二元动态传染过程的平稳性

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英文标题：
《Stationarity of Bivariate Dynamic Contagion Processes》
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作者：
Angelos Dassios, Xin Dong
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The Bivariate Dynamic Contagion Processes (BDCP) are a broad class of bivariate point processes characterized by the intensities as a general class of piecewise deterministic Markov processes. The BDCP describes a rich dynamic structure where the system is under the influence of both external and internal factors modelled by a shot-noise Cox process and a generalized Hawkes process respectively. In this paper we mainly address the stationarity issue for the BDCP, which is important in applications. We investigate the stationary distribution by applying the the Markov theory on the branching system approximation representation of the BDCP. We find the condition under which there exists a unique stationary distribution of the BDCP intensity and the resulting BDCP has stationary increments. Moments of the stationary intensity are provided by using the Markov property.
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中文摘要：
二元动态传染过程（BDCP）是一类广泛的二元点过程，其特征是强度是一类一般的分段确定马尔可夫过程。BDCP描述了一个丰富的动态结构，其中系统分别受到散粒噪声Cox过程和广义Hawkes过程建模的外部和内部因素的影响。在本文中，我们主要讨论BDCP的平稳性问题，这在应用中很重要。我们将马尔可夫理论应用于BDCP的分支系统近似表示来研究平稳分布。我们找到了BDCP强度存在唯一平稳分布且由此产生的BDCP具有平稳增量的条件。利用马尔可夫性质给出了稳态强度的矩。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：平稳性 distribution stationarity Applications Mathematical

二元动态传染过程的平稳性*, 辛东+摘要二元动态传染过程（BDCP）是一类二元点过程，其特征是强度是一类一般的分段确定马尔可夫过程。BDCP描述了一个丰富的动态结构，其中系统分别受到散粒噪声协同过程和广义霍克斯过程建模的外部和内部因素的影响。在本文中，我们主要讨论BDCP的平稳性问题，这在应用中很重要。我们将马尔可夫理论应用于BDCP的分支系统近似表示来研究平稳分布。我们发现了BDCP强度存在唯一平稳分布且由此产生的BDCP具有平稳增量的条件。平稳强度的矩由我们根据马尔可夫性质提供。二元动态传染过程；分段确定马尔可夫过程；平稳性。数学主题分类（2010）60G55、60F05、60G351简介多变量点过程用于模拟系统内不同类型的事件到达。有很多潜在的应用；公司破产、保险索赔到达、疾病发生率、机器故障等事件都需要s-ToCastic模型。以捕获丰富依赖结构的方式对点过程进行建模成为一个基本问题。此外，平稳性是许多统计应用中的一个重要且常见的假设，也是随机过程研究中最重要的概率性质之一。

因此，需要研究具有平稳增量和平稳强度的点过程的存在性。为了描述一个既能反映外部影响又能反映内部传染效应的系统，我们引入了双变量动态传染过程（BDCP）。BDCP是一个广泛的二元点过程家族，其强度过程被定义为Davis[15]研究的非扩散分段确定马尔可夫过程（PDMP），但也包含反馈机制（内部传染）。BDCP涵盖两类重要的点过程。第一类由散粒噪声Cox过程组成，通常描述外部因素影响下的点过程系统。例如，考克斯和伊沙姆[9]、莫勒[27]、达索斯和张[12]、克勒堡和米科什[24]研究了肖特噪声-考克斯过程。这门课有广泛的应用。例如，Altmann在建模保险索赔到达和破产概率时采用了该方法*伦敦经济与政治学院统计系，伦敦WC2A 2AE，英国。电子邮件：a。dassios@lse.ac.uk+英国伦敦皇家学院数学系SW7 2AZ。电子邮件：x。dong10@imperial.ac.uketal.[3]、Albrecher和Asmussen[2]以及Macci和Torrisi[26]。第二类是具有相互激励强度的广义霍克斯过程。在这门课中，点过程中的跳跃将内部反馈引入到潜在的强度过程中，影响因子由带有随机标记的向上跳跃建模。这门课能够模拟集群和传染效应。霍克斯工艺由霍克斯和奥克斯[21]介绍，Daley和Vere Jones[10]、Liniger[25]和Embrechts等人对其进行了研究。[17].

最近，霍克斯过程被广泛应用于金融和保险模型中，如豪奇[6]、Ait-Sahalia等人[1]、巴克里等人[4]和艾瑞斯等人[18]。在单变量情况下，Dassios和Zhao[13]引入了单变量动态传染过程（UDCP），包括外部和内部因素的影响。它们可用于信用风险和保险建模，如Dassios和Zhao[28]和[14]所述。然而，在实践中，单变量模型不足以模拟具有丰富依赖结构的异质群体。为了解决这个问题，我们引入了一个二元系统。边缘人之间的依赖可以用几种方式来描述。Dassios和Jang[22]研究了一个具有相关散粒噪声分量和自激分量的双变量系统，但由于交叉激励传染效应而缺乏相关性。我们在定义BDCP时提到了这一点。请注意，交叉激励的依赖性引入了一种环路结构，使得系统很难解耦。因此，它从根本上不同于单变量情况。此外，BDCP也不同于二元Hawkes过程，因为Cox过程建模的额外外部因素和跳跃大小的随机性如何影响系统的概率特性并不明显。原则上，可以使用BDCP扩展霍克斯或散粒噪声过程的应用，以合并更丰富的结构。一旦指定了点过程的动态性，平稳性就成为一个需要解决的重要问题。这是一个合理的假设，许多问题可以在此基础上简化。利用强度的平稳性，Dassios和Zhao[14]讨论了使用UDCP进行保险建模时的破产概率。

此外，Dassios和Dong[11]探讨了基于平稳性假设的过滤应用对BDCP的影响。之前，Costa[8]讨论了分段确定性马尔可夫过程的平稳性条件。Dassios和Zhao[13]证明了UDCP存在平稳分布。Br’emaud和Massoulie[7]讨论了Hawkes过程的平稳性和稳定性。此外，在我们的方法中，BDCP可以被视为有限维过程的一个极限，其中维度趋于完整。这本身就是一个有趣的案例，到目前为止还没有在一篇文献中讨论过。我们可以看看杜菲等人[16]，凯勒·雷塞尔等人。[23]和其他一些关于有效过程的研究。我们注意到，平稳性结果仅适用于少数几种扩散过程。例如，Glassermand Kim[20]和Barczy等人[5]对双因素扩散过程的平稳性进行了讨论。在本文中，BDCP强度的分析是基于基于聚类表示的有限分支系统的近似。我们将Davis[15]开发的PDMPtheory应用于分支系统，以探索极限分布→ ∞. 此外，还探讨了平稳分布和极限分布之间的联系。第2节提供了BDCP的定义和集群表示，其中我们介绍了一个近似BDCP强度（λ，λ）的有限系统（λ1，n，λ2，n）和一个有限关节系统（λ（1），λ（2n））是由一个d平移引起的。然后第3节，从有限节理系统（λ（1）开始，λ（2n））是一个马尔可夫过程，是d-e-耦合的，我们应用PDMP理论得到了极限分布为t→ ∞ 拉普拉斯变换的中间部分。

分支系统近似为n→ ∞,研究了（λ，λ）极限分布存在的条件。极限分布结果见定理3.4，存在条件为条件3.1。在第4节中，再次从fr om（1）开始，λ（2n）），我们在引理4.1中提供了一个平稳性条件，这是基于马尔可夫理论的拉普拉斯变换。正如我们在第3节中发现的，作为自然候选的有限节理系统的极限分布，我们确认极限分布也是（λ（1），定理4.2和推论4.7中的∧（2n））和（λ1，n，λ2，n）。在定理4.4和推论4.7中，应用近似参数来推断BDCP强度（λ，λ）的平稳性，以及BDCB（N，N）。在第5节中，我们提供了强度过程的平稳矩（λ，λ）。我们在第6.2节中总结了模型2。1 ModelLet(Ohm, F、 P）是一个概率空间，在此空间上，我们将二元动态传染过程（BDCP）作为一类定义在R+上的二元点过程Nt=（Nt，Nt）。让F成为一种过滤，使N适应F。对于i=1，2，Nit=Xn≥1{Tin≤t} 其中{Tin}n≥0是有序的F-停止时间，表示T=0的事件到达时间。通过Doob-Meyer分解，存在一个唯一的非递减过程a从0开始，这样N- A是一个F-lo-cal鞅。假设每t存在一个非负的、F-可预测的、可积的强度过程λ，s.t≥ 0，At=Rtλsds a.s.假设过滤满足通常条件。对于NTA作为BDCP，其强度过程λt=（λt，λt）被指定为Davis[15]引入的分段确定性马尔可夫过程（PDMP）。定义2.1（双变量动态传染过程（基于强度））。

BDCP的强度λt=（λt，λt）Nt=（Nt，Nt）与t∈ R+由λt=λe定义-δt+XSj<tYje-δ（t）-Sj）+XTj<tZ1,1je-δ（t）-Tj）+XTj<tZ1,2je-δ（t）-Tj），λt=λe-δt+XSj<tYje-δ（t）-Sj）+XTj<tZ2,1je-δ（t）-Ti）+XTj<tZ2,2je-δ（t）-Tj）。（1） 对于k，k′=1，2，oλk≥ 0是t=0时的初始强度δk>0是指数衰减的恒定速率{Skj}j=1,2，。。。是Mkt的跳跃时间，这是一个泊松过程，具有恒定的强度ρk.{Ykj}j=1,2，。。。i.i.d跳跃大小与分布函数Hk（·）和拉普拉斯变换^Hk（·）；·Nk的{Tkj}jare跳跃时间，{Zk，k′j}j=1,2，。。。i.i.d.跳跃大小与分布函数Gk，k′（·）和拉普拉斯变换^Gk，k′（·）；·{Skj}j=1,2，。。。和{Tkj}j=1,2，。。。独立于{Ykj}j=1,2，。。。和{Zk，k′j}j=1,2，。。。。由于指数衰减，λt=（λt，λt）是一个分段确定性马尔可夫过程（PDMP）。对于k，k′=1，2，标记点pSkj<tYkje-δk（t）-Skj）描述了对外部因素的依赖。PTkj<tZk，kje-δk（t）-Tki）和ptk′j<tZk，k′je-δk（t）-Tk′j）fork′6=k分别表征了自激和交叉激励效应的内在依赖性。请注意，影响因子由独立于N的随机标记建模。从基于强度的定义来看，BDCP是一个广泛的点过程类别，涵盖两个不同且重要的点过程类别。第一类是散粒噪声协过程，可通过设置Zk，k′j获得≡ 0代表所有j≥ 1，k，k′∈ {1, 2}. 第二类是通过设置Ykj得到的具有指数衰减的二元Hawkes过程≡ 所有j，k，k′的0和Zk，k′jas常数∈ {1, 2}. 我们总是假设以下情况。条件2.2。（C1）对于k，k′=1，2，所有随机标记{Ykj}jand{Zk，k′j}j具有有限的第一时刻。i、 e.uHk，uGk，k′是有限的。我们可以很容易地检查在条件2.2的（C1）下，Rtλsds<∞ a、 美国。

每一个t≥ 因此，BDCP N是非爆炸性的。2.2平稳性首先是对马尔科夫过程的平稳分布和平稳过程的定义（如Ethier和Kurtz[19]第9.4节）。假设状态空间E上a的一个鞅问题定义良好，则E上p的概率测度u是a的平稳分布，如果（a，u）的鞅问题的每个解X是平稳过程，即p（Xt+s）∈ Γ, . . . , Xt+sk∈ Γk）独立于t≥ 0代表所有k≥ 1,0 ≤ s≤ ··· ≤ sk和Γ，Γk∈ B（E）。此外，对于ifand，u是一个固定分布，仅当XT对所有t具有分布u时≥ 0.对于用域（a）解（a，u）鞅问题的马尔可夫过程X，Ethier and Kurtz[19]第4章命题9.2提供了一个平稳性定理：平稳分布u存在的充要条件是f∈ D（A），ZEAf（x）Du（x）=0。（2） 在本文中，我们在条件3.1中找到了一个有效条件（C2），在此条件下，存在λ的唯一平稳分布，在第4.2.3节分支结构中BDCP N也存在唯一平稳分布。注意，强度过程λt=（λt，λt）表示为具有分支结构的集群过程。这种表述有助于下面的分析。定义2.3（双变量动态传染过程（基于集群））。二元动态传染过程N=（N，N）是一个两型泊松聚类过程（C，C），其分支解释如下：o对于k=1,2，k型聚类中心是到达{Tk，（0）m}m=1,2，。。。作为强度为λk的散粒噪声过程，（0）t=λke-δkt+PMktm=1Ykme-δk（t）-Skm），其中{Skm}m:=Tk，（0）m.oTk处k型的每个集群中心，（0）m生成一个包含k型事件的集群，以及集群中心本身。然后c lu ster Ck=∪∞m=1公里。

在branchingterm，每一个Ckmis都是k型移民，他们抵达Tk（0）及其后代表示簇Ckmas Ck（n）m中k型第n代弹簧的集合，则所有簇中k型第n代弹簧的集合为Ck（n）=∪∞m=1Ck，（n）m.表示Ck中的春季出生过程，（n）表示为Nk，（n）表示到达时间NTK的两倍，（n）Jojan和强度λk，（n）t。递归地，所有簇的（n+1）第（n+1）代是以强度λk，（n+1）t=N1，（n）tXj=1Zk，1，（n）je生成的-δk（t）-T1，（n）j）+N2，（n）tXj=1Zk，2，（n）je-δk（t）-T2，（n）j），其中对于k，k′=1，2，随机标记Zk，k′，（n）jare是Zk，k′jforall n的独立副本。从所有集群中收集k型直至第n代的所有个体，表示为asCk，n，然后是Ck，n=∪nj=1Ck（j）。Ck，nis Nk，nt的春季出生过程，包括出生时间Ntk，Njoj和强度过程λk，nt。因此，我们有nk，nt=nXi=0Nk，（i）t，λk，nt=kXi=0λk，（i）t，nTk，njoj=∪ni=0nTk，（i）joj。显然，Ck=limn→∞Ck，n=limn→∞∪nj=1Ck，（j）=limn→∞∪nj=1∪∞m=1Ck，（j）m.通过构造，所有簇{Ckm}m=1,2，。。。他们是独立的。此外，我们还有pathwise，Nkt=limn→∞Nk，nt=limn→∞nXi=0Nk，（i）t，λkt=limn→∞λk，nt=limn→∞nXi=0λk，（i）t。我们称Nn=（N1，n，N2，n）为具有强度为λn=（λ1，n，λ2，n）的膨胀有限系统的BDCP。在下一节中，从二元系统到单元系统，我们将应用马尔可夫理论分析1型和2型世代的联合分布。为了简化多类型问题，我们将二元分支系统合并成一个单变量系统，使得第i代1型和第2型分支成为（2-1） -在新的单变量系统中，第二代是第二代。将新系统中第n代的出生时间表示为{T（n）j}，计数过程表示为n（n）乘以强度∧（n）T，然后对于i=1，2。

，λ（2i）-1） t=λ1，（i）t，∧（2i）t=λ2，（i）t。因此，∧（1）t=λe-δt+MtXi=1Yie-δT-T1，（0）i,∧（2）t=λe-δt+MtXi=1Yie-δT-T2，（0）i,∧（2i+1）t=N（2i）-1） tXj=1Z1,1je-δT-T（2i）-1） j+N（2i）tXj=1Z1,2je-δT-T（2i）j,∧（2i+2）t=N（2i）-1） tXj=1Z2,1je-δT-T（2i）-1） j+N（2i）tXj=1Z2,2je-δT-T（2i）j.此外，通过构造，原始分支系统恢复为：λ1，nt=nXi=1∧（2i）-1） t，N1，nt=nXi=1N（2i-1） t，λ2，nt=nXi=1∧（2i）t，N2，nt=nXi=1N（2i）t。因此，将截断到第n代的原始二元系统转换为截断到第m代的单元系统，截断到第m代，m=2n。我们将mand n分别称为转换系统和原始系统的系统索引。表示极限分布→ ∞ 而平稳分布：oΛ(1), . . . , ∧（m）: πmAandπmSoλ1，n，λ2，n: uNa和unSoλ, λ: u*A和u*S3马尔可夫性质和极限分布在本节中，我们使用马尔可夫性质和PDMP理论来探索强度的极限分布。在下一节中，我们将建立极限分布和平稳分布之间的关系。3.1马尔可夫性质虽然强度（λt，λt）是一个马尔可夫过程，但由于交叉激励分量的耦合，很难用PDMP理论来探索平稳性。此外，我们还不清楚如何找到强度过程的条件，以便分析存在性和平稳性。因此，具有上述分支结构的有限系统将用于平稳性分析。有限系统（λ1，nt，λ2，nt）不是马尔可夫系统，而不是联合系统∧（1）t，∧（2）t，∧（m）t是发电机t、 ∧（1）t，∧（2）t，∧（m）t是具有域D（Am）的AMD。对于任何f∈D（Am），Amf（t，λ，λ。