Campi和作者在[CS 06]中删除了这种连续性假设，从而在卡巴诺夫的框架中建立了超级对冲定理的一般版本。然而，由于[K 99]、[KS 02]和[CS 06]中考虑的模型的普遍性，有时很难对自我融资投资组合和可接受性等进行精确定义，以登记申请。因此，我们改变了本文的重点，将注意力集中在一种更具体的情况，即只有一种股票和一种（标准化）债券，以及固定交易成本λ>0。我们的目标是建立上述超边缘“元定理”1.3的清晰且易于应用的版本。最重要的是，我们将阐明无随机变量和基于随机变量的可容许概率概念之间的区别及其与鞅和局部鞅概念的对应关系。

这在某种程度上类似于[GRS 10]中建立的交易成本下资产定价基本定理的“无num’eraire”和“基于num’eraire”版本。在无摩擦的情况下，类似的结果来自于J.Yan[Y 05]（也比较[DS 95]和[Y 98]）。我们现在陈述两个版本的超级对冲定理，我们将在本文中证明。报表中出现的术语将在下一节中仔细定义。定理1.4（基于数量的超级对冲）。修复一个R+值的自适应c`adl`ag进程S=（St）0≤T≤T、 交易成本0<λ<1，以及在时间T支付多个债券单位的持续索赔。rando m变量XT假设是从下面统一绑定的。假设对于每个0<λ′<1，过程在局部意义上是S（CP Sλ′）。对于一个数字X∈ R、 以下断言是等价的。（i） 这里有一个自我融资的交易策略φ=（φt，φt）0≤T≤T从以下基于数值的意义上，可接受的=（X，0）和T=（XT，0）：有M≥ 因此，对于每[0，T]值的停止时间τ，Vτ（ν）≥ -M、 a.s.（5）（ii）对于每一个一致的局部价格系统，即对于每一个概率测度Q，等价于P，因此存在一个局部鞅=（St）0≤T≤Tunder Q，在买卖价差中取其值[（1- λ） S，S]=（[（1）- λ） [St，St]）0≤T≤T、 我们有≥ EQ[XT]。（6） 定理1.5（无风险超级对冲）。修复一个R+值的自适应c`adl`ag进程=（St）0≤T≤T、 交易成本0<λ<1，并考虑在时间T支付X多个债券单位的非负或有索赔。假设随机变量Xt从below开始以（1+ST）的倍数为界。假设对于每个0<λ′<1，过程S在非局部意义上是匹配的（CP Sλ′）。

对于n个数字X∈ R、 以下各项是等效的。（i） 这里有一个自我融资的交易策略φ=（φt，φt）0≤T≤Tsch表示=（X，0）和T=（XT，0），这在以下意义上是可容许的：有M≥ 0，这样，对于每[0，T]值的停止时间τ，Vτ（φ）≥ -M（1+Sτ），a。s、 （7）（ii）对于每一个一致的价格体系，即对于每一个概率测度Q，等价于P，这样就有一个m artingaleeS=（St）0≤T≤Tunder Q，在bi d-ask排列中取其值[（1- λ） S，S]=（[（1）- λ） [St，St]）0≤T≤哈维≥ EQ[XT]（8）为什么我们要谈论“基于num\'eraire”和“无num\'eraire”？定理1.4的可接受性条件将该债券称为num’eraire。条件（5）意味着管理层可以通过持有M个债券单位来覆盖交易策略。相比之下，条件（7）意味着代理人可以通过持有M股债券和M股股票来覆盖交易策略。后一种假设在股票和债券之间是对称的。它没有将一项资产单独列为无风险资产，因此被称为“无风险资产”。2定义和注释我们考虑由一项无风险资产和一项风险资产组成的金融市场。无风险资产具有固定价格1，可以在无交易成本的情况下进行交易。风险资产的价格由严格正适应的c`adl`ag随机过程S=（St）0给出≤T≤一些潜在的过滤概率空间Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P满足正确的连续性和完整性的通常假设。此外，我们假设Fis是微不足道的。出于技术原因（比较[CS 06]），我们还假设（w.l.g.）FT=FT-ST=ST-.交易策略由R值的、可预测的过程φ=（φt，φt）0建模≤T≤定义变量，其中在时间t重新平衡投资组合后，分别以无风险资产和therisky资产为单位对其进行持有。

对于任何过程X的有限变化，我们用X=X+X表示↑- 十、↓它的Jordan-Hahn分解为两个非递减过程X↑还有X↓两者都为零。[0，t]上X的总变化量Vart（X）由Vart（X）=X给出↑t+X↓tand X的连续部分xct:=Xt-Xs<t+Xs-Xs≤TXs，在哪里+Xt:=Xt+- XtandXt:=Xt- Xt-. 风险资产的交易会产生λ大小的比例交易成本∈ (0, 1). 这意味着，当在时间t购买风险股时，必须支付（更高）的报价，但只能收到（更低）的报价（1）- λ） 卖的时候。A策略=（t，t）0≤T≤这被称为交易成本下的自我融资λifZtsd~nu≤ -ZtsSudа1，↑u+Zts（1- λ） 南欧1号，↓u（9）a.s.的LL0≤ s<t≤ T，其中ztssud~n1，↑u:=ZtsSudа1，↑,cu+Xs<u≤tSu-φ1,↑u+X≤u<tSu+φ1,↑u、 Zts（1）- λ） 南欧1号，↓u:=Zts（1）- λ） 南欧1号，↓,cu+Xs<u≤t（1）- λ） 苏-φ1,↓u+X≤u<t（1）- λ） 苏+φ1,↓可以使用Riemann-Stieltjes积分定义UCA，因为S是c`adl`ag。自融资条件（9）规定，风险资产的购买和销售应在无风险状态下进行核算：d~n0，ct≤ -标准а1，↑,ct+（1）- λ） 标准а1，↓,ct，0≤ T≤ T、 （10）~nt≤ -圣-φ1,↑t+（1）- λ） 圣-φ1,↓t、 0≤ T≤ T、 （11）+~nt≤ -圣+φ1,↑t+（1）- λ） 圣+φ1,↓t、 0≤ T≤ T.（12）我们通过vt（ν）确定时间T的清算价值：=ФT+（νT）+（1）- λ） 圣- （ηt）-St.（13）我们对可采性定义有以下两个概念2.1。（a） 如果M>0，则自融资交易策略被称为可容许策略，对于e非常[0，T]值的停止时间τ，Vτ（ν）≥ -M、 a.s.（14）（b）如果M>0，则自融资交易策略在数量自由的意义上被称为可接受，即，对于每[0，T]值的停止时间τ，Vt（ν）≥ -M（1+St），a.s.（15）这里是自我融资交易策略的典型例子。定义2.2。

固定S和dλ>0，如上所述，设τ：Ohm → [0，T]∪ {∞} 设fτ，gτ为fτ-可测的R+值函数。我们定义了相应的ASK和投标流程asat=(-Sτ，1）fτKτ，tk（T），0≤ T≤ T、 （16）bt=（1）- λ） Sτ，-1） gτKτ，tk（T），0≤ T≤ T.（17）同样，设τ：Ohm → [0，T]∪ {∞} 是一个可预测的停止时间，让fτ，gτ在τ之前--R+值函数的可测性。我们定义=(-Sτ-, 1） fτJτ，tk（T），0≤ T≤ T、 （18）bt=（1）- λ） Sτ-, -1） gτJτ，tk（T），0≤ T≤ T.（19）我们称之为过程φ=（φT，φT）0≤T≤Ta可预测的、简单的、自我融资的过程，如果是一个由询价和投标过程组成的有限总和，则为abov e。我们注意到a=（at，at）0≤T≤如果随机变量fτSτ从上方有界，则（16）中定义的Tde是可接受的（在上述定义的任何一种意义上）。关于b=（bt，bt）0≤T≤在（17）中定义，如果gτ有界，则在无干扰意义下是可容许的；如果过程（gτSt）τ<t，则在基于数值的意义上是可容许的≤它是一致有界的。类似的注释适用于（18）和（19）。3度量上的封闭性L.Campi和作者在卡巴诺夫的d维货币市场建模的一般框架中证明了以下引理。这里我们采用了单一风险资产模型的证明。在第2节中，我们假设作为一种定性的——先验的——假设，策略~n=（~n，~n）具有有限的变化。下一个引理提供了对有限变量大小的自动-后验-定量控制。请注意，我们结合了我们假设的较弱版本：关于无套利类型假设，我们仅假设（CP Sλ′）在局部意义上，关于可接受性，我们仅要求它在无数量意义上。引理3.1。设S和0<λ<1如上所述，并假设（CP Sλ′）满足局部意义，对于some 0<λ′<λ。修正M>0。

然后过程的总变化量（φt，φt）为0≤T≤特雷曼在L(Ohm, F、 P），当=（，）贯穿所有M可容许λ-自我融资策略时（在无风险的意义上（15））。更明确地说：对于M>0和ε>0，存在C>0，因此对于所有M-容许的λ-自融资策略（ν，ν），从（ν，ν）=（0，0）开始，所有递增序列0=τ<τ<…<τK=T的停止时间，我们有p“KXk=1 | |τK”- ψτk-1| ≥ C#<ε，（20）P“KXk=1 |ντk- ψτk-1| ≥ C#<ε。（21）证明：如上所述固定0<λ′<λ。假设有一个概率测度Q~ P、 和一个局部Q-鞅（eSt）0≤T≤Tsuch thateSt∈ [(1 - λ′）St，St]。由于thelemma的断言是局部类型的，我们可以通过停止来假设这是一个真正的鞅。我们还可以假设w.l.g.T=0，即库存头寸在时间T清算。固定M>0和λ-自融资，M-容许（在（15）的意义上）过程（φt，φt）t≥0，从（φ，φ）=（0，0）开始。写入φ=φ0，↑- φ0,↓和~n=~n1，↑- φ1,↓作为增长过程的规范差异。我们将证明eq[~n0，↑[T]≤M（1+EQ[ST]）λ- λ′（22）通过а′t定义过程а′=（а）′，（а）′=（ν）′t，（ν）′t=νt+λ- λ′1 - λφ0,↑t、 ~nt, 0≤ T≤ T这是一个交易成本λ′下的自我融资过程：事实上，只要dаt>0，那么dаt=dа0，↑t、 代理人出售库存并收到dа0，↑t=（1）- λ） 标准а1，↓t（分别为1）-λ′）标准φ1，↓t=1-λ′1-λd~n0，↑t） 交易成本λ（分别为λ′）下的许多债券。这两项之间的差异是λ-λ′1-λd~n0，↑T这是λ′-代理比λ-代理做得更好的数量。同样清楚的是，交易成本λ′下的（（ν）′，（ν）′）仍然是可接受的策略（在（15）的无干扰意义上）。根据[S 13]的命题2.3，过程（（ν）′t+（ν）′teSt）0≤T≤T=（（k）′T+k TаSt）0≤T≤T=（ηT+λ）-λ′1-λφ0,↑t+~nt)St）0≤T≤这是一个可选的强Q-超鞅。HenceEQ[~nT+~nTST]+λ-λ′1-λEQ[~n0，↑[T]≤ 0