结合Alpha流和成本

我们有以下关于wi的最小化方程，i∈ J：λXj∈JCijwj- αi+Liηi=0，i∈ J（23）与方向i相对应的全局极小值还有其他条件∈ J′：λNXi，J=1Cij（wi+i）（wj+J）-NXi=1（αi（wi+i）-Li | wi+i |）≥λNXi，j=1Cijwiwj-NXi=1（αiwi）- Li | wi |）（24）更重要的是，协方差矩阵采用因子模型形式时会出现这种情况——见下文。附录B中讨论了全局最佳条件。其中wi，i∈ J由（23）确定，而wi=0，i∈ J′。条件（24）必须满足，包括任意极小i。考虑到条件（23），这些条件可以改写为：∈J′λXi∈JCijwij- αjj+Lj|j|！≥ 0（25）自j，j∈ J′是任意的（一个极小的lbeit），这给出了以下条件：J∈ J′：λXi∈JCijwi- αj≤ Lj（26）这些条件必须由（23）的解满足。使g（w，λ）最小的解由wi=λXj给出∈JDij（αj）- Ljηj），i∈ J（27）和D是N（J）×N（J）矩阵Cij，i，J的逆矩阵∈ J、 其中N（J）≡|J |是J:Xk的元素数∈JCikDkj=δij，i，j∈ J（28）即，D不是N×N矩阵Cijto i，J的逆o的限制∈ J.下面的观察是正确的。在上述解中，我们先验地不知道i）子集J′是什么，ii）ηi的值是什么∈ 这意味着，在先验中，我们总共有3种可能的组合（包括冗余的空J情况），所以如果我们通过这个有限集，我们将精确地解决这个问题。然而，对于任何数量可观的阿尔法来说，3n都是一个令人望而却步的大数字，我们实际上假设它很大，因此需要一种更聪明的方法来解决这个问题。3.1因素模型我们需要减少迭代次数。在这方面，以下观察是有用的。假设Cij是对角的：Cij=ξiδij。

然后（25）个简单，我们有wi=0表示i∈ J′使得|αi |≤ 李，而我∈ J如|αi |>Lifrom（23）我们有ηi=符号（αi）和wi=[αi]- Lisign（αi）]/λξi.e.，在这种情况下，我们不需要任何迭代。这表明，如果我们减少Cij的“有效性”，所需的迭代次数也应该减少。因为这里的i被认为是极小值，所以这些是局部极小值的条件。在附录B中，我们证明了我们在这里找到的局部最小值是全局最小值。这可以通过考虑因子模型f或alphas来实现。就像在股票多因素风险模型中一样，我们处理的不是N Alpha，而是F<< n风险系数和协变量矩阵Cijis替换为Γij，由Γ给出≡ Ξ + Ohm Φ OhmT（29）Ξij≡ ξiδij（30），其中ξi是每个αi的特定风险；OhmIa是一个n×F因子loadings矩阵；Φabi是因子协方差矩阵，A，B=1，F也就是说，与N个α相关的随机过程ΥI通过N个随机过程zi（对应于特定风险）和F个随机过程fA（对应于因子风险）建模：ΥI=zi+FXA=1OhmiAfA（31）hzi，zji=ij（32）hzi，fAi=0（33）hfA，fBi=ΦAB（34）hΥi，Υji=ij（35）而不是N×N协方差矩阵cij我们现在有一个F×F协方差矩阵ΦAB。下面我们将设置c=ij≡ Ξ+eOhmEOhmT（36）eOhm ≡ OhmeΦ（37）eΦeΦT=Φ（38），其中eΦabi是ΦAB的Cholesky分解，假设为正定义。有很多方法可以为阿尔法流构建因子模型。在这里，我们简单地假设协方差矩阵的因子模型形式，而不深入研究它是如何构造的。让我们简要地提到一种明显的可能性：可以使用协方差矩阵的第一个F主分量作为因子加载矩阵。然后需要构建特定的风险和因素协方差矩阵（其本身并不重要）。

这基本上是一种恰当的方法。3.2因子模型优化在fa-cto r-模型框架中，优化问题简化为求解F维系统，如下所示。首先，莱塔≡NXi=1wieOhmiA=Xi∈JwieOhmiA，A=1，F（39）关于阿尔法流因子模型的更详细讨论将在forthcomingpaper中发表。从（23）我们得到wi=λξiαi- Liηi- λFXA=1eOhmiAvA！，我∈ J（40）回想一下我们有iη>0，i∈ J（41）我们得到ηi=符号αi- λFXA=1eOhmiAvA！，我∈ J（42）我∈ J:αi- λFXA=1eOhm伊瓦瓦> 李（43）我∈ J′：αi- λFXA=1eOhm伊瓦瓦≤ Li（44），其中（43）跟在fr om（40）和（41）后面。最后两个不等式定义了F未知数vA的J和J′。将（40）代入（39），我们得到了funnowns vA的F方程组：FXB=1QABvB=aA（45），其中qab≡ δAB+Xi∈日本脑炎Ohm依斯克拉OhmiBξi（46）aA≡λXi∈日本脑炎OhmiAξi[αi- Liηi]（47）所以我们有va=FXB=1Q-1ABaB（48）式中Q-1是Q的倒数。注意，（48）求出了可变ηi，J和J′。另一方面，（42）、（43）和（44）根据vA确定ηi、J和J′。然后可以对整个系统进行求解。用于求解系统（42）、（43）、（44）和（48）的迭代过程的算法被归入附录C。让我们强调it时代的过程是有限的，即它在有限的迭代次数中收敛。4重量优化中的影响接下来，让我们讨论一下影响，即非线性成本对重量优化的影响。通常，引入非线性影响会使权重优化问题在计算上更具挑战性，需要引入近似方法。模拟交易成本的一种方法是引入线性和非线性项：P=INXi=1αiwi- L-D-nQ Dn（49），其中D=it是交易的美元金额，T是营业额，而Q和n>1取决于模型（可以通过经验测量）。

如果我们使用（14）来建模营业额，那么我们有p=INXi=1（αiwi）- Li | wi |）-方程n“NXi=1τi | wi | n（50），其中模数说明了某些wi为负值的可能性，andeQ定义如下：≡ Q（Iρ）*)n（51）对于一般分数n，必须通过经验测量，权重优化问题必须通过数值求解。有时n被假定为3/2。在这里，我们保持它的随意性。首先，注意如果单个失误τi≡ τ是相同的，那么非线性成本对P的贡献与wias（9）无关。在这种情况下，它简单地将P移动一个常数，这个问题就可以像上一节一样完全解决。如果τi不完全相同，那么我们需要解决以下问题：g（w，λ）≡NXi，j=1Cijwiwj-NXi=1（αiwi）- Li | wi |）+eQ′n“NXi=1τi | wi | n（52）g（w，u，eu）→ 最小（53）式≡eQI（54）在这里，人们可以使用连续迭代来处理非线性项，必须解决与收敛相关的各种稳定性问题。一种更简单的方法是指出，非线性项的关键作用是建模投资组合的能力。事实上，在这种情况下，线性成本的贡献也会使P移动一个常数。我们指的是投资水平I=I的价值*其中P&L Popt（I）最大化，其中对于任何给定的I，P&L Popt（I）是针对优化权重wi计算的。当非线性成本存在时，容量是无限的。当非线性成本包括在内时，我*现在是最后一天。它依赖于I，而不是它在单个字母方面的详细结构。

在这方面，以下近似是简化问题的合理方法。让τ≡NXi=1τi（55）eτi≡ τi- τ（56）如果eτi的分布是一个小的标准偏差，那么我们可以使用以下近似值（我们使用的是（9））：“NXi=1τi | wi |n≈τn+nτn-1NXi=1eτi | wi |（57）目标函数可以重写为（非物质常数项的模）g（w，λ）≈NXi，j=1Cijwiwj-NXi=1α-iwi-伊莱|维|（58）何处≡ Li+eQ′τn-1τi=Li+Qρn*在里面-1τn-1τi（59），也就是说，在这种近似下，非线性项的影响减少到线性滑动的增加，我们可以解决这个问题，如前一节所述。然而，并不是说“有效”线性成本取决于投资水平Ivia（59），后者现在控制着产能。因此，对于我来说i=1，N:伊莱≥ |αi |（60）损益不能为正，因此容量i*是有限的（见脚注16）。5回归到优化的极限让我们回到没有成本的优化。Sha r pe比通过wi=γNXj=1C最大化-1ijαj（61），其中γ是归一化常数。让Cij有一个因子模型形式：Cij=viδij+KXA=1∧iA∧jA（62），其中via是特定方差，∧iA，a=1，K是因子载荷矩阵，其中因子协方差矩阵是恒等式矩阵。我们有wi=γviαi-NXj=1αjvjKXA，B=1∧iA∧jBQ-1AB！（63）其中Q-1与Qab相反≡ δAB+NXl=1vlΛlA∧lB（64）注意，对于N=1和K=1，我们有w=γαv+λ（65），它复制了（61）。5.1回归极限vi≡ ζevi（66）考虑以下极限：ζ→ 0 (67)γ → 0 (68)γζ≡ eγ=fixed（69）evi=fixed（70）在这个极限中，我们有wi=eγeviαi-NXj=1αjevjKXA，B=1∧iA∧jBeQ-1AB！≡eγeviεi（71），其中-1与Eqab相反≡NXl=1evlΛlA∧lB（72）注意nxi=1wi∧iC≡ 0，C=1。

，K（73），即因子协方差矩阵被吸收到因子载荷矩阵的定义中。实际上，εi是αiover∧iA（无截距）加权回归（权重为1/evi）的残差。如果所有重量都相同evi≡ 当我们有一个等重回归：αi=KXA=1∧iAηA+εi（74），其中ηA是回归系数（用矩阵表示法）：η=∧T∧-1∧Tα。5.2有成本的回归极限我们可以在有成本的第3节的解中采用类似的极限。在这个极限下，我们有ξi≡ ζeξi（75）λ≡eλ/ζ（76）ζ→ 0（77）eξi=fixed（78）eλ=fixed（79）在这个极限（40）中减少towi=εieλeξi（80），其中εi是αi的加权回归（加权1/eξi）的残差-LiηiovereOhmiA（无截获）。我们可以在第3节末尾讨论的迭代过程中使用（80）（而不是（40）），该过程现在定义了“线性成本回归”（相对于线性成本优化），并且在全因子模型未知，但因子加载情况下非常有用Ohm我可以建造。这方面的一个例子是当观测（M+1）孔数很小时（M<< N） 因此协方差矩阵Cijis是奇异的，只有Mnon消失的特征值eA。

在这种情况下，人们可以使用，例如，第一个M主成分PiA（对应于非零特征值eA）来构造因子荷载OhmiA=√eAPiA和foreξione可以使用，例如Cii（均为正值）。最后，我们还可以考虑使用线性回归，并在第4节中讨论。线性成本在本附录中，我们将更详细地讨论线性成本，从基础单个股票的线性成本开始，我们将根据单个股票的价格来讨论线性成本，而对于回归，我们实际上可以设置哪些成本OhmiA=形式的任何变换Ohm →EOhm Z、 其中Z是任意非奇异M×M矩阵，不会改变回归残差（a lbeit，它影响回归系数）。Pad和相应的卷被转换为QiA。这里的指数A=1，NSlabelsstocks，其中NSI是交易的股票总数。在e之前，i=1，N、 其中N是字母数。然后QiA是由αi交易的A标记的股票的数量（即股票数量）。这里的数量QiA是未签名的数量，即QiA≥ 0用于购买和销售。假设Lia是股票交易的每股线性成本，用αi标记A。首先，假设没有内部交叉。然后，按所有字母进行所有股票交易的总线性成本由clin=NXi=1NSXA=1LiAQiA（81）给出。然而，这个等式对于权重优化的目的并不实用。我们需要做一些简化假设，因此我们可以用权重wi来表示clin。以下是两个简化假设。首先，我们假设联络独立于指数i，也就是说，由Ais标记的股票的交易成本独立于alpha交易的股票。这种假设在最普遍的情况下不一定成立。

然而，当股票的数量NSis大且alphas N的数量大时，这是一个合理的近似值，可以认为是将LiA设置为它们的平均值（在所有lpha s上的平均值）≈ 洛杉矶≡NNXi=1LiA（82）秒，在优化中，一个涉及美元持有量，而不是股票持有量——因此，每个阿尔法的美元持有总量（即多头加短头）是高的≡ I | wi |。另一方面，我们可以写出hi=NSXA=1PASiA（83），其中sia是A标记的股票中α所持股份的绝对值。同样，为了解决期权定价问题，也应该在交易金额中给出支付成本。这是通过假设LAI与价格PA（即LA）成比例来实现的≈ 在这里，L独立于A，我们就有了clin≈ LNXi=1NSXA=1PAQiA=L D（84）第二个等式来自组合美元周转率D=PNi=1Di的定义，其中Di=PNSA=1PAQiA是在没有内部交叉的情况下的单个美元周转率。（我们在第2.1节中讨论了存在内部交叉时的营业额减少。）注意Di=D | wi |，T=D/I。此外，（84）的意思是，线性成本约为交易金额的固定部分。

当线性滑动对线性成本有主要贡献时，这是一个合理的近似值——单个股票的线性滑动f大致与平均买卖价差成正比，平均买卖价差与股票价格成线性比例，因此当线性成本在大量股票和大量Alpha上求和时，我们得出上述近似值。第三节我们给出了全局极小的条件：λNXi，j=1Cij（wi+i）（wj+j）-NXi=1（αi（wi+i）-Li | wi+i |）≥λNXi，j=1Cijwiwj-NXi=1（αiwi）- Li | wi |）（85）wi，i∈ J由（23）确定，而wi=0，i∈ J′和i是任意的。在第3节中，我们讨论了任意极小i的这些条件，它给出了局部极小的条件。这里我们讨论了非微元i的上述条件。考虑到（23），我们有λNXi，j=1Cijij+Xj∈J′λXi∈JCijwij- αjj+Lj|j|+xi∈JLi（|wi+i |-|wi|-ηii）≥ 0（86）第一项明显为正半定义，为Cijis正定义，第二项为正半定义，因为（26），这意味着（25），而第三项明显为正半定义，为ηi=符号（wi）。因此，在第3节中找到的局部最小值也是全局最小值。这是因为所有Li>0。C迭代过程初始迭代取J（0）={1，…，N}，因此J′（0）为空，η（0）i=±1，i=1，N（87）而η（0）的值可以是任意的，除非F<< N、 在某些情况下，可能会遇到收敛速度问题。然而，如果选择η（0）i=sign（αi），i=1，N（88）那么迭代过程通常会收敛得相当快。

此外，请注意，该解决方案实际上是精确的，即收敛标准由（回忆一下附录B，这会产生全局最优值）J（s+1）=J（s）（89）给出我∈ J（s+1）：η（s+1）i=η（s）i（90）A.∈ {1，…，F}:v（s+1）A=v（s）A（91），其中s和s+1标记连续的it时代。换句话说，迭代过程是有限的——它在有限的迭代次数中收敛。最后，请注意WII∈ Jare由（40）给出，而wi=0表示i∈ J′。下面的评论是正确的。因为阿尔法αi，i∈ J′不再被交易，我们可以重新计算ρ*在（17）中，使用相应的关联矩阵ixψ′ij≡ ψij | i，j∈J、 使用这样的ρ重新计算wi*重复此过程，直到子集J根据ρ*is computed是wi6=0的子集的相同值，其中wi是基于该ρ计算的*.参考文献[1]T.Schneeweis，R.Spurgin和D.McCarthy，“商品交易顾问绩效中的幸存者偏见”，J.Futures Markets，1996，16（7），757-772。[2] C.Ackerman，R.McEnally和D.Revenscraft，“对冲基金的绩效：风险、回报和激励”，《金融杂志》，1999年，54（3），833-874。[3] S.J.Brown、W.Goetzmann和R.G.Ibbotson，“离岸对冲基金：生存与绩效，19 89-1995”，《商业杂志》，1999年，72（1），91-117。[4] F.R.Edwards和J.Liew，“管理商品基金”，未来市场杂志，1999年，19（4），377-411。[5] F.R.Edwards和J.Liew，“对冲基金与作为资产评估的管理期货”，衍生工具杂志，1999年，6（4），45-6 4。[6] 冯伟和谢德良，“对冲基金入门”，经验金融杂志，1999年，6（3），309-331。[7] B。