当地时间典型价格路径和路径田中公式

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英文标题：
《Local times for typical price paths and pathwise Tanaka formulas》
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作者：
Nicolas Perkowski, David J. Pr\\\"omel
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Following a hedging based approach to model free financial mathematics, we prove that it should be possible to make an arbitrarily large profit by investing in those one-dimensional paths which do not possess local times. The local time is constructed from discrete approximations, and it is shown that it is $\\alpha$-H\\\"older continuous for all $\\alpha<1/2$. Additionally, we provide various generalizations of F\\\"ollmer\'s pathwise It\\^o formula.
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中文摘要：
根据一种基于套期保值的无模型金融数学方法，我们证明了通过投资于那些不具有本地时间的一维路径，可以获得任意大的利润。局部时间是由离散近似构造的，并且证明了对于所有的$\\alpha<1/2$，局部时间都是$\\alpha$-H”连续的。此外，我们还提供了F“ollmer的路径it”o公式的各种推广。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Local_times_for_typical_price_paths_and_pathwise_Tanaka_formulas.pdf (219.45 KB)

2022-5-6 05:47:56 上传

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关键词：当地时间 Dimensional constructed mathematics Continuous

典型价格路径和路径田中公式的当地时间*Nicolas Perkowski+Ceremake&CNRS UMR 7534巴黎大学-Dauphineperkowski@ceremade.dauphine.frDavid德国柏林大学洪堡大学Mathematikproemel@math.hu-柏林。deAugust 8，2018Abstracts根据一种基于套期保值的方法对自由金融数学建模，我们证明了通过投资于那些没有当地时间的一维路径，可以获得任意大的利润。局部时间是由离散近似构造的，并且证明了对于所有的α<1/2，局部时间都是α-H¨older连续的。此外，我们还提供了F¨ollmer的路径It^o公式的各种推广。关键词：It^o公式，当地时间，模型不确定性，田中公式。MSC 2010分类：初级：60H05，60J60。中学：91G99。1简介本文使用Vovk的[Vov12]博弈论方法进行数学融资，为“典型价格路径”构建当地时间。Vovk的方法基于一个外部度量，它由最便宜的路径超边缘价格给出，并且它不假定任何概率结构。我们定义了当地时间的离散版本，并证明在一组外测度为零的情况下，它们收敛到一个连续极限。粗略地说，这意味着，通过投资于离散时间收敛失败的路径，应该可以获得任意大的利润。一个很好的结果是，当坐标过程满足“第一类无套利机会”的经典条件，即。

其漂移对于局部鞅部分的二次变化具有平方可积密度。利用这些路径局部时间，我们导出了变量公式的各种路径变化，它推广了F¨ollmer的路径It^o公式[F¨ol81]，就像经典的Tanaka公式推广了经典的It^o公式一样。特别是，我们可以将f（S）与非典型价格路径S进行积分，只要f对某些q<2有有限的q变化。这项工作是[PP13]的延续，我们使用Vovk的方法表明，在多维环境中，每个典型的价格路径都有一条自然的It^o粗糙路径*我们感谢彼得·伊姆凯勒和约翰·鲁夫就这一主题进行了有益的讨论。我们要感谢亚历山大·考克斯在之前版本的论文中指出了一个小错误。+N.P.得到巴黎数学基金会（FSMP）和法国国家研究机构（a NR）监督的公共拨款的支持，作为“Avenir投资”项目的一部分（参考：ANR-10-LABX-0098）。—D.J.P.获得了DFG研究培训组1845年“统计分析在生物学、金融和物理学中的应用”的博士奖学金。里昂[98]与之相关。基于此，我们建立了一个路径整合理论，其动机是在无模型金融数学中的可能应用。利用[PP13]的技术，我们能够处理不一定是积分器函数的被积函数。但是如果我们想要构造rf（S）dS，那么我们需要f∈ C1+ε。

本文的目的是证明，对于一维价格过程，这个假设可以大大放宽。我们的动机来自[DOR14]，其中pathwise local times和Apthwise广义It^o公式用于推导无模型环境下加权方差WAP的无套利价格。[DOR14]的技术允许在Sobolev空间H中处理被积函数。在这里，我们将其扩展到某些q<2的有限qvariation的不一定连续被积函数。进一步的动机可以在调查文件[FS13]中找到，该文件将路径整合的可能应用分阶段地应用于稳健的套期保值问题，或者在[CJ90]和[Son06]中，当地时间在金融环境中自然出现，并用于解决所谓的“止损-开始-收益悖论”。我们参考[PP13]更详细地讨论了无模型金融中路径随机积分的必要性。第二节我们在当地时间的适当假设下，给出了F？ollmer的路径It^o公式的各种扩展。在第3节中，我们证明了典型的价格路径具有满足第2.2节中所有假设的局部时间。Pathwise Tanaka formu laA是F¨ollmer在[F¨ol81]中引入的第一种随机演算非概率方法，其中针对一类具有二次变化的实值函数开发了一个It^o公式。这分别为田中公式的路径版本和广义It^of公式建立了我们的起点。让我们先回顾一下F¨ollmer对二次变化的定义。划分π是一个递增序列0=t<t<。没有累积点，可能会获得价值∞.

对于T>0，我们用π[0，T]：={tj:tj表示∈ [0，T）}∪ {T}划分π限制为[0，T]，如果S:[0，∞) → R是我们写的一个连续函数（S，π[0，T]）：=maxtj∈π[0，T]\\{T}S（tj）- S（tj-1） |对于间隔[0，T]上沿S的π的网格大小。我们用B（[0，∞ )) Borelσ-代数[0，∞ ).定义2.1。设（πn）是一个划分序列，设∈ C（[0，∞), R） 就是这样→∞对于所有的T>0，m（S，πn[0，T]）=0。我们说，如果度量序列un:=Xtj，S沿（πn）有二次变化∈πn\\{∞}（S（tj+1）- S（tj））δtj，n∈ N、 在（[0，∞), B（[0，∞))) 模糊地收敛到无原子的非负氡测度u，其中δt表示t处的狄拉克测度∈ [0, ∞). 我们写hSi（t）：=u（[0，t]）表示u的连续“分布函数”，Q（πn）表示沿（πn）具有二次变化的所有连续函数集。之所以只要求limnm（S，πn[0，T]）=0，而不是假设（πn）的网格大小为零，是因为稍后我们将使用具有分段常数部分的Lebesgue分区和路径，在这种情况下，只有第一个假设成立。我们强调，Q（πn）依赖于序列（πn），对于给定的路径，沿着两个不同的分区序列的二次变化可能是不同的，即使两者都存在。这是非常令人不快的，可能会导致读者质疑我们的结果的有用性。但值得注意的是，有一大类路径具有自然的路径二次变量，与用于计算它的特定分区无关。更准确地说，在大师的论文[Lem83]中，也见[CLPT81]，引入了二次弧长的概念。粗略地说，如果路径S沿任何Lebesgue划分序列的二次变化等于a，则路径S具有二次弧长a。

[Lem83]定理III.3.3中显示，连续半鞅的几乎每个样本路径S（ω）都有一个二次弧长，它等于半鞅的二次变分hSi（ω）。同样的定理还表明，连续半鞅的几乎每个样本路径都有一个自然的局部时间，它可以通过计算区间上交来获得。为了k∈ N对于k次连续可微函数的空间，我们写Ck=Ck（R，R），对于以有界导数为界的函数的空间，写Ckb=Ckb（R，R），用通常的范数k·kckkb。定理2.2（[F¨ol81]）。设（πn）是一个划分序列，设∈ Q（πn）和f∈ C.然后，路径It^o公式f（S（t））=f（S（0））+Ztf′（S（S））dS（S）+Ztf′（S（S））dhSi（S）与Ztf′（S（S））dS（S）：=limn保持一致→∞Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t） ）t∈ [0, ∞), （1） 其中（1）中的级数是绝对收敛的。特别是，定义了所有g的积分r·g（S（S））dS（S）∈ C、 而对于所有T>0的情况，则映射为Cb G7→R·g（S（S））dS（S）∈ C（[0，T]，R）定义了一个有界线性算子，我们有Ztg（S（S））dS（S）≤ |S（t）- S（0）|×kgkL∞（补充[0，t]）+hSi（t）kg′kL∞（补充[0，t]）所有t≥ 0，其中supp（S |[0，t]]）表示限制在区间[0，t]内的S的支撑。F¨ollmer实际上需要网格大小maxtj∈πn\\{t}，tj≤T|tj- tj-1 |在所有T>0时收敛到零，但他也考虑了c`adl`ag函数S。对于连续S，证明仅使用m（S，πn[0，T]）收敛到零。It^o积分的连续性是其最重要的性质之一：如果我们在合适的拓扑中逼近被积函数，那么近似积分的概率收敛到正确的极限。这在应用中是绝对关键的，例如在解决随机优化问题或SDE时。

在这里，我们主张一条固定路径，因此OREM 2.2中的陈述是我们上下文中连续性属性的自然表述。在连续半鞅理论中，It^o公式可以进一步推广到凸函数的广义It^o规则，例如参见[KS88]中的定理6.22。在F¨ollmer的精神中，在Wuerli[Wue80]未发表的毕业论文中，导出了适用于Sobolev空间中函数的广义It^o规则。我们在此简要回顾一下[Wue80]或[DOR14]中提出的这种路径版本的想法。设f′是右连续且局部有界变化的，我们为x设置f（x）：=R（0，x]f′（y）dyx≥ 0和f（x）：=-R（x，0]f′（y）dy表示x<0。然后我们得到b≥ a thatf（b）- f（a）=f′（a）（b）- a） +Z（a，b）（f′（x）- f′（a））dx=f′（a）（b- a） +Z（a，b）（b）- t） df′（t），这里我们使用了部分积分，右边的积分是用黎曼-斯蒂尔杰斯意义来理解的。对于b<a，我们得到f（b）- f（a）=f′（a）（b）- a） +R（b，a）（t）- b） df′（t）。因此，对于任何∈ C（[0，∞], R） 以及我们有f（S（t））的任何配分π- f（S（0））=Xtj∈πf′（S（tj）∧ t） ）（S（tj+1）∧ （t）- S（tj∧ t） ）+Z∞-∞Xtj∈πLS（tj）∧t） ，S（tj+1∧t） K（u）| S（tj+1）∧ （t）- u|df′（u），（2）其中我们使用了符号lu，vK:=（（u，v），如果u≤ v、 （v，u），如果u>v，则表示u，v∈ R.让我们通过设置lπt（S，u）：=Xtj来定义离散的本地时间∈πLS（tj）∧t） ，S（tj+1∧t） K（u）| S（tj+1）∧ （t）- u |，u∈ R、 注意Lπt（S，u）=0表示u/∈ [infs∈[0，t]S，sups∈[0，t]S（S）]。在下面我们可以省略S，只写Lπt（u）。定义2.3。设（πn）是一个划分序列，设∈ C（[0，∞), R） 。A函数l:[0，∞) ×R→ R被称为S沿（πn）的L局部时间，如果对于所有t∈ [0, ∞) 它保持着苗条→∞m（S，πn[0，t]）=0，离散路径局部时间Lπnt（S，·）在L（du）到Lt（S，·）之间弱收敛为n→ ∞.

我们为所有具有L-局部时间的连续函数集（πn）写LL（πn）。利用当地时间的这一定义，Wuerli证明了以下定理，其中wedenote by Hk=Hk（R，R）函数的Sobolev空间是L（R，R）中弱可微函数的k倍。定理2.4（[Wue80]，Satz 9或[DOR14]，命题B.4）。设（πn）是一个划分序列，设∈ LL（πn）。然后是S∈ Q（πn），对于每一个f∈ h广义路径It^of公式f（S（t））=f（S（0））+Ztf′（S（S））dS（S）+Z∞-∞f′（u）Lt（S，u）duholds与ztf′（S））dS（S）：=limn→∞Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t） ）t∈ [0, ∞ ).（注意f′对于f是连续的。）∈ H） 。特别是，积分r·g（S（S））dS（S）是为所有g定义的∈ H、 对于所有的T>0，地图H G7→R·g（S（S））dS（S）∈ C（[0，T]，R）定义了丰富的线性算子。此外，为了∈ B（R）我们有职业密度公式，t（u）du=ZtA（S（S））dhSi（S），t∈ [0, ∞).换句话说，不管怎样≥ [0，t]上S的占位测度相对于勒贝格测度是绝对连续的，密度为2Lt。证据的草图。公式（2）结合f和S的连续性yieldsf（S（t））- f（S（0））=Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t） ）+Z∞-∞Xtj∈πnLS（tj）∧t） ，S（tj+1∧t） K（u）| S（tj+1）∧ （t）- u|f′（u）du。根据假设，右边的第二项收敛于toR∞-∞f′（u）Lt（S，u）du as tents to∞, 所以黎曼和也必须收敛。占领密度公式由连续函数近似得出。正如Bertoin[Ber87]所观察到的，F¨ollmer的路径随机积分的这个扩展的关键点再次是，它是由H上的连续线性算子给出的≥ 0，同样的参数也适用于H中局部存在的函数f，即。

使f |（a，b）∈ H（（a，b，R）代表所有- ∞ < a<b<∞.当我们对局部时间L（S）做出更有力的假设时，我们自然会期望将Wuerli的广义it^o公式推广到更大的函数空间。定义2.5。设（πn）是一个划分序列，设∈ LL（πn）。我们说S在（πn）上有一个连续的局部时间，如果对于所有t∈ [0, ∞) 离散路径局部时间Lπnt（S，·）一致收敛到一个连续极限Lt（S，·）为n→ ∞ 如果（t，u）7→ Lt（S，u）是连续的。我们为沿（πn）具有连续局部时间的所有S的集合编写Lc（πn）。在下面的定理中，BV=BV（R，R）表示右连续有界变分函数的空间，具有总变分范数。定理2.6。设（πn）是一个划分序列，设∈ Lc（πn）。让f:R→ R与局部有界变差的右连续Radon-Nikodym导数f′是绝对连续的。然后我们得到了变量公式f（S（t））=f（S（0））+Ztf′（S（S））dS（S）+Z的广义变化∞-∞Lt（u）df′（u）表示所有t∈ [0, ∞), 式中ztf′（S（S））dS（S）：=limn→∞Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t） ）t∈ [0, ∞). （3） 特别是，对于局部有界变化的所有g，以及对于所有T>0，定义了整数r·g（S（S））dS（S） G7→R·g（S（S））dS（S）∈ C（[0，T]，R）定义一个有界线性构造器。证据从（2）我们得到f（S（t））- f（S（0））=Xtj∈πnf′（S（tj））（S（tj+1∧ （t）- S（tj∧ t） ）+Z∞-∞所有t的Lπnt（u）df′（u）≥ 0.由于LπNt一致收敛于Lt，我们的主张立即成立。观察f满足定理2.6的假设，当且仅当它是两个凸函数的差。对于这样的f，Sottinen和Viitasaari[SV14]证明了一类高斯过程变量公式的广义变化。

他们很好地观察到，对于一个合适的高斯过程X，人们可以控制f′（X）的分数贝索夫正则性，他们利用这一观点来构造分数积分。这种规律性的结果有些令人惊讶，因为一般来说，f′（X）甚至不是l\'adl\'ag，所以特别是对于任何p>0的情况，都没有明确的变化。但是，由于f′（X）的正则性是用概率参数表示的，所以Sottinen和Viitasaari的积分并不是直接的路径对象：其外部的零集可能依赖于f。此外，它们只能处理α阶>1/2的H¨older连续高斯过程，并且当考虑具有非平凡二次变化的过程时，它们的方法会崩溃。这里我们有一个完全不同的重点，因为我们对具有非平凡二次变化的路径的路径结果感兴趣。作为定理2.6的直接结果，我们得到了经典田中公式的路径版本。推论2.7。设（πn）是一个划分序列，设∈ Lc（πn）。路径塔纳卡迈耶公式（u）=（S（t）- u）-- （S（0）- u）-+Zt(-∞,u） （S）dS（S）对所有（t，u）有效∈ [0, ∞) ×R，用符号（·表示）- u）-:= 最大{0，u- ·}. 1[u]的类似公式，∞)（·）和sgn（·）- u） 等等。在这一点上，我们看到了一幅画面：局部时间的规律性越强，函数的空间就越大，我们可以将路径随机积分扩展到这个空间。事实上，前面的例子都是基于被积函数的导数和职业测度之间的对偶性。在经典的F¨ollmer It^o情况下，对于固定时间T≥ 0，占领测度只是紧区间[a，b]上的有限测度，当然，连续函数属于[a，b]上有限测度的对偶空间。