扩散过程的逆最优停止问题

在命题7的证明中，我们有w（t，x，τ）=g（t，x）+EZτth（s，Xt，xs）ds.请注意，我们可以用X的跃迁函数P写出π，如下所示：π（t）=ZTtPt，sh（t，b（t））ds。对于任何停止时间τ，X的强马尔科夫性质（方程式（13））意味着Pτ，τ+uh（τ，b（τ））=Ehh（τ+u，~Xτ，b（τ）τ+u）|FτIf∈ u和T≥ 因此我们有（16）π（τ）=EZTτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds | Fτ.修正t∈ [0，T]和x≥ b（t）。让τ∈ 这是一个任意的停止时间。or原始过程和反射过程（属性（v））之间的比较原则意味着Xt、xs≥Xt，b（t）s≥~Xt，b（t）sa。s、 f或每个s∈ [t，t]。根据流动特性（方程式（14））和反射过程的比较原理（特性（iii）），b（t）s=~Xτ，~Xt，b（t）τs≤~Xτ，b（τ）sa。s、 每一天∈ [τ，T]。因此，单交叉条件意味着Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）= EZτth（s，Xt，xs）ds+ZTτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds≤ EZτth（s，~Xt，b（t）s）ds+ZTτh（s，~Xt，b（t）s）ds= π（t）。这意味着W（t，x，τ）+E[π（τ）]≤ W（t，x，t）+π（t）。因此，τt，xb=t在（8）中是最优的。在第二步中，fix x<b（t）并让τ∈ 这是一个任意的停止时间。为了缩短旋转，我们写τb=τt，xb。首先，我们证明了停止min{τ，τb}的性能至少与τ一样好。到16岁时，我们已经{τb<τ}π（τ）= E{τb<τ}EZTτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds | Fτ= E{τb<τ}ZTτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds.这导致了t-oE{τb<τ}Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）= E{τb<τ}Zτbth（s，Xt，xs）ds+Zτbh（s，Xt，xs）ds+ZTτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds.通过构造反射过程X，我们得到了Xτb=b（τb）。原始过程和反射过程（性质（v））之间的比较原则，以及反射过程的流动性质（方程式（14））几乎肯定地意味着Xτb，b（τb）s=~Xτb，~Xt，Xτbs=~Xt，xs≤ Xt，XS代表s≥ τb.自~Xτb，b（τb）τ≤ b（τ）我们在集合{τ>τb}Xτ上有，b（τ）s≥~Xτ，~Xτb，b（τb）τs=~Xτb，b（τb）s对于所有s≥ τ.

这两个不等式加上h的单调性，就得到了E{τb<τ}Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）≤ E{τb<τ}Zτbth（s，Xt，xs）ds+Zτbh（s，~Xτb，b（τb）s）ds+ZTτh（s，~Xτb，b（τb）s）ds= E{τb<τ}Zτbth（s，Xt，xs）ds+π（τb）.因此，使用停止时间min{τ，τb}至少与使用τW（t，x，τ）+E[π（τ）]=g（t，x）+E一样好Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）≤ g（t，x）+EZτ∧τbth（s，Xt，xs）ds+π（min{τ，τb}）= W（t，x，min{τ，τb}）+E[π（min{τ，τb}）]。因此，必须考虑停止规则τ≤ τb.在这种情况下，我们有Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）= EZτth（s，Xt，xs）ds+Zτbτh（s，~Xτ，b（τ）s）ds+ZTτbh（s，~Xτ，b（τ）s）ds.根据受影响过程（性质（iii））的比较原理和流量特性（14）的公式如下Xt，xs=~Xτ，~Xt，Xτs≤所有s的Xτ，b（τ）s≥ τ. 根据反映过程的最小性质（性质（ii）），我们得到了所有s<τb的Xt，xs=~Xt，xs。与上述考虑类似，产生了Xτb，b（τb）s=~Xτb，~Xt，Xτbs=~Xt，xs=~Xτ，~Xt，Xτs≤~Xτ，b（τ）sa。s、 对于s≥ τb.h的单调性意味着Zτth（s，Xt，xs）ds+π（τ）≤ EZτth（s，Xt，xs）ds+Zτbτh（s，Xt，xs）ds+ZTτbh（s，~Xτb，b（τb）s）ds= EZτbth（s，Xt，xs）ds+π（τb）因此W（t，x，τ）+E[π（τ）]≤ W（t，x，τb）+E[π（τb）]。这就完成了可实现性的证明。理论11表明，在我们施加的单交叉条件下，每个截止时间都是可以实现的。我们注意到，如果没有单交叉条件，这个结果是不成立的。要了解这一点，可以考虑一个例子，即payoff g（x，t）=h（|x |，t），它只是x的绝对值的函数和一个对称的扩散过程u（x，t）=-u(-x、 t）和σ（x，t）=σ(-x、 t）。请注意，这样的例子永远不能满足单交叉条件。对于任何π：R+→ R最优停止问题supτ∈TE[g（Xτ，τ）+π（τ）]在零处是对称的，因此停止集必须是对称的。

因此，代理不仅在进程X从m以下穿过阈值时停止，而且在进程X从m以上穿过该阈值的负o时停止。因此，最佳停止时间永远不会是截止时间形式，也无法实施截止时间规则。在提案7中，我们证明了严格可实施的区域必然是切断型的。下一个结果确定了相反的方向。在严格的单交叉条件下，可严格执行切割区域。推论12。如果严格的单交叉条件成立，则通过等式（15）的转换严格执行带屏障b的规则切割区域。证据我们使用与定理11的证明相同的符号。让我们∈ [0，T]和x<b（T）。那么，b a和X的右连续性和h的严格单调性意味着Zτbth（s，~Xt，xs）ds> EZτbth（s，~Xt，b（t）s）ds因此我们有Zτbth（s，Xt，xs）ds+π（τb）= EZτbth（s，~Xt，xs）ds+ZTτbh（s，~Xτb，b（τb）s）ds> EZτbth（s，~Xt，b（t）s）ds+ZTτbh（s，~Xt，b（t）s）ds= π（t）。这意味着vπ（t，x）>π（t）+g（t，x），因此A严格由π实现。通常情况下，未明确知道反应过程X的分布。因此，我们不得不求助于数值方法来近似理论11的转换。例如，可以使用RSDE（9）和蒙特卡罗模拟的离散化方案来评估等式（15）中的期望值（参见Saisho（1987）、Bossy等人（2004）或¨Onskog和Nystr¨om（2010））。如果X按照布朗运动演化，那么X的分布是封闭的。4.3. 转移的属性。下一篇文章总结了切割区域的性质。提议13。让b:[0，T]→ R成为一名普通员工。等式（15）中的转移π满足以下性质（i）π为c`adl`ag。

特别地，π是有界且可测的。（ii）在π处是连续的∈ [0，T]如果b在T处是连续的，或者如果b在T处有向下的跳跃，（iii）π没有向上的跳跃。（iv）如果π在t处向下跳跃∈ [0，T]，那么b在T处有一个向上的跳跃。（v）π收敛到0at时间T:limtTπ（T）=0。证据正如在定理11中一样，我们引入了函数h（t，x）=f（t，x）+(t+L）g（t，x）。假设h是Lipschitz连续的，并且在x上线性增长。转移π是g-ivenbyπ（t）=EZTth（s，~Xt，b（t）s）ds.我们首先证明π是右连续的。对于t∈ [0，T]和>0我们有|π（T）- π（t+）|≤ EZt+th（s，~Xt，b（t）s）ds+ EZTt+h（s，~Xt，b（t）s）- h（s，~Xt+，b（t+）s）ds.它由命题10中h的线性增长和X的性质（i）得出，即EHRT+th（s，~Xt，b（t）s）dsi公司→ 0 as→ 此外，h的Lipschitz连续性意味着ZTt+h（s，~Xt，b（t）s）- h（s，~Xt+，b（t+）s）ds≤ 行政长官“sups”∈[t+，t]~Xt，b（t）s-~Xt+，b（t+）s#对于某些常数C>0。根据流动性质（方程式（14）），我们从命题10“yieldsE”sups中得到了~Xt，b（t）s=~Xt+，~Xt，b（t）t+s.性质（iv）∈[t+，t]~Xt，b（t）s-~Xt+，b（t+）s#≤~CEh~Xt，b（t）t+- b（t+）i、 X和b的右连续性意味着π（t+）=π（t）。关于π的左手极限，我们证明了（17）π（t-) = EZTth（s，~Xt，b（t）∧b（t）-)s） ds.尽管如此，t∈ （0，T）。等式（17）包含命题13的所有剩余主张。如果b在t或has处连续，则向下跳跃（b（t）≤ b（t）-)), 然后方程（17）在t处产生π的连续性：π（t-) = π（t）。h的单调性和反射过程的比较原理暗示π（t-) ≥ π（t），即π没有向上跳跃。如果π在t（π（t）处有向下的跳跃-) > π（t）），那么方程（17）得出了b必然有一个向上的跳跃（b（t）>b（t）-)). 此外，它由式（17）得出，即tπ（t-) = 0.为了证明等式（17），让t∈ （0，T]和>0。

然后考虑π（t）- ) - EZTth（s，~Xt，b（t）∧b（t）-)s） ds≤ EZtt-h（s，~Xt）-，b（t）-（s）ds+EZTth（s，~Xt）-，b（t）-（s）- h（s，~Xt，b（t）∧b（t）-)（s）ds.根据命题10的性质（vi），我们得到了Xt-，b（t）-s→~Xt，b（t）∧b（t）-)sin Las0。Lipschitz连续性和h的线性增长意味着EhRtt-h（s，~Xt）-，b（t）-（s）dsi公司→ 0和EhRTth（s，~Xt）-，b（t）-（s）- h（s，~Xt，b（t）∧b（t）-)（s）dsi公司→ 0代表0。这就产生了这种说法。4.4. 转移的唯一性。为了证明定理11的唯一性结果，我们需要以下关于截止时间的辅助结果。引理14。让b:[0，T]→ R从下面开始。然后我们有τt，xbt a.s.forx-∞ 对于e v ery t∈ [0，T]。在这里和续集中，我们使用符号π（t+）=lim0π（t+）和π（t-) = lim0π（t- ）用于单边限制。证据修正t∈ [0，T]。库尼塔（2004；引理3.7）认为，存在一个常数C>0，因此E“supt”≤s≤T1+（Xt，xs）#≤ C1+x.然后，法图的引理是“lim infx”→-∞监督≤s≤T1+（Xt，xs）#≤ lim infx→-∞E“supt≤s≤T1+（Xt，xs）#≤ inflim→-∞C1+x= 0.因此我们有lim supx→-∞输入≤s≤T | Xt，xs |=∞ a、 再加上X的比较原理，这就得到了lim supx→-∞监督≤s≤TXt，xs=-∞ a、 因此τt，xbt为x-∞. 定理15。设A是一个有边界b的正则割域。假设A由满足limtTπ（T）=limtT^π（T）的两个转移π和^π实现。然后π（t）=π（t）表示所有t∈ [0，T）.证明.修正T∈ [0，T）。为了缩短符号，我们设置了v=vπ和^v=v^π。通过L emma6，函数v和^v在T x变量中是Lipschitz连续的。类似的考虑也适用于函数x 7→ W（t，x，τ）对于每个τ都是Lipschitz连续的∈ 尤其是，这些函数是绝对连续的。

根据omMilgromand Segal（2002；定理1）的包络定理，对于Lebesgue，几乎每x产生vx（t，x）=Wx（t，x，τt，xb）=vx（t，x）∈ R.从x<b（t）到b（t）的积分- v（t，x）=^v（t，b（t））- ^v（t，x）或等效π（t）- π（t）=Eπ（τt，xb）- ^π（τt，xb）.由于π和^π是有界的，我们可以求助于引理14来获得π（t）- π（t）=limx→-∞Eπ（τt，xb）- ^π（τt，xb）= 0，这里我们使用了支配收敛定理。5.最优停止的应用从理论15中，我们导出了（18）v（t，x）=supτ形式的停止问题的最优停止时间的概率特征∈Tt，TEZτtf（s，Xt，xs）ds+g（τ，Xt，xτ）,其中f，g和X满足单交叉条件n。我们称停止时间τ∈ Tt，在（18）中对（t，x）是最佳的∈ [0，T]×R ifv（T，x）=EZτtf（s，Xt，xs）ds+g（τ，Xt，xτ）.推论16。假设满足单交叉条件，并设b:[0，T]→ Rbe是一种常规的切割食品。对于所有（t，x），停止时间τt，xb在（18）中是最优的∈ [0，T]×R，仅当b是非线性积分方程（19）eZTtf（s，~Xt，b（t）s+(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）ds= 尽管如此∈ [0，T]。证据首先假设（19）对每个t都成立∈ [0，T]。然后，定理11意味着边界为b的切割区域由零转移实现。这意味着对于每一个（t，x），τt，xB在（18）中是最优的∈ [0，T]×R。对于相反方向，假设τT，xb在（18）中对于每个（T，x）是最优的∈ [0，T]×R。然后，边界为b的切割区域通过零转移^π=0来实现。根据定理11，它也由tr transferπ（t）=EhRTtf（s，~Xt，b（t）s）+(t+L）g（s，~Xt，b（t）s）dsi。根据位置13，转移π满足极限π（T）=0。那么定理15意味着π（t）=π（t）=0表示所有t∈ [0，T]。

在关于最优停止的文献中，最优停止边界和与方程（19）不同的非线性积分方程之间存在着众所周知的联系。它由Kim（1990年）、Jacka（1991年）和Carr等人（1992年）独立推导而来，他们认为Opti-ima lexercise是美国期权。利用美式期权价格的早期行权溢价表示，作者得出了一个由最优行权边界满足的非线性积分方程。关于最优运动边界是否是积分方程的唯一解的问题一直悬而未决，直到十多年后，佩斯基尔（2005年b）在一份确认书中回答了这个问题。利用Peskir（2005a）导出的曲线上随局部时间变化的变量公式，允许Peskir（2005b）将最佳运动边界描述为连续函数类中非线性积分方程的唯一解。fPeskir（2005b）的方法随后被用于解决具有更一般的扩散和马尔可夫过程、多个停止边界和更一般的支付函数的最优停止问题。这些问题包括俄罗斯期权（佩斯基尔（2005c））和英国期权（佩斯基尔和萨米（2011；2013））、维纳障碍问题（加皮耶夫和佩斯基尔（2006））、顺序测试问题（加皮耶夫和佩斯基尔（2004）、日特鲁钦和穆拉夫列夫（2013））、扩散模型中最大值的最优停止问题（加皮耶夫等（2006）），最优预测问题（Du Toit和Peskir（2007））、贝叶斯无序问题（Zhitlukhin和Shiryaev（2013））、最优清算问题（Ekstroem和Vaicenavicius（2016））和多期停止问题（De Angelis和Kitapbayev（2014））。

在本文的框架内，这个积分方程由（20）E给出ZTtf（s，Xt，b（t）s+(t+L）g（s，Xt，b（t）s）{Xt，b（t）s≤b（s）}ds= 0（参见Peskir和Shiryaev（2006a；第四章第14节））。除了根据早期行使溢价进行解释外，等式（20）从数值角度来看也是有价值的。事实上，它只需要每个∈ [0，T]XS定律，当不明确知道时，可以用各种方式近似（例如，使用科尔莫戈罗夫-弗瓦德方程或Euler-Maruyama格式）。一旦这些分布可用，（20）就是一个非线性Volterra（或Fredholm）积分方程，可以使用文献中提供的成熟的数值格式来处理。我们还参考了Workfbelomestny和Gapeev（2010），其中提出了一种迭代程序来近似积分方程和值函数的解。相比之下，尚不清楚（19）是否能以高精度进行数值求解，因为它与b的路径有关。尤其是，由于未知边界b在过程X中缠绕（随机变量Xt的分布，b（t）依赖于整个势垒（b（r））t），因此不可能预先计算X的边缘定律≤R≤从时间t到s）。我们还提到，Peskir（2005a）变量公式的变化在Peskir（2007）中扩展到了多维环境。这使得在更高的维度上，也可以将最佳停止时间描述为第一次击中时间（参见格洛弗等人（2013年）、Ga peev and Shiryaev（2013年）和Peskir（2014年））。目前尚不清楚，在多维环境下，是否有可能对所提出的方法进行扩展。在更高维度的单交叉条件（条件4）中，单调性的表述已经不是直截了当的了。

多元反射过程的构造也非常不活跃。通常，（19）的解集包含在（20）的解集中。实际上，如果b解（19），那么通过推论Y16，它是一个最优停止边界，因此，在适当的正则条件下，它也是（20）的解。在（20）的唯一性成立的情况下（见上面的参考文献列表），相反的含义成立。对于恒定势垒b（t）=b∈ R和X是布朗运动，可以直接把这两个方程联系起来。事实上，在这种情况下，它遵循所有x的反射原理≤ 前列腺增生症Xt，b（t）s≤ xi=2 PXt，b（t）s≤ 十、因此，常数势垒b解方程（20），当且仅当它解方程（19）。关于一个人是否能在不绕路的情况下，通过粒子停止问题，将这两个积分方程一般地联系起来，这个问题留待将来研究。6.附录命题证明10。（X，l）的存在性和唯一性来自Rutkowski（1980）。参见alsoSlominski和Wojciechowski（2010；定理3.4），了解时间齐次情况。通过构造（X，l），我们也有（i）。我们下一个节目（二）。请注意，未反射SDE的解决方案（6）解决了s<τb的反射SDE。由于反射SDE的解决方案是唯一的（ii），如下所示。为了证明（iii）和（iv），我们只考虑t=0的情况，而不丧失一般性。对于ξ，ξ∈ R我们写（△Xi，li）=（△X0，ξi，l0，ξi），（i=1，2）并引入过程Dt=△Xt-~XtandΓt=sups≤tmax（0，Ds）。将Meyer It^o for mulaProtter（2005；定理71，第4章）应用于函数x7→ max（0，x）yieldsmax（0，Ds）=max（0，D）+2Zs{Dr->0}Dr-dDr+Zs{Dr->0}d[d]cr+X0<r≤s最大值（0，Dr）- 麦克斯（0，博士）-)- 1{Dr->0}Dr-博士.（21）因为D只在b向下弹跳时跳，并且因为xi跳到我们的障碍物上-(b（r））-≤ 博士≤ 集合{Dr上的0-> 0}.

此外，D具有有界路径。因为CEB有可求和的向下跳跃，所以我们有P0<r≤s{Dr->0}|博士-博士∞ a、 因此，我们可以将等式21改写为max（0，Ds）=max（0，D）+2Zs{Dr>0}DrdDcr+Zs{Dr->0}d[d]cr+X0<r≤s最大值（0，Dr）- 麦克斯（0，博士）-).（22）关于等式（22）中的跳跃项，假设存在r∈ （0，s）使得max（0，Dr）>max（0，Dr）-). 这意味着Dr>0和Dr>Dr-. 因为)xi跳跃当且仅当lijumps（i=1,2）时，我们得到)Xr>)Xrand lr- lr-> lr- lr-. 接下来就是- lr-> 0，因为lis是非递减的。因此，lx在r处跳跃，这意味着≈Xr=b（r）。因此，我们得到了矛盾Xr>b（r）。因此我们有x0<r≤s最大值（0，Dr）- 麦克斯（0，博士）-)≤ 对于方程（22）中的最后一个积分，σ的ipschitz连续性意味着Zs{Dr>0}dhDicr=Zs{Dr>0}（σ（r，~Xr）-σ（r，~Xr））dr≤ LZsmax（0，Dr）Dr≤ LZsΓrdr。方程（22）的第一个积分分解为以下项，我们将依次考虑这些项。通过u的Lipschitz连续性，我们得到了zs{Dr>0}Dr（u（r，~Xr）- u（r，~Xr））dr≤ 2LZsmax（0，Dr）Dr≤ LZsΓrdr。接下来，我们有-2Zs{Dr>0}Drdl1，cr≤ 0andZs{Dr>0}Drdl2，cr=2Zs{Xr>b（r）}Drdl2，cr=0。此外，它源于Burkholder-Davis-Gundy不等式，σ的Lipschitz连续性和Young不等式小吃≤tZs{Dr>0}Dr（σ（r，~Xr）- σ（r，~Xr））dWr≤ 总工程师sZt{Dr>0}drdrdr≤ 总工程师sΓtZtΓrdr≤E[Γt]+CEZtΓrdr.把一切放在一起，我们就成功了≤ Γ+KZtE[Γr]dr对于某些常数K>0。然后Gronwall引理得到（23）E小吃≤tmax（0，~Xs）-§Xs）= E[Γt]≤ CΓ=C max（0，ξ）- ξ） 对于某些常数C>0。如果ξ≤ ξ这直接产生（iii）。对于（iv）观察我们有小吃≤t（~Xs）-§Xs）≤ E小吃≤tmax（0，~Xs）-§Xs）+ E小吃≤tmax（0，~Xs）-§Xs）.然后不等式（23）产生EHSUP≤t（~Xs）-~Xs）i≤~C（ξ）-ξ). p=1的情况遵循詹森不等式。