二元动态传染过程的平稳性

（21）在下文中，我们将使用（21）推导平稳均值、方差和相关性。5.1平稳均值取Af（λ，λ）=λi，表示mi=E[λit]作为平稳均值，我们得到-(δ- uG1,1）m+uG1,2m+ρuH=0-(δ- uG2,2）m+uG2,1m+ρuH=0。通过求解这个线性方程组，我们得到了平稳平均值asm=（δ）- uG2,2）uH（δ- uG1,1）（δ- uG2,2）- uG1,2uG2,1ρ+uG1,2uH（δ- uG1,1）（δ- uG2,2）- uG1,2uG2,1ρm=（δ- uG1,1）uH（δ- uG1,1）（δ- uG2,2）- uG1,2uG2,1ρ+uG2,1uH（δ- uG1,1）（δ- uG2,2）- uG1,2uG2,1ρ。标志i=δi- uGi，ifor i=1、2和 := - uG1,2uG2,1，然后我们可以重写第一个时刻=uHρ+uG1,2uHρ=：u1,1ρ+u1,2ρm=uG2,1uHρ+uHρ=: u2,1ρ+ u2,2ρ.备注5.1。如果没有交叉交换项，即uGi，对于I6=j，j=0，则结果包括Dassios和Zhao[13]中的单变量DCP。X X1,1X2,2X1,2XXXA-2.0 2uG1,2 2uH1ρ+u2G1,1u2G1,2u2H1ρB 0-2.2uG2,1u2G2,12uHρ+u2G2,2u2HρCuG2,1uG1,2-- uHρ+uG1,1uG2,1uHρ+uG1,2uG2,2表1：A、B、C的效率表，= δ- uG1,1>0和= δ- uG2,2>0.5.2平稳方差我们考虑（λt）、（λt）和λtλt的平稳矩。取f（t，λt，λt）=（λt）和f（t，λt，λt）=（λt），我们有a（λ）=-2δλ+ ρZ∞（λ+y）H（dy）- λ+λZ∞（λ+z）G1,1（dz）- λ+ λZ∞（λ+z）G1,2（dz）- λ= -2Δλ+ρ（2λuH+u2H）+λ（2λuG1,1+u2G1,1）+λ（2λuG1,2+u2G1,2）=-2(δ- uG1,1）λ+2uG1,2λλ+（2ρuH+u2G1,1）λ+u2G1,2λ+u2Hρ。类似地，我们有a（λ）=-2(δ- uG2,2）λ+2uG2,1λλ+（2ρuH2+u2G2,2）λ+u2G2,1λ+u2H2ρAλ=-（δ+δ）λ+ρλuH+ρλuH+λ（λuG2,1+λuG1,1uG2,1）+λ（λuG2,2+λuG1,2+）=uG2,1+λG1,2λ+(-(δ- u1,G1）- (δ- uG2,2））λλ+（ρuH+uG1,1uG2,1）λ+（ρuH+uG1,2uG2,2）λ。我们可以重写A（λ）=:A1,1λ+A1,2λλ+Aλ+Aλ+AA（λ）=:B2,2λ+B1,2λ+Bλ+BAλ=：C1,1λ+C2,2λ+C1,2λ+Cλ+Cλ。所有系数见表5.2。

注意，Ai，j，Bi，j，Ci，jdo不包含ρ，A，B，C与ρ成线性关系。我们表示mi=：E[（λit）]mi，j=：E[λitλjt]，然后通过（21）我们得到线性方程组：A1,1m+A1,2m1,2+Am+Am+A= 0B2,2m+B1,2m1,2+Bm+Bm+B= 0C1,1m+C2,2m+C1,2m1,2+厘米+厘米= 0.注意交叉项ism1,2=-Cm+Cm+C1,1m+C2,2mC1,2。（22）基于上一节中获得的第一阶矩m，我们通过求解线性方程组获得第二阶矩m。A1,1- A1,2C1,1C1,2M- A1,2C2,2C1,2m+~A-A1,2C1,2~C= 0B2,2- B1,2C2,2C1,2M- B1,2C1,1C1,2m+~B-B1,2C1,2~C= 0，其中A=Am+Am+AB=Bm+Bm+BC=Cm+Cm。表示γ：=C1,1C1,2和γ：=C2,2C1,2，然后A1,1- A1,2γ-A1,2B1,2γγB2,2- B1,2γm=-（B）-B1,2C1,2C）A1,2γB2,2- B1,2γ-~A-A1,2C1,2~C.m=-（B）-B1,2C1,2C）A1,2γB2,2-B1,2γ-~A-A1,2C1,2~CA1,1- A1,2γ-A1,2B1,2γγB2,2-B1,2γ=（B1,2γ- B2,2）~A- A1,2γ~B+A1,2C1,2B2,2~C4(-uG1,2uG2,1）。同样，我们也有=-B1,2γ~A- （A1,1）- A1,2γ）~B+B1,2C1,2A1,1~C4(- uG1,2uG2,1）。我们得到了m=（m）+γ1,1ρ+γ1,2ρm=（m）+γ2,1ρ+γ2,2ρ，其中γ1,1=2-2uG2,1uG1,2+ + （u2G1,1u1,1+u2G1,2u2,1+u2H）+2（uG1,2）+ （u2G2,2u2,1+u2G2,1u1,1）+uG1,2+ （uG1,1uG2,1u1,1+uG1,2uG2,2,1）γ1,2=2-2uG2,1uG1,2+ + （u2G1,1u1,2+u2G1,2u2,2）+2（uG1,2）+ （u2G2,2u2,2+u2G2,1u1,2+u2H2）+uG1,2+ （uG1,1uG2,1u1,2+uG1,2uG2,2u2,2）。类似地，γ2,1=2-2uG2,1uG1,2+ + （u2G2,2u2,1+u2G2,1u）+2（uG2,1）+ （u2G1,1u1,1+u2G1,2u2,1+u2H1）+uG2,1+ （uG1,1uG2,1u1,1+uG1,2uG2,2,1）γ2,2=2-2uG2,1uG1,2+ + （u2G2,2u2,2+u2G2,1u1,2+u2H2）+2（uG2,1）+ （u2G1,1u1,2+u2G1,2u2,2）+uG2,1+ （uG1,1uG2,1u1,2+uG1,2uG2,2u2,2）。因此，我们得出的平稳均值和方差为：m:=E[λt]=u1,1ρ+u1,2ρm:=E[λt]=u2,1ρ+u2,2ρ，v:=var（λt）=γ1,1ρ+γ1,2ρv:=var（λt）=γ2,1ρ+γ2,2ρ。备注5.2。

从上面，我们观察到平稳均值和方差都是ρ和ρ的线性函数。5.3平稳相关ρ1,2=E[λtλt]- E[λt]E[λt]pvar（λt）pvar（λt）=m1,2- 嗯√五、√v、 其中m1，2来自（22）。注意，平稳相关性大于仅具有自激ju MPS的过程，因为交叉激励跳跃具有正平均值uG1,2和uG2,1.6结论通过使用分支系统近似的马尔可夫理论，我们发现了BDCP强度存在唯一平稳分布且由此产生的BDCP具有平稳增量的条件。平稳强度的所有矩都可以用马尔可夫性质来计算。此外，我们还利用拉普拉斯变换得到了强度近似序列的极限分布和平稳分布，这在实践中也很有用。参考文献[1]Ait-Sahalia，Y.，Cacho Diaz，J.和Laeven，R.J.（2010）。使用相互刺激的跳跃过程对金融传染进行建模。技术报告。国家经济研究局。[2] Albrecher，H.和Asmussen c，S.（2006）。散粒噪声Cox过程的破产概率和聚集索赔分布。斯堪的纳维亚精算杂志2006，86-110。[3] 阿尔特曼，T.，施密特，T.和斯图特，W.（2008）。Fin cialassets的散粒噪声模型。《国际理论与应用金融杂志》11，87–106。[4] Bacry，E.，Delattre，S.，Hoffmann，M.和Muzy，J.-F.（2013）。用相互激励的点过程模拟微观结构噪声。定量金融13,65–77。[5] Barczy，M.，D–oring，L.，Li，Z.and Pap，G.（2013）。一个有效的双因素模型的平稳性和能态性。应用概率的进展。也可在ArXiv上获得：http://arxiv.org/abs/1302.2534。[6] 鲍文斯，L.和豪奇，N.（2009）。使用点过程对金融高频数据进行建模。在《金融时间序列手册》中。埃德·T。

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因此，我们展示了平稳分布π满足分布zamf（λ，λ，…，λm）π（λ，λ，…，λm）dλ·dλn=0。（23）我们现在导出等价的拉普拉斯变换方程。第一部分：漂移部分+-δkλkλkf（λ，…，λm）π（λ，…，λm）dλ·dλm=-δkZRm+λkf（λ，…，λm）Zλkλk（xπ（λ，…，x，…，λm））dxdλ··dλm=-δkZRm-1+Z∞λk=0Zλkx=0λkf（λ，…，λm）λk（xπ（λ，…，x，…，λm））dxdλ··dλm=-δkZRm-1+Z∞x=0Z∞λk=xλkf（λ，…，λm）λk（xπ（λ，…，x，…，λm））dxdλ·dλm=ZRm+f（λ，…，λm）δkλk（λkπ（λ，…，λm））dλ··dλm，其中我们使用了f（λ，…，λm）|λk这一事实=∞= 0.在（v，…，vm）isLm处进行拉普拉斯变换δkλk（λkπ（λ，…，λm））= δkvkLm[λkπ（λ，…，λm）]=-δkvkvk^π（v，…，vm）。第二部分：散粒噪声部分Zrm+ρZ∞y=0f（λ+y，λ，…，λm）dH（y）π（λ，…，λm）dλ·dλm=ρZRm-1+Z∞x=0f（x，λ，…，λm）Zxy=0π（x- y、 λ，λm）dH（y）dxdλ···dλm=ρZRm+f（λ，λ，…，λm）Zλy=0π（λ- y、 λ，λm）dH（y）dλ··dλm，thenZRm+ρZ∞f（λ+y，λ，…，λm）dH（y）-f（λ，…，λm）π（λ，…，λm）dλ··dλm=ρZRm+f（λ，λ，…，λm）Zλy=0π（λ- y、 λ，λm）dH（y）- π（λ，…，λm）dλ··dλm。我们有拉普拉斯变换asLmZλy=0π（λ- y、 λ，λm）dH（y）= ^π（v，…，vm）^h（v）。同样，我们也有Zλy=0π（λ，λ- Yλm）dH（y）= ^π（v，…，vm）^h（v）。第三部分：激动人心的部分：为k≥ 2，由λ2k激发的跳跃- 1isZRm+λ2k- 1.Z∞z=0f（·，λ2k+1+z，·）dG1,1（z）- f（…）+Z∞z=0f（·，λ2k+2+z，·）dG2,1（z）- f（…，）·π（λ，…，λm）dλ··dλm=ZRm+f（λ，…，λm）λ2k- 1.Zλ2k+1z=0π（λ，…，λ2k+1）- Zλm）dG1,1（z）- π（λ，…，λm）dλ·dλn+ZRm+f（λ，…，λm）λ2k- 1.Zλ2k+2z=0π（λ，…，λ2k+2）- Zλm）dG2,1（z）- π（λ，…，λm）dλ···dλn我们有λ2k- 1Zλ2k+1Z=0π（λ，…，λ2k+1）- Zλm）dG1,1（z）- λ2k- 1π（λ，…，λm）= Lm[λ2k- 1π(λ, . . . , . . .

，λm）]g1,1（v2k+1）- Lm[λ2k- 1π（λ，…，λm）]=v2k- π（v，…，vm）（1）- ^g1,1（v2k+1））。同样，Lmλ2k- 1Zλ2k+2z=0π（λ，…，λ2k+2）- Zλm）dG2,1（z）- λ2k- 1π（λ，…，λm）=v2k- π（v，…，vm）（1）- ^g2,1（v2k+2））。λ2k激发的跳跃与zrm+λ2k激发的跳跃相同Z∞z=0f（·，λ2k+1+z，·）dG1,2（z）- f（…）+Z∞z=0f（·，λ2k+2+z，·）dG2,2（z）- f（…，）·π（λ，…，λm）dλ···dλm。由于平稳分布π满足（23），我们从第（I）、（II）、（III）部分得到0=mXk=1δkλk（λkπ（λ，…，λm））+ρZλy=0π（λ- y、 λ，λm）dH（y）- π（λ，…，λm）+ρZλy=0π（λ，λ- Yλm）dH（y）- π（λ，…，λm）+N-1Xk=1λ2k- 1.Zλ2k+1z=0π（λ，…，λ2k+1）- Zλm）dG1,1（z）- π（λ，…，λm）+N-1Xk=1λ2k- 1.Zλ2k+2z=0π（λ，…，λ2k+2）- Zλm）dG2,1（z）- π（λ，…，λm）+N-1Xk=1λ2kZλ2k+1z=0π（λ，…，λ2k+1）- Zλm）dG1,2（z）- π（λ，…，λm）+N-1Xk=1λ2kZλ2k+2z=0π（λ，…，λ2k+2）- Zλm）dG2,2（z）- π（λ，…，λm）.在拉普拉斯变换方面，我们对任何（v，…，vm）∈ Rm+0=-2nXk=1δkvkπmSvk+ρ（^h（v）- 1） +ρ（^h（v）- 1） +n-1Xk=1πmSv2k- 1[(1 - ^g1,1（v2k+1））+（1- ^g2,1（v2k+2））]+n-1Xk=1πmSv2k[（1）- ^g1,2（v2k+1））+（1- ^g2,2（v2k+2））]。重新排列条款，我们有（15）。A.3（11）证据的证明。

对于j=1，2，^g1，j（l2k- 2（t））- ^g1，j（l2k（t））=Zl2k-2（t）l2k（t）d^g1，j（u）=Zl2k（t）l2k-2（t）-^g′1，j（u）杜≤ uG1，j（l2k（t）- l2k- 2（t）^g2，j（l2k）- 3（t））- ^g2，j（l2k）- 1（t））=Zl2k-3（t）l2k-1（t）d^g2，j（u）=Zl2k-1（t）l2k-3（t）-^g′2，j（u）杜≤ uG2，j（l2k- 1（t）- l2k- 3（t））那么，d（1）k+1（t）=e-δtZteδs[（1- ^g1,2（l2k（s）））- (1 - ^g1,2（l2k）- 2（s））]ds+e-δtZteδs[（1- ^g2,2（l2k）- 1(s)- (1 - ^g2,2（l2k）- 3（s））]ds≤ E-δtZteδshuG2,2d（1）k（s）+uG1,2d（2）k（s）idsd（2）k+1（t）=e-δtZteδs[（1- ^g1,1（l2k（s）））- (1 - ^g1,1（l2k）- 2（s））]ds+e-δtZteδs[（1- ^g2,1（l2k）- 1(s)- (1 - ^g2,1（l2k）- 3（s））]ds≤ E-δtZteδshuG2,1d（1）k（s）+uG1,1d（2）k（s）id