当地时间典型价格路径和路径田中公式

极限的α-H-代数连续性也是这样表示的。我们把构造L的问题简化为构造某些积分的问题。在[PP13]推论3.6中，我们给出了随机积分的一般路径构造。但是这个结果不适用于这里，因为一般来说(-∞,u） （S）不是c\'adl\'ag。备注3.6。定理3.5给出了一个简单的、无模型的证明，证明了局部时间的存在和性质。让我们再次强调，通过命题3.3，定理3.5中的所有陈述对于(Ohm, F） 其中S satis fies（NA1）。下面，我们以Vovk的pathwise Dambis Dubi ns Schwarztheorem为基础，勾勒出另一种证明。虽然我们对典型价格路径的陈述感兴趣，它先验地强于所有满足（NA1）的测度的准肯定结果，但也可以通过观察每个满足（NA1）的过程都允许一个支配局部鞅测度来获得准肯定陈述，参见[Ruf13，IP15]。在局部鞅测度下，我们可以执行时间变化，将坐标过程转化为布朗运动，然后我们可以调用布朗运动的标准结果，对于布朗运动，除了一个定理3.5的所有陈述都是众所周知的：我们在文献中找不到的唯一结果是离散局部时间的p-变化的一致有界性。备注3.7。注意，对于u=k2-N与k∈ 我们有Lπnt（u）=2-无损检测（美国）- 2.-n、 u）+ε（n，t，u）对于某些ε（n，t，u）∈ [0, 2-n] 。因此，我们的证明还表明，重整化的交叉点一致收敛于当地时间，速度至少为2-nα表示α<1/2。布朗运动是众所周知的，参见[CLPT81]；另请参见[KH94]了解收敛的实际速度。在布朗的情况下，我们实际上知道的更多：在一个固定的零集外，wehavelimε→0supx∈Rsupt∈[0，T]|ε-1Dt（x，x+ε）- Lt（x）|=0表示所有T>0。

在我们的设置中，也应该可以恢复此结果。一旦我们证明了定理3.5关于下列类型的划分序列（eπn）的路径估计：设（cn）是一个收敛到0的严格正数序列，这样cn+1/cn收敛到1。需求：={kcn:k∈ Z} 。现在定义eπnasπn，取代DnbyeDn。唯一的问题是，我们不能期望序列（eπn）增加，这会使演示复杂化，这就是为什么我们更喜欢使用并矢Lebesgue划分。最后，我们想指出，定理3.5也可以通过依赖Vovk[Vov12]的路径Dambis-Dubins-Schwarz型定理得到部分证明，该定理允许将一维维纳过程的性质转移到典型的价格路径。如上所述，Vovk的外部度量与P的定义稍有不同，但在aQ空集之外为真的所有结果在P空集之外也是真的；见第2节。第4页，共[PP13]。为了理解Vovk的路径Dambis-Dubins-Schwarz定理，我们需要调用时间超变集的定义。定义3.8。连续非递减函数f:[0，∞) → [0, ∞) 满足f（0）=0被认为是一种时间变化。A子集A Ohm 对于每个ω，称为时间变量∈ Ohm 每一次时间变化ωo F∈ A意味着ω∈ A.粗略地说，Vovk在[Vov12]的定理3.1中证明了一次上变集的维纳测度等于该集的外测度。结果表明，setsAc:={ω∈ Ohm : S（ω）∈ Lc}andAc，p:={ω∈ Ac:u 7→ Lt（S，u）（ω）对所有t都有有限的p-变化∈ [0, ∞)}时间是超变量的。

基于此，我们可以依赖维纳过程的经典结果（见[KS88]，定理3.6.11或[MP10]，定理6.19）来证明，典型的价格路径有一个绝对连续的占用测度Lt（S，u），具有共同连续的密度，并且Lt（S，·）具有有限的p-变化，在t中一致有界∈ [0，T]表示所有T>0和所有p>2（参见[MP10]，定理6.19）。然而，据我们所知，另一种方法并没有给出近似序列（Lπn）的p-变化的一致性：我们无法在布朗运动的文献中找到这样的结果。如果没有这一点，我们将只能证明定理2.8的一个抽象版本，其中路径随机积分g（Ss）DSS是通过用光滑函数逼近g定义的，F¨ollmer It^o公式定理2.2适用于此（参见[FZ06]了解半鞅上下文中的类似参数）。由于我们对路径积分的伊曼和解释感兴趣，我们需要定理3.5来确保定理2.8的所有要求都满足典型价格路径。参考文献[Ber87]Jean Bertoin，Dirichlet过程中的临时位置和整合随机性，S\'eminaire de Probabilit\'es，XXI，数学课堂讲稿。，第1247卷，柏林斯普林格，1987年，第191-205页。[BY81]尼古拉斯·布洛和马克·约尔，C.R.阿卡德，半鞅位置变化研究所。Sci。巴黎S\'er。I Math（1981），第292491–494号。[CJ90]Peter P.Carr和Robert A.Jarrow，《止损-开始-收益悖论与期权估值：内在价值和时间价值的新分解》，《金融研究3回顾》（1990），第3期，第469–492页。[CLPT81]R.V.Chacon，Y.Le Jan，E.Perkins和S.J.Taylor，布朗运动和Levy过程的广义弧长。，Z.Wahrscheinlichkeitstoro。没错。格布。

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