结合Alpha流和成本

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英文标题：
《Combining Alpha Streams with Costs》
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作者：
Zura Kakushadze
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We discuss investment allocation to multiple alpha streams traded on the same execution platform with internal crossing of trades and point out differences with allocating investment when alpha streams are traded on separate execution platforms with no crossing. First, in the latter case allocation weights are non-negative, while in the former case they can be negative. Second, the effects of both linear and nonlinear (impact) costs are different in these two cases due to turnover reduction when the trades are crossed. Third, the turnover reduction depends on the universe of traded alpha streams, so if some alpha streams have zero allocations, turnover reduction needs to be recomputed, hence an iterative procedure. We discuss an algorithm for finding allocation weights with crossing and linear costs. We also discuss a simple approximation when nonlinear costs are added, making the allocation problem tractable while still capturing nonlinear portfolio capacity bound effects. We also define \"regression with costs\" as a limit of optimization with costs, useful in often-occurring cases with singular alpha covariance matrix.
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中文摘要：
我们讨论了在同一执行平台上交易的多个alpha流的投资分配，并指出了在没有交叉的单独执行平台上交易alpha流与分配投资的区别。首先，在后一种情况下，分配权重是非负的，而在前一种情况下，分配权重可以是负的。第二，在这两种情况下，由于交易交叉时营业额减少，线性和非线性（影响）成本的影响是不同的。第三，营业额减少取决于交易阿尔法流的范围，因此，如果一些阿尔法流的分配为零，则需要重新计算营业额减少，因此需要一个迭代过程。我们讨论了一种求解具有交叉和线性代价的分配权重的算法。我们还讨论了当非线性成本增加时的一个简单近似，使得分配问题易于处理，同时仍然捕获非线性投资组合容量限制效应。我们还将“带成本的回归”定义为带成本的优化限制，这在阿尔法协方差矩阵奇异的情况下非常有用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-5-6 05:55:09 上传

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关键词：Alpha Pha Optimization Quantitative Applications

将Alpha Stre ams与Cost sZura Kakushadze§+1§QuantigicSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，斯坦福，CT 06905+康涅狄格大学物理系，斯坦福大学广场，CT 06901（2014年5月19日；修订：2014年7月7日）摘要我们讨论了在同一执行平台上交易的多个alph a流的投资分配，并指出了在没有交叉的单独执行平台上交易alph a流与分配投资的差异。首先，在后一种情况下，分配权重是非负的，而在前一种情况下，分配权重可以是负的。其次，在这两种情况下，由于交易交叉时营业额减少，线性和非线性（影响）成本的影响是不同的。第三，营业额减少取决于交易阿尔法流的范围，因此如果一些阿尔法流的分配为零，则需要重新计算营业额减少，因此需要一个迭代过程。我们讨论了一个算法，用于确定具有交叉和线性成本的分配权重。我们还讨论了添加非线性成本时的simp近似，使分配问题易于处理，同时仍能捕获非线性投资组合容量约束效应。我们还将“带成本的回归”定义为带成本优化的一个极限，在具有奇异阿尔法协方差矩阵的经常发生的环情况下非常有用。关键词：对冲基金、alpha stream、交叉交易、交易成本、影响、portfo lio营业额、投资分配、权重优化电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的目的仅限于表明其在出版物中的专业职责。

特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，也绝不代表Quantigic Solutions LLC网站www.Quantigic的观点。或他们的任何其他伙伴。1动机和总结将多个对冲基金alpha streams组合在一起有利于多元化。然后需要确定如何将投资分配到这些不同的α流αi中，或者从数学上讲，如何确定投资分配给各个α的权重。如果单个alpha流在单独的执行平台上交易，则权重为非负：wi≥ 0.这适用于基金工具的对冲基金，该基金在单个对冲基金alpha流中持有多头头寸，以及只持有多头的共同基金。此外，这与是否包含交易成本无关。因此，投资分配问题是一个投资组合优化问题，根据优化标准来确定权重——例如，最大化夏普比率、损益、最大化损益（受制于夏普比率的条件），等等——并且这种端口对开优化总是涉及权重非负的要求。由于权重不是负的，如果我们包括线性成本Li，P&L简单地表示为（I是投资水平；更多细节见第2.1节）：P=IXi（αI）- Li）wi（1）因此，增加线性成本Li>0只会降低αi。在同一个执行平台上合并和转换多个对冲基金α流还有一个进一步的好处，即通过内部交叉不同α流之间的交易（与上市相反），可以从交易成本的实质性节约中获益。在这个框架中，字母组合的权重不再需要是非负的。

这是因为，由于不同的字母相互关联，wights的最佳分配可以是，一些字母可以反向交易，而不是它们最初预期的信号。一方面，我们不再有wi≥ 0界，这简化了优化问题。另一方面，当成本包括在内时，这会导致一个复杂的问题，因为无论给定的阿尔法是交易时间长的还是与信号相反的，成本都是正的。例如，在线性成本的情况下，损益现在变成（为了简单起见，假设无论交易方向如何，线性成本相同；更多细节见第2.1节）P=IXi（αiwi）- Li | wi |）（2）有关对冲基金文献的部分列表，请参见[1]-[20]及其参考文献。“阿尔法”指的是任何“预期回报”。从本质上讲，它甚至不需要以股票为基础。有关投资组合优化和相关文献的部分列表，请参见[21]-[55]及其参考文献。有关最近的讨论，请参见[56]。例如，考虑两个α>0和α>0的单位方差和相关性ρ>0，且无成本。夏普比S最大化为w=γ（α- ρα），w=γ（α- ρα），其中γ由|w |+|w |=1固定。如果α<ρα，那么w<0，那么S→ 麦克斯要求“s horting”α。正是Li | wi |中的模量使权重优化问题复杂化，无论是仅在线性成本的情况下，还是在非线性成本——或交易价格的影响——被包括在内的情况下。然而，另一个问题出现在考虑到内部交叉导致的营业额减少时。

在没有内部交叉的情况下，组合订单的营业额T是单个营业额τi（乘以τi）的加权和≡ Di/iI我们指的是单个阿尔法流αi相对于该阿尔法流的总美元投资ii的成交量的百分比（假设该阿尔法流单独交易，不与其他阿尔法流交叉）：t=Xiτi | wi |（3）然而，当交易交叉时，成交量减少，并且当阿尔法流的数量较大时，以下模型有望提供良好的近似值[57]：T≈ ρ*Xiτi | wi |（4），其中0<ρ*≤ 1是营业额减少系数。在[57]中，我们提出了一个估计ρ的谱模型*, 它基于Alpha的相关矩阵，设计用于Alpha数量较大时，且单个翻转τi的分布不歪斜。营业额减少系数ρ*取决于正在交易的阿尔法的范围——上述光谱模型就是这种情况，预计也将成为独立于模型的财产。在这方面，如果在解决优化问题时，一些权重变成bezero，那么ρ*需要在删除相应Alpha的情况下重新计算，并且需要在重新计算ρ的情况下重复优化*. 事实上，这个过程需要反复重复，直到收敛。这是具有内部交叉的阿尔法流优化的另一个特定功能。因此，当alpha在同一执行平台上交易且内部交叉交易时，确定权重的初始分配与在单独的交易平台上组合alpha流时确定权重是一个相当不同的优化问题。在本文中，基于这些差异，我们将在同一交易平台上的alphas Trans与内部交叉相结合的框架内讨论优化问题。

我们讨论了一种算法（需要有限的迭代次数），用于在存在线性成本的情况下查找Wii。优化准则取夏普比最大化，α协方差矩阵取因子模型形式。我们还讨论了这方面的案例，在sa me executio nplatform上交易alpha流时优化alpha流不同于股票投资组合优化。对于股票，没有“内部交叉”或“营业额减少”。另一个不同之处是，对于股票，对于美元中性的投资组合，有一个约束tPada=0，其中dais是a领导的股票实验室e的美元持有量。Foralphas我们的条件是权重Spi | wi |=1。当增加非线性成本（影响）时。在这种情况下，我们讨论了一个简单的近似，它使优化问题易于处理，同时仍然捕捉到对控制投资组合容量边界的投资水平的非线性依赖。我们还讨论了阿尔法协方差矩阵奇异的情况，这在实际应用中经常发生，在这种情况下，我们讨论了如何进行“带成本的回归”，这是带成本优化的一个极限。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们给出了我们的符号和设置。在第3节中，我们将讨论线性成本优化。第4节我们讨论线性成本加上影响的优化。在第5节中，我们讨论了带成本优化的回归极限。2定义和设置有N个αi，i=1，N.每个α实际上是一个时间序列αi（ts），s=0，1，M、 这是最近的一次。低于αi指αi（t）。假设Cijbe是N个时间序列αi（ts）的协方差矩阵。设ψij为相应的相关矩阵，即Cij=σiσjψij（5），其中ψii=1。

如果M<N，则只有M个Cijare的特征值不为零，而余数有“小”值，可以是正的或负的。这些小值是由于计算舍入而扭曲的零。在这种情况下，可以对协方差矩阵进行变形，使其为正定义（基于[58]的变形方法见[57]第3.1小节）。尽管如此，样本协方差矩阵的反对角线元素（或其变形）通常不会在样本外保持稳定。在这方面，我们可以使用更稳定的因子模型协方差矩阵，而不是使用计算（基于阿尔法时间序列）样本协方差矩阵，我们将在本文第3.1节中讨论。首先，我们将忽略交易成本。阿尔法是与重量相结合的。投资组合损益、波动率和夏普比率由P=INXi=1αiwi（6）R=IvuutNXi，j=1Cijwiwj（7）S=PR（8）给出。实际上，这意味着在任何阿尔法时间序列中都不存在N/as。如果me或allalpha时间序列以非均匀方式包含N/A，并且通过省略此类成对N/A来计算相关矩阵，则所得相关矩阵可能具有在上述意义上不“小”的负特征值，即它们不是通过计算四舍五入而扭曲的零。下面提到的变形方法也可以应用于这种情况。我指的是投资水平。任何杠杆都包括在αi的定义中，也就是说，如果给定的α以指数标记l ∈ [1，…，N]在杠杆率为eα之前l（这是原始的无杠杆阿尔法），相应的杠杆率为Kl: 1，然后我们定义αl≡ Kleαl. 根据这一定义，权重满足条件nxi=1 | wi |=1（9）。在这里，我们允许权重为负。

这是因为在这里，我们最感兴趣的是alpha在同一执行平台上交易，并且alpha之间的交易是交叉的，所以我们实际上是在交易组合alpha。由于不同字母之间通常存在非零相关性（即，相关矩阵ψij中至少有一些诊断元素为非零），因此最佳解决方案可能具有一些负权重，即，对一些字母进行反向交易更为理想。在本文中，我们将重点讨论最大化Sharperatio:S的优化→ max（10）我们假设权重没有上限或下限——我们的主要目标是为线性和非线性成本的优化设置框架。在没有成本的情况下，（10）的解由wi=γNXj=1C给出-1ijαj（11），其中C-1是C的倒数，归一化系数γ由（9）确定。在这里，我们不深入探讨任何细节，只假设C是可逆的（例如，通过变形——参见[57]中讨论的基于[58]的方法）。我们将在第5节讨论C是单数的情况。如果Cijis是对角的，我们都有αi>0，那么will也是正的。

然而，当阿尔法之间存在非零相关性时，即使所有阿尔法都是正的，一些权重也可能是负的——脚注7.2.1给出了一个简单的例子。线性成本可以通过从P&L中减去线性惩罚来建模线性成本：P=INXi=1αiwi- L D（12），其中L包括所有固定交易成本（证券交易委员会费用、交易所费用、经纪人-交易商费用等）和线性滑动。线性成本假设没有影响，即为了简单起见，交易行为人假设所有Alpha的线性滑动是一致的。这不是一个关键的假设，可以通过修改Libelow的定义来加以解释。从本质上说，这个假设是为了简化关于减少离职率的讨论。不影响股票价格。假设每个阿尔法交易大量股票。每只股票对线性成本都有其自身的贡献，这取决于其流动性、波动性等。当对大量股票和大量Alpha进行汇总时，线性成本可以建模为与美元成交量（即投资组合交易的美元金额）成比例的线性成本（注意事项参见第10条）≡ I T，其中T是我们简单地称之为营业额（因此营业额T定义为百分比）。详细信息归入附录A，其中一方面讨论了D、T和wi（这是优化讨论中通常使用的数量）之间的关系，另一方面讨论了个别股票价格和交易股票（这是交易成本讨论中通常使用的数量）之间的关系。让τibe表示对应于单个αsαi的营业额。如果我们忽略了组合αs导致的营业额减少（或如果内部交叉被切换为OFF），则t=NXi=1τi | wi |（13），但是，内部交叉tur nover减少可能是实质性的，需要考虑。

在[57]中，我们提出了一个营业额减少的模型，根据该模型，当alphas N的数量较大时，领先的近似值（在t he1/N展开中）由t给出≈ ρ*NXi=1τi | wi |（14），其中0<ρ*≤ 1是营业额减少系数。我们要强调的是，这个公式在大N极限下（只要单个翻转τ的分布不歪斜）是一个很好的近似值，与ρ无关*是模型化的。在[57]中，我们还提出了一个估计ρ的谱模型*基于相关矩阵ψij:ρ*≈ψ（1）N√NNXi=1eV（1）i（15） 式中，ψ（1）是ψijandeV（1）的最大本征值，对应的本征向量归一化为pni=1eV（1）i= 1.然后我们有p=INXi=1（αiwi- Li | wi |）（16）Li≡ Lρ*τi>0（17）注意，在重新缩放wi下→ ζwi（ζ>0）我们有P→ ζP，R→ ζR and=inv。这允许将夏普比最大化条件（10）重新设定为以下最小化问题：g（w，λ）≡λNXi，j=1Cijwiwj-NXi=1（αiwi）- Li | wi |）（18）g（w，λ）→ min（19），其中λ>0是一个自由参数，在根据要求（9）最小化w.r.t.wi（λ固定）后确定。如果没有Li | wi |中的模量，这个优化问题将以封闭形式解决。模数使事情有点复杂。这个问题仍然可以解决，尽管它需要一个有限的迭代过程，即（形式上）解决方案是精确的，并且是在有限次迭代后获得的。3线性成本优化t J和J′是指数i=1，N因此6=0，i∈ J（20）wi=0，i∈ J′（21）设ηi≡ 签字（wi），我∈ J（22）注意，由于模量有一个不连续的导数，最小化方程与设置g（w，λ）w.r.t.的第一个导数为零不同。更具体地说，第一衍生产品是为∈ J、 但对我来说不是∈ J′。