一类纯跳跃L!evy结构模型的强度过程

对于任何L′evy过程X，h>0，表示kht:=hE[Kt+h- Kt | Ft]和λht：=hE[Nt+h- 新界| Gt]。那么，kht=eXthEh1- E-（y）-Xh）+iy=Xt-Xtandλht=1{τ>t}e-Xtkht。（7） 证据。自xt+h起- Xt=infu∈[t，t+h]徐∧ Xt- Xt=infu∈[0，h]（Xt+u）- Xt）∧ （Xt）- Xt）- （Xt）- Xt）=-（Xt）- Xt）- 英孚∈[0，h]（Xt+u）- Xt）+,我们有eXt+h- 外线|英尺= eXtEeXt+h-Xt- 1 |英尺= 埃克特赫-（（Xt）-Xt）-英孚∈[0，h]（Xt+u）-Xt）+- 1 | Fti=eXtEhe-（y）-Xh）+- 1iy=Xt-Xt，其中最后一个等式来自L′evy过程X的独立和平稳增量性质以及X和X在F中的适应性。因为K是1的F-补偿器-Z、 Doob-Meyer分解表示E[Kt+h- Kt | Ft]=-E[Zt+h- Zt | Ft]=-EeXt+h- 外线|英尺.结合以上内容，得到了khtin（7）。接下来，通过可选投影定理（定理14，第六章，[16]和[7]），我们知道，如果一个随机变量ξ是非负且可积的，那么对于每个≥ 0，E[ξ| Gt]的右连续版本由[ξ|Gt]=1{τ>t}ZtE给出ξ1{τ>t}|Ft+ ξ1{τ ≤t} a.s.（8）因此，使用期望的塔属性和K是1的F补偿的事实- Z、 我们有λht=hE[Nt+h- Nt | Gt]=1{τ>t}hZtE{t<τ≤t+h}|英尺= 1{τ>t}hZtE[Zt- Zt+h | Ft]=1{τ>t}ZthE[Kt+h]- Kt |英尺]=1{τ>t}e-Xtkht。这就得到了λhtin（7）。下一个结果紧接着引理3.2。推论3.3。假设kt:=limh↓0kht存在于所有t a.s.，那么{τ>t}上的瞬时似然过程由∧t:=limh给出↓0hP（t<τ≤ t+h | Gt）=e-Xtkt。备注3.4。注意ξ1{τ≤t} 在（8）中，可通过定义进行测量。实际上，因为ξ和τ是(Ohm, G、 P），然后ξ1{τ≤t} 是G-可测量的。为了证明它是可测量的，它相当于展示B∈ R、 B（B）：={ω：ξ（ω）1{τ≤t} （ω）≤ b}∈ Gt。

注意b（b）∩ {t<τ}={ξ1{τ≤t}≤ b}∩ {t<τ}=（{ξ）≤ b、 τ≤ t}∪ {0 ≤ b、 t<τ}）∩ {t<τ}={0≤ b、 t<τ}=1{b<0} + 1{b≥0}{t<τ}=1{b<0}( ∩ {t<τ}）+1{b≥0}(Ohm ∩ {t<τ}）。自从, Ohm ∈ 全速飞行≥ 0，我们可以取Bt（b）：=1{b<0} + 1{b≥0}Ohm ∈ Ft，这样b（b）∩ {τ>t}=Bt（b）∩ {τ>t}。因此，我们有B（B）∈ Gt。3.2有限变量的光谱负L’evy过程设X为有限变量的光谱负L’evy过程，则X有一个表示[14，第56页]Xt=ct- St，（9）其中c>0，S是具有L′evy测度π的纯跳跃从属。（9） 是π=0且c>0的（1）的特例。X的L′evy测度是πX（dx）=π（d）(-x） ）=π((-十、-x+dx]）在R上-如果π允许一个密度，那么π(-dx）=ν(-x） dx。在分析X定义3.5（[14]）的路径属性时，需要以下概念。设X是一个L′evy过程。A点x∈ 如果Px为开集或闭集B，则R称为不规则τB=0= 0，其中停止时间τB=inf{t>0:Xt∈ B} 。我们知道（[5，第9章，命题15]），对于（9）中定义的X，0对于(-∞, 0）。因此，从0开始，需要X个严格正的时间才能到达(-∞, 0）。如果wede fine T:=inf{T>0:Xt<0}，那么P（T>0）=1。这是Xb的第一次跳跃时间，但可能不是X的第一次跳跃时间。我们观察到X是一个纯粹的跳跃过程，因为X只能在S跳跃时移动，而X不能在X上跳跃到预先指定的水平(-∞, 0）由于X不能，请参见[14，练习5.9]。因此，X的跳跃大小没有原子，并且是严格负的。X在区间[0，t]上的跳跃次数，即nt:=#{s∈ （0，t]：Xs=Xs}，是一个离散集，是一个有限集。此外，我们用（δi）i表示ntby（Ti）i的到达时间，用（δi）i表示到达时间，用（ξi）i表示跳跃大小。然后我们有以下引理。引理3.6。对于（9）中定义的X，X可以写成续签奖励流程xt=-ntXi=1ξi，其中（δi，ξi）是i.i.d。

随机变量。证据上述分析表明，X是一个非爆炸性标记点过程，可以写成Xt=-Pnti=1ξi，其中-ξi=XTi=XTi- XTi-1=XTi- XTi-1.因为（Ti）i也是L’evy进程X的跳跃时间，是停止时间。我们有（δi，ξi）iarei。i、 d.随机变量，因为X的强马尔可夫性。我们不需要研究X的精确规律，只需要分析过程的小时间行为，这可以借助下一个结果，即选票定理[2，命题2.7]来完成。引理3.7（[2]）。设X在（9）中定义，T:=inf{T>0:Xt<0}。然后，对于所有>0的情况，z≥ 0和u<-z、 P（T）∈ dt，XT-∈ dz，XT∈ du）=zctP（Xt∈ dz）π(-du）dt，在哪里Xt=Xt- Xt-π是S的L′evy度量，因此（T，XT）的联合分布由p（T）给出∈ dt，XT∈ dw）=Zz∈(0,∞)zπ（z+d）(-w） ）P（Xt∈ dz）！w的ctdt（10）≤ 下面是投票定理的另一个版本：P（T>T，Xt）∈ dx）=xctP（Xt∈ dx）每t>0和x∈ [0, ∞). 因为Xt=ct- 圣≤ 我们有p（T>T）=ctZ∞xP（Xt）∈ dx）=ctZctxP（Xt∈ dx）=cE{0≤Xt≤ct}Xtt.注释为limt↓0Stt=0a.s.，对于几乎所有的ω，都存在t（ω），因此对于所有的t∈ [0，t（ω）]，St（ω）≤ ct，因此为0≤ Xt（ω）=ct- St（ω）≤ ct和LIMT↓0{0≤Xt≤ct}=1 a.s.（11）支配收敛定理导致↓0P（T>T）=cE极限↓0{0≤Xt≤ct}Xtt=c·c=1。（12） 提案3.8。设X在（9）中定义，并满足假设2.1。则所有t a.s.~kt存在以下极限：=limh↓0kht=eXt∏（Xt- Xt），其中h>0的khtis在（7）中定义，而∏在（4）中定义。证据记得Xt=-Pnti=1ξ是一个更新奖励过程，其中跳跃大小ξi到达时间δi是所有i的正随机变量，（δi，ξi）是i.i.d.随机变量。通过（12），用F表示δi的分布函数↓0F（t）=limt↓0P（T≤ t） =0=F（0）。因此，F在零处是右连续的，即。

F（0）=F（0+）=0。表示为，对于t>0和y≤ 0∧t（y）：=tEh1- E-（y）-Xt）+i∧t（y）：=tEh{nt=1}（1）- E-（ξ+y）+）i∧t（y）：=tE“∞Xk=2{nt=k}1.- E-（Pki=1ξi+y）+#.我们有∧t（y）=Eh1- E-（y+Pnti=1ξi）+i=∧t（y）+∧t（y）。下一步我们将为y展示这一点≤ 0，limt→0∧t（y）=∏(-y） ，和limt→0∧t（y）=0。（13） 然后，（13）给出所需的结论。由于δ和δ是独立的，也注意到（10），我们有{nt=1}（1- E-（ξ+y）+）i（14）=Eh{T≤t} {t-T> T-T} （1）- E-（ξ+y）+）i=ZtZ∞-y英尺（t- s） （1）- E-十、-y） P（T）∈ ds，XT∈ d(-x） ）=Zts=0Z∞x=-y英尺（t- s） （1）- E-十、-y）Z∞z=0zπ（z+dx））P（Xs∈ （dz）csds=cZts=0英尺（t- s） Z∞z=0Z∞u=0（1- E-u） π（z）- y+du）zP（Xs）∈ dz）sds=cZts=0英尺（t- （s）Zcsz=0∏（z-y） zP（Xs）∈ dz）sds。最后一个等式是由于Xs=cs- 党卫军≤ 反恐精英。因为S是一个纯跳从属，所以我们有（[14，引理4.11]）limt→0Stt=0 a.s.，这意味着限制→0Xtt=c.（15）利用（15）和（11），支配收敛定理，∏（·）的连续性和X0+=0，我们得到了lims↓0Zcsz=0z∏（z- y） P（Xs）∈ dz）s=lims↓0E{0≤Xs≤cs}Xss∏（Xs- y）= E林斯↓0{0≤Xs≤cs}Xss∏（Xs- y）= c∏(-y） 。在（14）分钟内达到极限↓0∧t（y）=clims↓0Zcsz=0z∏（z- y） P（Xs）∈ dz）s=∏(-y） 。这里我们使用了一个事实，即如果g（·）是一个非负函数且‘F（0+）=1，则TZT‘F（t）g（s）ds≤tZt-F（t- s） g（s）ds≤tZtg（s）dsandlimt→0tZt\'F（t- s） g（s）ds=limt→0tZtg（s）ds=g（0+）。我们已经在（13）中证明了第一个极限。接下来我们证明（13）中的第二个极限。自∧t（0）=tE1.- 提取≤tE1.- E-圣=T1.- E-π（0）t≤ π（0）和0≤ ∧t（0）≤ ∧t（0）≤ π（0）（13）中的第一个极限意味着极限→0∧t（0）=limt→0∧t（0）=∏（0），因此受到限制→0∧t（0）=0。另一方面，我们知道≤ ∧t（y）≤ 所有y的∧t（0）≤ 0，这证明了（13）中的第二个极限。因此，∧t（y）=∏(-y） 和∧t=∧t（Xt- Xt）=∏（Xt）- Xt）。备注3.9。注意∏（·）和π（dx）一样是连续的。Π(0) = -lne[E]-S] 是L’evy Khintchine公式中S的拉普拉斯指数，0<π（x）≤ π（0）<R∞uπ（du）<∞为了所有的x≥ 假设为0.2.1。

因此，∏在R+上有界。3.3有限变量的L’evy过程假设X是有限变量的L’evy过程。然后它有一个表示（1）和假设2.1适用的weassume。请注意，第3.2节中使用的路径属性和技术不再适用。在（1）中，表示漂移和负跳跃分量asZt（c）：=ct- 首先，我们对Zt（c）要求以下结果。引理3.10。对于任何c∈ R和y≤ 0存在以下限制：limh→0hEh1- E-（y）-Zh（c））+i=-c1{y=0}{c<0}+π(-y） ，（16）其中∏在（4）中定义。证据对于c>0，极限（16）已在上一小节中得到证明。我们现在考虑c的情况≤ 0.注意，h中的Zh（c）在减少，并且Zh（c）=Zh（c）。我们把证据分成两箱。（i） y=0：我们有→0hEh1- E-（y）-Zh（c））+i=limh→0hEh1- ech-施=-c+π（0）。（ii）y<0：取函数f（x）：=1- E-（y+x）+它是有界的，连续的，并且在零的邻域内消失：取 < -y、 那么对于任何x∈ (0, ), 我们有f（x）=0。亨塞利姆→0hEh1- E-（y）-Zh（c））+i=limh→他(-Zh（c））]=ZRf（x）π（dx）。第二个等式是由于[17，推论8.9]和π是-Zh（c）。因此，ZRf（x）π（dx）=Z∞-y（1- E-（y+x））π（dx）=Z∞(1 - E-u） π(-y+du）=∏(-y） ，这证明了（16）。提案3.11。假设（1）中定义了x，并满足假设2.1。那么所有t a.s.~kt都存在以下极限：=limh↓0kht=eXt-c1{Xt-Xt=0}{c<0}+π（Xt- Xt）, （17） 其中（7）中定义了h>0的khtis，而（4）中定义了∏。推论3.3中定义的瞬时似然过程λtde由λt=-c1{Xt-Xt=0}{c<0}+π（Xt- Xt）。（18） 证据。λtin（18）的表达式是推论3.3和（17）的直接结果。托普洛夫（17）我们只需要证明这一点≤ 0，林→0hEh1- E-（y）-Xh）+i=-c1{y=0}{c<0}+π(-y） 。

（19） 因为f（x）=1-E-（y）-x） +是R上x的递减函数-Xh=ch-嘘+嘘≥中国- 对于所有ω和h>0，我们有Xh≥ Zh（c）和heh1- E-（y）-Xh）+i≤嘿- E-（y）-Zh（c））+i.利用引理3.10我们得到了lim-suph→0hEh1- E-（y）-Xh）+i≤ -c1{y=0}{c<0}+π(-y） 。随便吃 > 0，在集合{Sh≤ h} 我们有：Xh=ch- 嘘+嘘≤ 中国- Sh+h=Zh（c+),哪个yieldsXh≤ Zh（c+) 关于{Sh≤ h} 。此外，作为Xh≤ 0代表所有h≥ 0，我们几乎可以肯定，Xh=1{Sh≤h} Xh+1{Sh>h} Xh≤ 1{Sh≤h} Xh≤ 1{Sh≤h} Zh（c+).我们有- E-（y）-Xh）+i≥他1.- E-（y）-1{Sh≤h} Zh（c）+))+=嘿嘿≤h}1.- E-（y）-Zh（c）+))+i=P嘘≤ hEh1- E-（y）-Zh（c）+)+i、 最后的平等是由于S和S的独立性→0Shh=0a.s.，这是一个很好的例子→0P嘘≤ = 1.我们有→0hEh1- E-（y）-Xh）+i≥ -（c+)1{y=0}{c+<0}+ Π(-y） 。允许 ↓ 在上述不等式中，我们得到了→0hEh1- E-（y）-Xh）+i≥ -c1{y=0}{c<0}+π(-y） 。我们已经证明了（19）。备注3.12。请注意，如果X是一个具有L′evy测度πX的L′evy过程，f是一个在零附近消失的有界连续函数，那么（[17，推论8.9]）limh↓0hE[f（Xh）]=ZRf（x）πx（dx）。（20） 在我们的例子中，我们的目标是↓0hEh1- E-（y）-然而，我们不能直接应用（20），因为如果X不是单调过程，那么X不是L′evy过程。命题3.11可以被视为函数f（x）=1的扩展- E-（y）-x） +和L’evy工艺x，变化有限。3.4似然过程和强度过程的不可区分性我们已经证明了当X是具有有限变化的L′evy过程时，瞬时似然过程的存在性。试探性地，G-补偿器的强度过程λ应等于集合{τ>t}上的∧λ。然而，它们不一定相同。例3.13（[8]）。定义一个停止时间τ：=inf{t>0:Wt>y}，其中W为aBrownian运动，y>0为常数。假设F是W的自然过滤。

我们有τ是F-停止时间和hp（t<τ<t+h | Ft）={τ>t}hZh | Wt- y|√2πte-（Wt）-y） 第2次↓0-→ 0.也就是说，λt≡ 0代表所有t≥ 0.由于τ在F下是可预测的，因此Nt的补偿器=1{τ≤t} 为Nt，表示强度λ不存在。下一个引理中的Aven条件提供了一个有效条件，确保∧和λ不可区分。引理3.14（[1]）。如果林→对于t>0和h>0a，0λht=λλtexists和λht一致有界。s、 ，然后在{τ>t}上，Nt-Rtλsds是G-鞅，即Rtλsds是n的G-补偿器。借助前面小节的结果，我们现在可以给出主定理的证明。定理2.2的证明。回想一下（7）关于{τ>t}λht=e-Xtkht=hEh1- E-（y）-Xh）+iy=Xt-XT和y≤ 0，Xt≤ 0和c≥ C∧ 0，这意味着（y- Xh）+≤ -Xh和Xh≥ （c）∧ 0）h- 嘘，我们有λht≤他1.- eXh≤hEh1- e（c）∧0）h-Shi=h1.- e（c）∧0）h-π（0）h≤ -（c）∧ 0) + Π(0).因此序列（λht）h>0在t和has中是一致有界的，引理3.14给出了所需的结论，即λ和λ在{τ>t}上是不可区分的，这导致λ在命题3.11中的表达式。定理2.2的证明现已完成。备注3.15。类似地，kht=eXtλht≤ λh也是有界的，由于Meyer的Laplacian逼近定理，与Aven条件类似，我们可以得出P（τ）的F-补偿器≤ t | Ft）是Kt=Rt)ksds，其中)Kt=limh→0kht。4结论在本文中，我们讨论了随机时间的强度问题，这是随机势垒上有限变化L’evy过程的第一个经过时间。我们证明了强度过程的存在性，并找到了它的显式表示。我们显式地计算了瞬时信用利差过程，并给出了一个方差伽马过程的数值例子，以分析信用利差与资产价值到其运行极小值的距离之间的关系。

因此，我们在这个设置中协调了不完全信息的结构模型和路径依赖强度模型。致谢。作者感谢匿名审稿人和AE，感谢他们的意见和建议，这些意见和建议有助于改进之前的版本。辛冬还与贝诺特·范当进行了有益的讨论。《确定斯堪的纳维亚统计法》（J.1985）第12页，A。[2] J.Bertoin，从属，无负跳的L’evy过程，和BranchingProcess，皮埃尔和玛丽·居里大学，2000年。http://webdoc.sub.gwdg.de/ebook/e/2002/maphysto/publications/mps-ln/2000/8.pdf[3] P.Br’emaud，《点过程和队列：鞅动力学》，斯普林格，1981年。[4] U.C,etin，R.Jarrow，P.Protter，Y.Yildirim，部分信息信用风险建模，应用概率年鉴14（2004）1167–1178。[5] R.Doney，《列维过程的涨落理论》，斯普林格，2001年。[6] D.杜菲，D.兰多，《不完全会计信息下的信用利差期限结构》，计量经济学69（2003）633-664。[7] K.Giesecke，《违约与信息》，J.经济动态与控制，30（2006）2281–2303。[8] 郭，R.A.贾罗，曾勇，不完全信息下的信用风险模型，数学。运筹学34（2009）320–332。[9] 《强度过程和补偿器：一种新的过滤扩展方法和Jeulin-Yor定理》，郭，曾勇，，《应用概率年鉴》18（2008）120-142。[10] S.Janson，M.B.Sokhna，P.Protter，《绝对连续补偿器》，国际期刊。理论应用金融14（2001）335–351。[11] R.Jarrow，P.Protter，《结构模型与简化模型：基于信息的新视角》，J.投资管理2（2004）1-10。[12] T.Jeulin，M。

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