一类随机控制问题光滑解的注记

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英文标题：
《A remark on smooth solutions to a stochastic control problem with a
  power terminal cost function and stochastic volatilities》
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作者：
Yal\\c{c}in Aktar, Erik Taflin
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Incomplete financial markets are considered, defined by a multi-dimensional non-homogeneous diffusion process, being the direct sum of an It\\^{o} process (the price process), and another non-homogeneous diffusion process (the exogenous process, representing exogenous stochastic sources). The drift and the diffusion matrix of the price process are functions of the time, the price process itself and the exogenous process.   In the context of such markets and for power utility functions, it is proved that the stochastic control problem consisting of optimizing the expected utility of the terminal wealth, has a classical solution (i.e. $C^{1,2}$).   This result paves the way to a study of the optimal portfolio problem in incomplete forward variance stochastic volatility models, along the lines of Ref: Ekeland et al.
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中文摘要：
不完全金融市场被认为是由一个多维非齐次扩散过程定义的，它是一个It \\{o}过程（价格过程）和另一个非齐次扩散过程（外生过程，代表外生随机源）的直接和。价格过程的漂移和扩散矩阵是时间、价格过程本身和外生过程的函数。在这样的市场和电力效用函数的背景下，证明了由优化终端财富的预期效用组成的随机控制问题有一个经典解（即$C^{1,2}$）。这一结果为研究不完全前向方差随机波动模型中的最优投资组合问题铺平了道路，参考文献：Ekeland等人。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_remark_on_smooth_solutions_to_a_stochastic_control_problem_with_a_power_termin.pdf (278.62 KB)

2022-5-6 05:34:29 上传

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关键词：控制问题 随机控制 Mathematical volatilities Optimization

一类具有幂终端代价函数和随机波动率的随机控制问题光滑解的注记*Yal,cin Aktar+Erik Ta flin2013年8月，2014-05-14版，献给Ivar Ekelandadab的70岁生日。完整的金融市场被认为是由一个多维非齐次扩散过程定义的，是一个It^o过程（价格过程）的直接总和，以及另一个非均质扩散过程（外生过程，代表外源性随机源）。价格过程的漂移和扩散矩阵是时间、价格过程本身和外生过程的函数。在这种市场和电力效用函数的背景下，证明了由优化终端财富的预期效用组成的随机控制问题具有经典解（即C1,2）。这一结果为研究不完全前向方差随机波动率模型中的最优投资组合问题铺平了道路，正如Keland等人所言。关键词：最优随机控制，光滑解，半线性抛物线方程，随机波动性MSC 2010:49J55，35K55，60H30，93E20。1简介默顿[13]和[14]关于连续时间投资组合优化的开创性论文，针对多维（现货）价格*作者感谢Nizar Touzi提请他们注意本文的主题和许多建设性的讨论。+巴黎理工学院数学金融EISTI和CMAP主席，yar@eisti.eu塞尔基大学数学金融EISTI和AGM主席，taflin@eisti.fris马尔可夫过程。

特别是，当价格是非齐次微分时，导出了Hamilton-Ja-cobi-Bellman方程，并在对数或马氏过程和幂函数的特殊情况下显式求解。通过研究HJB方程粘性解的规律性和对偶方法，对默顿的工作进行了重要的推广。本文的目的是在下文定义的不完全市场模型（FM）的背景下，用“随机波动率”来解决最优投资组合问题，首先确定HJB方程有一个经典解，然后应用验证定理：o金融市场（FM）有一个可交易的无风险资产，利息率为零。市场上有n个可交易的基本风险资产，X是n-dim。它的坐标是可交易基本风险资产的现货价格（一个简单函数）。外生随机源用d-dim表示。非均匀扩散过程Y，扩散矩阵不可变。过程（X，Y）是一个非齐次的扩散过程，因此，提取和X的扩散矩阵是时间t、Xt（t处的价格过程）和Yt（t处的外生过程）的函数。上述最优portf-olio问题将只考虑电力效用函数，定义遗赠，不消耗，且在其无约束版本中，从某种意义上说，投资组合可以在R1+n中获得任何价值。它将被（OPP）引用。

以下有关相关论文的评论，仅指本案。在幂效用函数的情况下，通过证明HJB方程具有经典解，许多作者在各种假设下研究了默顿框架对不完全随机波动市场的一般化，参见[18]、[15]、[12]、[6]、[1]以及其中的参考文献。在这些工作中，定义模型的SDE系数与价格无关。[18]、[15]、[1]中的市场模型属于（FM）类型。在[18]中，考虑了纯投资问题（即，只有一个幂继承函数，没有消耗），n=d=1，这允许通过作用代换将HJB方程转化为线性模型，并获得显式解。在[15]中，考虑了纯投资问题，n和d是一个随机变量，模型的系数与时间无关，通过指数替换，HJB方程被转换为半线性偏微分方程，这被证明具有经典解。[15，备注3.1，等式（3.7）]给出了将HJB方程转化为线性方程的分数代换存在的必要和充分条件，如[18]所示。参考文献[1]考虑了一般n的消费和遗赠函数f的问题≥ d和模型的系数被限制为满足条件[15，注释3.1，等式（3.7）]（在简单转换后），这里的系数随时间变化。然后，一个作用代换将HJB方程转化为一个半线性方程，并证明其具有经典解。在文献[12]和[6]中，当n=1时，外源性过程是由一个具有c`adl`ag样本路径的从属过程驱动的，即具有a.s.非递减样本路径的L`evy过程。

漂移和挥发是时间独立的。参考文献[5]基于对偶方法。我们开展这项工作的主要动机是找到投资组合问题（OPP）的解决方案，这有助于在不完全向前方差随机波动模型的框架下解决相应的最优投资组合问题。此类模型在有限维环境中有一个自然公式，接近于零息债券市场和远期利率曲线动力学所用的公式，参见理论发展[3]、[4]、[7]、[8]，以及应用[2]和其中的参考文献。这需要将早期关于投资组合问题（OPP）的研究扩展到该类型的市场（FM），在FM中，模型的系数可以是时间和资产价格的函数。我们实现了这一点，首先扩展了[15]的框架，以涵盖该类型（FM）的市场模型案例，然后在此背景下解决了投资组合问题（OPP）。虽然我们的问题更复杂，但[15]的主要思想可以适用于我们的证明。同样在我们的例子中，标准代换（见（3.3））将HJB方程转换为半线性二阶偏微分方程（3.4），在一阶导数中为二次。通过将哈密顿量在一阶导数变量中的二次增长减少到线性增长，该偏微分方程得到正则化。这相当于Legendre-Fenchel变换后的哈密顿量乘以切函数。正则化HJB方程（3.22）解的存在性和唯一性（见引理3.2）源自标准结果[9，定理6.2Chap VI]。在对一个随机控制问题进行重新表述后，得到了正则化解的导数的一个切向一致的十字形引理，即引理3.3。这个引理的证明基于附录A，它将[10，引理11.4]推广到我们的情况。

定理3.1，当截断“消失”时，导数的一致估计允许证明正则解收敛于半线性偏微分方程的解。然后，验证结果证明了Girsanov变换的基本性质，从而得出了主要结果定理2.4。本研究假设与[15]假设的某些差异是由于模型系数的某些增长条件（在[15]中宣布为线性增长）应被平方机械增长所取代（见备注2.3第4点）。我们通过设置要使用的一些符号来完成这篇冗长的介绍。注：对于线性空间F和G，L（F，G）是线性连续算子的线性空间F到G。L（F，G）被赋予算子范数。线性算子及其矩阵表示（给定正交基的w.r.t.）将无法区分。A′表示线性算子A的伴随算子，|A |表示A的算子范数≥ 1是一个整数，对我来说∈ {0，…，n}设Oibe是有限维向量空间的开子集。对于函数f:O×·On→ O、 定义好后，m w.r.t.阶变量x的偏导数，xm，everyi，xi在哪里∈ 对于某些j，表示为fx。。。xm。

为了避免混淆，我们偶尔会写信xf而不是fxetc。如果没有另外说明：z=（x，y），r=（p，q）∈ E=Rn×Rd。恒等式函数表示为I，可能带有一个指示哪个集合的索引。a，b的标量积∈ F，根据上下文，使用a·b、（a，b）Fand（a，b）。在赋范空间E中，半径R以0为中心的开球表示为BE（0，R），BE（0，R）表示其闭包（或仅表示为B（0，R）和B（0，R））。2在完全概率空间上，数学模型和主要结果B和W分别是两个独立的标准布朗运动，其维数和d分别限制在时间间隔[0，T]（T>0）(Ohm, F、 P）完全过滤F=（英尺）0≤T≤t由W=（B，W）生成。我们认为，在时间间隔[0，T]上，一个有n个风险资产的金融市场，其价格过程为Si，1≤ 我≤ n是严格正的，一个利率为0的无风险资产。由于Si是严格正的，我们可以用Rn值过程X的项来表示动力学，其i:th坐标为Xi=ln（Si）。过程X应该满足SDEdXt=＠u（t，Zt）dt+σ（t，Zt）dBt+σ（t，Zt）dWt，X∈ Rn，（2.1），其中Zt=（Xt，Yt）是一个E=Rn×Rd值的过程，Y是一个Rd值的过程，代表模型的“外生随机因素”，并用于满足SDEdYt=u（t，Yt）dt+dWt，Y∈ 在方程（2.1）中，Rd.（2.2），△u、σ和σ分别是[0，T]×E到Rn、L（Rm，Rn）和L（Rd，Rn）的连续函数。在方程（2.2）中，u是[0，T]×Rdinto-Rd的连续函数。我们引入了波动函数σ：[0，T]×E→ SDE（2.1）的L（Rm+d，Rn）和∑[0，T]×E→ SDEs（2.1）和（2.2）系统的L（Rm+d，E）由∈ [0，T]，z∈ E、 a=（b，c），b∈ Rmand c∈ Rdσ（t，z）a=σ（t，z）b+σ（t，z）c和∑（t，z）a=（σ（t，z）a，c）。

（2.3）我们还引入了函数σi:[0，T]×E→ Rm+d，1≤ 我≤ n、 通过σi（t，z）=（σi1（t，z），σim+d（t，z））和漂移函数u：[0，t]×E→ Rnbyu=~u+β，其中β=（β，…，βn），βi（t，z）=|σi（t，z）|，范数是E中的欧几里德范数。（2.1）和（2.2）中的系数应满足不同目的的各种条件。与Z的存在相关的条件：条件A.A）如果f i是函数∧：[0，T]×E→ Rnorσ：[0，T]×E→ L（Rm+d，Rn）然后∈ C（[0，T]×E）和 C.s.t。（t，z）∈ [0，T]×E | fz（T，z）|≤ C.（2.4）A）功能满足度：u∈ C（[0，T]×Rd；Rd）和 C.s.t。（t，y）∈ [0，T]×Rd|yu（t，y）|≤ C.（2.5）与HJB方程的C1,2解存在相关的条件：条件B.B）C1,2σ的正则性，σ∈ C1,2（[0，T]×E，L（Rm+d，Rn）），（2.6）B）表示（T，z）∈ [0，T]×E对于i=1，2，设Mi（T，z）=σi（T，z）σi（T，z）′，M（T，z）=M（T，z）+M（T，z）。我们将考虑以下条件： C∈ R: （t，z）∈ [0，T]×E，|σ（T，z）|≤ C、 （2.7） （t，z）∈ [0，T]×E，M（T，z）-1存在和 C∈ R: （t，z），|M（t，z）-1| ≤ C、 （2.8）B）函数sμ和μ满足以下g平方根增长条件：存在C∈ R使得所有（t，z）∈ [0，T]×E | |u（T，z）|≤ Cp1+| y |和|u（t，y）|≤ Cp1+| y |。（2.9）B）所有（t，z）∈ [0，T]×E，M（T，z）是可逆的，如果f（T，z）=| M（T，z）-1/2u（t，z）|然后满足f∈ C0,1（[0，T]×E）和 C.s.t。（t，z）∈ [0，T]×E | f（T，z）|+| fz（T，z）|≤ C.（2.10）与验证定理应用相关的条件：条件C.C）适用于所有（t，z）∈ [0，T]×E，M（T，z）是可逆的，如果f（T，z）=σ（T，z）′M（T，z）-1u（t，z），然后f满足∈ C0,1（[0，T]×E）和 C.s.t。（t，z）∈ [0，T]×E | fz（T，z）|≤ Cp1+| y |。（2.11）当满足条件a的a）和a）时，SDE（2.1）和（2.2）系统具有唯一的强解是标准的，参见。

[17].当M（t，z）可逆时，我们将使用符号n（t，z）=σ′（t，z）M（t，z）-1σ（t，z）。（2.12）当第1点允许简化方程式（2.1）（见备注2.2）时，立即得到以下结果。引理2.1.1。假设σ满足条件（2.4）、（2.6）、（2.7）和（2.8）。然后，这些条件也满足，σ替换为√σ=（M1/2，σ）2。如果σ满足条件（2.7）和（2.8），则 C∈ (0, 1) :  （t，z）∈ [0，T]×E，1- |N（t，z）|≥ C.（2.13）证据：1。根据（2.7）和（2.8），存在0<c<c，使得m（t，z）的光谱是所有（t，z）的（c，c）的子集。用C+实数部分复数集表示≥ 0.设γ是一条简单的正方向连续闭曲线，在C+，C+的内部，封闭[C，C]。平方根函数在C+中是全纯的，因此通过邓福德-泰勒积分， （t，z）∈ [0，T]×E，M（T，z）1/2=-2πiZγζ1/2R（M（t，z），ζ）dζ，（2.14），其中R（M（t，z），ζ）=（M（t，z）- ζI）-1是M（t，z）在ζ处的预解式。使用导数w.r.t.l作为变量t和Zi之一，由lR（M（t，z），ζ）=-R（M（t，z），ζ）(lM（t，z）R（M（t，z），ζ），一个验证条件（2.4）、（2.6）、（2.7）和（2.8）满足∑=（M1/2，σ）。根据（2.8）存在c>0，因此对于所有（t，z）∈ [0，T]×e和a∈ 我们有（a，M（t，z）a）≥ c | a |+|σ（t，z）′a |或等效的| a|≥c | M（t，z）-1/2a |+|σ（t，z）′M（t，z）-1/2a |。由（2.6）可知，存在C>0，使得|σ（t，z）′M（t，z）-1/2|≤ 1.- c/| M（t，z）|≤ 1.- 所有这些（t，z）的c/c。然后通过N的定义，|N（t，z）|=|M（t，z）-1/2σ（t，z）|=|σ（t，z）′M（t，z）-1/2|≤ 1.-c/c.备注2.2。根据1，我们将使用它。

在引理2.1中，当f函数M-1存在，即dXt=＠u（t，Zt）dt+M（t，Zt）1/2d＠Bt+σ（t，Zt）dWt，X∈ Rn，（2.1\'）式中，Bt=ZtM（s，Zs）-1/2σ（t，Zs）dBs。事实上，根据列维的刻画定理（~B，W）是一个标准(Ohm, F、 F，P）B.m.，其中一项证明：如果条件A）和A）满足且-1（t，z）对所有（t，z）都存在∈ [0，T]×E，那么Z是系统（2.1）的强解，（2.2）i fff Z是系统（2.1’）和（2.2）的强解。备注2.3.1。（2.3）中的波动函数∑对所有（t，z）都有∈ [0，T]×E性质：∑（T，z）在E上，σ（T，z）在-to上，或者等价地，∑（T，z）在E上，σ（T，z）=σ（T，z）σ（T，z）′是可逆的。当M（t，z）可逆时，一个有|（t，z）∑（t，z）′）-1/2| ≤ 1+| M（t，z）-1/2 |+|σ（t，z）′M（t，z）-1/2|.特别地，∑满足了这个不等式的一致抛物性条件，它的右边一致有界于[0，T]×E.2。在某些情况下，[9，定理6.2，p169]将用于证明本文的重要结果，尤其是等式（3.22）的解的存在性。文字应用要求m=n。然而，如果∑满足统一抛物线条件，则可通过重新定义B.m，将情况m>n简化为情况m=n，如备注2.2.3所示。L et M（t，z）是可逆的，让线性算子A（t，z）如（3.13）所示。如果其中一个线性算子M（t，z），I- N（t，z）orA（t，z）有一个倒数，那么这三个都是可逆的。4.在SDE（2.1）和（2.2）系统中，当系数独立于时间和价格时，幂效用函数的最优投资组合问题在[15]中进行了处理（具体见[15，（H3a），p.66]）。在这种情况下，我们的假设与[15]的假设之间存在着重要的差异。