营业额能降到零吗？

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英文标题：
《Can Turnover Go to Zero?》
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作者：
Zura Kakushadze
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Internal crossing of trades between multiple alpha streams results in portfolio turnover reduction. Turnover reduction can be modeled using the correlation structure of the alpha streams. As more and more alphas are added, generally turnover reduces. In this note we use a factor model approach to address the question of whether the turnover goes to zero or a finite limit as the number of alphas N goes to infinity. We argue that the limiting turnover value is determined by the number of alpha clusters F, not the number of alphas N. This limiting value behaves according to the \"power law\" ~ F^(-3/2). So, to achieve zero limiting turnover, the number of alpha clusters must go to infinity along with the number of alphas. We further argue on general grounds that, if the number of underlying tradable instruments is finite, then the turnover cannot go to zero, which implies that the number of alpha clusters also appears to be finite.
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中文摘要：
多个阿尔法流之间的内部交叉交易导致投资组合周转率降低。营业额减少可以使用阿尔法流的相关结构建模。随着Alpha的增加，营业额通常会减少。在本文中，我们使用因子模型的方法来解决当alphas N的数量变为无穷大时，营业额是变为零还是有限极限的问题。我们认为，周转率的极限值是由α簇的数量F决定的，而不是由α簇的数量N决定的。这个极限值的行为符合“幂律”~F^（-3/2）。因此，为了实现零极限周转率，阿尔法团簇的数量必须与阿尔法团簇的数量一起趋于无穷大。我们进一步基于一般理由认为，如果基础可交易工具的数量是有限的，那么交易量不能为零，这意味着阿尔法集群的数量似乎也是有限的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：营业额 Quantitative Optimization Applications QUANTITATIV

营业额能降到零吗？Zura Kakushadze§+1§QuantigicResolutions LLC1127 High Ridge Road#135，南塔姆福德，CT 06905+康涅狄格大学物理系，康涅狄格州斯坦福大学广场，CT 06901（2014年5月30日；修订：2014年7月14日）摘要多个阿尔法流之间的内部交易交叉导致投资组合成交量减少。营业额减少可以使用阿尔法流的相关结构建模。随着Alpha的增加，营业额通常会减少。在本说明中，我们使用因子模型方法来解决当alphas N的数量变为单位时，营业额是变为零还是变为一个有限的极限的问题。我们认为，极限翻转值是由阿尔法团簇F的数量决定的，而不是阿尔法团簇N的数量。该极限值的行为符合“幂律”~ F-3/2.因此，为了实现零限制营业额，alpha集群的数量必须与alpha集群的数量一致。我们进一步从总体上论证，如果基础可交易工具的数量是有限的，那么营业额就不能为零，这意味着阿尔法集群的数量似乎也是有限的。关键词：对冲基金、alpha stream、交叉交易、订单周转率、factormodel、相关性结构电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的目的仅限于按照出版物惯例表明其专业职责。

特别是，本文内容不作为投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表Quantigic Solutions LL C网站www.Quantigic的观点。或他们的任何其他伙伴。1简介和总结当多个alpha流在同一对冲基金平台上重新交易时，如果执行平台允许，在不同的alpha流之间交叉交易是有意义的，从而节省交易成本。当采用内部交叉时，投资组合周转率降低。随着越来越多的Alpha的加入，通常美元周转占美元总投资的百分比——我们简称之为“周转率”——预计会下降。交易越相关，阿尔法越相关，交易越相关，预期内部交叉越低。因此，虽然翻转归约不一定是阿尔法相关性的简单（例如线性）函数，但很明显，它与阿尔法相关性有某种关联，因此可以尝试基于阿尔法相关性对翻转归约进行建模。在（Kakushadze，2014a）中，利用阿尔法相关矩阵的主成分分析，提出了基于阿尔法相关结构的营业额减少的光谱模型。该模型的简化版本在（Kakushadze and Liew，2014）中被用来论证，当Alpha的数量很大时，投资组合的周转率有一个不消失的极限。在本说明中，我们使用事实上的r模型a方法——作为（Kakushadze，2014a）的主要组成部分方法的补充——来解决随着字母数的增加，营业额是变为零还是有一个有限的限制的问题。我们认为，周转率极限值是由α簇F的数量决定的，而不是由α簇N的数量决定的。

该极限值符合“幂律”~ F-3/2. 因此，为了实现零限制营业额，AlphaCluster的数量必须与alphas的数量一致。我们进一步论证了一个普遍的理由，即如果基础可交易工具的数量是有限的，那么营业额不能为零，这意味着阿尔法集群的数量似乎也是有限的。大氮限制（Kakushadze and L iew，2014），（Kakushadze，2014a）在我们的讨论中起着重要的简化作用。本文的其余部分组织如下。定义见第2节。我们将在第3节讨论lpha流的因子模型方法。在第4节中，webrie fly回顾了员工流失减少的光谱模型（Kakushadze，2014a）。第5节我们使用第3节中的因子模型方法来研究在大N限制下的营业额发生了什么，包括阿尔法聚类、特殊性、事实r协方差矩阵的对角元素，以及风格和一般非二元风险因素对营业额的影响。在第6节中，我们将在第5节中讨论我们的结果的一个实际应用。在第7节中，我们讨论了估算lowerAn的方法。内部交叉及其益处的说明性讨论可参见（Kakushadze andLiew，2014）。我们在本说明中讨论的营业额减少的光谱模型最近在（Kakushadze，2014a）中提出。有关对冲基金文献的部分列表，请参见，例如（Ackerman等人，1999），（Agarwal和Naik，2000a，2000b），（Amin和Kat，2003），（Asness等人，20 01），（Brooksand Kat，2002），（Brown等人，1999），（Chan等人，2006），（Edwards和Caglayan，2001），（Edwardsand Liew，1999a，1999b），（冯和谢，19 99，2000，2001），（高，2002），（梁，1999，2000，2001），（Lo，20 01），（Schneeweis等人，1996年）。以及阿尔法星团数量的上限。

在第8节中，我们进一步论证了——这是一个不严格的“定理”——其一般理由是，如果基础可转换工具的数量是有限的，那么周转率不能为零，这意味着α簇的数量似乎也是有限的。我们的主要结果由等式给出。（29）和（8.3），以及第8.2节定义中的“定理”，我们有N个αi，i=1，N.每个α实际上是一个时间序列αi（ts），s=0，1，M、 这是最近的一次。αi以下是toαi（t）。设Cijbe为N个时间序列αi（ts）的协方差矩阵。设ψij为相应的相关矩阵，即Cij=σiσjψij（1），其中ψii=1。在论文（Kakushadze和Liew，2014）和（Kakushadze，2014a）中，有人认为，在较大的N限制下，营业额不一定会变为零，而会变为有限的限制，这取决于相关矩阵的结构。本文的目标是解决以下问题：在拉格恩极限下，什么会使营业额变为零？三因素模型通常，协方差矩阵CIJC具有以下不良性质。首先，它可能（几乎）退化。其次，它可能不是正（半）定义。近简并是由几乎100%相关或反相关的阿尔法引起的，只需去除这些“冗余”阿尔法即可治愈。然而，在实践中，近简并通常是由M<N（实际上，在大多数实际应用中，M<< N） 而且只有M个Cijare的特征值是非零的，而其余的都有“小”值，可以是正的，也可以是负的。这些小值是由于计算舍入而扭曲的零。在这种情况下，解决方法是不删除任何字母（因为它们不一定是“多余的”），而是对协方差矩阵进行变形，使其为正定义。

（Kakushadze and Liew，2014）和（Kakushadze，2014a）中讨论了其中一种变形，以及使用相关矩阵对内部交叉和周转减少进行建模的局限性，因此我们在此不再重复。有关更详细的讨论，请参见（Kakushadze，2014a）。实际上，这假设在任何alpha时间序列中都没有N/As。如果某些或所有阿尔法时间序列以非均匀方式包含N/A，并且通过省略此类成对N/A来计算相关矩阵，则所得相关矩阵可能具有负特征值，这些特征值在上述意义上不“小”，即，它们不是因计算舍入而扭曲的零。下面提到的变形方法也可以应用于这种情况。基于（Rebonato和J¨ackel，1999）的讨论见（Kakushadze，2014a）（见其中第3.1小节）。另一种可能更常用的方法是采用因子模型方法。当M<N时，上述问题在概念上与由大量股票组成的投资组合的风险建模问题相同。除非相应时间序列中的观测数MS+1比stock数大，否则基于此类时间序列的协方差矩阵不会非常稳定。此外，如果MS<NS，如上所述，相关矩阵退化。在股票的情况下，规避这个问题的一种方法是建立一个因子模型，在该模型中，我们不处理NSstocks，而是处理FSRisk factors，其中FS<< NSand FS~<女士，阿尔法也是如此。而不是N字母，一个处理F<< n风险因子和协方差矩阵Cijis被Γij代替，由Γ给出≡ Ξ + Ohm Φ OhmT（2）Ξij≡ ξiδij（3），其中ξi是每个αi的特定风险；OhmIa是一个N×F因子载荷矩阵；Φabi是因子协方差矩阵，A，B=1，F

也就是说，与N个α相关的随机过程ΥI通过N个随机过程zi（对应于特定风险）和F个随机过程fA（对应于因子风险）建模：ΥI=zi+FXA=1OhmiAfA（4）hzi，zji=Ξij（5）hzi，fAi=0（6）hfA，fBi=ΦAB（7）hΥi，Υji=Γij（8）我们现在有了一个F×F协方差矩阵ΦAB，它比Cij稳定得多。构建Alpha因子模型的一种方法是将Fstyle风险因子和Fclustercluster风险因子结合起来。就股票而言，集群风险因素通常被称为行业风险因素。因为这里我们讨论的是阿尔法，所以我们将这些风险因素称为集群风险因素。一般来说，聚类可以被认为是基于一些相似性标准的阿尔法分组，这在很大程度上归结为阿尔法彼此之间的关联程度，尽管这种相似性标准不需要（但可以）基于样本相关性ma t r ix–见下文。另一方面，风格风险因素不基于任何相似性标准；相反，它们是基于阿尔法的一些估计（或测量）特性——因此，更常用于股票。高水平的数学形式主义是相同的，尽管细节不同（Kakushadz e，2014b）。在一个给定的簇中，我们可以得到一个lpha s，其给定的stylefactor的值相差很大。就阿尔法而言，至少当标的交易对象是股票时，以下风格因素似乎是可能的：1）波动性、2）成交量和3）动量。人们可能希望考虑的另一个（可能更难实施）风格因素是容量，即每个alpha可以吸收多少资本。

人们可能还希望根据Alpha的构造方式添加其他风格因素，等等。在股票的情况下，集群因素（通常）基于行业分类。在Alpha的情况下，可以使用Alpha的t轴法，即根据其构造方式对Alpha进行分类——如果所需数据可用，也就是说。在成千上万个字母中，有许多与每个字母的结构非常相似。很明显，这种相似性使它们更具相关性，就像属于同一行业的股票更具相关性一样。因此，与股票一样，将集群视为风险因素，并基于此类风险因素对阿尔法之间的相关性进行建模是有意义的，而不是直接基于与单个阿尔法对应的大量时间序列N来计算它们。请注意，因子模型方法的一个优点是，如果所有ξ均为非零，且因子协方差矩阵为正定义，则矩阵Γi为自动正定义（尽管该条件可以放宽）。4光谱模型在本文（Kakushadze，2014a）中，我们讨论了tur-nover约化的光谱模型，这表明，在大氮极限下的周转行为可以近似如下：≈ ρ*NXi=1τi | wi |（9），其中（模数|·|代表总和的绝对值）ρ*≡ψ（1）N√NNXi=1V（1）i（10） 有关阿尔法因子模型的一般框架的讨论，请参见（Kakushadze，2014b）。相反，如果M>> N、 样本相关矩阵ix中阿尔法的高（反）相关性意味着它们的相似性。

然而，实际上我们有M<N，实际上是M<< N、 因此，从样本相关矩阵推导相似性并不是那么简单。存在基于样本相关矩阵和/或其主成分构建二进制集群的（通常是专有）算法。这类簇通常至少在很大程度上继承了样本c相关矩阵的作用对角线的样本外不稳定性。然而，如果无法获得有关如何构建Alpha的详细信息，例如，唯一可用的数据可能是位置数据，即在某些时间T，T这样的算法可能会派上用场。让我们注意到，在论文（Kakushadze，2014a）中，通过在光谱模型中观察到，ψij的最大eig环境值在大N极限下对T的影响，得到了以下等式（10）。若其他贡献并没有被抑制，那个么（10）可以被认为是营业额减少的近似下限。ψ（1）是相关矩阵ψij的最大特征值，而V（1）是ψij相应的右特征向量，因此nxi=1V（1）i= 1（11）此外，wi是组合α的权重，PNi=1 | wi |=1，τi对应于单个αi的转换。为了说明目的，让我们考虑相关矩阵ψij的所有对角元素相同的情况：ψij=ρ（i6=j）。还有，让所有人≡ τi | wi |相同，设ψ（p）为ψij的特征值，设V（p）为相应的特征向量。然后，在ψ（1）是最大特征值的基础上，我们有（注意V（1）i）≡ 1/√N、 i=1，N在这种情况下）：NXi=1V（1）iTi=√NNXi=1Ti（12）NXi=1V（p）iTi=0，p>1（13）ψ（1）=1+（N- 1） ρ（14）ψ（p）=1- ρ、 p>1（15）ρ*=1+（N）- 1） ρN（16），它再现了等式。

（12） 年（Kakushadze a and Liew，2014）。前两个等式可以捕捉到（Kakushadze，2014a）的光谱模型在大范围内被认为是一个很好的近似值的本质，即使在一般相关矩阵的情况下也是如此：对于Ti的一般配置（即Tia不太倾斜，并且合理地分布在其平均值周围），贡献ρ*由于第一主成分（对应于最大特征值）占主导地位，而其他主成分的贡献则被1/N的幂所抑制。在上述一致相关性的情况下，让我们考虑ρ的两个极值。首先，当ρ=1时，也就是说，当所有的字母都是100%相关的，我们有ψ（1）=N和ρ*= 1，并且没有营业额减少。另一方面，当ρ=0时，当所有字母都不相关时，我们得到ψ（1）=1和ρ*= 1/N，在大N极限下，营业额为零。上述极端情况与我们根据营业额减少的直观情况所预期的情况一致（Kakushadze和Liew，2014）。这里取αiI的基（即，选择αi的符号），使得Pni，j=1ψij≡ Nρ′=N（1+（N- 1） ρ）最大化（ρ是平均相关性）。这是因为在第0近似ρ中*由ρ′给出（Kakushadze，2014a）。例如，如果我们只有两个α和α，且ψ<0，我们可以取α′≡ α和α′≡ -α、 因此，得到的相关性ψ′>0。考虑这一点的另一种方式是，第一个主分量V（1）最接近完整的SO（N）旋转不变性，即，最接近归一化单位向量VI≡ 1/√N、 i=1。