一类随机控制问题光滑解的注记

在fact中，B）的（2.9）对u施加平方根增长条件，但[15]的相应假设（H3ai）仅对u施加线性增长条件。然而，在线性增长条件（H3ai）下[15，引理4.1]的证明是错误的，结果证明我们的平方根增长条件正是使其正确所需的条件。[15，备注2.2]中指出，当u满足条件A的Lipschitz条件（2.5）时，则| Y |满足以下线性增长条件，C∈ 像这样T∈ [0，T]| Yt |≤ C1+Zt |吴|杜| Wt|, （2.15）因此存在ε>0，使得sup0≤T≤Teε| Yt|< +∞. （2.16）现在考虑一个在上述金融市场中具有电力效用函数U和自我融资投资政策π的代理人，其目的是优化最终财富WT的预期效用E[U（WT）]。更准确地说，假设时间t时的流动值WT>0∈ [0，T]，满意度DWT=WtX1≤我≤nπitSitdSit，其中π=（πt，…，πnt）是一个适应的Rn值过程。因此，π是一号资产1中持有的WT的部分≤ 我≤ n、 容许控制的集合A在这里（遵循[15，公式（2.5）]所有F逐步可测量的Rn值的集合处理π满足 ε>0，使得sup0≤T≤ε|σ（Zt）′πt | i<∞. （2.17）对于给定的功率a∈ (-∞, 1） \\{0}，效用函数U由U（w）=waa定义，w>0。（2.18）增益函数J定义在[0，T]×（0，∞) X E×A byJ（t，w，z，π）=E[U（WT）|WT=w，Zt=z]，（2.19），其中过程z=（X，Y）满足SDEs（2.1）和（2.2），过程满足受控SDEdWs=Ws（π′su（s，Zs）ds+π′sσ（s，Zs）dWs），WT=w，t≤ s≤ T.（2.20）然后将agent的优化问题表示为以下随机最优控制问题，其值函数为v： （t，w，z）∈ [0，T]×（0，∞) ×Ev（t，w，z）=supπ∈AJ（t，w，z，π）。

（2.21）在这里，就像默顿的开创性工作一样，如果方程（2.21）的解v存在，那么效用函数U的（正）同质性和变量W中方程（2.20）的线性直接给出函数W 7→ v（t，w，z）必须是a度的齐次，即。 w>0，v（t，w，z）=wav（t，1，z）。（2.22）我们注意到（参见[15，备注1.2]）如果f:[0，T]×E→ Rn是Borel可测量的，如果有C∈ R、 这样的话，尽管∈ [0，T]和z=（x，y）∈ E有|σ（t，z）′f（t，z）|≤ C（1+| y |），然后控制π∈ A、 当πt=f（t，Zt）时。这是由（2.16）得到的。最后，我们陈述了本文的主要结果，这是命题4.1的一个推论，将在以下章节中得到证明：定理2.4。如果满足条件A、条件B和条件C，则为1。由公式（2.21）定义的价值函数v，满足度（2.22）和v（·1，·）∈C1,2（[0，T]×E），2。存在唯一的最优控制^π∈ A.3半线性HJB方程随机控制问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程（2.21）为：对于z=（x，y）和所有（t，w，z）∈ [0，T）×（0，∞) x Evt（t，w，z）+u（t，z）\'vx（t，w，z）+u（t，y）\'vy（t，w，z）+Tr（σ（t，z）\'vxx（t，w，z）σ（t，z））+Tr（σ（t，z）\'vxy（t，w，z））+yv（t，w，z）+supπ∈注册护士π′u（t，z）wvw（t，w，z）+π′σ（t，z）|wvww（t，w，z）+π′σ（t，z）σ（t，z）wvwx（t，w，z）+π′σ（t，z）wvwy（t，w，z）= 0，（3.1）和v（T，w，z）=waa。（3.2）通常，假设的同质性（2.22）会导致以下结果：v（t，w，z）=waae-u（t，z），for（t，w，z）∈ [0，T]×（0，∞) ×E。

（3.3）在安萨茨的假设下，我们得到WWnv（t，w，z）=anv（t，w，z），表示n∈ N.在方程（3.1）中插入此和（3.3），忽略参数（t，z）inu（t，z）：对于z=（x，y）和所有（t，z）∈ [0，T）×E- 美国犹他州-Tr（σ（t，z）′uxxσ（t，z））- Tr（σ（t，z）′uxy）-yu+H（t，z，uz）=0（3.4）和u（t，z）=0，（3.5），其中函数[0，t]×E×E （t，（x，y），（p，q））=（t，z，r）7→ H（t，z，r）∈ R由h（t，z，R）=|σ（t，z）′p |+q′σ（t，z）′p+|q定义|- u（t，z）′p- u（t，z）′q+a maxπ∈注册护士π′（u（t，z）- σ（t，z）σ（t，z）′p- σ（t，z）q）-1.- a |σ（t，z）′π|.（3.6）由于偏微分方程（3.4）在二阶导数中是线性的，因此定义为半线性。在条件（2.8）下，M（t，z）对所有（t，z）是可逆的∈ [0，T]×E，所以公式（3.6）中的最大化问题的唯一解∧π显式地由∧π（T，z，r）=1给出- aM（t，z）-1（u（t，z）- M（t，z）p- σ（t，z）q）。（3.7）代入（3.6）给出，对于所有（t，z）∈ [0，T]×E r中的二次多项式H（T，z，r）：H（T，z，r）=1- a |σ（t，z）′p |+1- aq′σ（t，z）′p+q′Id+a1- aσ（t，z）′M（t，z）-1σ（t，z）q+p′β（t，z）-1.- au（t，z）- q′u（t，z）+a1- aσ（t，z）′M（t，z）-1u（t，z）+a1- au（t，z）′M（t，z）-1u（t，z）。（3.8）为了以后的参考，我们注意到|σ（t，z）′π（t，z，r）|=（1）- （a）-2（u（t，z）- M（t，z）p- σ（t，z）q′M（t，z）-1（u（t，z）- M（t，z）p- σ（t，z）q）。（3.9）为了研究半线性方程（3.4）经典解的存在性，我们通过所有f函数u的C1,2l引入线性空间∈ C（[0，T]×E）∩C1,2（[0，T）×E）满足以下生长条件：当z=（x，y）时，存在C∈ R如此（t，z）∈ [0，T）×E，|M（T，z）1/2ux（T，z）|+|uy（T，z）|≤ C（1+| y |）。（3.10）本节的剩余部分用于证明半线性HJB方程的一个经典解的存在性结果，该解由定理3.1表示。

假设条件A、条件B和条件C A满足，则存在解决方案u∈ C1，2到半线性方程（3.4）和终止条件（3.5）。为了证明定理3.1，我们将具有终端条件（3.5）的半线性方程（3.4）转化为一个随机控制问题。假设（2.8），我们可以为所有人重写（t，z）∈ [0，T）×E，凸二次多项式E R7→ H（t，z，r），由（3.8）给出，形式如下：H（t，z，r）=（r，A（t，z）r）- （r，l（t，z））+k（t，z），（3.11），其中r=（p，q），N（t，z）=σ（t，z）′M（t，z）-1σ（t，z），（3.12）A（t，z）r=1.- aM（t，z）p+1- aσ（t，z）q，1- aσ（t，z）′p+q+a1- 安（t，z）q,(3.13)l（t，z）=(l（t，z），l（t，z））=1.- au（t，z）- β（t，z），u（t，y）+a1- aσ（t，z）′M（t，z）-1u（t，z）,（3.14）k（t，z）=a1- au（t，z）′M（t，z）-1u（t，z）。（3.15）当（2.8）满足所有（t，z）条件时，检查对称正线性算子A（t，z）是否为正定义∈ [0，T）×E，E上的凸函数L（T，z，·）由Legendre-Fenchel变换（in-功能的“r”7→ H（t，z，\'r）：L（t，z，r）=sup\'r∈E(-（\'r，r）- H（t，z，\'r））。（3.16）当A（t，z）是正定义，这在续集中是通过施加（2.8）假设的，那么L（t，z，r）具有以下显式形式：L（t，z，r）=（r）- l（t，z）′A（t，z）-1（r）- l（t，z））- k（t，z）。（3.17）通过凸度yh（t，z，r）=sup∈E(-（\'r，r）- L（t，z，\'r）），（3.18）其中，上确界为f或\'r=^r（t，z，r），^r（t，z，r）=l（t，z）- A（t，z）r。

（3.19）一个与半线性方程（3.4）相对应的随机控制问题，其终端条件（3.5）为nowu（t，z）=infν∈UtE“ZTtL（s，Zs，νs）dsZt=z#，（3.20），其中Uti是与Ft无关的全平方可积渐进可测E值过程集。对于R>0，在（t，z，R）处哈密顿量H（t，z，R）的正则化HR（t，z，R）∈[0，T]×由HR定义的环境影响报告（T，z，r）=sup|r|≤R(-（\'r，r）- L（t，z，\'r））。（3.21）我们考虑HJB方程，哈密顿量H被HR代替，-城市轨道交通-Tr（σ（t，z）′uRxxσ（t，z））- Tr（σ（t，z）′uRxy）-yuR+HR（t，z，uRz）=0，最终数据uR（t，·）=0。（3.22）我们将看到，[9，定理6.2，第六章]允许推导出aC1，2解uR的存在性。我们将使用A（t，z）和A（t，z）的简单估计-1（如果存在）及其第一衍生产品。表达式（3.13）直接给出| A（t，z）|≤ 1 +1 - a（|M（t，z）|+|N（t，z）|），（t，z）∈ [0，T]×E.（3.23）和| Az（T，z）|≤1.- a（1+| M（t，z）1/2 |+2 | M（t，z）-1/2 |）|σz（t，z）|，（t，z）∈ [0，T]×E.（3.24）以下A（T，z）的显式表达式（参见Schur补码）可以方便地预先定义A（T，z）-1:A（t，z）=t（t，z）D（t，z）t（t，z）\'（3.25），其中t（t，z）r=（p，σ（t，z）\'M（t，z）-1p+q）和D（t，z）r=（1- aM（t，z）p，q- N（t，z）q）。（3.26）自| D（t，z）-1| ≤ (1-a） |M（t，z）-1 |+|（I）-N（t，z））-1| ≤ (1-a） |M（t，z）-1|+1 - |N（t，z）|和|（t（t，z））-1| ≤ 1+| M（t，z）-1/2 |它跟在| A（t，z）后面-1（t，z）|≤ 2.(1 - a） |M（t，z）-1| +1 - |N（t，z）|1+| M（t，z）-1|. （3.27）直接计算得出| Nz（t，z）|≤ 4米（t，z）-1/2 | |σz（t，z）|。（3.28）不等式（3.24）、（3.27）和（3.28）给出|zA（t，z）-1（t，z）|≤1.- A.1+|M（t，z）1/2+|M（t，z）-1| +1 - |N（t，z）||σz（t，z）|。（3.29）引理3.2。让我们（2。

满足条件A的（4）和（2.5），并让σ满足（2.6）、（2.7）、（2.8）和（2.13），那么方程（3.22）有一个解uR∈ C1,2（[0，T）×E）∩C（[0，T]×E）在这类多项式增长函数的子集中是唯一的。证明：让引理的假设得到满足。然后，通过备注2.2和引理2.1，我们可以不受限制地假设m=n和σ是可逆的。uRthen的存在性和唯一性来自[9，定理6.2，第六章]。事实上，这个定理的假设是满足的：1。根据（2.4）和（2.7），函数u、u、β、u和σ是有界导数。因此，存在C∈ R使得f或allz=（x，y）∈ E和f∈ {u，u，β，σ}f（t，z）|≤ C（1+| z |），fz（t，z）|≤ C、 |u（t，y）|≤ C（1+| y |）和|yu（t，y）|≤ C.（3.30）2。通过（3.30），（2.6）和（2.7），[0，T]×E （t，z）7→ ∑（t，z）与它的一阶导数结合在一起。然后由（2.8），∑（t，z）是可逆的安第斯 z 7→ ∑（t，z）-1与它的一阶导数一起有界。定义θ（t，z，r）=∑（t，z）-[9，定理6.2，第六章]假设（6.9）的1r，a）点和b）点得到满足。根据条件（2.4）和条件（2.7）、（2.8）和（2.13），不等式（3.27）和（3.29）给出了一些C∈ R|A（t，z）-1（t，z）|≤ C和|zA（t，z）-1（t，z）|≤ C |σz（t，z）|≤ CC，（3.31），其中最后一个不等式从（3.30）中得出，对于z的某些依赖项。根据不等式（3.31），存在C>0，因此对于所有（t，z，r）∈[0，T]×E×E | L（T，z，r）|≤ C | r- l（t，z）|+|k（t，z）|，（3.32）|Lz（t，z，r）|≤ C | r- l（t，z）|+C|lz（t，z）|r- l（t，z）|+|kz（t，z）|。（3.33）由（3.30），（2.8）和（2.13）得出C>0，因此对于所有（t，z）∈ [0，T]×E | k（T，z）|+| l（T，z）|≤ C（1+| z |）。（3.34）现在使用（3.30），（3.28），（2.7），（2.8），（2.13）可以得出（3.34）中的C可以选择为| kz（t，z）|+lz（t，z）|≤ C（1+| z |）。

（3.35）上述对L、L和k及其一阶导数的估计意味着函数[0，T]×E×`BE（0，R） （t，z，r）7→ L（t，z，r）有界于z中的二次多项式的一阶导数。这表明[9，定理6.2，第六章]的假设（6.9）的c点是满足的。因此[9，定理6.2，第六章]的所有假设都是正确的。对于导数uRz，我们有如下的估计，在R中是一致的。引理3.3。让条件（2.9），（2.10）和（2.11）以及方程3.2的条件都满足。n存在C∈ R使得对于所有（t，z）=（t，（x，y））∈[0，T]×E和R>0 | uRz（T，z）|≤ C（1+| y |）。证明：解uRto（3.22）具有随机控制表示，其解通过验证获得，参见[9，定理6.4，第六章]和[17，Th？？？]uR（t，z）=infν∈Ut（R）EQZTtL（s，\'Zs，νs）ds\'Zt=z, （3.36）其中Ut（R）={ν∈ Ut:|ν|≤ R a.e.dt dQ}式中，Z的受控动力学由d¨Zt=νtdt+∑（¨Zt）d¨WQt（3.37）给出，其中¨WQa（m+d）-维标准布朗运动在Q和¨WQ=（BQ，WQ）下，wqd-维。设^Z为（3.37）的解，其中最优控制函数由（3.19）给出。然后（3.36）的最优控制由（3.36），uR（t，z）=EQ“ZTtL（z，s）ds给出^Zt=z#。（3.38）根据受控SDE（3.37）和[10]的结果，Uri的导数由以下公式给出（参见附录推论A.2的证明）：uRz（t，z）=EQ“ZTtLz（^Zs，^νs）ds^Zt=z#。（3.39）函数kzis是以（2.10）为界的。功能u, u和β以（3.30）和函数为界（σ′M）-1u）以（2.11）为界。这表明该功能l齐斯跳了起来。

现在由不等式（3.33）得出，新常数C和一些正常数C，都是（t，z，r）∈ [0，T]×E×E | Lz（T，z，r）|≤ C | r-l（t，z）|+C|lz（t，z）|r-l（t，z）|+|kz（t，z）|≤ C（1+| r）-l（t，z）|）。（3.40）通过条件（2.7）和（2.13）以及不等式（3.23），函数[0，t]×E（t，z）7→ |A（t，z）|以常数C>0为界，所以| A（t，z）-1| ≥ C-1.因此有一个新的常数C | Lz（t，z，r）|≤ C1+（r）- l（t，z），A（t，z）-1（r）- l（t，z））= C（1+L（t，z，r）+k（t，z））。函数k根据（2.10）有界。设c（k）为界。然后，为了所有人（t，z，r）∈ E×E，| Lz（t，z，r）|≤ C（1+L（t，z，r）+C（k））。（3.41）设¨Zbe是一个δ=0的SDE（3.37）的解。不等式（3.41）、随机控制表示（3.36）和（3.39）以及不等式（3.32）然后给出，对于一些依赖于（t，z）和R的正常数| uRz（t，z）|=情商ZTtLz（s，^Zs，^νs）ds^Zt=z≤ 情商ZTtC1+L（s，^Zs，^νs）+c（k）ds^Zt=z≤ CC+EQZTtL（s，^Zs，^νs）ds^Zt=z≤ CC+EQZTtL（s，`Zs，0）ds\'Zt=z.（3.42）由于条件（2.9）和（2.11），存在C∈ R使得对于所有（t，z）=（t，（x，y））∈ [0，T]×E|l（t，z）|≤ C（1+| y |）。（3.43）估算值（3.32）和| k（t，z）|≤ c（k）然后用一个新的常数c表示所有（t，z）∈ [0，T]×E，| L（T，z，0）|≤ C（1+| y |）。现在，fr om（3.42）表示，对于（t，z）和R|uRz（t，z）|≤ CC+CEQZTt（|y |+|WQs |）ds!.这证明了C的存在∈ 使所有（t，z，R）∈ [0，T]×E×（0，∞),|uRz（t，z）|≤ C（1+| y |），其中z=（x，y）。（3.44）定理3.1的证明。函数E R→ -（r，uRz（t，z））E- 对于^rR（t，z）=l（t，z）- A（t，z）uRz（t，z）。回想一下，A（t，z）由（3.23）和l 满意度（3.43）。

此外，BYLEMA 3.3有一个C，这样，对于所有（t，z，R）∈ [0，T]×E×（0，∞), uRzsatis是不等式| uRz（t，z）|≤ C（1+| y |）。因此对于给定的c≥ 0，存在R的正恒量依赖，因此| rR（t，z）|≤ C （t，z）∈ [0，T]×E使得| y |≤ c、 因此，对于R≥ C、 我们有hr（t，z，uR（t，z））=sup∈\'BE（0，R）-\'r\'uR（t，z）- L（t，z，r）= 副手∈E-\'r\'uR（t，z）- L（t，z，r）= H（t，z，uR（t，z）），（3.45）表示所有（t，z）∈ [0，T]×E使得| y |≤ c、 由于c可以选择任意大，这意味着Uri是一个满足（3.10）的C1,2解to（3.4）-（3.5）。4随机最优控制问题经典解的存在性本节致力于证明本文的主要结果，定理2.4，这是以下命题4.1和定理3.1中经典解的存在性的一个平凡推论（未正式陈述）。在命题4.1中，使用Girsanov变换的基本性质（参见[15]）证明了一个验证结果，该结果将半线性方程（3.4）和终端条件（3.5）的解与原始随机控制问题（2.21）联系起来。提议4.1。如果你∈ C1,2是半线性偏微分方程（3.4）的解，如果满足假设（2.5）和（2.4），并且如果[0，T]×E，则具有终止条件（3.5） （t，z）=（t，（x，y））7→ |M（t，z）-1/2u（t，z）|（1+| y |）-1是一个有界函数（4.1），那么（2.21）的v值函数由v（t，w，z）=waae给出-u（t，z），for（t，w，z）∈ [0，T]×（0，∞ ) 存在唯一的最优控制过程^π∈ A、 ^πt=π（t，Zt，uz（t，Zt）），其中π由（3.7）定义。证据：1。我们首先证明^π∈ A.

利用相关线性空间中的范数，从（3.9）得出|σ（t，z）′π（t，z，r）|=（1）- a） |M（t，z）-1/2（u（t，z）- M（t，z）p- σ（t，z）q）|≤(1 - a） （|M（t，z）-1/2u（t，z）|+| M（t，z）1/2p |+| M（t，z）-1/2σ（t，z）q）|）。（4.2）使用条件（4.1）和（3.10），这适用于某些C∈ R表示|σ（t，z）′π（t，z，ux（t，z），uy（t，z））|≤(1 - a） （|M（t，z）-1/2u（t，z）|+|M（t，z）1/2ux（t，z）|+|M（t，z）-1/2σ（t，z）uy（t，z））|）≤ C（1+| y |）。（4.3）现在根据fr om（2.16）得出^π满足（2.17），所以^π∈ A.2。让π∈ A应该是可接受的控制。我们用dqπdP=exp定义度量QπZTaπ′sσ（s，Zs）d~Ws-ZT|aσ（s，Zs）′πs|ds. （4.4）自π∈ A、 条件（2.17）意味着Qπ是一种可能性度量（参见练习1.40，§1，第八章[16]）。m维和d维过程Bπ和Wπ分别以及m+d维过程Wπ=（Bπ，Wπ）由dWπt=dWt定义- aσ（t，Zt）′πtdt，~Wπ=0。根据Girsanov定理，这三个过程是标准的多维qπ-B.m.和dxt=（？（t，Zt）+aσ（t，Zt）σ（t，Zt）′πt）dt+σ（t，Zt）d＠Wπt，dYt=（u（t，Yt）+aσ（t，Zt）′dt dWπt，（4.5）3。如果你∈ C1,2是（3.4）和（3.5）以及π的解∈ A是一个指数qπ-局部鞅ξπ，由ξπt=exp定义-Zt（ux（s，Zs）′σ（s，Zs）dBπs+（uy（s，Zs）′+ux（s，Zs）′σ（s，Zs））dWπs）-Zt（|σ（s，Zs）′ux（s，Zs）|+|uy（s，Zs）+σ（s，Zs）′ux（s，Zs）|ds.（4.6）特殊情况ξ^π是Qπ-鞅。事实上，根据不等式（3.10），存在C∈ 就是这样∈ [0，T）|ux（T，Zt）′σ（T，Zt）|+|uy（T，Zt）′+ux（T，Zt）′σ（T，Zt）|≤ C（1+| Yt |）。（4.5）中的第二个SD E，π=π，不等式（4.3）则意味着可以选择上述常数C，以便| Yt |≤ |Y |+Zt（|u（s，Ys）|+a |σ（s，Zs）′πs |）ds+|W^πt |≤ |Y |+CZt（1+| Ys）|）ds+| W^πt |，它利用G¨ronwall不等式导致ε>0的存在，从而使sup0≤T≤TEQ^πheεYt|i<∞.现在，通过使用上述练习来证明这一观点。4.