金融问题强收敛的显式Euler格式

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英文标题：
《An explicit Euler scheme with strong rate of convergence for financial
  SDEs with non-Lipschitz coefficients》
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作者：
Jean-Francois Chassagneux, Antoine Jacquier, Ivo Mihaylov
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider the approximation of stochastic differential equations (SDEs) with non-Lipschitz drift or diffusion coefficients. We present a modified explicit Euler-Maruyama discretisation scheme that allows us to prove strong convergence, with a rate. Under some regularity and integrability conditions, we obtain the optimal strong error rate. We apply this scheme to SDEs widely used in the mathematical finance literature, including the Cox-Ingersoll-Ross~(CIR), the 3/2 and the Ait-Sahalia models, as well as a family of mean-reverting processes with locally smooth coefficients. We numerically illustrate the strong convergence of the scheme and demonstrate its efficiency in a multilevel Monte Carlo setting.
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中文摘要：
我们考虑具有非Lipschitz漂移或扩散系数的随机微分方程（SDE）的逼近。我们提出了一种改进的显式Euler-Maruyama离散格式，该格式允许我们证明强收敛性，且收敛速度很快。在一定的正则性和可积性条件下，我们得到了最优的强错误率。我们将此方案应用于数学金融文献中广泛使用的SDE，包括Cox-Ingersoll-Ross~（CIR）、3/2和Ait-Sahalia模型，以及一系列具有局部光滑系数的均值回复过程。我们用数值方法证明了该格式的强收敛性，并在多级蒙特卡罗环境下证明了其有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> An_explicit_Euler_scheme_with_strong_rate_of_convergence_for_financial_SDEs_with.pdf (689.8 KB)

2022-5-6 05:32:02 上传

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关键词：Euler 金融问题 coefficients Quantitative Applications

非Lipschitz系数金融SDE的强收敛率显式Euler格式Jean-Francois Chassagneuxlaboratoroire de Probabilités et Modèles AléatoiresCNRS，UMR 7599，巴黎迪德罗特让·弗朗索瓦大学。chassagneux@univ-巴黎狄德罗。弗朗托妮·杰奎尔伦敦多纳数学学院。jacquier@imperial.ac.ukIvo米哈伊洛夫伦敦大学数学系。mihaylov06@imperial.ac.ukNovember8，2018Abstracts我们考虑用非Lipschitz漂移或扩散系数逼近随机微分方程（SDE）。我们提出了一种改进的显式EulerMaruyama离散化方案，该方案允许我们证明强收敛性，且具有一定的收敛速度。在一定的正则性和可积性条件下，我们得到了最优强错误率。我们将此方案应用于数学金融文献中广泛使用的SDE，包括Cox-Ingersoll-Ross（CIR）、3/2和AitSahalia模型，以及一系列具有局部光滑系数的均值回复过程。我们用数值方法证明了该格式的强收敛性，并在多层蒙特卡罗环境下证明了其有效性。关键词：随机微分方程，非Lipschitz系数，带投影的显式EulerMaruyama格式，CIR模型，Ait-Sahalia模型，多层蒙特卡罗。理学硕士分类（2000）：60H10、65J15、91G60。1简介数学金融的主要任务之一是评估复杂的衍生产品，其中基础资产由多维SDE建模，而多维SDE很少使用封闭形式的解决方案。

因此，需要蒙特卡罗技术来估算这些价格，格拉斯曼的书[19]已成为全面概述此类方法及其在金融工程中应用的主要参考。SDE离散格式的经典弱收敛和强收敛结果假设漂移和扩散系数是全局Lipschitz连续的[32]；然而，文献中使用的许多模型，如CIR、CEV、Ait-Sahalia模型，违反了这一假设。出于定价目的，弱误差通常是有效的，但在使用多级蒙特卡罗方法（MLMC）时，需要有强收敛速度，以优化计算复杂性[16,17]。在传统的Euler-Maruyama离散格式中，近似可能会逃出SDE真解的范围。近年来，很多工作都集中在推导具有非Lipschitz连续系数的SDE的限制域方案[4,5,6,24,27,34]。引入了一些修正，如漂移隐式[13]和增量驯服显式欧拉模式[25，定理3.15]；在数学金融的背景下，可以在[31]中找到对这些问题的全面概述。现在一个经典的技巧是应用合适的Lamperti变换，以获得具有恒定扩散系数的anSDE，从而将所有非平滑转换为漂移。

在非全局Lipschitz系数的情况下，Alfonsi[3]引入的这一思想在[4,34]中得到了进一步的利用，以获得隐式“Lamperti-Euler”格式的强Lp收敛速度，特别是对于CIR和Ait-Sahaliamodels，以及对于单侧Lipschitz连续漂移和恒定扩散的标量SDE[34]。在充分可微的条件下，ψ>0阶的修正It^o-Taylor格式[29]提供了ψ阶的路径收敛结果-ε（对于任意小的ε>0）。这种方法依赖于类似于[20]中的局部化论证，在离散化过程退出子域时选择辅助裂缝和扩散函数。对于不规则系数，在[20,21,39,35]中更严格的条件下获得了一些强收敛速度。受这些不同方法的激励，我们的主要贡献是为具有非全局Lipschitz系数的SDE提供有效的数值近似。我们首先给出了一个显式Euler格式，该格式具有局部Lipschitz和全局单边Lipschitz漂移系数的SDE投影，其计算量与显式Euler-Maruyama格式相同。我们证明了广泛SDE的强收敛速度，扩大了显式和隐式格式中通常研究的参数范围。在适当的假设下，我们能够通过最优收敛速度获得快速收敛。该计划具有驯服计划家族的一些特征。然而，它的分析不需要重型技术工具。考虑到数学金融的应用，对支持包括在（0，∞). 然而，在一些适当的假设下，这里使用的技术可以扩展到多维情况。

一个重要贡献是通过局部Lipschitz连续条件，将方案的选择与域边界处的位移函数的爆炸速率联系起来。据我们所知，到目前为止，在驯服格式的文献中，只有在域的一个边界处的爆炸行为被认为是获得收敛速度的。我们的方案一般同时考虑两个边界。然后，我们将注意力转向具有非全球Lipschitz扩散系数的SDE，这是金融领域经常遇到的情况。在使用改进方案之前，我们对过程应用Lamperti变换，以便将非Lipschitz行为从扩散转移到漂移函数。这使我们能够证明初始过程在ε的L1+ε-范数下的收敛速度≥ 0; 特别是，ε=1的收敛速度可用于MLMC应用，我们将其应用于相关CIR过程的零息债券和看涨期权的定价。特别是，我们能够证明具有非常数平滑系数的CEV/CIR类模型的收敛结果，见第4.2节。重要的是，我们还获得了3/2模型的新收敛结果，见备注4.2。本文其余部分的结构如下。第二节介绍了改进的EulerMaruyama格式，第三节证明了其收敛性。在第4节中，该方案适用于SDE系列，如在数学金融中广泛使用的CIR、3/2和Ait-Sahalia模型，以及金兹堡-朗道方程。第5节给出并讨论了收敛速度的数值结果。注释：在续集中，D是间隔（0，∞). 我们用“Dη”表示域[η，∞), 和“D:=”D。此外，我们定义了区间Dζ：=(-∞, ζ] 和ˇDη，ζ=\'Dη∩Dζ，对于η≤ ζ.

我们用C（D）表示D上具有连续导数的二次可微函数空间，用Cb（D）表示C（D）中具有第一和第二有界导数的函数空间。我们将用N+表示严格正整数集。给定一个概率空间(Ohm, F、 P），我们表示Lm(Ohm, F、 P），对于m>0，这组随机变量Z使得kZkm:=E[|Z|m]1/m<+∞. 在续集中，当所考虑的概率空间从上下文中清晰可见时，我们将简单地编写LMS。我们用Eti[X]表示≡ E[X | Fti]给定过滤Fti2定义和假设的条件预期(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是一个过滤概率空间，W=（Wt）t≥0a一维标准（Ft）-适应布朗运动。考虑一个一维随机微分方程，其形式为DYT=f（Yt）dt+γ（Yt）dWt，Y=Y.（2.1）。在本文中，我们将假设如下：（Hy0）：SDE（2.1）允许在D=（0）中存在唯一的强解，∞); 漂移f在D上局部Lipschitz连续，全局单边Lipschitz连续，即存在α，β≥ 0，K>0，这样对于所有（x，y）∈ D:| f（x）- f（y）|≤ K1+|x |α+| y |α+| x |β+| y |β|十、- y |，（2.2）（x）- y） （f（x）- f（y））≤ K | x- y |；（2.3）此外，对于某些K>0:all（x，y），扩散函数γ在D上是K-Lipschitz连续的∈\'D，不等式|γ（x）- γ（y）|≤ K | x- 是的。备注2.1。函数γ也可以在D上定义。然而，假设γ在D上的lipschitz连续性将导致γ在D上的自然延伸。备注2.2。在实践中使用的许多模型中（尤其是在数学金融中的Feller/CIR Diffusion，见第4.1节），这些假设都不满足。然而，变量的适当变化允许我们绕过这一点：考虑一个形式为dxt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=X，（2.4）的SDE，其中过程X取某些域DX中的值 R

当σ-1在DX上定义良好且连续可微，X的Lamperti变换定义为F（X）≡Rxσ（z）-1dz，它的引理意味着这个过程定义为路径byY:=F（X）满足F（2.1）≡ Fu+Fσ和γ≡ Fσ是常数。让n∈ N+为固定正整数，T>0为固定时间范围。用π定义区间[0，T]的划分：={0=T<T<…<tn=T}，其中最大值=0，。。。，N-1（ti+1- ti）=:h=O（1/n）。对于闭区间C R、 我们定义pC:R→ C作为C上的投影算子。为了便于记法，我们也让pn:=pDn，即x∈ R、 pn（x）=N-K∨ 十、∧ nk，Dn=ˇDn-k、 如果α>0，β>0n-K∨ x，Dn=\'Dn-kifα=0，β>0x∧ nk，Dn=Dnkifα>0，β=0x，如果α=β=0，Dn=\'D。（2.5）在下文中，我们用C表示一个正常数，该常数仅取决于K，T，α，β，y，但其值可能会随着行的变化而变化。我们用Cpif表示它，它依赖于一个额外的参数p。我们现在介绍离散化过程^Y的显式方案：定义2.1。设置^Y:=Yand表示i=0，N- 1，^Yti+1:=^Yti+fn（^Yti）hi+1+’γ（^Yti）Wi+1，hi+1:=ti+1- ti，Wi+1:=Wti+1- Wti，fn:=fo Pn和γ：=γo p-D.备注2.3。（i） 对于某些应用，强制方案在一个域中取值可能是有趣的，例如区间\'D，\'Dη，Dζ，甚至是71dη，ζ。为此，我们介绍了之前方案的一些扩展。尽管我≤ n、 我们定义了Yti:=Pd（^Yti），~Yti:=Pdη（^Yti），Yti:=pDζ（^Yti）和71yti:=Pdη，ζ（^Yti），对于一些η，ζ>0待以后确定，详情见推论3.1。在命题3.3中，我们证明了这些修正的有限矩和有限反矩。（ii）观察对于α=β=0，^Y是通常的Euler-Maruyama方案，直到投影到¨D。以下引理显示了初始漂移f的性质如何转化为新的投影漂移fn（附录A中的证明）：引理2.1。

对任何人来说∈ N+，组成fn≡ FoPn是Lipschitz连续的，Lipschitz常数L（n）=2K（1+nkβ{β>0}+nkα{α>0}），且单侧Lipschitz连续，Lipschitz常数K与f相同。备注2.4。对任何人来说∈ N+，因为fn和γ是Lipschitz连续的，一个简单的推导表明定义为2.1的方案满足最大值=0，。。。，nk^Ytik<∞. 由于fn的Lipschitz常数依赖于n，因此n中的界是先验非均匀的。我们现在引入以下假设，这意味着L（n）h≤ C、 为了alln∈ N+，它将局部Lipschitz指数α和β与特定结构域Dn：（Hp）的大小联系起来：严格正常数k，k满足2βk≤ 1和2αk≤ 1.我们需要额外的假设来证明我们的方案的强收敛速度：下面（Hy1）根据局部Lipschitz指数α和β对过程Y的矩施加条件，以获得最小收敛速度。我们应该进一步对f和γ施加正则条件，以获得更好的收敛速度。（Hy1）：（Hp）成立，并且存在q>2（α+1）和q>2β这样的支持∈[0，T]Eh | Yt | q+| Yt|-齐∞ .（Hy2）：（Hy1）保持，漂移函数f为C（D）类，且为SUPT∈[0，T]E“|γ（Yt）f（Yt）|+f（Yt）f（Yt）+γ（Yt）f（Yt）#< ∞.

（2.6）对于隐式格式，在[34]假设（Hy2）中导出了强收敛速度；受本文启发，我们的动机是恢复定义2.1.3中显式方案的强收敛率收敛结果在本节中，我们证明定义2.1中的方案在上述一些假设下的强收敛率；这个结果来自对过程Y和f（Y）的正则性的估计，以及格式的离散化误差。下面，我们给出了一般情况下α，β的结果≥ 0，但在证明中，我们仅限于最复杂的情况α>0，β>0.3.1初步估计前两个结果与将真解Y投影到Dn上的误差有关。引理3.1。假设（Hy0）和（Hy1）保持不变。那么，无论如何∈ [0，T]，E|Yt- pn（Yt）|≤ Cq，qnk（q+2）{β>0}+nk（q-2){α>0},其中q，qare由（Hy1）给出。证据无论如何∈ [0，T]，我们可以写|Yt- pn（Yt）|≤n2kPYt<nk+ Eh | Yt |{Yt>nk}i.集η=q/2和θ=q/（q）- 2） ，它的共轭指数。霍尔德不等式yieldsEh |Yt |{Yt>nk}i≤ Eh | Yt | qi1/ηP{Yt>nk}1/θ。利用（Hy1）和集合等式{Yt>nk}={Yqt>nkq}，马尔可夫不等式意味着Eh | Yt |{Yt>nk}i≤ Cqn-k（q）-2). 同样地，由于{Yt<n-k} ={Y-qt>nkq}，马尔可夫不等式产生P（Yt<n-（k）≤ Cqn-kq，引理如下。2艾玛3.2。假设（Hy0）和（Hy1）保持不变。那么，无论如何∈ [0，T]，E|f（Yt）- fn（Yt）|≤ Cq，qnk（q）-2(β-1） ）{β>0}+nk（q-2(α+1)){α>0}=: K（n，q，q），其中q，qare由（Hy1）给出。证据使用（2.2），我们观察到| f（Yt）- fn（Yt）|≤ C1+| Yt|-2β+| Yt | 2α|Yt- pn（Yt）|≤ C1+| Yt|-2βn2k{Yt<n-k} +C1+| Yt | 2α|Yt{Yt>nk}=A+A.集合η：=q/（2β）和θ：=q/（q）- 2β). H"older不等式然后屈服[A]≤Cn2kP{Yt<n-k} +Cqn2kE|Yt|-Q1/ηP{Yt<n-k} 1/θ和（Hy1）加上马尔可夫不等式意味着E[A]≤ Cqn-k（q）-2(β-1)).

设置η：=q2（α+1）和θ：=qq-2（α+1），一个类似的计算给出了E[a]≤ Cqn-k（q）-2(α+1)).下面的引理为过程Y提供了一个正则性结果，主要收敛结果将需要它。对于给定的随机过程X(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）和划分π，我们用π[X]：=n定义它的“正则性”-1Xi=0Zti+1tiE|Xt- Xti|dt。（3.1）引理3.3。假设（Hy0）和（Hy1）保持不变。Y满足Rπ[Y]的正则性≤qq，qh，其中q，qare由（Hy1）给出。证据对于t∈ （ti，ti+1），因为γ是K-Lipschitz，（Hy1）意味着|Yt- Yti|≤ 行政长官“Zttif（Ys）ds+Ztti（|Ys |+1）ds#≤ Ch1+hE“Zttif（Ys）ds#!.对于t∈ （ti，ti+1），通过引理3.2，我们现在计算“Zttif（Ys）ds#≤ EZti+1ti | f（Ys）| ds≤ 2.Zti+1tiE|f（Ys）- fn（Ys）|ds+Zti+1tiE|fn（Ys）|ds≤ ChK（n，q，q）+L（n）监督∈[ti，ti+1]E1+| Yt|!.利用（Hy1）和不等式L（n）h≤ C、 在（Hp）的支持下，我们获得|Yt- Yti|≤ Cq，qh代表t∈ π=1[Y]的上界-1Xi=0Zti+1tiE|Yt- Yti|dt≤ C最大值=0，。。。，N-1中断∈[ti，ti+1]E|Yt- Yti|≤ Cq，qh。现在我们计算f（Y）的正则性的上界。引理3.4。假设（Hy0）和（Hy1）保持不变。（i） 然后Rπ[f（Y）]≤ CK（n，q，q）+L（n）h, 其中q，qare由（Hy1）给出。（ii）如果（Hy2）成立，则Rπ[f（Y）]≤ Ch.证明。（i）中的不等式是以下计算的直接结果：Zti+1tiE|f（Yt）- f（Yti）|dt≤ CZti+1tiE|f（Yt）- fn（Yt）|dt+Zti+1tiE|fn（Yt）- fn（Yti）|dt+hE|fn（Yti）- f（Yti）|≤ 中国K（n，q，q）+L（n）h,我们使用引理3.2。现在让我们证明（ii）。