一个非凸奇异随机控制问题及其最优解

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英文标题：
《A Non Convex Singular Stochastic Control Problem and its Related Optimal
  Stopping Boundaries》
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作者：
Tiziano De Angelis, Giorgio Ferrari, John Moriarty
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Equivalences are known between problems of singular stochastic control (SSC) with convex performance criteria and related questions of optimal stopping, see for example Karatzas and Shreve [SIAM J. Control Optim. 22 (1984)]. The aim of this paper is to investigate how far connections of this type generalise to a non convex problem of purchasing electricity. Where the classical equivalence breaks down we provide alternative connections to optimal stopping problems.   We consider a non convex infinite time horizon SSC problem whose state consists of an uncontrolled diffusion representing a real-valued commodity price, and a controlled increasing bounded process representing an inventory. We analyse the geometry of the action and inaction regions by characterising their (optimal) boundaries. Unlike the case of convex SSC problems we find that the optimal boundaries may be both reflecting and repelling and it is natural to interpret the problem as one of SSC with discretionary stopping.
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中文摘要：
已知具有凸性能标准的奇异随机控制（SSC）问题与最佳停止相关问题之间的等价性，例如参见Karatzas和Shreve[SIAM J.control Optim.22（1984）]。本文的目的是研究这种类型的连接在多大程度上推广到购电的非凸问题。在经典等价性失效的地方，我们提供了最优停止问题的替代连接。我们考虑了一个非凸无限时域SSC问题，其状态由一个代表实值商品价格的非受控扩散和一个代表库存的受控增长有界过程组成。我们通过描述其（最佳）边界来分析行动和不行动区域的几何结构。与凸SSC问题的情况不同，我们发现最优边界可能是反射和排斥的，将该问题解释为具有任意停止的SSC问题是自然的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> A_Non_Convex_Singular_Stochastic_Control_Problem_and_its_Related_Optimal_Stoppin.pdf (694.45 KB)

2022-5-6 05:11:03 上传

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关键词：控制问题 随机控制 最优解 Optimization Quantitative

一个非凸奇异随机控制问题及其最优停止边界*Tiziano De Angelis+乔治·法拉利约翰·莫里亚蒂§2018年8月25日摘要。已知具有凸性能标准的奇异随机控制（SSC）问题与最佳停止相关问题之间的等价性，例如参见Karatzas和Shreve[SIAM J.control Optim.22（1984）]。本文的目的是研究这种类型的远连接如何推广到购电的非凸问题。在经典等价性失效的地方，我们提供了最优停止问题的替代连接。我们考虑了一个非凸有限时间范围内的SSC问题，其状态由代表实际商品价格的非受控扩散和代表库存的受控递增有界过程组成。我们通过描述其（最佳）边界来分析行动和不行动区域的几何结构。与凸SSC问题的情况不同，我们发现最佳边界可能是反射和排斥的，将该问题解释为具有任意停止的SSC问题是很自然的。关键词：有限燃料奇异随机控制；最优停车；自由边界；平滑；Hamilton-Jacobi-Bellmann方程；不可逆转的投资。MSC2010子项目分类：91B70、93E20、60G40、49L20。1简介和问题公式众所周知，性能标准的凸性有助于将某些奇异随机控制问题与最佳停止的相关问题联系起来（参见[16]、[24]和[25]等）。在本文中，我们建立了一个由购电问题驱动的非凸、有限时域、二维退化奇异随机控制问题的多个最优停止连接。

非凸性的产生是因为我们的电价模型考虑了正价格和负价格。我们以随机实值现货价格（Xt）t为模型，对电力购买进行建模≥0用于存储在蓄电池中（例如，电动汽车的蓄电池）。电池必须在随机的终端时间充满，任何不足都可以通过效率较低的充电方法来满足。通过包含终端成本项，即终端现货价格与供应不足的凸函数Φ的乘积，可以捕捉到这一特征。假设*第一和第三作者得到EPSRC资助EP/K00557X/1的支持；第二作者感谢德国研究基金会（DFG）通过授权Ri–1128–4–1提供的财务支持。+英国曼彻斯特牛津路曼彻斯特大学数学学院M13 9PL；蒂齐亚诺。deangelis@manchester.ac.uk——德国比勒菲尔德大学数学经济中心，比勒菲尔德大学，D-33615比勒菲尔德，阿特斯特拉斯25号；乔治。ferrari@uni-比勒菲尔德。英国曼彻斯特牛津路曼彻斯特大学数学学院M13 9PL；厕所。moriarty@manchester.ac.ukNon凸奇异随机控制2a随机终端时间与X无关且呈指数分布，我们在附录A中证明了该优化问题等价于解决以下问题。让λ>0和c∈ [0,1]be常数，{ν：ν∈ Sc}一组有界递增控制（Xxt）t≥从x开始的连续强马尔可夫过程∈ 时间零点的R和表示时间t的存储水平的Cc，νt=c+νt，t≥ 0，（1.1）问题是得出（x，c）：=infν∈ScJx，c（ν），（1.2）带jx，c（ν）：=EZ∞E-λsλXxsΦ（Cc，νs）ds+Z∞E-λsXxsdνs, （1.3）和最小化控制策略*.

值得注意的是，（1.3）中的被积函数可能同时假设正值和负值：从经济角度来看，这与附录A中讨论的原始优化问题中价格在随机终止时间之前或在随机终止时间为负值的可能性一致。与其他商品价格一样，文献中的标准方法是通过几何或算术平均值还原过程（例如，参见[21]或[30]以及其中的参考文献）对电价进行建模。受可再生能源发电放松管制的电力市场的激励，由于实时供需平衡的要求，在该市场中观察到了负电价期，我们假设了一个算术模型。我们假设X遵循标准时间齐次Ornstein-Uhlenbeck过程，具有正的波动率σ、正的调整率θ和正的渐近（或平衡）值u。关于完全概率空间(Ohm, F、 P），其中F:=（英尺）t≥0由一维标准布朗运动（Bt）产生的过滤≥0，并由P-null集扩充，因此我们将xx作为dXxt=θ（u）- Xxt）dt+σdBt，t>0，Xx=x∈ R.（1.4）对于任何初始水平c，我们假设电力存储容量的上限为1（这类似于称为有限燃料约束的aso，参见示例[16]）∈ [0,1]允许的控件集isSc:={ν：Ohm ×R+7→ R+，（νt（ω））t≥0是非减量的、左连续的、与c+νt相适应的（1.5）≤ 1.T≥ 0，ν=0 P- a、 s.}，和νt表示截至时间t的累计购买电量。从现在起，我们对运行成本函数Φ进行以下长期假设。假设1.1。

Φ：R7→ R+位于C（R）中，并且随着Φ（1）=0递减且严格凸。我们注意到，我们没有在假设1.1中涵盖线性运行成本函数的情况，尽管线性情况下的解决方案更简单，并且直接遵循下面第2节和第3节中包含的结果。在这些规范中，问题（1.2）与有限燃料类、单调跟随型奇异随机控制问题（参见[6]、[11]、[16]、[17]、[25]和[26]作为有限燃料单调跟随问题的经典参考文献）具有共同特征。此类问题，包括固定或固定燃料以及控制中凸面（凹面）的运行成本（pro fit）。有关奥恩斯坦-乌伦贝克工艺的一般事实，请参见附录B。非凸奇异随机控制变量，已经被研究了30多年（参见[2]、[3]、[5]、[10]、[16]、[17]、[23]、[24]、[25]和[26]等）。值得注意的是，凸性（或凹性）以及其他更为技术性的条件足以证明此类奇异随机控制问题等价于相关的最优停止问题；此外，最优控制状态过程是在后者的自由边界上解决Skorokhod反射问题（参见[10]、[16]、[24]、[25]和[26]）。在我们的例子中，运行成本中出现的加权函数Φ是严格凸的，边际成本e-λsXxsdνsof在控制变量中是线性的，允许控制集Sc（参见（1.5））是凸的。然而，Ornstein-Uhlenbeck过程Xxof（1.4）可以以正概率假设负值，并且也是运行成本的一个因素，因此总预期成本函数（1.3）在控制变量中不是凸的。

因此，问题（1.2）不再保证[16]、[24]和[25]中提到的奇异随机控制和最优停止之间的联系。我们研究的优化问题（与文献中的许多其他问题一样，参见[18]、[19]、[29]、[31]或[35]）有两个状态变量，一个是独立的，另一个是控制过程，通常称为退化二维。我们的特定问题可以被视为一类一维问题的二维（历史相关）相对问题，例如在阿尔瓦雷斯的一系列论文中进行了研究（参见[1]、[2]和[3]以及其中的参考文献）。后一类问题既不是凸的也不是凹的，在我们找到的解中也观察到了它们所表现出的“临界依赖”。然而，它们的解是根据实轴上的点表示的最佳边界而不是本文研究的自由边界曲线来找到的。一维设置的一个优点是，可以应用一般理论来开发一般扩散过程的解决方案。然而，由于在我们的二维退化环境中需要额外的参数来验证自由边界的最优性，这种普遍性似乎是不可能实现的，我们使用（1.4）给出的特定类别的Ornstein-Uhlenbeck过程。现在，我们简要总结将在第1.1、2、3和4节中详细讨论和证明的主要发现。我们从第1.1节开始，对问题（1.2）进行了有用的重述，该问题是一个具有任意停车的奇异随机控制问题（SSCDS）（见下面的等式（1.9））。据我们所知，SSCDS问题最初是在[12]中提出的。

在那篇论文中，作者的目标是使总预期成本最小化，二次运行成本依赖于一个由有界变化过程线性控制的布朗运动，且控制成本不变。然后在[28]中考虑了有限燃料SSCD的情况，也包括了自由停车时的最终二次成本。[32]和[33]中详细分析了离散停止奇异控制问题中的变分不等式。我们的SSCDS问题（1.2）根据函数k（c）的符号表现出三种状态：=λ+θ+λΦ（c）（1.6）在c上∈ [0, 1]. 我们将展示（第3节），对于固定c，函数k的符号决定了价格水平x与行使控制权对上限（1.2）（相当于上限（1.9））的净贡献之间关系的性质。特别是，当k>0时，这种关系在增加，当k<0时，这种关系在减少。从C7开始→ k（c）通过Φ（参见假设1.1）的严格凸性严格增加定义^c∈ R作为k（c）=0（1.7）的唯一解应该存在，在这种情况下，^c可能属于[0,1]或不属于[0,1]，这取决于Φ的选择和模型参数的值。在第二节中，我们研究了k（c）的情况≥ 0代表全部c∈ [0,1]（因此^c≤ 0，如果存在）。

我们证明，尽管问题（1.2）是非凸的，但最优控制策略表现为非凸奇异随机控制4，就像单调跟随型的凸有限燃料奇异随机控制问题一样（参见[16]、[25]和[26]），因此，（i）最优控制v*属于反射型，是将（最佳）受控状态变量保持在相关最佳停车问题的连续区域闭合范围内的最小影响，直到所有燃料消耗完毕，以及（ii）c变量中的方向导数Ucof（1.2）与相关最佳停车问题的值函数一致。在这种情况下，SSCDS公式（1.9）中没有达到过多的停车时间，这可能被解释为正式的有限最佳停车时间。另一方面，在第3节中，我们假设k（c）≤ 0代表全部c∈ [0,1]（因此^c≥ 1). 在这种情况下，（1.9）中的最优奇异控制策略相同为零，这可能被解释为问题（1.2）成为一个停止问题，在该问题中，在排斥屏障（用[28]的语言）处X的第一次击中时间之前什么都不做，然后执行所有可用的控制是最优的。特别是，在前一个案例中观察到的SSC和最佳停止之间的差异联系在这里进行了分解，据我们所知，这是有关SSC问题的文献中罕见的此类影响的例子。第4节讨论了[0，1]中存在^c的情况。这种情况，通常涉及多个自由边界，是一个悬而未决的问题，尽管我们提到了一篇配套论文[13]中导出的极限情况θ=0（参见（1.4））的完整解。

最后，我们在附录中收集了模型公式、关于Ornstein-Uhlenbeck工艺的一些众所周知的事实以及一些技术结果。在结束本节之前，我们观察到问题（1.2）在经济学文献中也可能是一个具有随机投资成本的不可逆投资问题。众所周知，在存在凸成本标准（或凹成本）的情况下，最优（随机）不可逆投资政策包括将生产能力保持在或高于某一参考水平（参见[9]、[15]和[34]；参见[4]等，了解随机投资成本的情况），最近在[19]和[35]中对其进行了描述指的是基本容量。该指数“t”描述了时间t时的理想产能水平。如果企业的产能Ct>t，那么它将面临产能过剩，应该等待。如果容量低于\'t，则应投资于νt=\'t- 我们的分析表明，在存在非凸成本的情况下，投资仅足以将产能保持在或高于基本产能水平并不总是最佳的。事实上，为了选择合适的参数（^c≤ 0）最优投资政策是一种纯粹的二分法：不投资或全力以赴。另一方面，对于不同的参数选择（^c≥ 1） 无论总预期成本的非凸性如何，基本容量策略都是最优的。据我们所知，这个结果在不确定性下不可逆投资的数学经济学文献中也是一个新颖的结果。1.1任意停车问题在本节中，我们建立了问题（1.2）和具有任意停车的有限燃料奇点随机控制问题之间的等价性（参考[12]和[28]作为本主题的经典参考）。

我们首先观察到，对于固定（x，c）∈ R×[0，1]和任意ν∈ Sc，过程（Xxt）t≥0和过程（Ix，c，νt）t≥0，（Jx，νt）t≥0定义byIx，c，νt:=中兴通讯-λsλXxsΦ（Cc，νs）ds和Jx，νt:=Zte-λsXxsdνs（1.8）分别在L中一致有界(Ohm, P） ，因此是一致可积的。这是Ornstein-Uhlenbeck工艺标准特性（1.4）（见附录B）、假设1.1、有限燃料条件和部件集成的直接结果。非凸奇异随机控制5位置1.2。回顾（1.2）中的U。然后一个有你≡^U与^U（x，c）=infν∈Sc，τ≥0EZτe-λsλXxsΦ（Cc，νs）ds+Zτe-λsXxsdνs+e-λτXxτ（1）- Cc，ντ）（1.9）对于（x，c）∈ R×[0,1]，其中τ必须是P-a.s.有限停止时间。证据修正（x，c）∈ R×[0,1]。取一系列确定的停止时间（tn）n∈n.茅草↑ ∞ 作为n↑ ∞ 在（1.9）中的期望中，使用一致可积性，Xx·，Ix，c，ν·，Jx的左连续性，ν·（参见（1.8））和limn↑∞E[E]-λtnXxtn（1）- Cc，νtn）=0，以获得^U≤ U的极限为n→ ∞. 为了证明逆不等式，对于任何可容许的ν∈ 任何停止时间τ≥ 0组^νt：=νt，t≤ τ,1 - c、 t>τ。（1.10）控制^ν是可容许的，然后从U的定义（参见（1.2））得出U（x，c）≤ Jx，c（^ν）=EZτe-λsλXxsΦ（Cc，νs）ds+Zτe-λsXxsdνs+e-λτXxτ（1）- Cc，ντ）.因为前面的不等式适用于任何容许的ν和任何P-a.s.有限停止时间τ≥ 我们的结论是≤^U，因此U≡^U.由于命题1.2的证明不依赖于特定的成本函数（运行成本和投资成本），因此这些论点适用于更一般的SSC问题。