二元动态传染过程的平稳性

，λm）=FT-mXi=1δiλiFλi+ρZ∞f（λ+ey）dH（y）-f（λ）+ ρZ∞f（λ+ey）dH（y）-f（λ）+N-1Xk=1λ2k- 1.Z∞f（λ+e2k+1z）dG1,1（z）- f（λ）+Z∞f（λ+e2k+2z）dG2,1（z）- f（λ）+N-1Xk=1λ2kZ∞f（λ+e2k+1z）dG1,2（z）- f（λ）+Z∞f（λ+e2k+2z）dG2,2（z）- f（λ）,式中λ：=（λ，…，λm）和ei:=（0，…，0，1，0，…）∈ 其中只有第i个元素为1，其他元素均为0。以f为例t、 ∧（1）t，···∧（m）t= E-B（t）∧（1）t-···-假设它是一个鞅。考虑任何T>0，并假设Bi（T）=via和cm（0）=0，则∧（1）T的拉普拉斯变换，以初始条件∧=（1），在（v，…，vm）处∧（m）∈ Rm+isEhe-v∧（1）T-···-vm∧（m）Ti=Ehe-B（T）∧（1）T-···-Bm（T）∧（m）Ti=e-B（0）∧（1）-···-Bm（0）∧（m）-cm（T）。对于任意t，{λi}mi=1，ρ，ρ在R+上，即0=Amff=n，f是鞅的有效条件是Amf（t，λ，λ，…，λm）=0-1Xk=1λ2k- 1小时-˙B2k- 1（t）+δB2k- 1（t）+（^g1,1（B2k+1（t））- 1） +（^g2,1（B2k+2（t））- 1） i+n-1Xk=1λ2kh-˙B2k（t）+δB2k（t）+（^g1,2（B2k+1（t））- 1） +（^g2,2（B2k+2（t））- 1） i+λ2n-1小时-˙B2n-1（t）+δB2n-1（t）i+λ2nh-˙B2n（t）+δB2n（t）i+˙cm（t）+ρ^h（B（t））- 1.+ ρ^h（B（t））- 1..因此，函数序列（Bi（t））mi=1解决了反向递归ODE系统（k=1。

N- 1)-˙B2n（t）+δB2n（t）=0，B2n（t）=v2n，-˙B2n-1（t）+δB2n-1（t）=0，B2n-1（T）=v2n-1.-˙B2k- 1（t）+δB2k- 1（t）+（^g1,1（B2k+1（t））- 1） +（^g2,1（B2k+2（t））- 1） =0，B2k- 1（T）=v2k- 1.-˙B2k（t）+δB2k（t）+（^g1,2（B2k+1（t））- 1） +（^g2,2（B2k+2（t））- 1） =0，B2k（T）=v2k。此外，˙cm（t）+ρ^h（B（t））- 1.+ ρ^h（B（t））- 1.= 0，厘米（0）=0。我们通过取lk（t）：=Bm+1将系统索引和时间向后的系统转换为向前的系统-k（T）- t） =B2n+1-k（T）- t） 。通过构造∧（1）=λ，∧（2）=λ和∧（j）≡ 当j>2时，拉普拉斯变换为0-v∧（1）T-···-vm∧（m）Ti=e-lm（T）∧（1）-···-l（T）∧（m）-cm（T）=e-l2n（T）λ-l2n-1（T）λ-cm（T），（3）其中li（T）和cm（T）求解正向常微分方程组：k=1，N- 1，˙l（t）+δl（t）=0，l（0）=v2n，˙l（t）+δl（t）=0，l（0）=v2n-1，˙l2k+1（t）+δl2k+1（t）- (1 - ^g1,2（l2k（t）））- (1 - ^g2,2（l2k）- 1（t））=0，l2k+1（0）=v2（n-k） ，˙l2k+2（t）+δl2k+2（t）- (1 - ^g1,1（l2k（t）））- (1 - ^g2,1（l2k）- 1（t））=0，l2k+2（0）=v2（n）-（k）-1，˙厘米（t）- ρ1.-^h（l2n（t））- ρ1.-^h（l2n）-1（t））= 0，厘米（0）=0。（4） 注意，ODE系统（4）有一个递归形式L（t）=v2ne的唯一显式解-δt，l（t）=v2n-1e-δt，l2k+1（t）=v2（n-k） e-δt+e-δtZteδs[1- ^g1,2（l2k（s））+1- ^g2,2（l2k）- 1（s））]ds，l2k+2（t）=v2（n-（k）-1e-δt+e-δtZteδs[1- ^g1,1（l2k（s））+1- ^g2,1（l2k）- 1（s））]ds。（5） 此外，cm（T）=ρZTh1-^h（l2n（t））idt+ρZTh1-^h（l2n）-1（t）idt。3.2限制分配我们不引入以下关键条件。条件3.1。（C2）矩阵“uG2,2ΔuG1,2ΔuG2,1ΔuG1,1Δ#”的光谱半径小于1。备注3.2.上述条件下的光谱半径条件等同于以下条件：uG1,1δ+uG2,2δ+suG1,1δ+uG2,2δ+ 4uG1,2ΔG2,1Δ< 1.（6）下面的引理给出了极限分布存在的一个必要条件。

它还表明极限分布与初始条件无关（3）。引理3.3。对于任何一个，m、 和（v，…，vm）∈ Rm+，极限→∞li（t）=0。证据见A.1节。然后是一元有限系统（λ（1）极限分布的拉普拉斯变换（3），任意（v，…，vm）处的∧（m）∈ Rm+变成πmA（v，…，vm）：=limT→∞Ehe-v∧（1）T-···-vm∧（m）Ti=exp-ρZ∞h1-^h（l2n（t））idt- ρZ∞h1-^h（l2n）-1（t）idt.（7） 下面我们给出了极限分布的存在条件。定理3.4（极限分布的存在性）。（1） 在条件（C1）下，如t→ ∞, 极限分布πmAofΛ(1), . . . , ∧（m）还有nAofλ1，n，λ2，n存在（2） 在条件（C1）和（C2）下→ ∞, 极限分布*Aofλ, λ出口。证据（1） 因为任何k∈ N、 一,-^h（l2k（t））=Z∞td^h（l2k（u））=Z∞t^h′（l2k（u））˙l2k（u）du≤ uHl2k（t）。（8） 亨瑟∞h1-^h（l2k（t））idt≤ uHR∞l2k（t）dt和（7）变成πmA（v，…，vm）≥ 经验-ρuHZ∞l2n（t）dt- ρuHZ∞l2n-1（t）dt. （9） 为了证明极限分布πmA的存在，有必要证明R∞l2n-1（t）dtR∞l2n（t）dt是有限的，因此该过程不会随着时间的推移而爆发→ ∞.从（5）开始，对于所有j=1，2n和t≥ 0时，函数lj（t）随初始值v2n+1增加-j、 我们构造了一个函数序列{Lj（t）}2nj=1，这是前向ODE系统（4）的初始值为L2K的解- 1（0）=v*= maxi=1，。。。，nv2i，L2k（0）=v*= maxi=1，。。。，nv2i-1对于k=1，n、 （10）因此lj（t）≤ Lj（t）对于i=1，2n，和R∞l2n-1（t）dtR∞l2n（t）dt≤R∞L2n-1（t）dtR∞L2n（t）dt.

那就有足够的证据证明这是怎么回事R∞L2n-1（t）dtR∞L2n（t）dt< ∞.对于（10）中的相同初始值，从显式递归解（4）中，我们可以通过归纳法简单地检查每个t≥ 0，L2k- 1（t）和L2k（t）随着k的增加而增加。因此，我们可以定义非负距离函数sk=1:d（1）（t）：=L（t），d（2）（t）：=L（t）。K≥ 2:d（1）k（t）：=L2k- 1（t）- L2k- 3（t），d（2）k（t）：=L2k（t）- L2k- 2（t）。第A.3节证明了以下不等式：d（1）k+1（t）≤ E-δtZteδshuG2,2d（1）k（s）+uG1,2d（2）k（s）ids，d（2）k+1（t）≤ E-δtZteδshuG2,1d（1）k（s）+uG1,1d（2）k（s）ids。（11） Z∞d（1）i+1（t）dt≤Z∞t=0e-δtZts=0eδsuG2,2d（1）i（s）+uG1,2d（2）i（s）ds=Z∞s=0Z∞t=se-δtdteδsuG2,2d（1）i（s）+uG1,2d（2）i（s）ds=uG2,2δZ∞d（1）i（s）ds+uG1,2δZ∞d（2）i（s）ds。类似地，Z∞d（2）i+1（t）dt≤uG2,1δZ∞d（1）i（s）ds+uG1,1δZ∞d（2）i（s）ds。i、 e.“R”∞d（1）i+1（t）dtR∞d（2）i+1（t）dt#≤ A“R”∞d（1）i（t）dtR∞d（2）i（t）dt#，其中A:=“uG2,2ΔuG1,2ΔuG2,1ΔuG1,1δ#≥ 1，“R∞d（1）i（t）dtR∞d（2）i（t）dt#≤ 艾岛-1英寸R∞d（1）（t）dtR∞d（2）（t）dt#=Ai-1“v*δv*δ#.用ρ表示A的光谱半径。从矩阵理论来看，对于任何>0，并表示∧ρ：=ρ+，存在一个范数k·k，即kAk≤ ~ρ. 那么，不管怎样，我≥ 1，凯≤ 卡基≤ ■ρi.此外，取欧几里德范数，由于范数的等价性，存在常数C>0，因此kaik≤ 卡克≤ 通过定义，C|ρi.L2n-1（t）=Pni=1d（1）i（t）和L2n（t）=Pni=1d（2）i（t），然后R∞L2n-1（t）dtR∞L2n（t）dt=nXi=1“R∞d（1）i（t）dtR∞d（2）i（t）dt#≤nXi=1Ai-1.“五*δv*δ#.表示Ln：=R∞L2n-1（t）dtR∞L2n（t）dt, 然后≤nXi=1kAi-1k“五*δv*δ#≤ C1- ρn1- ρs五、*δ+五、*δ< ∞.亨瑟∞L2n-1（t）dt≤~Ln<∞ 安德烈∞L2n（t）dt≤~Ln<∞, 这表明π马克思主义者。从上面的分析可以看出极限分布unAof（λ1，n，λ2，n）的存在。通过服用v2i，我成功了-1=vand v2i=vfor i=1。

，n，则拉普拉斯变换蛋白（7）变成^unA（v，v）：=limT→∞Ehe-vλ1，nT-vλ2，nTi=exp-ρZ∞h1-^h（l2n（t））idt- ρZ∞h1-^h（l2n）-1（t）idt,（12） l2n在哪里-1（t），l2n（t）来自初始值为l2i的ODE系统（4）的解-1（0）=vand l2i（0）≡ vfor i=1，n、 在这种情况下，对于j=1，…，lj（t）=lj（t），m、 因此，不存在极限分布。（2） 我们探讨了极限分布的存在条件*Aof（λ，λ）使用unA的收敛。注意，对于拉普拉斯变换^unAin（12）、l2n（t）和l2n-1（t）是从显式解到（4）。也就是说，对于k=0，N-1，l（t）=ve-δt，l（t）=ve-δtl2k+1（t）=ve-δt+e-δtZteδs[1- ^g1,2（l2k（s））+1- ^g2,2（l2k）- 1（s））]dsl2k+2（t）=ve-δt+e-δtZteδs[1- ^g1,1（l2k（s））+1- ^g2,1（l2k）- 1（s））]ds。（13） 注意l2k- 1（t）和l2k（t）是k对所有k和t的增函数≥ 0，因此由单调收敛定理（l2n）-1（t），l2n（t））收敛到极限（l）*（t） ，l*（t） ）。（λt，λt）极限分布的拉普拉斯变换为^u*A（v，v）=limn→∞^unA（v，v）=exp-ρZ∞h1-^h（l）*（t） ）idt- ρZ∞h1-^h（l）*（t） ）idt.（14） 展示*Ais是非退化的，遵循与（8）中相同的论点，有R∞L*（t） dtR∞L*（t） dt< ∞.在条件3.1和矩阵理论的（C2）下，取0<<1-ρ、 存在一个k·k，这样kAk≤ ρρ=ρ+<1，然后从证明的第一部分开始，~Ln≤ C1- ρn1- ρsvδ+vδ< C1- ρsvδ+vδ.因此R∞L*（t） dtR∞L*（t） dt= 画→∞R∞l2n-1（t）dtR∞l2n（t）dt< ∞.4平稳分布有限系统和BDCP的极限分布通过定理3.4存在。在这一部分中，我们展示了平稳分布和极限分布之间的等价性。首先，有限系统的平稳性条件∧（1）t。

，λ（m）t已提供。引理4.1（有限系统的稳态条件方程）。分布πmsi是∧（1）t，∧（m）t）当且仅当laplace变换^πmSat任意（v，…，vm）∈ Rm+满意度0=-mXk=1δkvk^πm（v，…，vm）+ρ（h（v）- 1） +ρ（^h（v）- 1） +n-1Xk=1πm（v，…，vm）v2k- 1[(1 - ^g1,1（v2k+1））+（1- ^g2,1（v2k+2））]+n-1Xk=1πm（v，…，vm）v2k[（1）- ^g1,2（v2k+1））+（1- ^g2,2（v2k+2））]。等价地，就ODE系统（4）而言，as0=nXk=1˙l2（n-k） +2（0）πmSv2k- 1+˙l2（n-k） +1（0）πmSv2k- ρ(1 -^h（v））^πmS- ρ(1 -^h（v））^πmS.（15）证明。证明基于（2）中的马尔可夫理论，详情见A.2节。下面的定理说明了极限分布和静态分布之间的等价性。定理4.2（有限系统的平稳性）。对于任何系统，对于∧（1）t，∧（m）t, 如果存在极限分布πmA，则存在唯一的平稳分布πmsa和πmSd=πmA。证据对于存在性，充分证明^πm:=^π满足条件方程（15）。

这种πM的唯一性源于πM的不唯一性。自limt以来→∞l2n（t）=limt→∞l2n-引理3.3中的1（t）=0，πmv2k- 1=πmρZ∞^h′（l2n（t））l2n（t）v2k- 1dt+ρZ∞^h′（l2n）-1（t））l2n-1（t）v2k- 1dtπmv2k=πmρZ∞^h′（l2n（t））l2n（t）v2kdt+ρZ∞^h′（l2n）-1（t））l2n-1（t）v2kdt1.-^h（v）=Z∞^h′（l2n（t））˙l2n（t）dt1-^h（v）=Z∞^h′（l2n）-1（t）˙l2n-1（t）dt。然后，平稳性方程（15）变成0=ρZ∞^h′（l2n（t））“nXk=1˙l2（n）-k） +2（0）l2n（t）v2k- 1+˙l2（n-k） +1（0）l2n（t）v2k-˙l2n（t）#dt+ρZ∞^h′（l2n）-1（t））“nXk=1˙l2（n）-k） +2（0）l2n-1（t）v2k- 1+˙l2（n-k） +1（0）l2n-1（t）v2k-˙l2n-1（t）#dt。由于函数lk独立于^hi和ρifor i=1，2的选择，对于系统指数m=2n，将lk（·）重新表示为l2nk（·），那么s how:nXk=1就足够了˙l2n2（n-k） +2（0）l2n（t）v2k- 1+˙l2n2（n-k） +1（0）l2n（t）v2k-˙l2n（t）=0，nXk=1˙l2n2（n-k） +2（0）l2n-1（t）v2k- 1+˙l2n2（n-k） +1（0）l2n-1（t）v2k-˙l2n-1（t）=0。（16） 通过观察系统结构中的自相似性，我们利用系统指数m=2n的归纳法证明了（16）。（1） 对于n=1，很容易观察到l（t）=ve-δtand l（t）=ve-δtsatis fies（16）。（2） 假设m=2n满足（16），我们证明m=2（n+1）也满足（16）。第一个方程式如下所示，第二个方程式如下所示。也就是说，n+1Xk=1“˙l2（n+1）2（n+1-k） +2（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k- 1+˙l2（n+1）2（n+1）-k） +1（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k#-˙l2（n+1）2n+2（t）=0，（17），其中l2（n+1）2（n+1）-i+1（0）=对于i=1，2n。注意，从ODE系统和递归解来看，我们有L2（n+1）2（n+1）（0）=v，l2（n+1）2（n+1）（t）v=e-δt，l2（n+1）2（n+1）（t）v=0。然后，（17）中的k=1项变成˙l2（n+1）2n+2（0）e-因此，我们需要证明n+1Xk=2“˙l2（n+1）2（n+1-k） +2（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k- 1+˙l2（n+1）2（n+1）-k） +1（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k#=˙l2（n+1）2n+2（t）-E-δt˙l2（n+1）2n+2（0）。As（16）对所有（v。

，v2n）∈ Rm+，我们可以构造函数{L2ni（·）}2ni=1，这样它们就可以满足（16）的初值（~v，~v2n）=（v，…，v2n+2）。因此，nXk=1˙L2n2（n-k） +2（0）l2n（t）~v2k- 1+˙L2n2（n-k） +1（0）l2n（t）~v2k-˙l2nn（t）=0nXk=1˙L2n2（n-k） +2（0）l2n-1（t）~v2k- 1+˙L2n2（n-k） +1（0）l2n-1（t）~v2k-˙l2n-1（t）=0。（18） 用l2n-i+1（0）=vi=vi+2对于i=1，2n。特别是L2n（0）=v2n+2和L2n（0）=v2n+1。通过构造，对于k=1，n、 t≥ 0，l2（n+1）2k- 1（t）=L2n2k- 1（t），l2（n+1）2k（t）=L2n2k（t），和l2（n+1）2n（t）v2k- 1=l2n（t）v2k- 1=l2n（t）~v2k- 3.l2（n+1）2n（t）v2k=l2n（t）v2k=l2n（t）~v2k- 2.与k的条款≥ 2 in in（17），n+1Xk=2“˙l2（n+1）2（n+1-k） +2（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k- 1+˙l2（n+1）2（n+1）-k） +1（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k#=-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′1,1l2n（s）n+1Xk=2˙L2n2（n+1-k） +2（0）l2n（t）~v2k- 3+˙L2n2（n+1-k） +1（0）l2n（t）~v2k- 2.ds-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′2,1l2n-1(s)n+1Xk=2˙L2n2（n+1-k） +2（0）l2n-1（t）~v2k- 3+˙L2n2（n+1-k） +1（0）l2n-1（t）~v2k- 2.ds=-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′1,1l2n（s）nXk=1˙L2n2（n-k） +2（0）l2n（t）~v2k- 1+˙L2n2（n-k） +1（0）l2n（t）~v2kds-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′2,1l2n-1(s)nXk=1˙L2n2（n-k） +2（0）l2n-1（t）~v2k- 1+˙L2n2（n-k） +1（0）l2n-1（t）~v2kds。（19） 到（18），（19）成为-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′1,1l2n（s）˙l2n（s）ds-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′2,1l2n-1(s)˙l2n-1（s）ds=Zte-δ（t）-（s）s1.- ^g1,1l2n（s）+ 1.- ^g2,1l2n-1(s)ds=Zte-δ（t）-（s）sh1- ^g1,1l2（n+1）2n（s）+ 1.- ^g2,1l2（n+1）2n-1(s)ids（4）=中兴通讯-δ（t）-（s）sh˙l2（n+1）2n+2（s）+δl2（n+1）2n+2（s）idsf（s）：=eδsl2（n+1）2n+2（s），则˙F（s）=eδs˙l2（n+1）2n+2（s）+δl2（n+1）2n+2（s）, 和˙F（0）=˙l2（n+1）2n+2（0）+δv（19）=e-δtZteδsdE-δs˙F（s）= E-δt˙F（t）-˙F（0）- δe-δt（F（t）-F（0））=˙l2（n+1）2n+2（t）+δl2（n+1）2n+2（t）- E-δt˙l2（n+1）2n+2（0）+δv- δe-δteδtl2（n+1）2n+2（t）- 五、=˙l2（n+1）2n+2（t）- E-δt˙l2（n+1）2n+2（0）。因此，通过定理4.2和定理3.4，我们可以得出结论，对于有限系统∧（1）t。

. . , ∧（m）t, 存在一个与极限分布相等的奇异平稳分布。推论4.3。存在一个独特的平稳分布λ1，nt，λ2，nt, 它等于拉普拉斯变换（12）的极限分布。证据联合分发λ1，nt，λ2，nt无论如何≥ 0，k≥ 0和0≤ s≤ . . . ≤ 斯基普nt+1λ≤ x、 λ2，nt+s≤ 十、λ1，nt+sk≤ xk，λ2，nt+sk≤ xk= PnXi=1λ1，（i）t+s≤ x、 nXi=1λ2，（i）t+s≤ 十、nXi=1λ1，（i）t+sk≤ xk，nXi=1λ2，（i）t+sk≤ xk=ZDZD··ZDkZDkdPλ1，（1）t+s≤ z1，（1），λ2，（1）t+s≤ z2，（1），λ1，（n）t+sk≤ z1，（n）k，λ2，（n）t+sk≤ z2，（n）k,其中j=1，k、 j′=1,2，Dj′j=nzj′，（1）j，zj′（n）j∈ Rn:Pni=1zj′（i）j≤ xj\'jo。根据定理4.2，取λ1，（1）t，λ2，（1）t，λ1，（n）t，λ2，（n）t=Λ(1), . . . , ∧（m）作为唯一的静态分布πmS，那么上面的联合分布与t无关。因此，从上面的方程中，分布λ1，nt+s，λ2，nt+s；λ1，nt+sk，λ2，nt+sk也依赖于t。因此通过定义λ1，nt，λ2，nt是一个平稳的过程。由于极限分布存在且独立于初始条件，则unSd=uNa，唯一性随之而来。现在我们给出了（λt，λt）平稳分布的存在唯一性，这是本文的主要结果。定理4.4（平稳分布的存在性）。在（C1）和（C2）下，存在唯一的平稳分布*稳定发展局λt，λt, 而且*Sd=u*A.证据。设（λ1，n，λ2，n）从平稳分布unS开始，然后对于任何t≥ 0, 0 ≤s≤ . . . ≤ sk，λ1，nt+s，λ2，nt+s；λ1，nt+sk，λ2，nt+skd=λ1，ns，λ2，ns；λ1，nsk，λ2，nsk. （20） 自从λ1，nt，λ2，nt汇聚到λt，λt路径意味着有限维分布的收敛。作为n→ ∞,λ1，nt+s，λ2，nt+s；λ1，nt+sk，λ2，nt+sk=>λt+s，λt+s。

; λt+sk，λt+sk, N→ ∞,λ1，ns，λ2，ns；λ1，nsk，λ2，nsk=>λs，λs；λsk，λsk, N→ ∞.当左岸分布为πmS.By（20）且弱极限唯一时，我们有极限过程λt+s，λt+s；λt+sk，λt+skd=λs，λs；λsk，λsk.i、 e.有限维分布与t无关。因此（λ，λ）具有平稳分布*自限制发行以来*存在，且与初始值无关，则为u*Sd=u*A.作为*Ais是独一无二的，它是独一无二的*下面。备注4.5。注意，Br’emaud和Massouli’e[7]中的定理7有一个类似的结果，这是我们的特例，对于二元情况，结果可以通过（C1）恢复。备注4.6。从上面的分析中，除了BDCP系统（λ，λ）之外，我们还提供了（λ1，n，λ2，n）的非平稳和平稳版本在拉普拉斯变换方面的分布。注意，由于可以使用有限系统（λ1，n，λ2，n）为建模目的选择传染影响的程度。因此，对于应用和进一步分析来说，这本身就是一个有趣的过程。对于任何h>0，Nt+h-Nt |λt=λd=Nt+h-Nt |λt=λ。如果λ是静止的，则λtd=λt，且Nt+h- Ntd=Nt+h- 新界。因此我们得到以下结果：推论4.7。BDCP N在R+上具有平稳增量。5个平稳动量来自定理4.4，（λt，λt）具有唯一的平稳分布*根据Ethier和Kurtz[19]第4章第9.2号提案∈ D（A），我们有∞Z∞Af（λ，λ）u*S（λ，λ）dλdλ=0。