营业额能降到零吗？

.N.5因素模型和离职率在本节中，我们的目标是使用因素模型研究大范围内的离职率减少，该模型为理解离职率减少系数ρ的行为提供了一个简单的计算框架*随着N的增加，使用主成分分析（Kakushadze，2014a）获得的频谱模型f公式（10）为估计营业额减少系数ρ提供了一个明确的公式*对于给定的阿尔法相关矩阵。然而，我们的目标是直观地了解ρ的大N行为*. 在这方面，因子模型方法提供了一个方便的计算平台：我们有F风险因子s（通过N×F因子载荷矩阵指定）OhmiA），F×F因子协方差矩阵ΦAB和对角线N×N特定风险矩阵Ξij。例如，我们可以问：ρ的依赖性是什么*在大N极限下的F？我们将从一个简化的fa-cto r模型开始，其中i）特定风险ξi设置为零，ii）没有风格风险因素，所有集群风险因素都是“二元”的，即每个αi都指向一个且仅指向一个集群，以及iii）因子协方差矩阵ΦABis对角线：ξi≡ 0 (17)OhmiA=δG（i），A（18）ΦAB=φAδAB（19），其中G:{1，…，N}7→ {1，…，F}（20）是alphas和集群之间的映射。我们有：Γij=φG（i）δG（i），G（j）（21）σi≡ Γii=φG（i）（22）ψij≡σiσjΓij=δG（i），G（j）（23），即使M<N，即样本相关矩阵奇异时，（10）仍然适用。这是因为它使用第一主成分V（1）和最大特征值ψ（1），依赖于M不会显著改变结果。

一种方法是使用（Kakushadze，2014年a）第3.1小节中讨论的方法，基于（Rebonato和J¨ackel，1999年）将非正特征值替换为最小的正特征值，对一个矩形相关矩阵进行变形，如第7节所示。因此，对于我们在第7节中使用的对冲基金数据，对于最大特征值，未变形和变形情况之间的差异仅约为24%。我们增加了低复杂性，包括非二元因子加载——简化因子模型的目的是阐明关键问题，而不使用不必要的数学知识将其过度复杂化。为了便于计算，我们选择了二元因子加载。正如我们将在下面看到的，简化的fa c tor模型捕捉到了大型行为的关键特征。此外，请注意，简化模型（Kakushadze and Liew，2014）是一般单因素模型的特例。在这里，因子加载元素的值不需要是“二进制的”。如果OhmiA=ωiAδG（i），a对于非二进制ωiA，结果不变，在这里和第5.2子节（非对角因子方差矩阵）。这里重要的是alpha在集群中的二进制成员身份。相关矩阵是块对角的，F块对应于F簇，每个对角块的所有元素都等于1。相关矩阵ψijas（N- F）零本征值和F本征值to：ψ（A）=NA（24），其中NA≡NXi=1δG（i），A（25）是属于A标记的簇的字母数。注意fxa=1NA=N（26）。此外，与特征值ψ（A）对应的右特征向量V（A）i由V（A）i给出=√NAδG（i），A（27）和被归一化，使得nxi=1V（A）i= 1（28）注意ρ*=N*N~>F（29）其中*≡ 最大值（NA，A=1。

，F）（30）因此，对于固定的F，仅仅增加N并不能完全减少营业额。这是因为加入越来越多属于同一集群的Alpha并不能使它们多样化，因为同一集群中的Alpha相互关联。降低ρ*我们还需要增加F，即属于新集群的dd Alpha。此外，请注意，如果F固定，则添加越来越多的a lpha s可以降低ρ*（除非所有的alpha都添加到带有最短NA的集群中），但它不会将其减少到零。在这方面，让我们考虑以下情况：→ ∞ F=固定值。从（29）可以得出ρ*当N*最小化，其中N*是最大的。然后，N*= 天花板（N/F），其中天花板（x）≡ 十、 指的是不小于x的最小整数，与之类似的是F（x）≡ 十、 指最大值，无需报警——这些特征值为零，因为我们将特定风险设置为零——见下文。不大于x的整数。因此，在N中→ ∞ 限制ρ的最小值*isat（ρ*)闵≡ F-3/2. 对于任何定义，相应的分布都有F-NA=楼层（N/F）和F+NA=天花板（N/F）的值，其中F-≡ F-F+andF+≡ N- 楼（N/F）。请注意，0≤ F+<F，如果F+=0，我们有上限（N/F）=楼层（N/F）=N/F。5.1上述特定风险的影响，我们假设为零特定风险。在本小节中，我们研究非零特定风险的影响。为了保持简单，我们假设ξi=eξG（i）（31）OhmiA=δG（i），A（32）ΦAB=φAδAB（33），其中eξA，A=1，F是每个集群对应的一些特定风险。也就是说，我们假设每个集群内的特定风险是一致的，这对应于每个集群内的特定风险被替代的近似值（无论是直接的还是逻辑的），例如，通过该集群的平均值（或中值）特定风险或均数平方根（中值）特定方差。

我们在这里这样做是为了计算的简单性——正如我们将看到的，特定风险对营业额减少的影响是在更大的限度内转租的，每个集群内不均匀特定风险的影响也是如此。根据以上假设，我们现在有：Γij=eξG（i）δij+φG（i）δG（i），G（j）（34）σi≡ Γii=eξG（i）+φG（i）（35）ψij≡σiσjΓij=eξG（i）eξG（i）+φG（i）δij+φG（i）eξG（i）+φG（i）δG（i），G（j）（36）该相关矩阵具有以下特征值结构。对于每个A=1，F，它有（NA）- 1） 特征值方程ψ（A）=eξAeξA+φA，edA=NA- 1，A=1，F（37），式中，d是每个本征值的简并度。这给出了N的总数- 费根价值观。剩余的F本征值（每个本征值的单位简并度为dA=1）由：ψ（a）=eξa+NAφAeξa+φa，dA=1，a=1，F（38）这将减少到之前的结果，当≡ 与前面一样，与特征值ψ（A）对应的右特征向量V（A）i由V（A）i给出=√NAδG（i），A（39），所以我们有：ρ*=1+N*ζ*1 + ζ*N*N（40）式中ζA≡eξAφA（41）和ζ*≡ ζA表示NA=N的A值*（为了简单起见，假设所有这些都是独一无二的）。正如我们所见，特定风险不会影响ρ的大N行为*; 相反，它只是降低了ρ的总系数*, 但这并不影响我们在零特定风险案例中得出的结论。在这方面，假设保持不变（见下文），特定风险不会在质量上影响较大限额下的营业额减少，尽管这很重要，例如，即使在较大限额下的重量优化中。此外，以上我们假设特定风险在每个集群中是一致的，但放松这一假设并不会改变上述关于大N限制下营业额减少的结论。下面是一句澄清的话。如上所述，特定风险确实会进一步降低整体营业额降低系数。

如果我们取ζ*→ ∞,i、 例如，与特定风险相比，因子风险可以忽略不计，然后营业额为零。实际上，在这种情况下，我们只有N个不相关的字母，在大极限下我们有ρ*~pN*/N→ 0.在上述分析中，当讨论行为或ρ时*在大N极限下，我们假设N→ ∞ （因此，N*→ ∞) ζ*= 固定。然后我们有ρ*~ （N）*/N） 3/2/（1+ζ）*) → 康斯特。5.2非对角因子协方差矩阵上述另一个简化假设是fa-cto r协方差矩阵是对角的。在本小节中，我们放松了这个假设。由于我们已经知道特定风险不会影响定性情况，我们将其设置为零，以避免事情过于复杂，但我们不会对影响因素矩阵进行假设：ξi≡ 0 (42)OhmiA=δG（i），A（43）我们现在有：Γij=ΦG（i），G（j）（44）σi≡ Γii=ΦG（i），G（i）（45）ψij≡σiσjΓij=bψG（i），G（j）（46），其中bψabi是因子相关矩阵：ΦAB≡pΦAApΦBBbψAB（47）那么非对角ΦAB的特征向量（27）的推广可以如下所示。有F个这样的特征向量。它们的形式是v（A）i=pNG（i）χ（A）G（i）（48）注意NXj=1ψijV（A）j=NXj=1bψG（i），G（j）pNG（j）χ（A）G（j）=pNG（i）FXB=1bψ′G（i），Bχ（A）B（49），其中Bψ′AB≡pNAbψABpNB（50）注意Bψ′是一个对称矩阵，χ（a）表示Bψ′的特征向量：FXB=1bψ′CBχ（a）B=Bψ（a）χ（a）C（51），其中Bψ（a）是Bψ′的特征值。所以我们有nxj=1ψijV（A）j=bψ（A）V（A）i（52）和1=NXi=1V（A）i=FXB=1χ（A）B（53）确定χ（A）B的标准化。接下来，注意对角线元素BψAA≡ 1，和（用矩阵表示法）bψ′=QbψQ（54），其中Q≡ 诊断pNA（55）是对角F×F矩阵。这意味着，既然bψabi是正定义，那么isbψ′AB也是正定义bψ′=FXA=1NA=N（56）这意味着bψab的反对角线元素对Igenv值bψ（A）有以下影响。当bψ的反对角线元素为零时，这些特征值等于NA。

当它们不为零时，这些特征值通常不同于na，但它们仍然是正的，它们的和仍然等于N：A=1，F:bψ（A）>0（57）FXA=1bψ（A）=N（58）NXi=1V（A）i=FXB=1pNBχ（A）B（59）这意味着（V）*iis对应于tobψ的特征向量*)bψ*≡ 最大值bψ（A），A=1，F~>NF（60）NXi=1V*我~>rNF（61）和上述关于大N限制下营业额减少的结论保持不变，即使因子协方差ma trixΦabi不是对角的——对角元素通常会增加下限。附录A更详细地讨论了（61）。增加特定风险不会改变这一结果。5.3风格因素的影响将风格风险因素添加到组合中不会改变上述结论。假设类型风险因素数量有限，且数量较少，当集群风险因素数量较大时，其包含会产生转租效应。一个快速了解这一点的方法是考虑一个简单的因子模型，该模型具有零特殊性和单一风格因子Ohmi、 1×1因子协方差矩阵可以吸收到定义Ohmi、 然后我们有Γij=Ohm我Ohmj（62）σi≡ Γii=Ohmi（63）ψij≡σiσjΓij=1（64）这不是一个不合理的假设。就股票而言，影响因素的数量远小于行业风险因素的数量。在Alpha的案例中，它似乎认为基本类型风险因素的数量应该更小，尽管要有效地确定它们的数量存在困难——详情见（Kak ushadze，2014b）。这个矩阵有（N- 1） 零特征值和单个非零特征值等式。再加上几个样式因子，相关矩阵的最大特征值只会减少1阶因子。

它需要大量的风险因素，无论是二元的还是其他的，才能实质性地导出相关矩阵的最大特征值，这就是我们在上面发现的。5.4非二元因子加载为简单起见，我们假设因子加载Ohm它们是二进制的。在本小节中，我们考虑ar位r进制非二进制因子加载的情况。在这种情况下，可以方便地将因子协变量矩阵吸收到因子载荷的定义中：Γ=Ξ+eOhmEOhmT（65）eOhm ≡ OhmeΦ（66）eΦeΦT=Φ（67），其中eΦabi是ΦAB的Cholesky分解，假设为正定义。为了简单起见，正如我们在5.1小节之前所做的那样，让我们将speci crisk设置为零——我们在下面对speci crisk的影响进行评论。然后协方差矩阵显示：Γij=FXA=1eOhm依斯克拉OhmjA（68）σi≡ Γii=FXA=1eOhmiA（69）ψij≡σiσjΓij=FXA=1∧iA∧jA（70），其中∧iA≡σieOhmiA（71）相关矩阵ψijhas N-F零特征值和F非零特征值。后者由ma t rixQAB的特征值ψ（A）给出≡NXi=1∧iA∧iB（72），其性质也决定了ψij的相应特征向量。更准确地说，假设下面定义的矩阵QABde是非奇异的，这些F特征值是非零的——见下文。LetQ=W Z WT（73）Z=diagψ（A）（74）其中W是F×F矩阵，标准化为WTW=1，其列为QAB的右特征向量。我们可以假设llψ（a）>0，a=1，F–矩阵QABis正定义，前提是N向量y（A）i≡ λiA，A=1，票价是线性独立的，我们假设情况是这样的，不会失去一般性。此外，乐视（A）i≡pψ（A）FXB=1∧iBWBA（75）那么我们有nxj=1ψijV（A）j=ψ（A）V（A）i（76）NXi=1V（A）iV（B）i=δAB（77），因此，V（A）是与eigenvaluesψ（A）相对应的ψij的适当归一化的F特征向量，具有以下性质：NXA=1ψ（A）=）=Tr（Q）=Tr（ψ）=）=N（78）ψ*≡ 最大值bψ（A），A=1。

F~>NF（79）我们仍然需要估计NXi=1V*我（80）其中V*iI最大特征值ψ对应的特征向量*. 详细信息归入附录B——因此，在非二元因素负荷的情况下，我们也在大N限值中找到了营业额减少系数的确定限值。增加特定风险不会改变这一结果。6实际应用我们在上文中看到，在阿尔法因子模型的背景下，营业额减少不一定会通过增加越来越多的阿尔法而变为零。人们需要添加越来越多不同类型的新字母，以实现不确定的教育。在因子模型上下文中，这转化为一个添加Alpha以形成新集群，而不是将Alpha添加到旧集群中。凭直觉，这一结果并不令人惊讶——为了实现营业额减少，需要添加越来越多（几乎）与现有Alpha不相关的Alpha。然而，因子模型k提供了一种量化这种说法的方法。特别是，它允许设计一个简单的测试，测试新的Alpha是否有可能减少营业额。所以，假设我们有N个α，它是F型簇，带有因子载荷OhmiA，i=1，N、 A=1，F假设开发了新的Alpha，我们需要评估它们是否有减少营业额的潜力。问题是这些新的阿尔法是否形成了一个新的集群。为了简单起见，让我们考虑这样一种情况，即新的阿尔法都是这样，它们形成了一个新的集群。让old加上新的字母是α′i′，i′=1，N′，其中N′是旧字母和新字母的总数-N） 是新字母的编号。假设newfactor-loadings矩阵为Ohm′i′A′，A′=1，F′，其中F′=F+1。现在我们可以进行两次回归（无截距），第一次是αOhmiA，第二个α\'i\'结束Ohm′我是。

R表示法：α~ -1 + Ohm (81)α′~ -1 + Ohm′（82）现在可以比较每种回归的F统计量。实际上，αi和α′i′是时间序列：αi（ts）和α′i′（ts），s=0，1，例如，我们可以观察F统计量的两个时间序列向量，并评估新阿尔法形成新簇的假设是否具有更好的总体F统计量。上述讨论假设系数荷载Ohm已知与现有星团相对应的I。问题是，人们首先如何识别这些现有集群？建立二元alpha分类的一种有点“原始”的方法是递归地使用本节的方法，尽管这种方法可能很实用。如果这里有许多独立的阿尔法源（开发者），在零近似中，他们有效地标记了集群。每次开发新的Alpha时，都需要过滤掉与现有Alpha高度相关的内容。如果有一个具有K个簇的二元分类，那么可以使用K+1簇构建一个分类，并递归地重复这个过程。当K值较低时，最需要注意的是——一旦K值较大，就有更多的统计数据可用于过滤多余的新字母。为了在低K下改进该方法，可以使用脚注10中提到的算法进行补充，其中使用样本相关矩阵和/或主成分获得二元因子载荷。如第5.1小节所述，特定风险会降低营业额。如果新的Alpha属于现有集群，但具有更高的特定风险，则营业额可能会降低。

然而，在识别所有相关风险因素（包括任何聚类）后，在风险因素模型中计算特定风险。在比较两个F-统计向量时，可以移除（或通过标准技术平滑，例如Winsorization）异常值，以提高比较的统计意义。这种（通常是专有的）alg算法通常基于排名技术。当K值较低时，它们预计会更准确地工作，因为M.7“幂律”和Cl群的数量有一个实际界限。我们上面的主要结果是，使用因子模型方法，我们得出了“幂律”（29），这表明营业额减少系数ρ*由簇数F:ρ控制*~>F（83）这里我们问两个问题。首先，对于给定的相关矩阵ψij，我们能估计F吗？第二，我们可以通过增加N来不确定地增加F，还是有限制？为了回答第一个问题，让我们首先回顾等式（60）中的ψ*~>NF（84）这为我们提供了一种估算F:F的简单方法~>Nψ*（85）下面的评论是正确的。下限（85）适用于~<M、 因此，相关矩阵不是奇异的。如果M<N，则相关矩阵是奇异的，簇的数目为F≤ M、 因此，根据M的不同，下限（85）可能提供信息，也可能不提供信息。作为一个示例，让我们使用与图1和图f（Kakushadze和Liew，2014）相同的晨星数据。其中1项（Kakushadze，2014a），即1990-2014年N=657个月对冲基金回报率（HF）的数据a。对于原始HF的未变形相关矩阵，我们有ψ*≈ 207和F~>3.17，对于原始HF的相应变形相关矩阵，我们有ψ*≈ 158 a和F~>4.15.