当地时间典型价格路径和路径田中公式

在Wuerli环境中，占领测量具有土地密度，因此在L上定义了一个有界函数。如果当地时间是连续的，那么我们甚至可以针对它整合氡测量。因此，如果我们能量化局部时间的连续性，那么对偶空间会进一步增加，我们可以将路径It^o公式扩展到更大的函数类。为此，我们引入了一个给定的划分序列（πn）和p≥ 1集合Lc，p（πn） Lc（πn）由这些∈ Lc（πn），其中离散局部时间（Lπnt）在t中一致有界p-变差∈ [0，T]对于所有的T>0，即对于哪个∈NkLπnkCTVp:=supn∈恩苏普特∈[0，T]kLπnt（·kp-var<∞对于所有T>0，我们为任何f:R写→ Rkfkp变量：=supnXk=1 | f（英国）- f（英国）-1） |p1/p：-∞ < u<…<联合国∞, N∈ N.我们还为有限p-变分的右连续函数空间编写了VP，配备了p-变分半形式的最大值和上确界范数。对于S∈ Lc，p（πn）并使用Young积分，我们可以将pathwise Tanaka公式扩展到更大的被积函数类，允许我们对G（S）dS进行积分，前提是G对某些q具有有限的q变化，且1/p+1/q>1。这在精神上类似于经典田中公式的BouleauYor[BY81]扩展。冯和赵[FZ06]在定理2.2中提出了这样的扩展。但冯和赵仍处于半鞅环境中，他们将（5）中出现的随机积分解释为通常的It^o积分。这里我们得到了一个路径积分，它是作为黎曼和的一个极限自然给出的。让我们简要回顾一下青年融合的主要概念。

在[You36]中，杨展示了如果-∞ < a<b<∞, 如果f和g分别是有限p变量和q变量[a，b]上的两个函数，且1/p+1/q>1，如果π是[a，b]的一个划分，则存在一个普适常数C（p，q）>0，从而Xtj，tj+1∈πf（tj）（g（tj+1）- g（tj））≤ C（p，q）kkkp-var，[a，b]kgkq-var，[a，b]，其中我们为[a，b]上的f的p-变化写了kkp-var，[a，b]，类似地为g。特别是，如果存在一个划分序列（πn），并且如果f对g沿（πn）的黎曼和收敛到一个极限，我们表示byRbaf（s）dg（s），那么Zbaf（s）dg（s）≤ C（p，q）（|f（a）|+kfkp var[a，b]）kgkq var[a，b]。（4） 此外，Young证明，如果f和g没有共同的不连续点，那么网格大小为零的任何分区序列上的黎曼和都会收敛到相同的limitRtf（s）dg（s），独立于特定的分区序列。因此，我们很容易得到下面的定理。定理2.8（另见[FZ06]，定理2.2）。让p，q≥ 1.P+q>1。Let（πn）bea划分序列∈ Lc，p（πn）。让f:R→ R与局部有限q变化的连续Radon-Nikodym导数f′绝对连续。那么不管怎样∈ [0, ∞) 变量公式f（S（t））=f（S（0））+Ztf′（S（S））dS（S）+Z的广义变化∞-∞Lt（u）df′（u）（5）成立，其中df′（u）表示年轻的整合，其中ztf′（S（S））dS（S）：=limn→∞Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t） ）t∈ [0, ∞ ).特别是，对于所有局部单位变化的连续g，以及对于所有T>0的映射Vq，定义了积分R·g（S（S））dS（S） G7→R·g（S（S））dS（S）∈ C（[0，T]，R）定义了丰富的线性算子。证据观察每个n∈ N、 离散的局部时间LπNTI是分段光滑的，具有边界变异性。

因此，公式（2）适用于Lπn和f′，并且（2）右侧的积分是沿着网格大小为零的任意分区序列的黎曼和的极限，前提是该序列的每个元素都包含Lπn的所有跳点。因此，积分必须满足界（4）。由于（Lπnt）的p-变分是一致有界的，并且序列一致收敛到Lt，很容易看出，对于所有的p′>p，它必须在p′-变分中收敛。选择这样一个p′且1/q+1/p′>1，并将年轻积分的线性与界（4）结合，结果如下。备注2.9。定理2.2在[FZ06]状态（5）下，假设F:R→ R是左连续且局部有界的，且具有左连续且局部有界的左导数D-有限q-v变量。但是f的绝对连续性是非常必要的：考虑路径S（t）≡ t代表t∈ [0, ∞), f哪个hSi≡ 0，因此我≡ 0.在这种情况下，等式（5）的读数为asf（t）=f（0）+ZtD-f（u）du，t∈ [0, ∞),如果f不是绝对连续的，则为矛盾。在下文中，我们将表明，任何可能模拟资产价格轨迹的典型价格路径必须是Lc，p（πn），如果（πn）表示无模型金融3的S.3 Loc al时间生成的并矢Lebesgue分割。1超级套期保值和外部衡量在最近的一系列论文[Vov11a、Vov11b、Vov12]中，Vovk介绍了一种基于套期保值的无模型数学金融方法。粗略地说，Vovk将实值连续函数集视为价格路径，并在此集合上引入了一个外部度量，该度量由最便宜的超级套期保值价格给出。

如果可以通过投资（P）被违反的路径来获得任意大的利润，则称房地产（P）为“典型价格路径”。我们将看到，在Vovk的框架中，可以为典型的价格路径构造连续的本地时间，这为使用无模型金融第2节中的路径广义it^of公式提供了公理化的证明。更准确地说，我们考虑（样本）空间Ohm = C（[0，∞ ), R） 所有连续函数ω：[0，∞) → R.关于Ohm 表示为St（ω）：=ω（t）。对于t∈ [0, ∞) wede fine Ft:=σ（Ss:s≤ t） 我们设置F:=Wt≥0英尺。停止时间τ和相关的σ-代数Fτ通常是定义的。过程H：Ohm × [0, ∞) → 如果存在停止时间0=τ（ω）<τ（ω）<。这样每ω∈ Ohm 每一个T∈ (0, ∞) 我们有τn（ω）≤ T仅适用于有限多个n和Fτn-可测有界函数Fn：Ohm → R使得Ht（ω）=Pn≥0Fn（ω）1（τn（ω），τn+1（ω）]（t）。在这种情况下，积分（H·S）t（ω）=∞Xn=0Fn（ω）[Sτn+1（ω）∧T- Sτn（ω）∧t] 对于每个ω都有很好的定义∈ Ohm 每一个t∈ [0, ∞).对于λ>0，如果（H·S）t（ω），一个简单的策略H称为λ-容许≥ -λ表示所有t∈ [0, ∞)所有ω∈ Ohm. λ-容许简单策略集用Hλ表示。定义3.1。一个物体的外部尺寸 Ohm 定义为1A最便宜的超边缘价格，即isP（A）：=infnλ>0：（Hn）n∈N Hλs.t.lim inft→∞林恩芬→∞（λ+（Hn·S）t（ω））≥ 1A（ω）ω ∈ Ohmo、 一组路径 Ohm 如果外部度量值为零，则称为空集。如果违反（P）的集合A是空集合，则属性（P）将保留典型的价格路径。当然，将过度简单的交易策略最小化，而不是在一系列简单策略中过度限制，这将是更自然的。但这样P就不会是可数次可加的，这将使它很难使用。

让我们注意一下，在半鞅模型中超边际价格的经典定义中，我们使用一般容许策略，而针对一般策略的It^o积分是作为积分极限给出的。因此，在这个意义上，我们的定义与经典定义类似（与我们不需要收敛，而是考虑lim inf的事实不同）。对我们来说，P最重要的性质是对空集的以下套利解释。引理3.2（引理[PP13]中的引理2.4]）。一套 Ohm 是一个空集，当且仅当存在一系列1-容许简单策略（Hn）n∈N H、 这样的信息→∞林恩芬→∞（1+（Hn·S）t（ω））≥ ∞ · 1A（ω），我们在哪里设置∞ · 0=0和∞ · 1 = ∞.换句话说，空集本质上是第一类无模型套利机会，仅使用典型价格路径类似于仅考虑满足（NA1）（第一类无套利机会）的模型。概念（NA1）近年来引起了人们的极大兴趣，因为它是任何合理的资产定价模型必须满足的最小条件；例如参见[KK07、Ruf13、IP15]。如果P是(Ohm, F） 如果集为W，则P下的满足度（NA1）∞:= {1+R∞HsdSs:H∈ H} 是以概率为界的，也就是说→∞好的∈W∞P（X）≥ n） =0。在连续条件下，这相当于S是形式为S=M+R·αsdhMis的半鞅，其中M是局部鞅andR∞α-sdhMis<∞.在下一个命题中，我们收集了P的进一步性质。有关证据（在最后时间），请参见[PP13]。提议3.3。1.P是一个带有P的外部度量(Ohm) = 1，即P是非减量的，可数次可加的，P() = 0.2. 设P是一个概率测度(Ohm, F） 这样，坐标过程S是一个P-局部鞅，让a∈ F.然后P（A）≤ 答：3。

让我们∈ F是一个空集，P是一个概率测度(Ohm, F） 使得协调过程在P下满足（N A1），然后P（A）=0。最后一句话说，每一处被典型价格路径所满足的房产，都必然具有数学金融中可能感兴趣的所有概率测度。引理3.2和命题3.3最初源于Vovk，但在这里和[PP13]中，我们考虑对Vovk的外部度量进行一个小的修改，我们认为它有一个更自然的财务解释，更容易使用。3.2典型价格路径的当地时间的存在本小节专门介绍和证明我们的主要结果（定理3.5）：每个典型价格路径都有一个当地时间，它满足应用我们最通用的It^o-Tanaka公式定理2.8所需的所有要求。为此，回想一下，对于每个划分π（ω）={0=t（ω）<t（ω）<…<tK（ω）（ω）<t（K+1）（ω）（ω）=∞} [0，∞) 当地时间的离散形式由πt（S，u）（ω）=K（ω）Xj=0LStj给出∧t（ω），Stj+1∧t（ω）K（u）|Stj+1∧t（ω）- u |，（t，u）∈ [0, ∞) 由（2）我们得到了田中公式的以下离散形式，也可以通过直接计算得到：Lπt（s，u）（ω）=（St（ω）- u）-- （S（ω）- u）-+K（ω）Xj=0(-∞,u） （Stj（ω））[Stj+1∧t（ω）- Stj∧t（ω）]（6）表示所有（t，u）∈ [0, ∞)×R和ω∈ Ohm. 以网格大小收敛为零的一系列划分为例，我们看到，至少在形式上，随机积分的构造·(-∞,u） （Ss）dSs（ω）等价于本地时间L（S，u）（ω）的构造。在下面，我们将使用一个非常自然的分区序列，即S:为每个n生成的并矢贝格分区∈ N表示Dn:={k2-n:k∈ Z} 并定义停止时间τn（ω）：=0，τnk+1（ω）：=inf{t≥ τnk（ω）：St（ω）∈ Dn\\Sτnk（ω）（ω）}，k∈ N.（7）我们设置πN（ω）：={0=τN（ω）<τN（ω）<。

. . }. 注意，函数τnk（ω）是停止时间，而（πn（ω））是增加的，即它保持πn（ω） 所有n的πn+1（ω）∈ N.从现在起，我们将主要省略ω，只写π和τnk，而不是分别写πN（ω）和τnk（ω）。我们构建当地时间的一个关键因素是以下对区间交叉口数量的分析。设Ut（ω，a，b）为闭区间[a，b]的上交次数 Rby S（ω）在时间间隔[0，t]内，其中上交是一对（u，v）∈ [0，t]其中u<vsu（ω）=a，Sv（ω）=b和Sw（ω）∈ （a，b）对于所有w∈ （u，v）。下行交叉的定义是类似的，我们通过ω写出下行交叉数的Dt（ω，a，b）∈ Ohm 在时间间隔[0，t]内。引理3.4。对于典型的价格路径ω∈ Ohm, 存在C（ω）：（0，∞) → (0, ∞) 这样的麦克斯∈ZUnT（ω，k2）-n） +DnT（ω，k2）-n）≤ 所有n的CT（ω）nn∈ N、 T>0，其中UnT（ω，u）：=UT（ω，u，u+2-n） 为了你∈ R、 下穿通道的数量也差不多。证据设K，T>0。在不失去普遍性的情况下，我们可以将我们的考虑限制在set AK:={ω∈ Ohm : 监督∈[0，T]|St（ω）|<K}。让k∈ (-2nK，2nK）并写入u=k2-n、 如果UnT（u）：=UnT（ω，u）很大，以下策略将产生很大的效益：从财富1开始，当你第一次点击时，购买1/（2K）个股票。当S击中-抛售并停止交易。否则，当S达到u+2时-安塞尔。这给了我们财富1+2-集合{UnT（u）上的n/（2K）≥ 1} ∩ AK。现在我们重复这个策略：下次我们击中u时，我们购买当前财富乘以1/（2K）股的S，当S击中u+2时卖出-也没有-K.在[u，u+2]的上交点之后-n] ，停止交易。关于集合{UnT（u）≥ nn}∩ 那么我们就有了丰富的1 +-n2Knn≥ 经验4Kn对于所有足够大的n。因此“P”{UnT（u）≥ nn}∩ AK≤ 经验-n4K对于所有的大n。

对所有并矢点求和u=k2-宁(-K、 我们得到了nmaxk∈ZUnT（k2）-n）≥ 不∩ AK≤ K2n+1exp-n4K= K exp-n8K+（n+1）日志（2）对于所有的大n。由于这是以n求和的，所以所有典型的价格路径都遵循向上交叉的声称界限。要限制下行交叉，必须注意，给定区间的上行和下行交叉最多相差1。以下结构部分受[MP10]第6.2章的启发。定理3.5。设T>0，α∈ （0,1/2）和（πn），如（7）所定义。对于典型的价格路径ω∈ Ohm, 离散局部时间Lπn（S，·）在（t，u）中一致收敛∈ [0，T]×R到一个极限（S，·）∈ C（[0，T]，Cα（R）），并且存在C=C（ω）>0，使得supnnnα| | Lπn（S，·）- L（S，·）|L∞（[0，T]×R）o≤ C.（8）此外，对于所有的p>2，我们有supn∈N | | LπN | | CTVp<∞ 对于典型的价格路径。证据根据恒等式（6），可以用随机统计量证明相应的陈述(-∞,u） （Ss）DSSLT（S，u）。使用引理3.4，我们可以将K>0，并将注意力限制在setAK上：=ω ∈ Ohm : 监督∈[0，T]|St（ω）|<K和maxk∈ZUnT（ω，k2）-n） +DT（ω，k2）-n）≤ Knn N.让你∈ (-K、 K）。

每n∈ N我们近似为1(-∞,u） （S）程序fnt（u）：=∞Xk=0(-∞,u） （Sτnk）1[τnk，τnk+1）（t），t≥ 0.然后我们写出相应的积分过程iπnt（u）：=∞Xk=0(-∞,u） （Sτnk（ω））[Sτnk+1∧t（ω）- Sτnk∧t（ω）]，t≥ 因为（πn）在增加，我们得到iπnt（u）- Iπn-1t（u）=∞Xk=0[Fnτnk（u）- Fn-1τnk（u）][Sτnk+1∧T- Sτnk∧t] 。通过构造我们的停止时间（τnk），我们得到了≥0[Fnτnk（u）- Fn-1τnk（u）][Sτnk+1∧t（ω）- Sτnk∧t（ω）]≤ 2.-n+2。因此，[Vov12]中的定理3或[PP13]中的引理A.1，即路径Hoe-ffing不等式，对每个λ都适用∈ R一个1-容许单策略Hλ的存在性∈ H、 使得1+（Hλ·S）t（ω）≥ 经验λ（Iπnt（u）- Iπn-1t（u））-λNnt（u，ω）2-2n+4=: 所有t的Eλ，nt（ω）∈ [0，T]和所有ω∈ Ohm, 其中Nnt（u）：=Nnt（u，ω）表示停止时间τnk的数量≤ 带Fnτnk（u）的t- Fn-1τnk（u）6=0。现在观察Fn和Fn-1是长度为2的恒定ondyadic间隔-n、 这意味着我们可以假设u=k2，而不失一般性-这是一个二元数。但我们可以估计NnT（k2-n） 通过区间[（k-1)2-n、 k2-n] 加上区间的下穿次数[k2-n、 （k+1）2-n] ，这意味着在AKwe上有NnT（u）≤ 2K2nn。因此考虑（Hλ+H-λ） /2对于λ>0，我们得到p监督∈[0，T]| Iπnt（u）- Iπn-1t（u）|≥ 2.-nα∩ AK≤ 2经验(-λ2-nα+λK2-n+4n）对于所有λ，α>0。现在选择λ=2n/2和α∈ (0, 1/2).

然后我们得到估计值监督∈[0，T]| Iπnt（u）- Iπn-1t（u）|≥ 2.-nα∩ AK≤ 2经验(-2n（1/2-α） +16Kn）。此外，注意到对于所有的t>0，映射u7→ Iπnt（u）和u7→ Iπn-1t（u）是长度为2的恒定非对称间隔-而且，在这种情况下，有2K2个这样的间隔[-K、 我们可以简单地估计助理（t，u）∈[0，T]×R | Iπnt（u）- Iπn-1t（u）|≥ 2.-nα∩ AK≤ 2K2n×2 exp(-2n（1/2-α） +16Kn）=exp(-2n（1/2-α） +16Kn+（n+2）对数2+对数K）。显然，这在n中是可求和的，因此一致收敛和收敛速度的证明是完整的。仍然需要证明Iπ的p-变分范数的一致界和极限的H¨older连续性。设p>2，写出α=1/p，这样α∈ (0, 1/2). 首先让u=k2-N∈(-K、 K）并写出v=（K+1）2-n、 ThenIπnt（v）- Iπnt（u）=∞Xk=0（Fnτnk（v）- Fnτnk（u））（Sτnk∧T- Sτnk-1.∧t） ，和之前一样，我们有supt≥0 |（Fnτnk（v）-Fnτnk（u））（Sτnk∧T-Sτnk-1.∧t） |≤ 2.-n+1。在AK上，Fnτnk（u）6=Fnτnk（v）的停止时间（τnk）kW的数量从上到下以2K2nn+1为界，因此我们可以像以前一样估计监督∈[0，T]supu，v∈R:| u-五|≤2.-n | Iπnt（v）- Iπnt（u）|≥ 2.-nα∩ AK≤ 经验(-2n（1/2-α） 对于一些合适的常数C=C（K）>0。我们得出结论，对于典型的价格路径ω∈ Ohm 存在C=C（ω）>0这样的情况∈[0，T]sup | u-五|≤2.-n | Iπnt（v）- Iπnt（u）|+supt∈[0，T]supu∈R | Iπnt（u）- Iπn-1t（u）|≤ C2-nα表示所有n∈ 让我们现在∈ N让u，v∈ R加1≥ |U- v|≥ 2.-n、 让我≤ n是这样的-M-1<| u- v|≤ 2.-m、 然后| | Iπn（v）- Iπn（u）||∞≤ ||Iπn（v）- Iπm（v）||∞+ ||Iπm（v）- Iπm（u）||∞+ ||Iπm（u）- Iπn（u）||∞≤ CnXk=m+1-kα+2-mα+nXk=m+1-kα！≤ C2-mα≤ C | v- u |α，可能在每个步骤中调整C>0的值。因为Iπntis常数在2的并矢区间上-n、 这证明了supt∈[0，T]| | Iπnt | | p-var≤ C