金融问题强收敛的显式Euler格式

漂移函数f由（Hy2）构成C（D）类，它在区间[ti，ti+1]上的公式简化为f（Yti+1）- f（Yti）=Zti+1tif（Yt）f（Yt）+f（Yt）γ（Yt）dt+Zti+1tif（Yt）γ（Yt）dWt。平方和应用Cauchy-Schwarz不等式|f（Yti+1）- f（Yti）|≤Zti+1tiE“|γ（Yt）f（Yt）|+hf（Yt）f（Yt）+γ（Yt）f（Yt）#dt和（ii）来自（2.6），[ti，ti+1]上的直接积分和求和。23.2收敛结果我们在这里考虑真实过程Y和离散过程^Y之间的离散误差。让我们介绍以下符号：δYi:=Yti-^Yti，δnfi:=fn（Yti）- fn（^Yti），Δγi:=γ（Yti）- γ（^Yti）。（3.2）以下关键命题提供了平方差|δYi |的界，它同时依赖于分区大小和正则性（在（3.1）的意义上），并将在定理3.1中进一步定义。提议3.1。假设（Hy0）和（Hy1）保持不变，那么maxi=0，。。。，氖|δYi|≤ CK（n，q，q）+Rπ[f（Y）]+Rπ[Y], （3.3）式中，q，qare由（Hy1）给出。证据1.我们首先表明，方案和解之间的全局误差由下面定义的局部截断误差之和控制。事实上，观察Yti+1=Yti+fn（Yti）hi+1+\'-γ（Yti）Wi+1+ζdi+1+ζWi+1，对于i≤ N- 式中ζdi+1:=Zti+1ti（f（Yt）- fn（Yti））dt，ζwi+1:=Zti+1ti（γ（Yt）- γ（Yti）dWt=Zti+1ti（γ（Yt）- γ（Yti））dWt。最后一个等式来自这样一个事实：Y取D中的值，并且对于所有i而言，\'γ（Yti）=γ（Yti）≤ N

因此，将差值δYi+1gives |δYi+1 |=|δYi |+2δYiδnfhi+1+2δYiδγiWi+1+2δYiζdi+1+2δYiζWi+1（3.4）+δnfhi+1+δγiWi+1+ζdi+1+ζWi+1 |。使用简单标识Eti2δYiδγiWi+1+2δYiζWi+1= 0和杨氏不等式的一个应用|δYi+1|≤ （1+Ch）E|δYi|+ CE“|Δnfhi+1 |+|Δγi | hi+1++Etiζdi+1|h+|ζdi+1 |+|ζwi+1|#≤1+Ch+CL（n）hE|δYi|+ 行政长官“Etiζdi+1h+|ζdi+1 |+|ζwi+1 |#，因为Fn是单侧Lipschitz连续的（引理2.1），全局Lipschitz连续，Lipschitz常数为L（n），γ是Lipschitz连续的。在（Hp）下，L（n）h≤ C迭代yieldsmaxi=0，。。。，氖|δYi|≤ CnXj=1EEtjhζdjih+|ζdj+|ζwj|(3.5)≤ CnXj=1E“|ζdj | h+|ζwj |#（3.6）2.我们现在提供全局截断的显式误差。由于γ是K-Lipschitz，我们有|ζwi+1|≤ CRti+1tiE|Yt- Yti|dt和hencentxi=1E|ζwi|≤ CRπ[Y]。（3.7）我们现在计算E的上界|ζdi+1|. 自ζdi+1:=Zti+1ti（f（Yt）-fn（Yti））dt=Zti+1ti（f（Yt）-f（Yti））dt+Zti+1ti（f（Yti）-fn（Yti））dt，（3.8）Cauchy-Schwarz不等式yieldsEh |ζdi+1 |i≤ 中国Zti+1tiE|f（Yt）- f（Yti）|dt+hE|f（Yti）- fn（Yti）|,引理3.2意味着E|ζdi+1|≤ Ch（Rti+1tiE）|f（Yt）- f（Yti）|dt+hK（n，q，q））和HPNI=1E|ζdi|≤ C（K（n，q，q）+Rπ[f（Y）]）。将其与（3.6）和（3.7）相结合，得出结论。2标记3.1。用于证明命题3.1的方法特别依赖于（3.4），这将我们的结果限制在Lsetting上。当p>2时，我们将这个结果推广到lp设置，以供进一步研究。获得这样一个扩展将使第4节中的结果得到非常有趣的改进。我们保持了上述结果的一般性，没有先验地假设漂移函数属于C（D）。如果我们考虑常数微分和（Hy2），我们可以使用（3.5）而不是之前证明的第一部分中的（3.6）来恢复更好的上限，并证明一阶强收敛速度。

这将在下面的提案3.2中说明。我们现在陈述我们论文的主要结果，即（3.2）中定义的δyi的强比率。定理3.1。假设（Hy0）成立，那么不等式maxi=0，。。。，nkδYik≤ Cq，qhr（3.9）保持r=min(-βq+2，-αq-2） 通过设置（k，k）=（q+2，q）在（Hy1）下大于0-2） r=min（，q+24β-,Q-24α-) > 通过设置（k，k）=（2β，2α），在（Hy2）下为0。证据1.假设（Hy1）。将引理3.3和引理3.4（i）与（3.3）yieldsmaxi=0，。。。，氖|δYi|≤ C（K（n，q，q）+L（n）h+h）；≤ Cq，q（h1）-2βk+hk（q+2）-2βk+h1-2αk+hk（q-2)-2αk+h）。为了平衡误差项，设置k=q+2和k=q-2.观察到在（Hy1）下，（Hp）适用于此参数选择。因此，我们得到maxi=0，。。。，nkδYik≤ Cq，qhr，r=min(-βq+2，-αq-2） ，r>0.2。假设（Hy2）。引理3.3和引理3.4（ii）（3.3）implemaxi=0，。。。，氖|δYi|≤ C（K（n，q，q）+h）。设置k=2β，k=2α产生最大值=0，。。。，nkδYik≤ Cq，qhr，其中r=min（1/2，q+24β-1/2，q-24α- 1/2). 由于（Hy2）意味着（Hy1），我们观察到r>0。2我们现在陈述与备注2.3中定义的方案扩展相关的收敛结果。推论3.1。假设（Hy0）成立。然后近似值（~Yti）i≤nand（Yti）i≤如备注2.3所示，满意度xi=0，。。。，N基蒂-\'\'Ytik+kYti-~Ytik+kYti-Ytik≤ Cq，qhr，保持r=min(-βq+2，-αq-2） 通过设置（k，k）=（q+2，q）在（Hy1）下大于0-2） r=min（，q+24β-,Q-24α-) > 通过设置（k，k）=（2β，2α），在（Hy2）下为0，其中η：=h2r/qandζ：=h-2r/（q）-2).证据在证明之后，计算左侧三个量的上界。尽管我≤ n、 由于p’Dis 1-Lipschitz连续，我们可以写|Yti-“Yti|= Eh|p|D（Yti）- p’D（^Yti）|i≤ 呃| Yti-^Yti | i=E |δYi |，以及kYti的上界-“-Ytikfollows自定理3.1。现在设置η=h2r/q。

因为我≤ n、 呃| Yti-|i|Yti≤ 2.呃| Yti- p|Dη（Yti）|i+Eh|p|Dη（Yti）- p\'Dη（^Yti）|i≤ 2.呃| Yti- p|Dη（Yti）|i+Eh|Yti-^Yti|i≤ Cq，q呃| Yti- p\'Dη（Yti）|i+h2r, （3.10）其中最后一个不等式来自定理3.1。对引理3.1进行简单的修改，可以得到Eh | Yti- p’Dη（Yti）|i≤ Cqηq，它给出了第二个界。同样，对于我来说≤ n、 平等- pDζ（Yti）|]=E[| Yti- ζ|{Yti>ζ}成立，应用霍尔德不等式得到E[|Yti]- pDζ（Yti）|]≤ Cqζ-（q）-2). 选择ζ=h-2r/（q）-2） 证据结束了。2标记3.2。对于在整条实线上定义的SDE，已使用驯服的显式格式证明了强收敛速度[27,37]。作者假设漂移满足（2.2）和（2.3）局部Lipschitz指数α∈ (0, ∞), β=0，D=R，其差值为K-Lipschitz。在这些假设下，（2.1）有一个独特的解决方案[33]。我们的修改方案和对投影的轻微修改，即pn（x）≡ -nk∨ 十、∧ 这种情况可以适用于本案。我们现在证明，对于经典的Euler格式，如果扩散系数为常数，我们的修正格式可能具有一阶强收敛速度。这在实践中可以观察到，如第5.1节所示。这也表明，当扩散系数不是常数时，类似修改的Milstein方案将具有一阶强收敛速度。提议3.2。假设γ（x）≡ 对于所有x，γ>0∈ D、 而q>6β的（Hy0）- 2和q>6α+2和（Hy2）保持。那么，maxi=0，。。。，NkδYik+kYti-\'\'Ytik+kYti-~Ytik+kYti-Ytik≤ Cq，qh，其中我们设置η：=h2/qandζ：=h-2/（q）-2） 在Y和Y的定义中。证据该证明类似于命题3.1证明中的第2步，但使用了Sharper上界（3.5）。

由于扩散函数是恒定的，Pni=1E|ζwi|isnull，使用（3.8）和引理3.2，我们可以编写|δYi|≤N-1Xi=0E“|ζdi+1 |+（Eti）ζdi+1)h#（3.11）≤ K（n，q，q）+n-1Xi=0E“Zti+1ti（f（Yt）- f（Yti））dt+HEtiZti+1ti（f（Yt）- f（Yti））dt#.此外，它的引理意味着zti+1ti（f（Yt）- f（Yti））dt=Zti+1tiZttif（Yu）f（Yu）+f（Yu）γdu+Zttif（Yu）γdWu我们可以将其重写为zti+1tiZttif（Yu）f（Yu）+f（Yu）γdudt+Zti+1ti（ti+1- t） f（Yt）γdWt。在（Hy2）下，我们很容易得到（3.11）thatmaxiE|δYi|≤ C（K（n，q，q）+h）。然后，通过设置（k，k）=（2β，2α）并使用q>6β这一事实，该命题随后成立- 2和q>6α+2，来自引理3.2。基蒂的声明-“Ytik，kYti-~Ytik，kYti-Ytik，与推论3.1中的论证相同。23.3模式的矩性质为了以后使用，我们证明了我们的近似具有一致有界的二阶矩，这就完成了备注2.4的结果。引理3.5。假设（Hy0）和（Hy1）保持不变。那么，对于q，q由（Hy1）给出，maxi=0，。。。，内伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊提伊≤ 对于Y，ζ：=h-2r/（q）-2） 对于Y，η：=h2r/q，回想备注2.3，r=min(-βq+2，-αq-2） >0，在（Hy2）下r=min（，q+24β）-,Q-24α-) > 0，且q>6β- 2，q>6α+2和γ（·）≡ γ>0，r=1。证据自从|^Yi|≤ 2（| Yti）-^Yti |+|Yti |），（Hy1）和定理3.1暗示着eh | Yti | i≤ 2.呃| Yti-^Yti | i+E|Yti|≤ Cq，q（h2r+1）≤ Cq，qholds适用于任何i≤ n、 这证明了这个说法。“Y”、“Y”和“Y”的陈述来自推论3.1或命题3.2。2我们现在考虑备注2.3中定义的修正Y和Y，并证明它们的一些有限矩或反矩，扩展了之前的结果。提议3.3。

假设（Hy0）保持并让ζ：=h-2r/（q）-2） η：=h2r/q，其中q和qare由（Hy1）给出。（i） 如果（Hy1）成立，那么maxi=0，。。。，奈埃及≤ Cp、q、qfor all p∈ [1，（q- 1) ∨ 2];（ii）如果（Hy1）与q保持一致≥ 4，那么maxi=0，。。。，嗯-ptii≤ Cp、q、qfor all p∈ [1，q- 3].证据1.我们首先证明（i）。我们注意到p的结果∈ [1,2]直接遵循引理3.5。我们现在假设1<p≤ Q- 1，我们引入集合Ai:={Yti≤ ζ} 和Bi:={|δYi |>1}，其中δYi:=Yti- 伊蒂。然后我们观察到Ypti=YptiAci+YptiAi∩Bci+YptiAi∩Biand deal，每个条款分别在右边。自从Yti≤ ζ通过定义，我们计算第一项的EhYptiAcii≤ E伊普蒂≤ Cp.（3.12）表示第二项，如|δYi |≤ 1关于Bci，我们获得了YptiAi∩Bcii≤ Cp（1+E伊普蒂) ≤ Cp.（3.13）对于最后一项，我们首先观察到，对于非负y，yandθ6=1，（y）θ- yθ=θZ(1 - λ） y+λyθ-1dλ（y）- y） 。（3.14）使用上述等式y=Yti，y=Yti和θ=p，我们计算出| 728; Ypti- |≤ Cp（Yp-1ti+Yp-1ti）|δYi |。然后从YptiAi∩Bi≤ Ypti+|Ypti- Ypti|1Ai∩Bi，我们观察到，呃YptiAi∩Bii≤ Cp+Cp（1+ζp）-1） Eh |δYi | 1 |δYi |>1i≤ Cp+Cp（1+ζp）-1） 根据推论3.1，我们得到了EhYptiA∩毕≤ Cp（1+ζp）-1h2r）≤ Cp.（3.15）通过将之前的不等式与（3.12）和（3.13）相结合，得出第一个陈述的证明。2。我们现在证明（ii）。我们假设p∈ [1,3]- 3] 那q≥ 4.我们介绍了set)Ai={Yti≥ η} 和∧Bi={|δ| Yi |>η}，其中δ| Yi:=|Yti- 伊蒂。

我们观察到-pti=~Y-ptiAci+~Y-ptiAi∩~Bci+~Y-ptiAi∩比。我们将分别对出现在上述等式右侧的每一项的期望值进行上界。第一个学期，从Aci开始，Yti≤通过定义，我们得到-ptiAcii≤ 嗯-ptiAcii≤ 第二学期，注意到-~Yti=δYiYtiYti，由（Hy1）计算-ptiAi∩■Bcii≤ CpE“Y-pti+δYiYtiYtip~Ai∩■Bci#≤ Cp，从Ai开始∩~Bci，|δ| Yi |≤ ηandYti≤η. 对于最后一个学期，我们计算了它-ptiAi∩~Bii≤ CpEhY-pti+|Y-pti- Y-pti | 1 | Ai∩通过使用（3.14），我们得到-ptiAi∩~Bii≤ Cp（1+Eh）Y-P-1ti+Y-P-1ti）|δ| Yi | 1 | Ai∩~Bii≤ Cp（1+η）-（p+1））Eh |δYti | 1{|δYi |>η}i.使用Cauchy-Schwarz不等式，然后应用Chebyshev不等式，得到-ptiAi∩~Bii≤ Cp（1+η）-（p+3））h2r≤ Cp，它总结了这一步的证据。24应用作为第一个例子，我们现在将我们的结果应用于文献中广泛使用的各种随机微分方程。4.1 CIR模型我们考虑Feller扩散[14]，定义为唯一的强解todXt=κ（θ）- Xt）dt+ξpXtdWt，X=X>0，（4.1），其中W是布朗运动，κ、θ、ξ是严格正常数参数。该过程广泛应用于数学金融中，既用于利率建模[10]，也用于股票价格过程的瞬时方差[22]。在Feller条件ω：=2κθ/ξ>1下，X几乎肯定是严格正的，这意味着Lamperti变换Y=√X满足度=f（Yt）dt+c dWt，Y=√x> 0，（4.2）其中f（x）≡ a/x+bx，a:=（4κθ）- ξ） /8，b:=-κ/2，c:=ξ/2；（4.3）此外，当伐木条件保持时，a>0。由于X=Y，证明过程Y的离散化方案的收敛速度将允许我们获得过程X的收敛速度。

在下面的推论中，我们应用定理3.1来提供kδYikand kδXik的界，其中δXi:=Xti-^Xti=Yti-^Yti。推论4.1。对于ω>2，maxi=0，。。。，n（kδYik+kδXik）≤ Crhrholds，在哪里R∈,-ω + 1, 如果2<ω≤ 3，r=1/2，如果3<ω≤ 如果ω>5，r=1。（4.4）证据。首先考虑kδYik的界。Y的漂移是单边Lipschitz连续的，局部Lipschitz连续，指数α=0和β=2，扩散是恒定的，因此Lipschitz连续。从[13，第5页]我们知道∈[0，T]E（|Xt|p）<+∞ 对于所有人p>-2κθ/ξ，因此∈[0，T]E（| Yt）|-`) < +∞ 对于所有的`<4κθ/ξ=2ω。（4.5）在2<ω的情况下≤ 3.我们选择q∈ （4,2ω）和fix k=1/（q+2），因此（Hp）保持不变（由于α=0，不需要kis条件）和（Hy1）也保持不变。从定理3.1可以看出，收敛速度由r:=1/2给出-β/（q+2）。我们很容易计算，因为β=2∈ (,-ω+1），取决于q的选择∈ (4, 2ω).现在考虑情况3<ω。我们计算E（|f（Yt）f（Yt）+cf（Yt）|）≤CE（|Yt |+|Yt）|-6) ≤ 等等。将前面的不等式与（4.5）相结合，我们得到了（Hy2）成立的条件。如果3<ω≤ 5，fix q∈ （6，2ω）设k=1/4，则r=min（1/2，（q+2）/8-1/2）=定理3.1中的1/2。ω>5的情况直接遵循命题3.2，因为存在一个q∈ （10，2ω）使得EhY-qti<∞ 无论如何∈ [0，T]乘以（4.5）。现在我们证明了差异δXi的推论。Cauchy-Schwarz不等式和上述结果意味着[|δXi |]=Eh |（Yti-^Yti（Yti+^Yti）|i≤rE（|δYi |）Eh | Yti+^Yti | i≤ CrhrqE（|Yti |）+E（|^Yti |）≤ Crhr，因为E（|Yti|）和E（|Yti|）是[24，引理3.2]和引理3.5]的定义。2定义δXi:=Xti-Xti，其中Xti:=Yti，回想备注2.3。我们现在考虑过程X的离散格式收敛的一般1+ε-范数。推论4.2。假设ω>2和fixε≥ 0

然后最大值=0，。。。，nkδXik1+ε≤ Cr，εhr/（1+ε），定义如（4.4）所示，其中我们设置ζ：=h-2rq-2，q=3+4 在X=Yin的定义中，注释2.3。证据尽管我≥ 0，我们有kδXik1+ε1+ε=Eh | Xti-Xti | 1+εi=Eh | Yti-Yti | | Yti-Yti |ε| Yti+Yti | 1+εi≤ 基蒂-YtiksE|Yti |+|Yti|2+4ε.从（4.5）中，我们得到了E|Yti | 2+4ε< C. 同样地，由于Eh|Yti|qi+∞, 我们从命题3.3（i）中得出，Eh |Yti | 2+4εi<Cr，ε。这个矩界，加上推论3.1（或命题3.2，当r=1）和上述不等式，导致tokδXik1+ε1+ε≤ Cr，εhr。2标记4.1。据我们所知，在[28]中，使用隐式Euler格式获得了参数ω范围内的最佳收敛结果，另见其中的参考文献。在本文中，ω属于（0.5，∞) 而我们的结果对ω是有效的∈ (2, ∞). 我们的方案的主要优点是其明确的性质，允许我们检索非常数系数的收敛结果，如下一节所示。在这方面，我们还要提到最近关于对称性Milstein方案的论文[7]。4.2局部光滑系数我们现在考虑一个形式为（2.4）的随机微分方程，具有漂移函数u（x）≡ u（x）- u（x）x，其中u，u：D→ R、 扩散函数σ（x）≡ γxν，其中γ>0且ν∈ [1/2, 1]. 该模型包括费勒扩散模型（见第4.1节）和CEV模型[11]，两者都广泛用于数学金融。对于特殊情况ν=1，扩散函数为K-Lipschitz，只要漂移函数u的（2.2）和（2.3）保持不变，我们的方案就直接适用于过程X。我们现在关注的是案件∈ [1/2,1]兰帕蒂变换读取F（x）≡Rxdy/σ（y）≡γ(1-ν） x1-ν、 带逆F-1（y）≡ [γ(1 - ν） y]1-ν. 过程Y=F（X）是dYt=F（Yt）dt+dWt的解，其中Y=F（X）和F（Y）≡uF-1（y）σ（F）-1（y））-σF-1（y）.

（4.6）为了使函数u和σ满足所需条件，我们假设：（Hs0）：ν∈ [1/2,1]和u，u是有界的，属于Cb（D）和limx↑+∞u（x）≥ 0.对于参数ν：（Hs1）：ν，我们区分了两种情况∈ （1/2,1）和u（0）>0。（Hs2）：ν=1/2，存在¨x>0，使得2u（x）/γ≥ 1对于所有的0<x<x，我们现在证明一个收敛速度，作为定理3.1的推论。命题4.1（局部光滑系数）。假设（Hs0）成立。那么，maxi=0，。。。，NkδYik+kδXik+kδXik1+1+≤ Cr，人力资源部， ≥ 0，用1。如果（Hs1）保持不变，r=1.2。如果（Hs2）和2u（0）/γ=：ω>3保持，r∈ (, 1/2 - 1/ω）如果3<ω≤ 4，r=1/2if 4<ω≤ 如果ω>6，r=1。在这两种情况下，我们设置ζ：=h-2rq-2，q=3+4 在定义X=Y时，重新定义备注2.3。证据在[12，命题3.1]中，De Marco证明了在（Hs0）下，（2.4）存在一个唯一的强解，它保持在[0，∞) 几乎可以肯定。此外，他还表明（Hs1）和（Hs2）进一步暗示P（τ=∞) = 1，其中τ是过程X第一次达到零的时间。我们记得，一旦我们进行了兰帕蒂变换，扩散函数是一个常数。我们将证明分为几个部分：在（i）中，我们证明了漂移函数f是单边ipschitz连续的；在（ii）中，我们证明f是局部Lipschitz连续的，henceconclude证明（2.2）和（2.3）成立。这是基于对（4.6）中f.（i）的导数的直接研究得出的结论，对于所有x∈ D、 f（x）=μ（x）-νa)u（x）x-1.-ν- a|u（x）x1-ν- (1 - ν） u（x）+ν2（1）- ν） x-2，（4.7）式中a=[γ（1- ν)]1-对于g=u、u、u或u，我们设置＠g（x）：=go F-1（x）=g（ax1-ν） ，为了所有的x∈ D.如果ν∈ （，1），在（Hs0）和（Hs1）下，我们有那个酸橙→+∞f（y）=-∞ （从那时起）≥ 0）和limy→0f（y）=-∞ 同样（因为u（0）>0和ν>）。如果ν=，在（Hs0）和（Hs2）下，我们从与之前thatlimy相同的参数推导→+∞f（y）=-∞.