扩散过程的逆最优停止问题

经理行使授予他的期权的时间，提供了有关经理对公司未来盈利能力预期的信息。由于这种信息价值，股东可能希望以这样一种方式设计美式期权，即他们为经理提供在给定时间行使期权的激励。我们的结果表明，运动时间刺激0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.20.20.40.60.81.21.41.61.8bπbπ时间0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.480.50.520.540.560.580.60.620.640.66bπbπbπ图1。左：虚线描述了示例1中的最佳投资阈值（停止屏障）设置。1在没有ZF干预的情况下。当企业对投资价值X的信心超过bπ[0，T]时，激励企业在第一时间进行投资→ R、 bπ（t）=0.5√T- t、 ZF可以使用转移π[0，t]→ 吉文比实线。该图使用参数r=1、σ=4和T=1生成。右图：虚线显示了示例1.2中停止问题（5）的最佳停止屏障。实线表示转移π：[0，T]→ 当后验信度p超过60%时，诱导药剂在第一时间停止。图中使用了参数c=u=1和T=0.5。经理人的利益可以通过股票期权来激励，股票期权的行使价格取决于时间。2.问题公式2。1.动力。在本文中，我们考虑有限时间范围T<∞. 潜在概率空间(Ohm, F、 P）支持一维布朗运动。设F=（Ft）t∈[0，T]是指满足正常消费的W产生的过滤。我们用[0，T]中的值乘以T来表示f-停止时间集。对于t<Twe，指的是停车时间的子集，其值在[t，t]中。

该过程遵循时间不均匀扩散动力学（6）dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt。我们用L=u表示x+σxxx的最小生成器o f X.系数u，σ：[0，T]×R→ R是满足以下全局ipschitz和线性增长假设的Borel可测函数：存在一个正常数L，使得|u（t，x）- u（t，y）|+|σ（t，x）- σ（t，y）|≤ L | x- y |u（t，x）+σ（t，x）≤ L（1+x）表示所有t∈ [0，T]和x，y∈ R.在这个假设下，存在一个唯一的stro-ng解（Xt，xs）≥tto（6）对于每个初始条件Xt，Xt=x（参见Karatzas和Shreve（1991；定理2.5和2.9））。此外，比较原则是正确的（参见Karatzas和Shreve（1991；命题2.18））：从较低级别x开始的过程路径≤ 在t时刻的x′小于在s>t（7）Xt，xs时刻从x′开始的过程的路径≤ Xt，sP′x- a、 s.2.2。支付和转移。只要流程X没有停止，就有流动支付，停止时就有终端支付。支付f，g:[0，t]×R→ r取决于时间和信号值。形式上，使用停止时间τ的预期收益∈ Tt，TequalsW（t，x，τ）=EZτtf（s，Xt，xs）ds+g（τ，Xt，xτ）,假设X从X开始∈ 时间t的R∈ [0，T]。我们假设Payoff函数f在x变量中是连续的，在t变量中是Lipschitz连续的∈ C1,2（[0，T]×R），函数g和(t+L）g在x变量中是Lipschitz连续的，在t中是一致的。我们将分析如果存在仅依赖于时间的额外支付，对停止时间的偏好是如何变化的。定义1。

可测有界函数π：[0，T]→ R被称为转移。我们定义了值函数vπ：[0，T]×R→ 带payoff s fand g和附加转移π乘（8）vπ（t，x）=supτ的停止问题的R∈Tt，T（W（T，x，τ）+E[π（τ）]）。此外，我们还介绍了每个t∈ [0，T]停止区πT={x∈ R | vπ（t，x）=g（t，x）+π（t）}.2.3。可实施性。可测量的集合 [0，T]×R被称为时间闭合，如果对于每个时间T∈ [0，T]在={x处的切片∈ R |（t，x）∈ A} 是R的闭子集。让X从X开始∈ 时间t的R∈ [0，T]。对于时间闭集a，我们引入了X第一次击中Abyτt，xA=infs≥ t | Xt，xs∈ 像∧ T.我们现在来定义可实施性。定义2（可实施性）。时间闭集A由转移π实现，如果t的停止时间τt，xa在（8）中是最优的，即对于每个t∈ [0，T]和x∈ Rvπ（t，x）=W（t，x，τt，xA）+Eπ（τt，xA）.对于时间闭集a，可实现的一个必要条件是，每个切片都包含在停止区域Dπt中。实际上，让a由π和let t实现∈ [0，T]和x∈ 在然后我们有τt，xA=t。由于τt，xA是最优的，这意味着vπ（t，x）=g（t，x）+π（t），因此x∈ 因此，我们有 Dπt.观察到逆包含Dπt At不一定成立，因为最佳停车时间通常不是唯一的。在某个点（t，x）∈ [0，T]×R最好立即停止（x∈ Dπt）以及等待正的时间量，直到X到达a（X）/∈ 在）。一个特别简单的例子是，X是鞅，f（t，X）=0，g（t，X）=X。可选停止定理意味着所有停止时间τ∈ Tt，t生成相同的预期收益W（t，x，τ）=x。因此，每个集合A都通过零转移实现。

停止区域由整个状态空间Dt=R组成。我们引入了严格可实施性的概念，其中排除了最优策略中的模糊性：只要继续正时间是最优的，停止就不是最优的。定义3（严格的可实施性）。如果A由π和vπ（t，x）>g（t，x）+π（t）实现，则时间闭集A严格由atransferπ实现/∈ 阿坦特∈ [0，T]。特别是，对于传输π，每个严格可实现的集都满足=Dπt。由于停止区域Dπ皮重是闭合的（见下面的引理6），所以对时间闭合设置的限制并不丧失一般性。任何没有时间限制的设置都不能严格执行。请注意，可实现性的概念概括了最佳停止时间的概念。如果τt，xa是formsupτ停止问题的最佳停止时间∈Tt，TEZτtf（s，Xt，xs）ds+g（τ，Xt，xτ）适用于所有人（t，x）∈ [0，T]×R，然后通过零转移实现。2.4. 单交叉和切割区域。接下来我们介绍了Payoff函数的主要结构条件。条件4（单交叉）。我们认为，单交叉条件是满足的，如果∈ [0，T]映射x 7→ f（t，x）+(t+L）g（t，x）是不增加的。如果这个单调性是严格的，那么我们说严格的单交叉条件成立。注意，（严格的）单交叉条件在许多例子中都得到了满足。例如，它在子节1的示例中得到了满足。1和1.2。此外，我们定义了时间闭集的一个特殊子类。定义5。如果存在函数b:[0，T]，则时间闭集A称为截域→使得At=[b（t），∞). 在这种情况下，我们称b为相关的截函数，我们写τt，xA=τt，xb=inf{s≥ t | Xt，xs≥ b（s）}∧ t（t，x）∈ [0，T]×R.我们称之为τ-ba截割规则。

如果相关的分割区b[0，T]，我们说分割区a是规则的→ R是c`adl`ag（即右连续且具有左极限inR），并具有可求和的向下跳跃，即X0≤s≤t(bs）-< ∞.3、严格执行的区域是最优停车问题的截止区域。众所周知，在单交叉条件（或其较弱版本）下，存在一个最优的截止规则（见Kotlow（1973）、Jacka和Lynn（1992）或Villeneuve（2007））。在本节中，我们展示了严格可实施性的相反方向：只能严格实施切割区域。我们首先陈述关于vπ的以下正则性结果。引理6。对于每个转移π和每个t∈ [0，T]地图ping x 7→ vπ（t，x）是lipschitz连续的。特别地，停止区Dπ闭合。证据修正t∈ [0，T]和x，y∈ R.通过f和g的Lipschitz连续性，存在常数c>0，使得| vπ（t，x）- vπ（t，y）|≤ supτ∈Tt，TEZτtf（s，Xt，xs）- f（s，Xt，ys）ds+g（τ，Xt，xτ）- g（τ，Xt，yτ）≤ 行政长官“sups”∈[t，t]Xt，xs- Xt，ys#.根据众所周知的随机微分方程解的模估计（见Kunita（2004；定理3.2）），存在一个常数C，使得小吃∈[t，t]| Xt，xs- Xt，ys|≤~C|x- y |。这就产生了这种说法。下一个结果表明，在单交叉条件下，只有切割区域是难以实现的。提议7。假设单交叉条件成立。对于每一个trans f erπ，我们的所有结果都类似地适用于下停止边界=(-∞, b（t）]如果我们施加x 7而不是我们的单交叉条件→ f（t，x）+(t+L）g（t，x）是非递减的。（i） Dπ上的停止区域是一个截断区域（ii），因此，如果a严格由π执行，那么a是一个截断区域。证据修正t∈ [0，T]。

首先观察到单交叉条件意味着x7→vπ（t，x）- g（t，x）是非递增的。实际上，它^o的公式适用于g（·，X）yieldsW（t，X，τ）=EZτtf（s，Xt，xs）+(t+L）g（s，Xt，xs）ds+g（t，x）+Zτtgx（s，Xt，xs）σ（s，Xt，xs）dWs每x∈ R和τ∈ 由于gxis有界且σ具有线性增长，因此过程r·tgx（s，Xt，xs）σ（s，Xt，xs）是鞅。根据比较原理（7）和单交叉条件≤ yvπ（t，x）- g（t，x）=supτ∈Tt，TEZτtf（s，Xt，xs）+(t+L）g（s，Xt，xs）ds+π（τ）≥ supτ∈Tt，TEZτtf（s，Xt，ys）+(t+L）g（s，Xt，ys）ds+π（τ）= vπ（t，y）- g（t，y）。这意味着∈ Dπtify≥ x和x∈ 因此，Dπ是一个区间，在右边是无界的。通过引理6，集合Dπ是闭合的。因此存在一些b（t）∈ R使得dπt=[b（t），∞). 这意味着，由于严格的可实施性定义，At=Dπtb，因此t A是一个分割区域。我们注意到，如果我们不将注意力限制在只依赖于时间的转移π上，而是允许转移依赖于过程X的值，那么任何可测量集A都可以实现。当π（t，x）=-g（x，t）+1{（x，t）∈A} 最佳停车问题变成了suspτ∈TE[g（Xτ，τ）+π（Xτ，τ）]=supτ∈TE{（Xτ，τ）∈A}其中τA=inf{t:（Xt，t）∈ A} 这是一个解决方案。由于不考虑传输中的空间依赖性，反问题变得更难解决。虽然空间依赖性的假设使我们的问题在数学上不可忽略，但在动态委托代理应用中，它也有明确的经济动机。在经济学中，委托代理私下观察过程的价值，因此委托人选择的转移不能以此为条件。4.

切断区域的可实现性在这一节中，我们证明命题7的逆含义也成立：每个正则切断区域都是可实现的。我们根据第4小节中X的反映形式，导出了t转移的封闭形式表示。1.在4.2小节中，我们验证了逆最优停止问题的候选解决方案确实实现了有效区域。转移的主要性质见第4小节。3.在第4.4节中，我们提供了实施切割区域的转移的唯一性结果。4.1. 反映了SDE和候选人调动的正式推导。反射随机微分方程（RSDE）的解是一对过程（X，l），其中过程X根据给定障碍物b下方相关SDE（6）的动力学演化，并在其试图超过b时被过程l推到障碍物下方。接下来，我们给出一个正式定义。定义8。设b为c\'adl\'ag屏障，t∈ [0，T]一个固定的时间点和▽ξ≤ b（t）船尾-可测平方可积随机变量。一对（X，l）适应过程（带有c`adl`ag轨迹）被称为随机微分方程（6）的（stro ng）解，该方程（6）在初始条件（t，ξ）下在b处反映，如果它满足以下性质。（i） ~X被限制在屏障下方，即~Xs≤ b（s）几乎可以肯定的是f∈ [t，t]。（ii）每∈ [t，t]下面的积分方程几乎可以肯定地表示（9）~Xs=~ξ+Zstu（r，~Xr）dr+Zstσ（r，~Xr）dWr- 是的。（iii）过程l是非递减的，只有当~Xt=b（t），即（10）ZTt（b（s）时，过程l才会增加-~Xs）dls=0。为了强调X对初值的依赖性，我们有时会写下X，ξ。备注9。考虑这样一种情况，即b在时间t处向下跳跃，并且＠X在时间t前不久高于b（t），即＠Xt-(ω) ∈ （b（t），b（t）-)] 关于ω∈ Ohm.

因为≤ b（t）受影响的过程X在时间t也有向下的跳跃。方程（9）表示l在时间t时有一个向上的跳跃。然后方程（10）得出X在时间t时在势垒上，即Xt=b（t）。因此，b的跃迁是a被X吸收后的真实反映（这意味着X=2b（t）-~Xt-). 在这个意义上，X是X的最大版本，它保持在wb以下。这个性质在定理的证明中至关重要。~X的存在性和唯一性是在鲁特科夫斯基（1980）中建立的。我们还参考了Slominski和Wojciechowski（2010），他们考虑了反射的一般模式。关于具有“真实”跳跃反射的RSDE的结果，请参考Halayat Maurel等人（1980年）。形式推导。在这里，我们建立了逆最优停止问题和RSDE之间的联系，并推导了实现割区的转移的表示形式。为此，假设切割区域A=[b（t），∞) 由一个转移π实现。在不丧失一般性的情况下，我们假设π（T）=0（否则Take)π（T）=π（T）-π（T））。因为我们只对形式推导感兴趣，所以我们做了一些正则性假设。我们假设停止问题（8）的值函数是光滑的（vπ）∈ C1,2（[0，T]×R]），而b是连续的，因此X也是连续的。然后vπ满足度（参见例如（Peskirand Shiryaev 2006a；第四章））min{-(t+L）vπ- f、 vπ- （g+π）}=0vπ（T，·）=g（T，·），b是该变分偏微分方程的自由边界。特别是，在截止函数b下方，值函数vπ满足连续方程(t+L）vπ（t，x）=-f（t，x）表示所有x≤ b（t）。在切函数上，vπ满足所有t的边界条件vπ（t，b（t））=g（t，b（t））+π（t）∈ [0，T]。此外，如果b是充分正则的，则光滑的fit原理x（t，b（t））=gx（t，b（t））适用于所有t∈ [0，T]（参见例如Peskir和Shiryaev（2006a；第9.1节））。

然后，它的公式化为ehg（T，~Xt，b（T）T）i=Ehvπ（T，~Xt，b（T）T）i=vπ（T，b（T））+EZTt(t+L）vπ（s，~Xt，b（t）s）ds-ZTtvx（s，~Xt，b（t）s）dls= g（t，b（t））+π（t）- EZTtf（s，~Xt，b（t）s）ds+ZTtgx（s，~Xt，b（t）s）dls.进一步应用It^o公式可以得到ππ（t）=E的以下表示形式g（T，~Xt，b（T）T）+ZTtf（s，~Xt，b（T）s）ds+ZTtgx（s，~Xt，b（T）s）dls- g（t，b（t））=EZTtf（s，~Xt，b（t）s+(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）ds.（11） 在下面的理论11中，我们验证了等式（11）确实导致转移π实现a。该证明既不依赖于任何分析方法，也不依赖于部分微分方程理论的结果。相反，我们使用基于单交叉条件和SDE和RSDE比较结果的纯概率参数。这种方法需要对模型参数进行弱规则性假设。特别是σ不存在椭圆性条件。RSDEs的性质。下一个命题证明了关于RSDE的辅助结果，我们将在定理11的证明中使用这些结果。关于R-SDE有大量文献，包括比较结果（参见Bo和Yao（2007））。据我们所知，RSDE与c`adl`ag障碍物的比较原理，以及urresult所需的可求和向下跳跃的比较原理，以前还没有给出过。虽然所有结果都遵循标准论点，但为了方便读者，我们在附录f中给出了证明。关于存在性和唯一性结果，我们参考了托鲁特科夫斯基（1980）。提议10。对于每一种常规的切割效果，都存在一个统一的强溶液X到另一种溶液（9）。过程l由（12）ls=supt给出≤R≤s（~ξ+Zrtu（u，~Xu）du+Zrtσ（u，~Xu）dWu- b（r））+。此外，X满足（i）（平方可积性）Ehsupt≤s≤T（~Xt，ξs）i<∞ 尽管如此，t∈ [0，T]。（ii）（最小值）~Xt，ξs{s<τb}=Xt，ξs{s<τb}a.s。

为了所有的人∈ [t，t]。（iii）（反映过程的比较原则）如果ξ≤ ξa.s.，那么对于s∈ [t，t]我们有~Xt，ξs≤~Xt，ξsa。s、 （iv）（Mom e nt估算）ξ，ξ∈ L（Ft）存在常数K>0，因此≤R≤s |Xt，ξr-~Xt，ξr | p | Fti≤ K |ξ- ξ|所有s的pa.s∈ [t，t]和p=1，2。（v） （原工艺的比较原则）~Xt，ξs≤ Xt，ξsa。s、 为了所有的人∈ [t，t]。（vi）（左连续性）Le t t∈ [0，T]和x≤ b（t）∧ b（t）-). 然后Xs，y∧b（s）t→ x在Lforst和y中→ x、 使用与inProtter（2005；第五章第6节）类似的论点，我们可以证明x满足强马尔可夫性。对于s≥ t我们定义任何Borel可测有界函数的转移核＠Pt，sby＠Pt，s＠（t，x）=Eh＠（s，＠Xt，xs）＠[0，t]×R→ R.然后X满足任何停止时间τ∈ u和T≥ 0（13）Ehа（τ+u，~Xτ+u）| Fτi=~Pτ，τ+uа（τ，~Xτ）。此外，RSDE强解的唯一性意味着t的X的以下流动性质≤ R≤ s和x∈ R我们有a.s.（14）~Xt，xs=~Xr，~Xt，xrs。参见定义4。2、可实施常规切割区域。在这一节中，我们证明了我们的主要定理，即每个正则截面积都是由传输导出的不吸收4实现的。1.定理11。假设满足单交叉条件。假设A是边界为b的规则切割区。然后通过转移（15）π（t）=E实现ZTtf（s，~Xt，b（t）s）+(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）ds.证据首先观察切割规则τt，xB是停止时间f或全部（t，x）∈ [0，T]×R.事实上，由于X有连续路径，而b是右连续的，因此D’ebut定理（见Dellacherie a and Meyer（1978；第四章，第50节））暗示了τT，xb∈ 让π由等式（15）给出。关于π的有界性和可测性，我们参考第13条。我们设定h=f+(t+L）g。