一个非凸奇异随机控制问题及其最优解

设定值“x:=β”*（c） 在（2.6）中，直接计算得出φλ（\'x）φλ（\'x）=Gx（\'x；c）G（\'x；c）=k（c）\'xk（c）+μθΦ（c）=x- x（c）使c7→Gx（\'x；c）G（\'x；c）在严格地降低。从C7开始→ x（c）是连续的，总是可以将c>c充分地靠近c，使得`x<x（c）<x（c）（因此G（`x；c）<0）和一个findsgx（`x；c）G（`x；c）<φλ（`x）φλ（`x）x）（c-11），因此H（`x；c）>0。因此β*（c） <β*（c） 自x 7以来→ H（x；c）随着x<x（c）而增加。然后是C7→ β*（c） 是一个严格递减的映射。非凸奇异随机控制21我们验证了β的最优性*在下一个定理中，注意到停止时间σ对于（C-1）是最优的当且仅当它对于（2.1）是最优的。定理C.4。边界β*从σ的意义上讲，命题C.3对（C-1）是最优的*of（2.7）是一个最佳停止时间和uβ*≡ u、 证据。候选值函数uβ*（参见（2.5））是这样的，uβ*（·；c）∈ C（R）是命题的。它是凸的。因此它也是非负的，因为uβ*x（β*（c） )；c） =uβ*(β*（c） )；c） =0乘以（2.5）和（2.6）。很容易检查到（LX- λ） uβ*（x；c）=（θu）- k（c）x，x>β*（c） ，0，x≤ β*（c） 。（C-12）我们声称（稍后我们将证明）β*（c） <θuk（c）=：^x（c）（c-13）因此（LX）- λ） uβ*（x；c）≤ θu - k（c）x代表所有x∈ R.固定（x，c）∈ R×[0,1]。现在取R>0，这样β*（c）∈ (-R、 定义τR:=inf{t≥0:Xxt/∈ (-R、 R）}。利用uβ的凸性*（·，c）、It^o-Tanaka公式（例如，见[27]，第3章，第3.6 D节）和我们所拥有的平滑函数原理-λ（τR）∧τ）uβ*（XxτR）∧τ、 c）我≤ uβ*（x，c）+EZτR∧τe-λsθu - k（c）Xxsds, （C-14）对于任意P-a.s.有限停止时间τ≥ 0.现在τR∧ τ ↑ τas R↑ ∞ （C-14）右边期望值内的积分是一致可积的。

然后以极限为R↑ ∞ 用uβ*≥ 我们得到了uβ*（x；c）≥ EZτe-λsθu - k（c）Xxsds.由于τ是任意的，我们可以取所有停止时间的上确界来获得uβ*≥ u、 为了证明逆不等式，我们取τ=σ*在（C-14）中有严格的不等式。然后我们注意到0≤ uβ*（x，c）≤ |G（β）*（c） )；c） |+|G（x；c）|对于x>β*（c） 那件事一再发生E-λτuβ*（Xxτ，c）τ ≥0是一致可积的，e-λσ*uβ*（Xxσ）*; c） =e-λ σ*uβ*(β*（c） ，c）。（C-15）因此→∞Ehe-λ（τR）∧σ*)uβ*（XxτR）∧σ*, c） i=Ehe-λσ*uβ*(β*（c） ，c）i=0，（c-16），在极限值中，我们发现uβ*= u、 为了得出结论，我们只需要证明（C-13）是正确的。设置^x=^x（c）为隐式。我们有h（^x；c）φλ（^x）=k（c）λ+θ-θu（k（c）- θ） λ（λ+θ）φλ（^x）φλ（^x）（C-17）乘以（2.2）、（C-7）和（2.3）；自从九、- λφλ=0和φλ>0我们还有θ（u- ^x）φλ（^x）- λφλ（^x）<0。（C-18）非凸奇异随机控制22如果k（C）≥ θ那么（C-17）的右边是严格正的，β*（c） <^x（c）。另一方面，如果k（c）<θ，那么u- ^x<0，从（C-18）我们得到φ（^x）φ（^x）>λθuk（c）k（c）- θ. （C-19）现在将（C-19）插入（C-17）的右侧，我们发现H（^x；C）/φλ（^x）>0，因此β*（c） <^x（c）。C.2命题2.7的g单调性证明*我们有*t=c+ν*t=c+hg*inf0≤s≤tXxs- 词+≥ G*（Xxt）∧ 1=g*（Xxt），自0≤ G*≤ 1.因此1如下。证明2×ω∈ Ohm 假设对于某些t>0，我们有（C*t（ω），Xxt（ω））∈ C、 i.e.C*t（ω）>g*（Xxt（ω））。我们区分两种情况。如果g*（inf0≤U≤tXxu（ω））≥ c、 我们有g*（inf0≤U≤tXxu（ω））=C*t（ω）>g*（Xxt（ω））然后通过g的单调性*我们有≤U≤tXxu（ω）<Xxt（ω）。通过t7的连续性→ Xxt（ω）我们推导出r7→ inf0≤U≤rXxu（ω）在区间r中是常数∈ [t，t]+（ω） ）对一些人来说(ω) > 0.

如果g*（inf0≤U≤tXxu（ω））<c，我们有c=c*t（ω）>g*（Xxt（ω）），然后再次利用g的单调性和连续性*,而Xxt（ω）的连续性，则存在（ω） >0使得c>g*inf0≤U≤t+（ω） Xxu（ω）所以呢*r（ω）=0表示所有r∈ [0，t+(ω)).总结一下，我们已经证明如果（C*t（ω），Xxt（ω））∈ C然后ν*在t的右（随机）邻域中为常数，建立第二部分。致谢。这项工作是在作者访问波恩大学豪斯多夫数学研究所（HIM）时开始的，该研究所是在“经济学和金融中的随机动力学”项目的框架内进行的。我们感谢他的盛情款待。这项工作的一部分是在第二作者访问曼彻斯特大学数学学院期间进行的。感谢本机构的盛情款待。我们还要感谢G.佩斯基尔、F.里德尔和M.泽沃斯进行了许多有益的讨论。参考文献[1]阿尔瓦雷斯，L.H.R.（1998）。随机波动下的最优收获和临界解，数学。比奥西。152（1），第63-85页。[2] 阿尔瓦雷斯，L.H.R.（1999年）。一类可解的奇异随机控制问题，Stoch。斯托克。众议员67，第83-122页。[3] 阿尔瓦雷斯，L.H.R.（2001年）。奇异随机控制、线性微分和最优停止：一类可解问题，SIAM J.Control Optim。39（6），第1697-1710页。[4] 巴尔杜松，F.M.，伊利诺伊州卡拉萨斯（1997）。不可逆转的投资和产业均衡，金融斯托赫。1，第69-89页。[5] 班克，P.（2005年）。动态燃料约束下的最优控制，SIAM J.ControlOptim。44，第1529-1541页。非凸奇异随机控制23[6]Beneˇs，V.E.，Shepp，L.A.，Witsenhausen，H.s.（1980）。《一些可解的随机控制问题》，随机4，第39-83页。[7] Borodin，A.N.，Salminen，P.（2002年）。布朗运动事实和公式手册第二版。

伯克奥瑟。[8] 贝特曼，H.（1981）。高等教育功能，第二卷。麦格劳·希尔图书公司。[9] Bertola，G.（1998年）。不可逆转的投资，自然经济。52，第3-37页。[10] Chiarolla，M.B.，豪斯曼，U.G.（1994）。单调跟随者的自由边界，SIAM J.Control Optim。32，第690-727页。[11] 周培林，梅纳尔迪，J.L.，罗宾，M.（1985）。有限时域随机线性系统的加性控制，SIAM J.控制优化。23，第858-899页。[12] 戴维斯，M.，泽沃斯，M.（1994）。一个具有任意停止的奇异随机控制问题，Ann。阿普尔。Probab。4（1），第226-240页。[13] 德安吉利斯，T.，法拉利，G.，莫里亚蒂，J.（2014）。一个具有非凸代价的可解二维退化奇异随机控制问题。预印本。arXiv:1411.2428。[14] Dellacherie，C.，Meyer，P.（1978年）。概率和潜力，第一至第四章，北荷兰数学研究29。[15] Dixit，A.K.，平迪克，R.S.（1994）。不确定性下的投资，普林斯顿大学出版社，普林斯顿。[16] El Karoui，N.，Karatzas，I.（1988）。有限燃料的概率方面，反映了跟随者问题。应用数学学报。11，第223-258页。[17] El Karoui，N.，Karatzas，I.（1991）。Skorokhod问题的一种新方法及其应用。斯托克。斯托克。《代表》34，第57-82页。[18] 费德里科，S.，范，H.（2013）。可逆投资问题中最优边界的表征，暹罗J.控制优化。52（4），第2180-2223页。[19] 法拉利G.（2012）。关于随机不可逆投资问题自由边界的积分方程，arXiv:1211.0412v1。安即将报道。阿普尔。Probab。[20] 弗莱明，W.H.，索纳，H.M.（2005）。受控马尔可夫过程和粘性解，第二版。斯普林格。[21]Geman，H.，Roncoroni，A.（2006）。《理解电力价格的精细结构》，J.Business 79（3），pp。

1225-1261.[22]Jeanblanc，M.，Yor，M.，Chesney，M.（2009）。金融市场的数学方法，斯普林格。[23]I.卡拉扎斯（1983年）。一类奇异随机控制问题，Adv.Appl。概率15，第225-254页。[24]Karatzas，I.，Shreve，S.E.（1984）。最优停止和奇异随机控制之间的联系I.单调跟随问题，暹罗J.控制优化。22，第856-877页。非凸奇异随机控制24[25]Karatzas，I.（1985）。有限燃料随机控制的概率方面，Proc。纳特·l·阿卡德。Sci。《美国法典》，82（17），第5579-5581页。[26]Karatzas，I.，Shreve，S.E.（1986）。有限燃料随机控制的等效模型，随机18，第245-276页。[27]Karatzas，I.，Shreve，S.E.（1998）。布朗运动和随机微积分第二版。斯普林格。[28]卡拉扎斯，I.，奥肯，D.，王，H.，泽沃斯，M.（2000年）。具有任意停车的有限燃料奇异控制，Stoch。斯托克。第71页，第1-50页。[29]科比拉，T.O。(1993). 一类涉及奇异控制的可解随机投资问题，Stoch。斯托克。《代表》第43页，第29-63页。[30]Lucia，J.，Schwartz，E.S.（2002年）。电价和电力衍生品：来自北欧电力交易所的证据，修订版。衍生产品决议5（1），第5-50页。[31]Merhi，A.，Zervos，M.（2007）。可逆投资容量扩张模型，暹罗J.控制优化。46（3），第839-876页。[32]Morimoto，H.（2003）。联合控制和停止的变分不等式，SIAMJ。控制Optim。42，第686-708页。[33]Morimoto，H.（2010）。几何布朗运动的任意停止奇异控制问题，SIAM J.控制优化。48（6），第3781-3804页。[34]平迪克，R.S.（1988）。不可逆投资、产能选择和企业价值，Am。经济部。牧师。78，第969-985页。[35]Riedel，F.，Su，X，（2011年）。关于不可逆转的投资，金融斯托克。15（4），第607-633页。[36]斯科罗霍德，A.V。

(1961). 有界区域内扩散过程的随机方程，Probab理论。阿普尔。6，第264-274页。