金融问题强收敛的显式Euler格式

在这种情况下，我们得到limy→0f（y）=-∞ 因为u（0）γ≥.（ii）我们现在证明f是局部Lipschitz连续的。根据（4.7）和关于u、u、u和u的边界假设，我们得到| f（x）|≤ C（1+x1）-ν+x-1.-ν+x-2） ，为了所有的x∈ D观察这一点∈ [1]，x-2.≤ 1+x-1.-ν、 为了所有的x∈ D、 我们得到f是局部Lipschitz连续的，α=β=1/（1）- ν).将此与（i）结合起来，我们可以得出（2.2）和（2.3）成立的结论。现在我们证明推论中的陈述1和陈述2。1） 假设（Hs1）。因为局部Lipschitz指数是α=β=1/（1）- ν） ，fix k=k=（1）- ν） /2，因此（Hp）保持不变。根据[12]，E（监督）∈[0，T]| Xpt |）和E（支持）∈[0，T]| Xt|-p） 对所有p>0的情况都是确定的；因此，E（支持）∈[0，T]| Yt|-q） 对于所有元素，maq>1。我们注意到f属于C（D）类，而（Hy2）成立，因此r=1来自命题3.2。kδXik1语句的证明+根据推论4.2.2）证明中的相同公式，假设（Hs2）成立，并让2u（0）/γ=：ω>3。这里，α=0，β=0。那么maxt∈[0，T]E（|Xt）|-p） 对于所有p<ω- 1[12，引理3.1]，依此类推∈[0，T]E（| Yt）|-`) 对于所有`<2（ω）- 1). 修正q∈ (4, 2(ω - 1） ）并设置k=1/（q+2），使其保持（Hp）和（Hy1）。根据定理3.1，r=1/2-β/（q+2）∈ (,-ω） 坚持住。进一步假设4<ω≤ 6.注意漂移函数f属于C（D）类。修正q∈ （8，2ω）和k=1/4，所以（Hp）保持不变。通过对参数的假设，可以得出∈[0，T]E（| Yt）|-6） =最大值∈[0，T]E（|Xt）|-3） 是有限的，因此（Hy2）成立。根据定理3.1，r=min（1/2，（q+2）/8- 1/2) > 1/2.最后，在ω>6的情况下，我们可以应用命题3.2，得出r=1的结论。kδXik1语句的证明+与推论4.2中的论点相同。2在CIR模型中，我们使用[13]中过程Y的有限反矩，得到了3<ω<5的r=1/2。

对于命题4.1中的一般情况，我们假设r=1/2时4<ω<6。在下一个推论中，我们施加额外的假设，以恢复与前一节中伐木差异相同的参数约束。提议4.2。假设（Hs0）和（Hs2）。此外，让我们*, B*> 0应为u（x）≥ A.*和u（x）≤ B*为了所有的x∈ D=（0，∞). 那么，maxi=0，。。。，NkδYik+kδXik+kδXk1+1+≤ Cr，人力资源部， ≥ 0，如果3<ω：=2u（0）/γ，则r=1/2≤ 如果ω>5，r=1。我们设置ζ：=h-2rq-2，q=3+4 在定义X=Y时，回想备注2.3。证据根据对u和u的假设，存在*, B*> 0，以使其不合格u（x）- u（x）x≥ A.*- B*x位于域D中。我们将Z定义为带有漂移a的过程*- B*x（而不是u（x）- u（x）x）和扩散σ（x）≡ γx1/2。因此，根据比较定理（见[30，第5.2节]），不等式Xt≥ ZTT适用于所有人∈ [0，T]几乎可以肯定，因此E（| Xt|-p）≤ E（| Zt）|-p） 对于所有p>0的情况都是如此。现在，Z显然是一个Feller微分，根据ω的假设，它遵循maxt∈[0，T]E（| Zt）|-3） 现在是最后一天。结果直接来自推论4.1的第二部分。kδXik1语句的证明+与推论4.2中的论点相同。24.3 3/2模型3/2过程X=（Xt）t≥0[23]是XT=cXt（c）的解决方案- Xt）dt+cX3/2tdWt，X=X>0，（4.8），c，c>0。引入量ω：=2+2c/c。伐木扩散和3/2过程的关系如下：图F（y）≡ Y-1/2产生的CIR过程Y:=F（X），如（4.2）和（4.3）所示，参数a:=（4c+3c）/8，b:=-cc/2和c:=-c/2。存在性和唯一性可以从Feller扩散和maxt的性质中得到∈[0，T]E（|Xt | p）是所有p<ω的定义。推论4.3（3/2模型）。让Y:=X-1/2.

那么，maxi=0，。。。，nkδYik≤ Chr，withr∈ (,-w+1）如果ω∈ （2,3），如果3<ω，r=1/2≤ 如果ω>5，r=1。证据根据CIR系数，我们有ω=2+2c/c=2κθ/ξ。我们直接应用推论4.1来获得期望的结果。2我们现在使用修正X（回忆备注2.3）为3/2过程X建立一个收敛结果。提案4.3。设ω>3和fixε≥ 如果3+2ε<ω，那么max=0，。。。，nkXti-~Xtik1+ε≤ Cr，εhr2（1+ε），ω的r=1/2≤ ω>5时r=1，其中η=hr/（2ω）。证据接下来就是Kxti-~Xtik1+ε1+ε=Eh | Xti-~Xti | 1+εi=E|Yti-~Yti | 1+ε= E“（Yti）-~Yti）（Yti+~Yti）Yti~Yti1+ε#≤ 基蒂-~YtiksE（Yti+~Yti）2+4ε| Yti | 4+4ε| Y4+4εti≤ CεkY-~Y krEh | Y | | Y4+4ε+| Y | 4+4ε| yi，我们使用杨氏不等式得到最后一个不等式。我们现在开始计算-~Xtik1+ε1+ε≤ CεkYti-| YtikrEh | | Yti∧ Yti|-（6+4ε）i≤ CεkYti-~YtikrEh | Yti|-（6+4ε）+|Yti|-（6+4ε）i.由于3+2ε<ω，因此E|Yti|-(6+4ε)以常数为界。此外，对于η=hr/（2ω）（q是这样的，q<2ω），可以得出Eh | | Yti|-（6+4ε）i≤ η-（6+4ε），因此|-（6+4ε）i≤ Cε，ωh-r/2，与3+2ε<ω和推论3一起。1（或命题3.2，如果r=1），得出结论。2标记4.2。最后一个推论证明了3/2模型的Lp界（p>1），并改进了现有文献中ω>3的强收敛速度。更具体地说，在L-情况下，Neuenkirch和Szpruch[34，命题3.2]显示了ω>12时使用漂移隐式格式的收敛速度，Sabanis[36，定理2]给出了ω的收敛速度0.5∈ (6, ∞). 对于这些，ω-4的收敛速度也提高了∈ （5，6）。或者，我们确实可以使用命题3.3来获得更高的收敛速度，但是所需的参数ω更大：推论4.4。让ω>9+4ε∨ 5对于某些固定ε≥ 0.然后最大值=0，。。。，nkXti-~Xtik1+ε≤ Cε，ωh1/（1+ε）。证据

根据命题4.3证明中的计算，我们得到了kxti-~Xtik1+ε1+ε≤ CεkYti-~YtikrEh | Yti|-（6+4ε）+Eh |Yti|-（6+4ε）ii；使用命题3.3（ii），术语Eh | | Yti|-（6+4ε）iI由一个依赖于ω和ε的常数限定，因为6+4ε<q- 3 < 2ω - 3.此外，由于ω>5，我们得到了thatkYti-~Ytik≤ Ch，来自（4.4）和与命题3.2.4.4的证明相同的论点，在Ait-Sahalia利率模型[2]中，X是下一步的解决方案=A.-1Xt- a+aXt- aX%tdt+γXρtdWt，X=X>0，（4.9），其中所有常数参数均为非负，ρ，%>1。从[38]可知，（0，∞), 兰帕蒂变换Y:=X1-ρsatis fiesdyt=f（Yt）dt+（1-ρ） γdWt，Y=x1-ρ> 0，（4.10）带f（x）≡ (1 - ρ)A.-1x-1.-ρ1-ρ- 斧头-ρ1-ρ+ax- 斧头-ρ+%1-ρ-ργx-1..推论4.5。如果%+1>2ρ，那么maxi=0，。。。，nkδYik≤ Ch.证明。直接差异收益SF（x）=-A.-1（1+ρ）xρ-1+aρxρ-1+a（1- ρ) -a(-ρ+%）x-R-1ρ-1.-ργ(ρ - 1） x-2.我们有limx↓0f（x）=limx↑∞f（x）=-∞, 因此sup0<x<∞f（x）是连续的，因此f是单面Lipschitz连续的。此外| f（x）|≤ C（1+xρ）-1+x-%-1ρ-1） 当x>0时，f是局部Lipschitz连续的，α=2/（ρ）- 1） β=（%-1)/(ρ -1). 这种差异是恒定的，因此Lipschitz是连续的。使用漂移的locallyLipschitz连续性质，fix k=1/（2β）和k=1/（2α）。我们重新定义，如果%+1>2ρ，那么maxt∈[0，T]E（|Xt | p）和maxt∈[0，T]E（|Xt）|-p） 对于Allp6=0[38，引理2.1]是有限的，所以（Hy1）成立。差异收益sf（x）=-2a-1(ρ + 1)ρ - 1x3-ρρ-1+aρ- 1x2-ρρ-1+a(-ρ + %)(% -1)ρ - 1x-%+ρ-2ρ-1+ ργ(ρ -1） x-3.由于f属于C（D）且（2.6）由[38，引理2.3]确定，那么（Hy2）成立。固定q>6β-2和q>6α+2。然后，通过命题3.2，证明了该陈述。2我们现在计算Ait Sahalia过程X的强收敛速度。

我们需要控制近似值在0和at附近的行为∞. 为了做到这一点，我们引入了修正系数Xti:=Y1-ρ式中，ˇYti=p\'Dηo pDζ（^Yti）=pˋDη，ζ（^Yti），η和ζ将在稍后确定。推论4.6。如果%+1>2ρ，那么 ≥ 0，最大值=0，。。。，nkXti-ˇXtik1+≤ Ch1+η：=h2/q，ζ=h-Q-2和q=3+4ρ（1+)/(1 - ρ） ，q=4 + 1.证据。命题3.3 yieldsE[|Δ|Xti | 1]的类似方法+] ≤ CEh | Yti | 4ρ（1）+)/(1-ρ） +| Yti | 4+ |ˇYti | 4ρ（1）+)/(1-ρ） +||Yti|4我（E |Δ|Yti |），其中Δ|Xti=Xti-XtiandΔYti=Yti-ˇYti。由于ρ>1和%+1>2ρ，E[|Yti | 4ρ（1+)/(1-ρ） +| Yti | 4] 现在是最后一天。注意到这一点≤Y+η，Y≤~Y+ζ，利用命题3.3，我们得到E|ˇYti | 4ρ（1）+)/(1-ρ） +||Yti|4≤ C.此外，我们计算| Yti-ˇYti|≤ |Yti- p\'Dη（Yti）|+|p\'Dη（Yti）- p’Dηo pDζ（^Yti）|≤ |Yti- p\'Dη（Yti）|+|Yti- pDζ（Yti）|+|Yti-^Yti|忆及pDη和pDζ是1-Lipschitz。使用类似于循环3.1证明中的参数，我们得到（E |Δ|Yti |）≤ 结果如下。2标记4.3。在[34]中，作者使用隐式格式证明了参数相同时的一阶L-收敛速度。5数值结果在本节中，我们通过数值证实了CIR模型、带乘性噪声的一维随机Ginzburg-Landau方程和Ait-Sahalia模型的修正欧拉模式的强收敛速度。对于过程X，用^X（j）T表示时间T处的修正Euler Maruyama近似，用X（j）T表示闭式解（或参考解），使用相同的布朗运动路径（jthpath）。经验平均绝对误差E定义为：=MMXj=1 | X（j）T-^X（j）T |，在M个样本路径上，我们将其设置为M=10000。对于不同的N值，使用等距时间网格，步长h:=T/2N。

通过在对数尺度上绘制E与离散化步数的关系图来计算强错误率，然后使用线性回归来检索强收敛率r。5.1 CIR模型Lamperti变换漂移隐式平方根Euler方法（见[13,34]）为i=0，N- 1 byYti+1=Yti+cWi+12（1）- bhi+1+s（Yti+c）Wi+1）4（1）- bhi+1）+ahi+11- bhi+1，Y=√x> 0，在（4.3）中定义了a、b、c。通过设置Xti=YTI来恢复CIR/Feller差异≤ n、 我们将修改后的显式Euler格式与作为参考解的隐式格式（具有大量时间步长）进行了比较。我们计算了CIR过程的强收敛速度，其中隐式模式被用作参考解。集合（κ，θ，ξ，T，x）=（0.125ω，1，0.5，1，1），例如2κθ/ξ=ω。考虑了ω=（1,1.5,2,2.5,3,3.5,4）情况。使用N=12计算参考解。图1显示了CIR过程的收敛速度r，根据推论4.1，在修正方案中k=1/4。在推论中，我们证明了当3<ω时，1/2的强收敛速度≤ ω>5时，andr=1。确定系数R，图1:CIR模型：E相对于步数（对数标度）的优度。直线，所有ω都在0.998以上。我们观察到，ω>1的格式在数值上达到了1阶，这比我们证明的界要好。备注5.1。定义2.1中引入的预测值可以修改为pn（x）：=Ln-K∨十、∧当L，U>0时，适当选择常数。如果过程具有极端初始条件或平均状态，并且不影响收敛结果，则这是有益的。对于小x，直观地使用备注5.1中的投影来实现快速收敛（尽管不影响渐近行为）。

设置（κ，θ，ξ，T）=（0.375,1,0.5,1），使得2κθ/ξ=3。在图2中，我们让x在0.05和1之间变化。2以0.05为增量。我们使用投影pn（x）=n来比较k=1/4时获得的误差-K∨x和pn（x）=√xn-K∨x、 通过使用投影pn，小x.5.2 Ginzburg-Landau方程可以获得较小的误差考虑一维随机Ginzburg-Landau SDE[32，第4章]，其中过程x是下一步的唯一强解=-Xt+λ +σXtdt+σXtdWt，X=X>0，对于λ，σ≥ 0，它允许闭式解xt=xexp（λt+σWt）q1+2xRtexp（2λs+2σWs）ds。（5.1）图2：N=10的绝对误差（对数标度）。本SDE是Ait Sahalia过程的一个特例（a-1，a，a，a，%，ρ）=（0，0，λ+σ/2，1，3，1）。对于这种参数选择，%+1>2ρ，因此所有t∈ [0，T]，溶液停留在（0，∞) 几乎可以肯定。漂移函数满足（2.2），其中（α，β）=（2，0），例如在修改方案中设置k=1/4。此外，漂移是单侧Lipschitz连续的，扩散是单侧Lipschitz连续的。因此，这个例子的理论收敛性可以在速率r=1时得到，也可以在备注3.2中得到。Ginzburg-Landau强收敛：对于这种SDE，在定义E时使用封闭形式的解来计算强收敛率r。图3显示了使用修正方案的平均绝对误差E，参数（σ，λ，T，x）=（1，1/2，1，1）。经验速率达到0.53（与standardEuler方案相同），低于预测速率1。这可以解释，因为我们将（5.1）中的积分近似为求和。Ginzburg-Landau-Euler-Maruyama发散：我们考虑了Ginzburg-Landau SDE的一个例子，其中标准Euler-Maruyama格式发散，并将结果与修改的显式格式进行比较。

固定参数（σ，λ，T，x）=（7，0，3，1），如[26]所示，作者证明了经典的力矩爆炸-10-9-8.-7.-6.-5.-4.-3.-2.-10N，其中2N步使用平均绝对误差（对数2标度）E-M与真解（2N）：平均绝对误差[re，rm]=[0.53082,0.53082]。M=100。经典欧拉修正欧拉图3:Ginzburg-Landau模型：平均绝对误差E vs N（对数标度）。Euler Maruyama方案，见[26，表1]。图4显示了classical4 6 10 12 16 18的错误E-505101520N，其中2N步使用平均绝对误差（对数2标度）E-M与真解（2N）：平均绝对误差，rm=0.43004。M=100。经典欧拉修正欧拉图4：平均绝对误差E与步数（对数标度）。对于不同的N，修改后的方案。对于修改后的方案，设置k=1/4。改进的欧拉格式收敛速度rm=0.43。对于一系列步长，经典Euler格式会爆炸，如[26]中所证明的那样（注意：图中非常大且NaN值设置为2，以说明经典格式的爆炸）。改进后的方案似乎更加稳健。5.3 Ait-Sahalia模型Ait-Sahalia模型的强收敛速度是使用大量步骤的参考解计算的。考虑参数（a）-1，a，a，a，γ，x）=（1，1，1，1，1，1），和（%，ρ，T）=（2，3/2，1）。从这些参数中，注意α=4和β=2。固定k和k，使2βk=1和2αk=1，使（Hy1）保持不变。图5显示了E与步骤数（对数图）的对比，其中2个步骤用于参考解决方案。

Ait Sahalia的经验收敛速度r=1.25可以通过我们使用参考溶液而非真实溶液的事实来证明。图5:Ait-Sahalia模型：平均绝对误差vs N（对数标度）。5.4 mlmc我们结合了修正的欧拉方案和Giles引入的多级蒙特卡罗方法[16,18]。最初的论文侧重于近似Lipschitz连续支付的预期值。MLMC方法也适用于数字、回溯和障碍期权[17]。多模式MLMC技术使用不同的分离方案，以进一步提高计算效率[1]。MLMC技术的使用也被用于计算希腊语[9]。我们的目标是期权价格的均方根误差（RMSE）为O（ε）。使用统一的Maruyama方案，期权价格的均方误差为C/N+Ch，其中N是蒙特卡罗路径数，h是离散化的步长。通过选择n:=O（ε）-2） ，h:=O（ε），总成本为O（ε）-3).MLMC背后的想法是在不同的模拟水平上使用不同的时间步。我们将每一级的时间步数增加一个因子M，其中l级使用大小为hl:=T/Ml的Mlsteps。我们将PLL定义为l级支付的数值近似值，对于l=0，五十、 其中L是最大级别数。通过期望算子的线性，我们注意到E[PL]=E[P]+LXl=1E[PL- Pl-1] ，（5.2）其中l级和l级的支付近似差异- 1是对两个层次的相同布朗路径的估计。支付差异的方差，Vl:=V（Pl- Pl-1） ，随着级别的增加而迅速降低，并且已经证明对于Lipschitz连续支付的欧式期权，VL收敛到零的速度与方案的强收敛速度一样快。在每一层l上，我们模拟NLPATH并估计E[Pl]- Pl-1].

多水平估计的方差为1/NlPLl=0Vl，Nl:=C√VLHL将计算成本降至最低[16]，以实现O（ε）的RMSE。MLMC技术需要很强的收敛速度，而复杂性定理为MLMC方法的计算成本提供了一个普遍的结果[16]。MLMC方法已经被证明可以提高计算效率，使用一个统一的Maruyama离散化来ε-2（对数ε）, O（ε）-2） 对于Milstein方案[16,15]。CIR模型ZCB：我们考虑过程（vt）的Cox-Ingersoll-Ross模型（4.1）≥0; 到期日为T的零息债券（ZCB）的价格，时间为T，readsB（T，T）=E经验-ZTtvsds英尺,它允许一个封闭形式的解[10,8]。时间零点的解是B（0，T）=A exp(-式中∧：=pκ+2ξ和：=2∧exp[（κ+λ）T/2]2∧+（κ+λ）（exp T∧- 1)2κθ/ξ，C:=2（exp（T∧）- 1） 2∧+（κ+λ）（exp（T∧）- 1).我们考虑一个参数为（κ，θ，ξ，v，T）=（2,1,0.5,1,1），（N，M，L）=（2000000,4,5）和RMSE阈值（0.001,0.0005,0.0002,0.0001,0.00005）的CIR模型-12-10-8.-6.-4.-20llogM损益和损益差异- Pl-1 PlPl- Pl-10 1 2 3 4 5-12-10-8.-6.-4.-20llogM |平均值|损益和损益的平均值- Pl-1 PlPl- Pl-不同εε=0.00005ε=0.0001ε=0.0002ε=0.0005ε=0.00110的每级LNLRUNS Nl-410-3100101102103ε2成本节约率成本与目标误差标准MCMLMCF图6:CIR模型，以及使用MLMC的ZCB定价。在图6中，我们计算了ZCB的标准蒙特卡罗和MLMC近似值。第一个图显示了计划的近似值的平均方差。差异Pl-Pl-1.观察到差异方差的下降速度大约是Euler格式弱收敛速度的两倍。此外，PLI的方差渐近为常数。第二个图显示了Pland的平均值和PL的平均值-Pl-1.