营业额能降到零吗？

对于针对RF（其影响较小）调整的HF残差（加上截距，其没有影响）的未变形相关矩阵，并在Mkt RF和Fama-French风险因素SMB、HML、WML上回归，我们得到ψ*≈ 93.9和F~>7.00，对于相应的变形相关矩阵，我们有ψ*≈ 71.1和F~>9.24. 然而，回归Mkt RF和Fama FRANCE风险因素（在原始HF中明显占主导地位）可以改善下限。还要注意，在这个例子中，M实际上比我们得到的下限大，所以后者是有用的。我们强调形容词“说明性”的原因是，由于该数据中的各种对冲基金都交易相同的基础工具，而且相应的时间序列没有100%重叠（一些对冲基金已经死亡，一些比其他对冲基金更新，等等），因此假设它们的交易可能被交叉并不一定是正确的。因此，我们使用这些数据只是为了说明相关矩阵的各种性质，而不一定直接得出任何关于营业额减少的结论，因为这些阿尔法流实际上跨越了它们的交易。原始HF具有非均匀的N/A，因此通过省略此类N/A计算相关矩阵，如脚注6所述，具有负特征值，通过使用（K akushadze，2014a）第3.1小节中使用的方法对相关矩阵进行变形，以（Rebonato和J¨ackel，1999）为基础，将非正特征值替换为最小的正特征值（这不是计算舍入变形的零），也可参见第7.1节的e和o。这里我们给出了rψ的值*F和F是两个重要的数字。7.1回归相关上述我们讨论了如何获得聚类数的下限。

下面是估算F上界的一种非对称方法。设∧iA，A=1。K是ψij的前K个主分量的N×K矩阵，即∧i的列是前K个主分量。接下来，让i（ts）是回归残差的时间序列，在R表示法中读取（即，无截距且具有平凡权重的回归）：eα~ -1+λ（86），其中（见第2节）eαi≡αiσi（87）注意cov（eαi，eαj）=Cor（αi，αj）=ψij（88）在矩阵符号中我们有：（ts）=（1- Y）eα（ts）（89）其中≡ Λ∧T∧-1∧T（90）是一个投影矩阵：Y=Y。注意：Cov（i，j）=[（1- Y）ψ（1）- Y]ij≡ Φij（91）设ξi≡ Φii（92）ei≡iξi（93）TheneΦij≡ Cov（ei，ej）=Cor（ei，ej）=ξiξjΦij（94），即eΦij是回归残差i的相关矩阵。此外，为了计算，我们不需要知道αi；我们只需要知道相关矩阵ψij。让ζ≡ 意思是eΦij，i6=j(95)ζ≡ 中值的eΦij，i6=j（96）构建∧iA还有其他方法，但出于我们的目的，我们在这里将其构建在主要组件的基础上。通过将ζ和ζ视为K的函数，我们可以确定ζ和ζ不再显著降低的Kabove值。这个K值估计了相关矩阵ψij的簇数F（上界）。对于上述HF数据的情况，ζ和ζ作为K are函数的图由图1和图2给出。从这些图中我们可以推断F在5到10之间，这与基于最大特征值法的上述下限结果一致。注意，后一种方法基于二元聚类假设，而前一种方法基于使用主成分的非二元分析。这些互补的方法可用于在N大得多的情况下估计簇的数量。

此外，请注意，要使用主成分法，相关矩阵必须为正定义，如图1和图2所示。2我们使用第3小节中讨论的方法对相关矩阵进行变形。（Kakushadze，2014a）中的1基于（Rebonato和J¨ackel，1999），非正特征值被最小的正特征值所取代（见脚注24）。8是否存在减少新特征值的限制？答案是肯定的——假设基础可交易工具的数量是有限的。事实上，在这种情况下，投资水平是有限的，如果我们假设通过增加越来越多的字母，即通过取N→ ∞, 我们可以确切地减少营业额，我们将得出一个固定基础可转换工具的静态投资组合。美元中性（或者更一般地说，“市场中性”）静态por TFOLIOCA不会有高的夏普和回报。只存在正回报的长期静态投资组合——标准普尔就是一个例子，尽管其夏普比率很低。然而，具有高Sharpe和高回报率的adollar中性静态投资组合无法在toolong持续。但愿如此。我做多做空美元头寸。然后，通过加入I美元多头标准普尔，我们可以合成一个净I美元多头投资组合，包括以下P&L、波动率和夏普：P=P+P（97）R=qR+R+2ρRR（98）S=PR（99），其中，对美元-中性端口对账单和标准普尔的P&L进行比较，并得出相应的波动率，而ρ是P&L之间的关系，可以假设P&L较低：|ρ|<< 1.那么很明显，如果美元中性投资组合显著优于标准普尔，那么静态的合成长期投资组合优于标准普尔。

然而，这种情况不会持续太久，因为它会迅速消失——合成投资组合是静态的，因此没有明显的障碍。更准确地说，即使标准普尔指数不是静态的，由于周期性的重新平衡，它也是准静态的，但这种影响对我们这里的讨论并不重要。此外，就非负基准而言，回报是否为正并不重要。上述讨论表明，减少营业额是有限度的。这反过来意味着，只要基础可交易工具的数量是有限的，集群的数量就是有限的。一旦达到这一限制——并且可以使用第7节中讨论的方法估计任意给定N个字母集合的群集数量——开发越来越多的字母不再有助于减少营业额，而是通过i）回收性能下降的alpha，并ii）有效地扩大权重空间，从而改进alpha权重优化，从而提高投资组合的回报率。由于集群的数量是有限的，因此应确定并使用这些集群，以优化对新Alpha的搜索，从而最大限度地发挥上述i）和ii）的影响。而大N极限——正如在理论物理学中（\'t Hooft，1974年）被证明是一个强大的工具，用于理解由大量N个字母组成的投资组合的营业额减少和其他方面。9评论我们在结束本说明时发表了一些澄清性评论。F ir st，（Kakushadze and Liew，2014），（Kakushadze，2 014a）和本文假设所有Alpha都在同一执行平台上交易。在实践中，这意味着N alphasαi与一些权重wi（通常通过优化（Kakushadze，2014c））组合成一个alpha，交易的正是这个组合的alpha。这是最有效的方法；内部交叉是自动的。

其次，正如（Kakushadzeand Liew，2014）和（Kakushadze，2014a）中更详细地讨论的那样，一般来说，准确描述内部交叉和营业额减少并非易事。在由大量基础可交易工具（如股票）组成的投资组合中，内部交叉的精确细节取决于详细的投资组合头寸和交易数据。a.通过阿尔法相关性建模转换减少正是建模。例如，交易之间的相关性和头寸之间的相关性并不相同。然而，正如（Kakushadze，2014a）中所述，尽管有警告，对于合理分配的单个营业额和权重，光谱模型预计在大N限值下是一个很好的近似值。在这方面，一个lpha s被优化，也就是说，组合成一个单一的阿尔法，这使得一个显着的简化——这避免了不同阿尔法之间的时间交易问题，这是一个必须要做的事情，如果阿尔法真的被单独翻译。此外，在大范围内（在1/N扩展中），对营业额减少系数的主要贡献具有类似于相关性的结构（Kakushadze和Liew，20 14），并且，正如（Kakushadze，2014a）中所述，该主要贡献通过阿尔法相关矩阵的第一个组成部分的贡献很好地近似（在上述条件下）。第三，如上所述，事实r模型方法和（二元）聚类的使用是一种方便的计算工具，它使我们能够直观地了解营业额减少，这是对主成分方法的补充（Kakushadze，2014a）。我们在第5.2小节中详细阐述了（61）的特征向量扭转器的性质，这可能并不明显。

为此，我们将研究一个更简单的情况，而不是处理一般的r相关矩阵xbψAB≡ ρ、 A 6=B（100）删除χ（A）≡FXB=1pNBχ（A）B（101）那么从（51）我们有：χ（A）C=ρeχ（A）√NCbψ（A）- (1 - ρ） NC（102）两边乘以√n求和C=1，F，我们得到：ρFXC=1NCbψ（A）- (1 -ρ） NC=1（103）本征值Sbψ（A）是该方程的F根（为了简单起见，假设所有NC都是不同的）。fr om（103）进一步得出ρFXC=1bψ（A）- (1 -ρ） NC=φ*bψ（A）（104）式中φ*≡ 1+ρ（F）- 1） （105）是bψAB的非简并本征值，另一个（F-1） 特征值φ′≡ 1.-ρ.对于a6=B，我们有FXC=1χ（A）Cχ（B）C=ρeχ（A）eχ（B）FXC=1NChbψ（A）- (1 - ρ） NCi hbψ（B）- (1 -ρ） NCi==ρeχ（A）eχ（B）（1）- ρ)bψ（b）-bψ（A）FXC=1“bψ（A）bψ（A）- (1 - ρ） 北卡罗来纳州-bψ（b）bψ（b）- (1 -ρ） NC#==0（106），因此不同的特征向量a应该是相互正交的。从（53）我们得到：1=FXC=1χ（A）C= ρeχ（A）FXC=1NChbψ（A）- (1 -ρ） NCi（107）最后一笔款项可按如下方式处理。允许 表示导数w.r.t.ρ，例如：bψ（A）≡bψ（A）ρ（108）微分（104）w.r.t.ρ和重新排列项，我们得到：ρhbψ（A）+（1- ρ) bψ（A）iFXC=1NChbψ（A）- (1 -ρ） NCi=φ*- ρ φ*（109）加上（105）和（107），这给出了以下简单表达式：eχ（A）=bψ（A）+（1）- ρ) bψ（A）（110）在这里，我们不需要f的显式形式bψ（A）。我们感兴趣的是了解NXi=1V*我= |eχ*| （111）其中eχ*≡ eχ（A）表示A f的值，其中bψ（A）=bψ*. 随着ρ从0 t增加到1，最大特征值单调增加，即：。，bψ*> 这意味着（61）和我们（60）一样。

另外，注意det（bψ′）=det（bψ）QFA=1NA，这意味着当ρ接近1时，（F- 1） 特征值变为零，而最大的特征值变为N——记得tbψ有一个等于φ的特征值*= 1+（F）- 1） ρ和（F）- 1） 特征值等于φ′=1- ρ.图3是bψ的曲线图*对于F=50和N=2061的随机构造矩阵，与ρ之比。此外，F=2提供了对特征值结构的分析见解。设N>N，特征值由ψ（1）给出=N+N+q（N- N） +4nnρ（112）eψ（2）=N+N-q（N）- N） +4nnρ（113）对于ρ=0，特征值为Nand N。较大的特征值单调增加到N=N+Nasρ从0增加到1，而较低的特征值则减少到0。B非二进制情况我们的目标是估计（80）。为此，让（这里我们使用第5.4小节的符号）a∧≡ λA+e∧iA（114）NXi=1e∧iA≡ 0（115）即∧Ia是通过降低∧Ib的列的值而获得的。我们有ζA≡NXi=1V（A）i=Npψ（A）FXB=1λBWBA（116）QAB=NλAλB+eQAB（117）eQAB≡NXi=1e∧iAe∧iB（118）LeteQ=fWeZfWT（119）eZ=diag（qA）（120），其中fw是F×F矩阵，标准化为fwtfw=1，其列是qabc对应于特征值qA的右特征向量。注意，根据相似性转换，QABis由一个单因素模型给出：Q=fWbQfWT（121）bQ≡ qAδAB+bλABλb（122）bλA≡√NFXB=1λBfWBA（123）这里我们假设特征值qA是相同的，而不是处理最一般的情况：qA≡ q、 这可以被认为是一个近似值，用平均（或中值）波动率代替上述单因素模型中的波动率（直接或对数）。这种近似将有助于我们在这里简化数学，使其具有启发性。haveQAB=NλAλB+qδAB（124）ψ*= Nχ+q（125）χ≡vUtfxa=1λA（126）ψ′=q（127）WA*=λAχ（128）这里ψ*是QAB的最大特征值，而ψ′是另一个（退化）F- 1情报价值。

还有，WA*是qabc对应于ψ的右特征向量*. 因此：ζ*=N√ψ*FXB=1λBWB*=Nχ√ψ*（129）这类似于我们在5.1小节中的简化近似，在该小节中，我们假设了整个ea ch集群的单一特定风险。这里我们需要了解χ和q的可能值。首先，请注意χ不能消失。的确，如果是这样，那么所有λA≡ 0，这意味着Pnj=1ψij≡ 0，i=1，N.这意味着至少有一些ψij的反对角线元素是负的。对于某些i6=j，设ψij<0。然后，通过计算对应于j的α′j的αlpha的符号≡ -αj（并保持所有其他α的变化，α′j≡ αj，j 6=j），我们将得到相应的相关矩阵ψ′ij，即tPNj=1ψ′ij=-2ψij>0。所以，χ>0。另外，回想一下Tr（Q）=N，它给出Nχ+fq=N，因此Q<N/F和ψ*= Nχ+q=N-（F）-1） q>N/F，与（79）一致。然而，χ上有一个更强的界。下面是一个简单的答案。注意pni，j=1ψij=NPNA=1λA=Nχ。另一方面，PNi，j=1ψij=Nρ′=N（1+（N-1）ρ），其中ρ是平均相关性（见脚注12）。总体而言（Kakushadze，2014a），我们预计ρ*= γρ′，其中γ~ 1（通常γ>1）。然后它允许≈pρ*/γ和ρ*= ψ*ζ*/N3/2，式中ζ*由（129）给出，我们得到ρ*≈ψ*γN~>γF（130）所以，在非二元情况下，我们得到了ρ的一个更高的界*而不是二进制的情况。这是因为在二元情况下，我们实际上有对角线QAB=NAδAB（第5节中定义的NAisde）和ζa=√在这种情况下（对于对角因子协方差矩阵）。参考萨克曼，C.，麦克纳利，R.和Revenscraft，D.（1999）边缘基金的表现：风险、回报和激励。《金融杂志》54（3）：833-874。Agarwal，V.和Naik，N.Y.（2000年a）采取“替代”路线：对冲基金的风险、风险和业绩持续性。另类投资杂志2（4）：6-23。纽约州阿加瓦尔和奈克。

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