一类纯跳跃L!evy结构模型的强度过程

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英文标题：
《Intensity Process for a Pure Jump L\\\'evy Structural Model with
  Incomplete Information》
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作者：
Xin Dong and Harry Zheng
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we discuss a credit risk model with a pure jump L\\\'evy process for the asset value and an unobservable random barrier. The default time is the first time when the asset value falls below the barrier. Using the indistinguishability of the intensity process and the likelihood process, we prove the existence of the intensity process of the default time and find its explicit representation in terms of the distance between the asset value and its running minimal value. We apply the result to find the instantaneous credit spread process and illustrate it with a numerical example.
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中文摘要：
在本文中，我们讨论了一个具有资产价值的纯跳跃Léevy过程和不可观测随机障碍的信用风险模型。默认时间是资产价值第一次降至屏障以下的时间。利用强度过程和似然过程的不可区分性，我们证明了违约时间强度过程的存在性，并找到了它在资产价值与其运行极小值之间距离的显式表示。我们将所得结果应用于求解瞬时信用利差过程，并用一个数值例子加以说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Intensity_Process_for_a_Pure_Jump_Lévy_Structural_Model_with_Incomplete_Information.pdf (380.9 KB)

2022-5-6 05:36:14 上传

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关键词：结构模型 Mathematical Presentation Unobservable Quantitative

不完全信息下纯跳跃L′evy结构模型的强度过程*帝国理工学院摘要本文讨论了一个资产价值具有纯跳跃L’evy过程和不可观测随机障碍的信用风险模型。默认时间是资产价值第一次跌破界限的时间。利用强度过程和似然过程的不可区分性，我们证明了违约时间强度过程的存在性，并根据资产价值与其运行极小值之间的距离找到了其显式表示。我们将结果应用于发现瞬时信用利差过程，并用一个数值例子加以说明。纯跳跃L’evy过程，不可观测随机势垒，首次通过时间，路径依赖强度过程。数学学科分类（2010）60J75、60G55、91G401简介结构模型和强度模型是信用风险建模中的两个框架。结构模型基于企业的资产负债结构，具有经济意义。默认时间定义为资产价值过程首次低于默认阈值的时间。我们需要研究第一次通过时间的规律，或等效于运行最小过程的规律。强度形式模型基于这样一个事实，即违约是市场意外发生的，违约时间是在一定过滤条件下完全无法到达的停止时间。其中一个模型直接模拟了强度过程，该过程决定了违约指标过程以及可违约债券和信用违约掉期等信用衍生品的短期利差。这两种模型的关键区别在于信息集或过滤的不同，参见Jarrow和Protter[11]。

如果资产价值过程是连续的，且在具有完整信息的结构模型中，屏障是确定的，则第一次通过时间是一个可预测的停止时间，在自然过滤下不允许强度过程。实际上，很难观察到资产价值过程和违约障碍的完整信息。文献中对过滤扩展及其在不完全信息结构模型中的应用进行了积极的研究，见郭和曾[9]以及Janson等人[10]。在文献中，在第一个PassaGetTime模型中引入不完全信息的方法主要有两种。一种是假设关于价值过程和恒定障碍的不完整信息。Duffee和Lando[6]讨论了一个离散可观测的Y值过程，并找到了相应的强度过程。Kusuoka[13]扩展了[6]*英国伦敦皇家学院数学系SW7 2AZ。电子邮件地址：x。dong10@imp艾瑞尔。ac.uk，h。zheng@imp艾瑞尔。ac.uk。一个连续可观测的噪声值过程。C,etin等人[4]利用A,ezma鞅和信息约简方法推导了强度过程。另一种是假设资产价值过程是可观测的，但随机屏障上的信息是不完整的。Giesecke[7]引入了一个不可观察的随机屏障，并得出结论，如果资产价值是一个扩散过程，那么在市场信息过滤下，默认时间是一个完全不可访问的停止时间，但不允许强度过程。在本文中，我们重点研究了具有有限变化和不完全势垒信息的aL’evy过程结构模型的首次通过时间问题。Purejump过程在金融建模中很重要，因为它们可以捕捉到有限活动、跳跃、偏度和峰度的现象。例如，Madan等人。

[15] 在期权定价中，对股票价格使用avariance gamma过程。Madan和Schoutens[18]在具有完整信息的首次通过时间模型中，对对数固定值过程使用了一个漂移从属项。在不完全信息系统中，必要的数学量是条件违约概率。文献中关于强度过程存在性的所有结果都是基于条件违约概率的绝对连续性以及条件违约密度和强度之间的紧密联系。在纯跳跃过程中，当资产价值过程达到新的最小值且条件违约密度不存在时，条件违约概率是不连续的。这是合理的，因为当资产价值过程发生较大变动时，有条件违约概率会跳跃。与条件违约概率的补偿器为自身的连续情况不同，主要的数学困难在于，由于停止时间的不可预测性，找到补偿器。本文的目的是证明具有不可观测随机势垒的纯跳跃L′evy过程的结构模型可以嵌入到等效强度模型中。本文的主要贡献在于证明了强度过程的存在性，并在不完全信息框架下找到了纯跳跃L’evy过程的显式形式，这为违约时间的强度过程与资产价值的运行最小过程之间的关系提供了新的思路。我们将结果应用于确定固定的信贷利差过程，该过程保持积极和确定，符合市场观察，并取决于资产价值的历史路径。论文的结构如下。

第二节介绍了该模型，用几个例子说明了主要结果（定理2.2），并用一个数值例子讨论了瞬时信用扩展。第3节证明了主要结果，并在四小节中详细讨论。第4节总结。2.模型和主要结果(Ohm, G、 P）是一个概率空间，V是一个可观察的固定资产价值过程，由vt=VeXtat time t给出，其中X是一个具有有限变化的L＠evy过程，X=0。示例包括漂移从属、方差伽马和正态逆高斯过程。注意，X可以分解为（[14，练习2.8]）Xt=ct- St+St，（1）其中c∈ R和S分别是独立的纯跳跃从属，具有L’evy测度π和π，有关从属的定义和性质，请参见[14，引理2.14]。用F=（Ft）表示X产生的自然过滤。我们假设本文满足以下假设：假设2.1。L’evy测度π是连续的且满足∞xπ（dx）<∞.假设当资产价值低于违约阈值时，公司首次违约，即默认时间τ定义为τ：=inf{t>0:Vt≤~D}=inf{t>0:Xt≤ D:=ln（~D/V）}，其中~D是公司不可观察的违约屏障。假设D是区间[0，V]上的一个单变量，与V无关。那么X的势垒D是一个标准的负指数变量，即。，-D是一个标准的指数变量，其分布函数为P（D≤ x） =Ex表示x<0，且与x无关。请注意，默认屏障是不可观察的，但默认时间是可观察的，因此我们定义了一个渐进过滤扩展G=（Gt）by（[16，第六章，第3节]）Gt={B∈ G:英国电信∈ 英尺，B∩ {τ>t}=Bt∩ {τ>t}。（2） 默认时间τ现在是G停止时间。

所有涉及的过滤均假定满足通常条件。用N表示默认指标过程，用Nt定义：=1{τ≤t} 。Doob-Meyer分解定理表明，存在一个唯一的可预测过程a=0，称为N的G-补偿器，使得N- A是G-鞅。如果A.s.是连续的，则G-停止时间τ是完全不可访问的。如果A是绝对连续的A。s、 关于勒贝格测度，A可以写成At=Rtλsds A.s.，其中λ为非负且G-渐进可测，则λ称为N的强度过程，有关补偿器和强度过程的详细信息，请参见[3]。用π（x+du）表示：=π（（x+u，x+u+du]）。如果π允许L′evy密度ν，那么π（x+du）=ν（x+u）dx。我们现在可以陈述论文的主要结果。定理2.2。假设X是一个具有有限变化的L’evy过程，且假设2.1得到满足。那么默认指标过程N的G-补偿器是绝对连续的a.s.且N的强度过程λ与瞬时似然过程λt:=limh不可区分↓0hP（t<τ≤ t+h | Gt）在{τ>t}上。此外，使用与（1）中相同的符号，强度过程λ具有以下表示λt=1{τ>t}-c1{Xt-Xt=0}{c<0}+π（Xt- Xt）, （3） 其中Xt:=inf0≤s≤txs是X和∏（X）：=Z的运行最小过程∞(1 - E-u） π（x+du），十、≥ 0.（4）定理2.2表明，强度过程λ是一个内生过程，取决于资产价值过程X的路径。此外，在每个时间t，λ是Xt的递减函数- Xt是一种财务上理想的资产，因为这意味着当资产价值过程X接近其历史最低水平时，违约强度增加。接下来我们给出几个例子来说明定理2.2。例2.3。

（漂移复合泊松过程）设X由xt=ct给出-MtXi=1Yi+MtXi=1Yi，其中c∈ R、 Yi和Yi分别是参数为β和β的指数变量，以及强度分别为ρ和ρ的{Yi}，{Yi}，M，Mare相互独立的泊松过程。Xton R的L′evy密度-由ν给出-（x） =ρβe-βx.缺省指示剂过程N的强度过程λ由定理2.2给出为λt=1{τ>t}-c1{Xt-Xt=0}{c<0}+ρ1+βe-β（Xt）-Xt）.例2.4。（漂移伽马过程）设X为xt=ct- Gt，其中c>0，Gt是一个伽马过程Γ（t，u，ν），其平均速率为u，方差率为ν，且L′evy密度为ν（x）=uνe-νxx-1.N的强度过程由λt=1{τ>t}给出Z∞(1 - E-u） νe-ν（u+Xt）-Xt）（u+Xt- Xt）-1du.注意，在这种情况下c>0，因此（3）中的第一项消失。例2.5。（方差伽马过程[15]）设X为方差伽马过程vg（c，ν，σ，θ），由漂移布朗运动θt+σWt生成，时间由伽马过程Γ（t；1，ν）和附加漂移项ct改变，然后xt=ct+Γ（t；u+，ν+）- Γ（t；u）-, ν-), （5） 式中，u±=qθ+2σν±θ，和ν±=u±。N的强度过程由λt=1{τ>t}给出-c1{Xt-Xt=0}{c<0}+Z∞(1 - E-u） （u）-)ν-E-u-ν-（u+Xt）-Xt）（u+Xt- Xt）-1件. （6） 接下来，我们提供定理2.2在信用风险建模中的应用。可默认名称在时间间隔[t，t+h]内的信用价差S（t，h）定义为（t，h）：=-hln（1- P（t<τ≤ t+h | Gt），其中P（t<τ≤ t+h | Gt）是给定τ>t的条件违约概率。

使用Taylorexpansion，我们可以找到即时信用利差s（t）ass（t）：=limh↓0S（t，h）=limh↓0hP（t<τ≤ t+h | Gt）=∧t。定理2.2说，s（t）是正的，几乎肯定是有限的，由s（t）给出-c1{Xt-Xt=0}{c<0}+π（Xt- Xt），这符合市场观察结果，即即使债券接近到期，瞬时信用利差仍为正且有限，并且由于当前资产价值接近违约阈值的不确定性，债券价格在违约时间前后波动。有关即时信用利差及其期限结构的更多详细信息，请参见[6,7]。接下来我们给出一个数值例子来说明结果。我们在例2.5中取方差gammaprocess vg（c，ν，σ，θ）。使用的数据是（c，ν，σ，θ）=(-0.02, 0.1, 0.15, 0.01).图2.1 t的显示∈ [0,5]资产回报过程X、运行最小过程X和结果强度过程λ的样本路径。图2.1还显示了distanceXt- Xt及其贡献∏（Xt）- Xt）达到强度。我们可以观察到强度λ和距离Xt的相互关系-Xt，这与信贷市场的观察结果一致。注意，R+上的∏（·）由∏（0）限定，该∏（0）完全由X的L’evy度量确定。当Xt- Xt=0，即过程X达到一个新的最小水平，时间大于∏（0）的强度λtat乘以| c |作为漂移参数c<0。

图2.2使用与图2.1相同的样本pathof，显示了信贷利差H7的期限结构→ 时间t=0.5时的S（t，h），从S（t，0）=λt.0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4.5 5开始-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4离散方差γX:（c，ν，σ，θ）=(-0.02,0.1,0.15,0.01）时间t XtXtλt0.5 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 500.050.10.150.20.250.30.35时间t∏，λ自X:（c，ν，σ，θ）=(-0.02,0.1,0.15,0.01）Xt- Xt∏（Xt）- Xt）π（0）λt图2.1：资产返还过程X如例2.5所示，距离过程X- X和强度过程λ。使用的数据是（c，ν，σ，θ）=(-定理2.2Theorem 2.2的证明分四步进行，详细内容见以下小节。

第3.1小节展示了不同过滤条件下的似然过程之间的关系（引理3.2），3.2和3.3小节确定了具有有限变化的谱负evy过程（命题3.8）和具有0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.050.0550.06到期时间hcredit spreadterm信用利差结构的极限过程的存在性：浮动VG（c，ν，σ，θ）=(-0.02,0.1,0.15,0.01），t=0.5s（t，h）S（t，0）=λt图2.2：信用利差的期限结构S（t，h）：资产回报过程X为样本2.5，数据（c，ν，σ，θ）=(-0.02,0.1,0.15,0.01），t=0.5，Xt-Xt=0.0585。nite variation（命题3.11）和第3.4小节利用Aven条件确定了内在似然过程和强度过程的不可区分性。3.1不同过滤条件下的补偿和似然过程每次t的条件生存概率由zt给出：=P（τ>t | Ft）=P（Xt>D | Ft）=eXt。众所周知（[16，第六章，定理11]）存在唯一的、递增的、可预测的过程a，即N的G-补偿，因此a和N的差异是一致可积的G-鞅。我们的目标是找到A.让Zt-= 林斯↑tZsand Z0-= 在SztA-DzF过程中不可预测-,其中，kT是F-子鞅1唯一的、递增的、F-可预测的补偿器- Zt=P（τ）≤ t | Ft）。定理3.1（[12]）。过程N- Aτ是G-鞅，其中Aτ=（At∧τ） t≥0.定理3.1表明，我们可以将找到N的G-补偿器的问题转化为找到Z的F-补偿器的问题。如果Zt是一个连续过程，那么Kt=-Zt和At=-ln（Zt）。如果Z是不连续的，则发现K是非平凡的，参见[9]。下一个结果描述了不同过滤条件下的可能性过程。引理3.2。