一类随机控制问题光滑解的注记

按（2.20）WT=w expZTt（π′su（s，Zs）ds+π′sσ（s，Zs）dWs）-ZTt|π′sσ（s，Zs）|ds,加上（2.19）给出了j（t，w，z，π）=waaEQπ经验ZTtl（s，Zs，πs）dsZt=z, （4.7）α在哪里∈ Rn，l（t，z，α）=aα′u（t，z）- （a）1- a） /2）|σ（t，z）′α|。现在让我们∈ C1,2可能是（3.4）和（3.5）的解。通过公式（4.5），应用于u（t，Zt）的It^o公式给出：u（t，Zt）=u（t，Zt）+ZTtut（s，Zs）+ux（s，Zs）′（~u（s，Zs）+aσ（s，Zs）σ（s，Zs）′πs）+uy（s，Zs）′（u（s，Ys）+aσ（s，Zs）′πs）+Tr（σ（s，Zs）′uxx（s，Zs）σ（s，Zs））+yu（s，Zs）+Tr（σ（s，Zs）′uxy（s，Zs））ds+ZTtux（s，Zs）′σ（s，Zs）dBπs+（uy（s，Zs）′+ux（s，Zs）′σ（s，Zs））dWπs≥ u（t，Zt）+ZTtl（s，Zs，πs）ds+ZTtux（s，Zs）′σ（s，Zs）dBπs+（uy（s，Zs）′+ux（s，Zs）′σ（s，Zs））dWπs+ZTt|σ（s，Zs）′ux（s，Zs）|+|uy（s，Zs）+σ（s，Zs）′ux（s，Zs）|ds。（4.8）ξπ是Qπ-上鞅，终端条件u（T，z）=0，因此从（4.8）可以得出，等式π经验ZTtl（s，Zs，πs）ds英尺≤ 经验（-u（t，Zt））EQπξπTξπT英尺≤ 经验（-u（t，Zt）），（4.9）自π∈ A到目前为止是任意的，从（4.7）可以看出 π ∈ A、 J（t，x，z，π）≤xaaexp(-u（t，z））。（4.10）现在特别选择π=^π，在（4.8）中有等式。由于ξ^π是一个Qπ鞅，因此它允许（4.9）和（4.10）中的所有不等式都是等式，这证明了v（t，x，z）=supπ∈AJ（t，x，z，π）=J（t，x，z，^π）=xaae-u（t，z）。附录E=Rp，F=rqp，q∈ N*. W是完全概率空间上的q维标准布朗运动(Ohm, F、 Q）被赋予完整的过滤F=（Ft）t≥0由W生成。对于t∈ [0，T]，其中T>0是固定的，我们用Ut表示所有逐步可测量的E值过程φ独立于ofFt的集合，例如EhRTt |φ（s）| dsi<∞.

对于R>0，我们设置（R）={ν∈ Ut:|ν|≤ R a.e dt dQ}。给定（t，z）∈ [0，T]×E，我们考虑过程Zt，z:Zt，z（s）=z+Zstν（u）du+Zstσ（u，Zt，z（u））dWu，T的下列SDE≤ s≤ T、 （A.1）式中[0，T]×E （t，z）7→ σ（t，z）∈ L（F，E）是一个连续函数，Lipschitz在z中连续（Lipschitz常数K独立于t，其中控制过程为ν（·）∈ Ut（R）。根据经典定理（参见[11,9.定理，p.8 3和10.推论，p.8 5]），存在一个强解和一个常数C（q，K），使得对于所有∈ [0，T]，z，z′∈ 伊恩和q≥ 2E监督≤s≤T | Zt，z（s）| q≤ C（q，K）C′（1+| z | q），（A.2）其中C′=1+Rq+supt≤s≤T |σ（s，0）|，and监督≤s≤T|Zt，z′（s）- Zt，z（s）|q≤ C（q，K）|z- z′|q（A.3）表示所有实函数在[0，T]×E×E上的线性空间，使得f和fzare连续，其中fz（T，z，v）=zf（t，z，v）。LetL:[0，T]×E×E→ R是满足下列条件的函数：（a）L∈ C0,1,0（[0，T]×E×E）（b）k、 C≥ 0使得| L（t，z，v）|≤ C（1+| z | k），（t，z，v）∈ [0，T]×E×\'B（0，R），（c）l，C≥ 0这样的t | Lz（t，z，v）|≤ C（1+| z | l），（t，z，v）∈ [0，T]×E×`B（0，R）。（A.4）对于（t，z）∈ [0，T]×E固定，我们考虑最小化j（T，z；ν）=E的问题ZTtL（s，Zt，z（s），ν（s））ds,inν∈ Ut（R）。我们的目标是找到函数uR:[0，T]×E的导数→R、 关于第二个参数，其中uri定义为ur（t，z）=infν∈Ut（R）J（t，z；ν）。引理A.1。如果L满足（A.4），σ与（A.1）A和ν（·）相同∈ Ut（R），然后是导数Jzexists和jz（t，z；ν）=EZTtLz（s，Zt，z（s），ν（s））ds.证据

对于h∈ R\\{0}，（t，z）∈ [0，T]×E和ξ∈ E、 我们将证明这一点→0h（J（t，z+hξ；ν）- J（t，z；ν））=EZTtLz（s，Zt，z（s）ν（s））ds· ξ.因为L是C0，1，0，我们有∈ [0，T]和z，z，v∈ E、 L（s，z，v）- L（s，z，v）=ZLz（s，（1）- λ） z+λz，v）dλ· （z）- z） 。这个公式和J giveJ（t，z+hξ；ν）的定义- J（t，z；ν）=EZTtL（s，Zt，z+hξ（s），ν（s））- L（Zt，z（s），ν（s））ds= E[Yh]，（A.5），其中Yh=ZTtZLz（s，Zλ（t，s），ν（s））·（Zt，Z+hξ（s）- Zt，z（s））dλds，Zλ（t，s）=（1）- λ） Zt，z+hξ（s）+λZt，z（s）。为了研究E[Yh]对小| h |的行为，我们用（A.1）：Yh=Uh+Vh，（A.6）其中Uh=（hξ）·ZTt∧h（t，s）ds，Vh=ZTt∧h（t，s）·Mh（t，s）ds，（A.7）∧h（t，s）=ZLz（s，Zλ（t，s），νdλ和Mh（t，s）=Zst=Zstσ（τ，Zt，z+hξ（τ））- σ（τ，Zt，z（τ））dWτ。由于σE[（Mh（t，s））]=E的Lipschitz性质Zst |σ（τ，Zt，z+hξ（τ））- σ（τ，Zt，z（τ）|dτ≤ 柯Zst | Zt，z+hξ（τ）- Zt，z（τ）|dτ.不等式（A.3）然后给出[（Mh（t，s））]≤ C（s）- t） |hξ|，对于C∈ R独立于s，t，z，zand v.根据（A.4）的（c）我们有：|Lz（s，zλ（t，s），ν（s））|≤ C（1+| Zλ（s）| l）≤ C（1+|Zt，z（s）+|Zt，z+hξ（s）|）l.估计（A.2）t然后给出[（λh（t，s））]≤ C（1+| z |+| z+hξ|）2l，对于C∈ R独立于s，t，z，zand v.所以Cauchy-Schwartz不等式给出了[|Vh |]≤ EZTt∧h（t，s）·Mh（t，s）|ds≤ C | hξ|（1+| z |+| z+hξ|）l，对于C∈ R独立于s，t，z，zand v。由于Mh（t，·）是一个限制于[t，t]的鞅，它现在遵循（a.7）和富比尼定理，即e[Vh]=0。（A.8）对于所有ε>0，我们通过马尔可夫不等式和（A.3）得到，q=2，即q监督≤s≤T | Zt，z+hξ（s）- Zt，z（s）|≥ ε≤εE监督≤s≤T | Zt，z+hξ（s）- Zt，z（s）|≤Ch |ξ|ε，其中C∈ R独立于t，z，zand v，So supt≤s≤T | Zt，z+hξ（s）- Zt，z（s）|当h→ 0

通过函数[0，t]×E×E×E的连续性 （s，z，z，z）7→ZLz（s，（1）- λ） z+λz，v）dλ- Lz（s，z，v）然后它也跟着≤s≤T∧h（T，s）- Lz（s，Zt，z（s），ν（s））|在概率上收敛到0，如h0。这也是f orRTt∧h（t，s）的情况-Lz（s，Zt，z（s），ν（s））ds。根据（A.4）和（A.2）中的（c）项，可以得出以下结论：ZTt∧h（t，s）- Lz（s，Zt，z（s），ν（s））ds:|h |≤ 1.是一致可积的。这给了Thatlim→0EZTt∧h（t，s）- Lz（s，Zt，z（s），ν（s））ds= 0，加上（A.6）和（A.8），表示→0E嘿- ξ·Lz（s，Zt，z（s），ν（s））ds= 0.给定（t，z）∈ [0，T]×E，设νR*（t，z）是Ut（R）中唯一的元素→ J（t，z；ν）在Ut（R）上取其最小值。现在让Zt，z*= （Zt，z）*（s） ）t≤s≤t通过溶液t oZt，z*（s） =z+ZstνR*（u，Zt，z）*（u） du+Zstσ（u，Zt，z）*（u） ）dWu，t≤ s≤ T.（A.9）推论A.2。每（t，z）∈ [0，T]×E，uRz（T，z）=EZTtLz（s，Zt，z*（s） ，νR*（s，Zt，z）*（s） ）D, （A.10）其中Zt，z*是（A.9）的解决方案。证据自从νR*是一个最优马尔可夫控制策略，uR（t，z）=J（t，z；νR*（t，z））。给定（t，z）∈ [0，T]×E，h>0和ξ∈ 我们得到了（uR（t，z+hξ）- uR（t，z））=hinfν∈Ut（R）J（t，z+hξ；ν）- J（t，z；νR）*（t，z））≤h（J（t，z+hξ；νR）*（t，z））- J（t，z；νR）*（t，z））；（A.11）右侧倾向于Jz（t，z；νR*（t，z））·ξ为h0。因此，通过mma，uRz（t，z）·ξ≤ZTtLz（s，Zt，z*（s） ，νR*（s，Zt，z）*（s） ）ds·ξ。这适用于所有方向ξ，尤其是用-ξ、 它给出了（A.10）。参考文献[1]Berdjane，B.a.和Pergamenschikov，S.：随机系数市场的最优消费和投资，金融学Stoch。17419–446（2013）[2]Bergomi，L.和Guyon，J.：《随机波动模型中的微笑》，预印本2011，可在http://ssrn.com/abstract=1967470[3] Bj–或k，T。

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